专题24 概率与统计（解析版）

专题2.4概率与统计

题组一、独立性检验与线回归方程及其应用

例1、(2022~2023学年第一学期连云港期中调研考试高三数学试题)在200人身上试验某

种血清预防感冒的作用，把他们1年中的感冒记录与另外200名未用血清的人的感冒记录进

行比较，结果如下表所示.问：是否有90%的把握认为该种血清对预防感冒有作用？

未感冒感冒

使用血清13070

未使用血清11090

n(^acl-bc)~

(a+h)(c+d)(a+c)e+d)

P[K2>k]0.100.0100.001

k2.7066.63510.828

【答案】有90%的把握认为该种血清对感冒有作用.

【解析】

【分析】由卡方的计算结果即可判断.

【详解】由表中数据可知：

/n(ad-bc)2400(130x90-110x70)225—…区

K=-------------------------------=------------------------=—«4.167>2.706，

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)200x200x240x1606

所以有90%的把握认为该种血清对感冒有作用.

1-1、(2022~2023学年度第一学期山东省潍坊市期中学情检测高三数学)(12分)

2022年2月22日，中央一号文件发布，提出大力推进数字乡村建设，推进智慧农业发展.

某乡村合作社借助互联网直播平台，对本乡村的农产品进行销售，在众多的网红直播中，随

机抽取了10名网红直播的观看人次和农产品销售量的数据，如下表所示：

观看人次X(万次)76827287937889668176

销售量y(百件)80877586]()()7993688577

iu1U

参考数据:E&-可=600，E(y-5)=768,元=80.

r=l/=1

(1)已知观看人次x与销售量y线性相关，且计算得相关系数r=一二，求回归直线方程

16

A>人A

y=bx+a;

(2)规定:观看人次大于等于80(万次)为金牌主播，在金牌主播中销售量大于等于90(百件)为优

秀，小于90(百件)为不优秀对优秀赋分2,对不优秀赋分1.从金牌主捆中随机抽取3名，若用X

表示这3名主播赋分的和.求随机变量X的分布列和数学期望.

Z&-亍）（％-刃za-可（％-刃

（附：6=上—------------,4=?一位，相关系数r=.“）

为a-n匚（七-可次（y-寸

/=1

:|1=1

,所以噜

解：（1）因为r=j=l

,600x768

国国一退（一）2

心-可660_11

所以所以〃二出

=660,10

z、，600~10

/=!

亍=：(8()+87+・.+77)=83

---1111

a=y-bx=83——x8O=-5,所以回归直线方程为j=—x-5.

1010

（2）金牌主播有5人，2人赋分为2,3人赋分为1,

则随机变量X的取值范用是{3,4,5}

p（X=3）="=*,P（X=4）=苓^=|,P（X=5）=C；C；_3

所以X的分布列为：

X345

133

P

W510

13321

所以E(X)=3x—+4x-+5x—=一

\)105105

题组二、离散型随机变量分布列、期望

例2、（湖北省鄂东南省级示范高中教改联盟学校2023届高三上学期期中联考）（本题满分

12分）和一次数学随堂小测验中,有单项选择题和多项选择题两种.单项选择题.每道题

四个选项中仅有一个正确，选择正确得5分，选择错误得。分；多项选择题，每道题四个选

项中有两个或三个选项正确，全部选对得5分，部分选对得2分，有选择错误的得。分.

（1）小明同学在这次测验中，如果不知道单项选择题的答案就随机猜测.己知小明知道单

1

项选择题的正确答案和随机猜测的概率都是5.问小明在做某道单项选择题时，在该道题

做对的条件下，求他知道这道单项选择题正确答案的概率.

22

（2）小明同学在做多选题时，选择一个选项的概率为不，选择两个选项的概率为三，选择

JJ

三个选项的概率为:.己知某个多项选择题有三个选项是正确的，小明在完全不知道四个选

项正误的情况下，只好根据自己的经验随机选择，记小明做这道多项选择题所得的分数为X,

求X的分布列及数学期望.

.解析：(1)设事件A为“题回答正确”，事件6为“知道正确答案”，则

P(A)=P(B)P(^|B)+P(B)P(A|B)=-x1+1x1=-,3分

2248

所以P(3㈤=迪=尸⑶尸⑷,砂=或1X1=±5分

P(A)P(A)55

8

(2)设事件4表示小明选择了》个选项，事件C表示选择的选项是正确的，则

23

P（X=2）=P（AC）+P（4。）=

l545C：2

111

p（X=5）=P（AC）=-x—r——

35C：20

9

P（X=0）=l-P（X=2）-P（X=5）=y-,

___212「11「29

（或者P（X=O）=P（AC）+P（4C）+P（4C）=W><Z+7U+产法=方.）

随机变量X的分布列如下:

X025

9£1

P

20220

E（X）=-x2+—x5=-.12分

2204

2-1、(江苏省南通市通州区2022-2023学年高三(上)期中复习数学试卷)随着人们对环

境关注度的提高，绿色低碳出行越来越受市民重视，为此某市建立了共享电动车服务系统,

共享电动车是一种新的交通工具，这是新时代下共享经济的促成成果.目前来看，共享电动

车的收费方式通过客户端软件和在线支付工具完成付费流程，从开锁到还车所用的时间称为

一次租用时间，具体计费标准如下：

①租用时间30分钟2元，不足30分钟按2元计算；

②租用时间为30分钟以上且不超过40分钟，按4元计算；

③租用时间为40分钟以上且不超过50分钟，按6元计算

甲、乙两人独立出行，各租用公共电动车一次，租用时间都不会超过50分钟，两人租用时

间的概率如卜表:

不超过30分

租用时间30-40分钟40-50分钟

钟

甲0.4Pq

乙0.50.20.3

若甲、乙租用时间相同的概率为0.35.

（1）求尸，9的值；

（2）设甲、乙两人所付费之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望.

【答案】（1）〃=4=0.3

（2）分布列见解析；期望为7.4

【解析】

【分析】⑴分别记“甲租用时间不超过30钟、30〜40分钟、4050分钟”为事件

4，&出，它们彼此互斥，则可得“+9=0.6①，2p+3q=1.5②求解即可；

⑵由题意可得X可能取值为4,6,8,10,12,求出X对应的概率，列出分布列，计算募望即

可.

【小问1详解】

解：分别记“甲租用时间不超过30钟、30〜40分钟、4050分钟”为事件44,4,

它们彼此互斥，则〃（4）=°40（42）=〃,0（4）=9,且〃+4=0.6①；

分别记“乙相用时间不超过30钟、30〜40分钟、4Ci50分钟”为事件与，层,名，则

P（BJ=0.5,P（B2）=0.2,P（/）=0.3,且4,4,4与%%员相互独立.

记“甲、乙租用时间相同”为事件C,

则尸（。）=尸（43+482+4"）=尸（A）P（Bj+尸（4）尸（82）+P（A3）P（B3）

=0.4x0.5+0.2p+0.3夕=0.35=2〃+=1.5②

由①@解得：“=9=0.3

【小问2详解】

解：X可能取值为4,6,8、10/2,

p（X=4）=0.4x0.5=0.2,尸（X=6）=0,4x0.2+0.3x0.5=0.23,

P（X=8）=0.4x0.3+0.5xO.3+O.3x0.2=0.33,

尸（X=10）=0.3x0.3+03x0.2=0.15,尸（X=12）=0.3x0.3=0.09

所以X的分布表如下：

X4681012

p0.20.230.330.150.09

月〒以E（x）=4x0.2+6x0.23+8x0.33+10x0.15+12x0.09=7.4

2-2、（南京一中2022~2023学年第一学期期中考试试卷高三数学）某机构为了解某地区中学

生在校月消费情况，随机抽取了100名中学生进行调查.下图是根据调查的结果制的学生在

校月消费金额的频率分布直方图：

已知[350,450）,[450,550）,[550,650）三个金额段的学生人数成等差数列，将月消费金额不

低于550元的学生称为“高消费群”.

（1）求〃?，〃的值，并求这100名学生月消费金额的样本平均数工（同一组中的数据用该

组区间的中点值作代表）；

（2）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在[350,450）,[550,650）内的两组学生中抽取

1（）人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高消费群”的学生人数为

随机变量X,求X的分布列及数学期望.

【答案】⑴m=0.0025,n=0.0035,=470

（2）X的分布列为

X0123

72171

P

244040120

9

期望E（X）=而

【解析】

【分析】（I）根据频率分布直方图中矩形面积之和为1和等差数列概念得到关于〃?，〃的方

程组，解方程组得到加，〃的值.进而利用区间中点及对应的频率求解样本平均数;

（2）根据分层抽样确定各组抽取的人数，从而确定X的可能取值，进而得到X的分布列和

期望.

【小问1详解】

由题意知100（加+〃）=。6且26=九+0.0015,

解得〃?=0.0025,〃=00035.

则所求平均数（=300x0.15+400x0.35+500x0.25+600x0.15+700x0.1=470（元）.

【小问2详解】

由题意从［350,450），中抽取7人，从［550,650）中抽取3人,

随机变量X的取值所有可能取值有0，1,2,3,

且P（X=A）=§§二日=0,123）,

jo

所以随机变量X的分布列为

X0123

7217I

P

244040120

72171Q

E(X)=0x—+lx—+2x——+3x——=一

随机变量X的数学期望24404012010

题型三、概率等综合

例3、（青岛一中2022-2023学年度第一学期第一次模块考试）近年我国科技成果斐然，其

中北斗三号全球卫星导航系统于2020年7月31日正式开通.北斗三号全球卫星导航系统由

24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星，共30颗卫星

组成.北斗三号全球卫星导航系统全球范围定位优于10米,实测的导航定位精度都是2〜3米,

全球服务可用性99%,亚太地区性能更优.

（1）南美地区某城市通过对1000辆家用汽车进行定位测试，发现定位精确度X近似满足

X,预估该地区某辆家用汽车导航精确度在［1,3］的概率:

（2）①某日北京、上海、拉浜、巴黎、里约5个基地同时独立随机选取1颗卫星进行信号分析，

选取的5颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目记为4，求4的数学期望；

②某地基站工作人员30颗卫星中随机选取4颗卫星进行信号分析，记V为选取的4颗卫星

中含倾斜地球同步轨道卫星的数目，求y的分布列和数学期望.

附：若X-N(4，(T2),则P(〃—bWXW〃+b)。0.6827,

P（〃-2bWXW〃+2b）«0.9545,P（//-3cr<X</v+3cr）«0.9973.

【答案】（1）0.84；

2

（2）①4；②分布列见解析；

【解析】

【分析】（1）根据“3。、'原则及图形的对称性即可求解；

244

（2）①每个居地随机选取1颗卫星是中圆地球轨道卫星的概率为二二二，可得

305

(4、

B5-

<5)

根据二项分布的期望公式却可求解；②由题意可得y可能的取值为0,1,2,3,求出相应的概

率，进而可得分布列和数学期望.

【小问1详解】

易知〃=2,cr=-

由

22

所以尸(1WXW3)=/(A—3crWXW〃+b)之0.6827+;66827

=0.6827+0.1573=0.84,

则预估该地区某辆家用汽车导航精确度在［1,3］的概率为0.84.

【小问2详解】

244

①5个基地相互独立，每个基地随机选取1颗卫星是中圆地球轨道卫星的概率为二:一,

305

（4、

所以5个基地选取的5颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目J：B5,-,

4

所以E（^）=??/?=5x—=4.

5

②由题意可得y可能的取值为：0,1,2,3,

则"=°）=用二崇P（E）=等65

203

吃=2)=善=39%=3）=与昌1

1015,

^301015Jo

所以y的分布列为:

Y0123

13()65391

r

20320310151015

LL…"WWL/S130„65.39._4062

所以数学期望£(/)=——xO+——xl+----x2+----1-x3=-----

I)2032031015101510155

3-1，（2022~2023学年度第一学期山东省潍坊市期中学情检测高三数学）.（12分）为了解新研

制的抗病毒药物的疗效,某生物科技有限公司进行动物试验.先对所有白鼠服药，然后对每只

白鼠的血液进行抽样化验，若检测样本结果呈阳性，则白鼠感染病毒;若检测样本结果呈阴性,

则白鼠末感染病毒.现随机抽取GN\/7..2)只白鼠的血液样本进行检验,有如下两种方

案：

方案一:逐只检验，需要检验〃次；

方案二:混合检验，将〃只白鼠的血液样本混合在一起检验，若检验结果为阴性，则〃只白猷末

感染病毒;若检验结果为阳性，则对这〃只白鼠的血液样本逐个检验，此时共需要检验〃+1次.

⑴若〃=10,且只有两只白鼠感染病毒，采用方案一，求恰好检验3次就能确定两只咸染病聿

白业的概率；

(2)已知每只白鼠咸染病晶的概率为〃(0<〃<1).

①采用方案二，记检验次数为X，求检验次数X的数学期望；

②若〃=20,每次检验的费用相同，判断哪种方案检验的费用更少?并说明理由.

221]

.解：(1)根据题意恰好在第一、三次确定两只感染病毒白鼠的概率々=3x2x1=-!-,

1()9845

Q211

恰好在第二、三次确定有两只感染病毒白鼠的概率鸟=历'§'§=*,

9Q1Q91?

所以恰好检验3次就能确定有两只白鼠感染病毒的概率P=3x2x2+2xWx±=V.

1()98109845

(2)①设检验次数为X,可能取得值为1,/?+1.

则p(x=l)=(l-〃)"，P(X=/?+l)=l-(l-p)\

所以E(x)=(i-/?y+(“+i)[i_(1_〃)”]=(〃+1)(1.

②方案二的检验次数期望为E(x)=(〃+一〃)〃，所以

E(X)-2O=l-2Ox(l-p)20,

设g(p)=l-20x(l—〃)2°,因为Ovl—所以g(p)单调递增,

由g(〃)=°得〃=1-焉'当-焉时，

g(p)vO,则£(X)v20,

当1一卷<〃<1时，g(p)>0,则E(X)>20,

v20

故当Ovp<1—、八,—时,选择方案二检验费用少，当1一获^=<〃<1时，选择方案一检

2场沟，

验费用少，当〃=1-』=时，选择两种方案检验费用相同.

2病

3-2、(2023届广东省高三四校联考数学)(12分)

每年的3月21日是世界睡眠日，保持身体健康的重要标志之一就是有良好的睡眠，某

机构为了调查参加体育锻炼对睡眠的影响，从辖区内同一年龄层次的常参加体育锻炼和不常

参加体育锻炼的人中，各抽取了100人，通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间(单

位：小时)，并绘制出如下频率分布直方图.

(1)若每周的睡眠时间不少于44小时的列为“睡眠足”，每周的睡眠时间在44小时以下

的列为“睡眠不足”，请根据己知条件完成下列2x2列联表，并依据小概率值a=0.01的独立

性检验，分析“睡眠足”与“常参加体育锻炼”是否有关？

睡眠足睡眠不足总计

常参加体育锻炼人员

不常参加体育锻炼人员

总计

(2)现从常参加体育锻炼的样本人群中按睡眠是否充足来采用分层抽样法抽取8人做进

一步访谈，然后从这8人中随机抽取2人填写调查问卷，记抽取的两人中睡眠足的人数为X,

求X的分布列及数学期望；

(3)用此样本的频率估计总体的概率，从该辖区随机调查常参加体育锻炼的3名人员，

设调查的3人中睡眠足的人数为V,求V的方差.

参考公式：/二证磊湍询‘其中"

a0.100.050.0100.001

xa2.7063.8416.63510.828

(12分)

解：(1)常参加体育锻炼人员“睡眠足”的人数为：

(0.0425x4+0.0625x4+0.0625x4+0.02x4)x100=75,

则“睡眠不足”的人数为25；

不常参加体育锻炼人员“睡眠足”的人数为：

(0.0725x4+0.035x4+0.015x4+0.015x4)=55

则“睡眠不足”的人数为45；

列联表如下：

睡眠足睡眠不足总计

常参加体育锻炼人员7525100

不常参加体育锻炼人员5545100

总计13070200

---------------------2分

零假设〃o；睡眠足与常参加体育锻炼无关

200x(75x45-55x25)2

因为/«8.791>6.6354分

130xl(X)x7()xl(X)

根据小概率值a=0.01的独立性检验，推断“°不成立，所以认为“睡眠足”与“常参加体

育锻炼”有关.

（2）由题意知，常参加体育锻炼的样本人群中睡眠足和睡眠不足的人数比为75:25=3:1,用分

层抽样法抽取8人，其中睡眠足的有6人，睡眠不足的有2人..................6分

从这8人随机抽取2人，则X的所有取值为0,1,2.

汽X—0l1丹x—n—CC-12_3P(X_1}_C^_\5

所以分布列为

X012

P1315

28728

-----------------9分（说明：全对给3分，不全对时求出两个概率给2分）

数学期望风X）=0x看3c153

x-+2x——---------------io分

7282

⑶由题意，该辖区常参加体育锻炼的人群中睡眠足的概率为“753

1004

3

由题意知：）'~6（3,二）-------------------11分

4

319

D(r)=3x-x-=—12分

4416

3-3、（江苏省徐州市2022-2023学年高三期中数学试卷）数学是研究数量、结构、变化、空

间以及信息等概念的一门科学.在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，

也是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具.

（1）为调查大学生喜