中考数学专题突破模型41 单中点、双中点模型（含答案及解析）

模型介绍

有关中点的知识点归纳：①三角形中线平分三角形面积；②直角三角形斜边上的中线等于斜

边的一半；

③等腰三角形“三线合一”的性质；④三角形中位线平行且等于第

三边的一半.

在题干中，出现一个中点时，我们通常想到中线；两个中点时，想到中位线。

模型一、双中点-中位线模型

如图，、、分别为三边中点，连接、、则

DEF4ABCDEDFEF；DF正、BC,DE生、AC,

EF^^AB.

乙

模型二、单中点-“三线合一”模型

如图，在AABC中，AB=AC,D为BC的中点，连接AD,则AD平分NBAC,AD是边

BC上的高，AD是BC边上的中线（AD是角平分线、口线、垂线）.

考点一：单中点一倍长中线模型

【例1].如图，已知4B=12,AB_LBC于B,4BJ_A婷于A,AD=5,BC=TO.点E是CD

C.5D.

乙

》变式训练

【变式1T】.如图，在菱形ABC。中,ZA=110°,E,r分别是边A8和8C的中点，EP

C.50°D.55°

【变式1-2].如图，在△48C中,4B=12,AC=20,求BC边上中线4。的范围为

考点二：双中点中位线模型

【例2].如图，在△ABC中，。是A/3上一点，AD=AC,AELCD,垂足为点E,F是BC

的中点，若8。=16,则七尸的长为.

》变式训练

【变式27].如图，在RtZXABC中，N4=90°,A3=2遥，BC=3,D、£分别是A以

4c的中点，延长8C至点F,使CF=』BC,连接OF、E尸，则石尸的长为.

【变式2-2].如图，在A46C中，BE、b分别为边4C、A3上的高，。为4c的中点,

QMJ_E/于M.求证：FM=EM.

A

考点三：单中点三线合一模型

【例3].如图，在△ABC中，NB=2NC,AD1BC,交BC于。，M为8C的中点，AB=

10,求0M的长.

BDMC

》变式训练

【变式37].在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,M是BC的中点，MN1AC于点、N,则

MN=()

B.V61C.6D.11

【变式3-2].如图，在等腰直角三角形44c中，N45c=90°,。为边AC的中点，过点

D作DE工DF,交AB于点E,交BC于点F,连接EF,若AE=4,尸。=3,求石尸的长.

【变式3-3].已知：如图，△ABC中，AB=AC,CDLAE于点D.求证：ZBAC=2ZDCB.

A

1.如图，在平行四边形ABC。中，CO-2A。，6£LLAZ）于点E,产为0c中点，连接£/、

BF,下列结论：①NABC=2/ABF；②EF=BF；③S四边形力MC=2Sa“、8；®ZCFE=3

NDEF,其中正确的有（）

2.如图，已知E,尸分别为正方形A8C。的边AB,8C的中点，AF与DE交于点、M,。为

引）的中点，则下列结论：

①NAME=90°；②NBAF=NEDB；③/BM0=9（T；®MD=2AM=4EM；⑤AM=Z

3

MF.其中正确结论的是（）

C.©©④⑤D.®@®

3.如图，在RtZ\A8C中，NACB=90°,BC=6,ABH勺垂直平分线交AB于。，交AC于

4.如图在RtZ\/lAC中，NAC8=9()°,BC=3,AC=4,点。是AB的中点，过点。作。石

垂直AB交BC的延长线于点E,则CE的长是.

5.如图./W是半圆。的直径.点C、。在AB上.且人。平分NCA8.已知/W=l(),AC=

6.如图，四边形4BC。中，4B=8,CO=6,NAOB=N8C4=90°,以AO,AC为边作

平行四边形DACE,连接BE,则BE的长为

D

7.如图，正方形A/3C。的边长为6,点石是BC的中点，连接4E与对角线交于点G,

连接CG并延长，交AB于点F,连接OE交C/于点H,连接以下结论：①CRL

DE；②GH=‘；③4Z)=A”；④01=2,其中正确结论的序号是_____.

5HF3

8.如图，BE是△48C的中线，点尸在8E上，延长A/交8C于点。.若BF=3EF,求理

DC

的值.

9.如图，已知在△ABC中，A。是8c边上的中线，E是4。上一点，连接BE并延长交AC

于点F,AF=EF,求证：AC=BE.

10.已知线段AB=8(点4在点8的左侧).

(1)若在直线A8上取一点C,使得AC=3CB,点。是C8的中点，求4。的长;

(2)若M是线段A3的中点，点P是线段A3延长线上任意一点，点N是线段4P的中

点,求曙的值.

11.如图所示，在△ABC中，A。是边8C上的高线，CE是边AB上的中线，QG_LCE于点

G,CD=AE

(1)证明：CG=EG；

(2)若4。=6,笈。=8,求CE的长.

12.如图1,直线AB上有一点P,点M、N分别为线段PA.PB的中点，AB=

…...■♦，,---••••

AMP.VBAC3P

14.图1图2

(1)若点P在线段A8上，且40=8,求线段MN的长度；

(2)若点P在直线AB上运动，试说明线段MN的长度与点P在直线AB上的位置无关；

(3)如图2,若点。为线段4B的中点，点P在线段AB的延长线上，下列结论：①弛里

PC

的值不变；②吗磬的值不变，请选择一个正确的结论并求其值.

PC

13.如图，菱形人BC7)的对角线AC,8。相交于点O,E是人。的中点，点、F,G在上,

EFLAB,0G//EF.

(1)求证：四边形0EFG是矩形；

(2)若AO=10,EF=4,求。£和80的长.

D

14.在菱形ABC。和等边△BG/7中，NABC=60°,尸是。尸的中点.

(1)如图1,点G在BC边上时,

①判断△3Q”的形状，并证明；

②请连接尸从若八B=IO,BG=4,求尸〃的长；

(2)如图2,当点尸在A8的延长线上时，连接尸G、PC.试判断尸C、PG有怎样的关

系，并给予证明.

15.已知RtZXABC中，AC=BC,ZC=90°,。为AB边的中点，ZEDF=90°,NEDF

绕。点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F.

（1）如图1,当NEOF绕。点旋转到。E_L4C于E时，易证S4o以5s△（：£尸与S.A8C的

数量关系为S&DEF+SKEF=；

（2）如图2,当/EOF绕。点旋转到。E和AC不垂直时，上述结论是否成立？若成立,

请给予证明；

（3）如图3,这种情况下，请猜想而、S&CEF、S“5C的数量关系，不需证明.

16.【问题情境】

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图LZkABC中，若AB=12,AC=8,

求4c边上的中线八。的取值范围.

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E,使QE=AZ),连接

8E.请根据小明的方法思考：

(1)由已知和作图能得到△ADCg/XEZM,依据是.

A.SSS

B.SAS

C.AAS

D.HL

(2)由“三角形的三边关系”可求得A。的取值范围是.

解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分

散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.

【初步运用】

如图2,AQ是△A8C的中线，BE交AC于E,交A0于F,RAE=EF.若EF=3,EC

=2,求线段8尸的长.

【灵活运用】

如图3,在8c中，ZA=90°,D为3c中点,DE工DF,DE交AB于点、E,DF交

AC于点F,连接石尸，试猜想线段BE、CF、E产三者之间的等量关系，并证明你的结论.

17.(1)【提出问题】在一次思维训练营上老师给同学们出了这样一个问题：如图①在AABC

中，A。为BC边上的中线，延长A。与AC的平行线8E交于点E.如果AO=5,那么

AK长为多少？小凯同学立刻利用全等三角形解决了老师的问题.请你直接写出AK的长.

解：：斗。是边上的中线，

：,BD=CD,

5L*：AC//BE,

•••NCAO=/E.

rZCAD=ZE

在△A。。和△£03中ZADC=ZEDB,

BD=CD

:.△ADCQXEDB(AAS).

：.AD=DE.

又,・,")=5,

：,AE=.

(2)【猜想证明】如图②，在四边形/WC。中，人点石是的中点，若/IE是

N84Z)的平分线，试猜想线段AB,AD,DC之间的数量关系，并证明你的猜想.

(3)【拓展延伸】如图③，已知某学校内有一块梯形空地，AB//CD,生物小组把它改造

成了花圃，内部正好有两条小路BC,AE,经过测量发现AB=8C=5()米，CO=16米，

△ABE和△/!(：£：正好面积相等，分别种上了玫瑰和郁金香，在△BCO内种了向日葵.现

在准备在地下建一条水管DF，且已知NOFE=N8AE=30°,但由于不便于测量。尸的

长，请你用所学几何知识求出的长，并说明理由.

②③

模型介绍

有关中点的知识点归纳：①三角形中线平分三角形面积；②直角三角形斜边上的中线等于斜

边的一半；

③等腰三角形“三线合一”的性质；④三角形中位线平行且等于第

三边的一半.

在题干中，出现一个中点时，我们通常想到中线；两个中点时，想到中位线。

模型一、双中点-中位线模型

如图，、、分别为三边中点，连接、、则

DEF4ABCDEDFEF；DF正、BC,DE生、AC,

EF^^AB.

乙

模型二、单中点-“三线合一”模型

如图，在AABC中，AB=AC,D为BC的中点，连接AD,则AD平分NBAC,AD是边

BC上的高，AD是BC边上的中线（AD是角平分线、口线、垂线）.

B

考点一：单中点一倍长中线模型

【例1].如图，已知4B=12,AB_LBC于B,4BJ_A婷于A,AD=5,BC=TO.点E是CD

A.6B.—C.5D.—4^1

22

解：延长4E交BC于F,如图所示：

•••A8_L3C,AB±AD,

：,AD//BC,

：・2D=£C,

•・•点E是CD的中点，

:.DE=CE,

在和△/CE中，

rZD=ZC

•DE=CE,

ZAED=ZFEC

：./\ADE^/\FCE(ASA}.

：.AE=FE,AD=CF=5,

:・BF=BC-CF=5,

22=

在RtA/lBF中，AF=VAB+BFV122+52=13，

/.AE=—.故选：B.

22

D

》变式训练

【变式1T】.如图，在菱形A8C£）中，ZA=1IO°,E,尸分别是边AB和8C的中点，EP

C.50°D.55°

解：延长Pb交48的延长线于点G.

在△4G/7与△CP/7中,

2GBF=NPCF

<BF=CF,

NBFG=NCFP

:・4BGF学丛CPF(ASA),

:・GF=PF,

・•・于为PG中点.

又•・•由题可知，NBEP=9()°,

,\EF=1PG(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半),

2

•：pF=lpG(中点定义)，

2

:・EF=PF,

:・NFEP=NEPF,

•；NBEP=NEPC=90’,

J/BEP-/FEP=/EPC-/EPF,即NBEF=ZFPC,

•・•四边形A3c。为菱形，

；・AB=BC,ZABC=1800-ZA=70°,

YE,二分别为AB,BC的中点，

:.BE=BF,ZBEF=ZBFE=—(180°-70°)=55°,

2

易证FE=FG,

；・NFGE=NFEG=55°,

•:AG"CD,

【变式1-2]如图，在△A8C中，AB=12,AC=20,求8C边上中线4D的范围为4V

AD<16.

解：延长A。到E,使得DE=A。，连接8E,如图,

在△AQC和△EZ)8中，

fAD=ED

jZADC=ZEDB,

lcD=BD

:.△ADgAEDB(SAS),

：.BE=AC=2().

〈BE-ABVAECAB+BE,

/.20-12<2AD<12+20,

A4<AD<I6.

故答案为：4<AD<16.

考点二：双中点中位线模型

【例2].如图，在△ABC中，。是A3上一也，AD=AC,AE±CD,垂足为点£,“是8C

的中点，若80=16,则七户的长为8

解：\,AD=AC,AELCD,

・・・E为CO的中点，

乂•・•”是C8的中点，

尸为△BCD的中位线，

:・EF〃BD,EF=&BD,

2

•••80=16,

:・EF=8,

故答案为：8.

A变式训练

【变式27].如图，在RtZXABC中，NB=90°,A3=2“，BC=3,。、E分别是AB、

4c的中点，延长8c至点F,使C/=28C,连接OF、EF,则E尸的长为_旧_.

L

BCF

解：连接。E,CD,

•••。、E分别是48、AC的中点，

：.DE//BC,DE=­BC,

2

：.DE//CF,

-：CF=­BC,

2

:.DE=CF,

・•・四边形OCFE是平行四边形，

:.EF=CD,

•.•在RtaABC中，N6=90°,AB=28c=3,

22=22

：•^=VBD+BC7(VB)+3=V14，

A£F=CD=V14>

故答案为：Vl4.

【变式2-2工如图，在AA8C中，BE、。户分别为边AC、4B上的高，。为8c的中点,

『于M.求证：FM=EM.

•；BE、CF分别为边AC、AB上的高，。为8c的中点,

：,DF=—BC,DE=—BC,

22

:.DF=DE,即△£>£：尸是等腰三角形.

VDM1EF,

・••点M时E产的中点，即FM=EM.

考点三：单中点三线合一模型

【例3].如图，在△48C中，NB=2/C,AQ_L8C,交.BC于D,M为8c的中点，.48=

10,求。W的长.

BDMC

延长CB到M使8N=AB=10,连接AN,AM,

则NN=NN48,

•・•/"(?=NN+N/VAB,N/WC=2NC,

・・・/N=NC,

・・・AN=AC,

*；ADLCN,

:・DN=DC,

・•・BN+BD=CD=DM+CM=DM+BM=BD+2DM,

:.BN=2DM,

A2DA/=IO,

：.DM=5.

》变式训练

【变式3-11在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,M是8C的中点，MN_LAC于点N,则

MN=()

A.看B.V61C.6D.II

解：连接AA，，

•・Y8=AC,点M为8。中点，

：.AM±CM(三线合一)，BM=CM,

f：AB=AC=5,BC=6,

・・・8M=CM=3,

在中，AB=5,BM=3,

，根据勾股定理得：^^=VAB2-BM2=A/52-32=4,

乂%AMC=1MN・AC=』4M・MC,

22

故选：4.

【变式3-2].如图，在等腰直角三角形4BC中，ZABC=90°,。为边AC的中点，过点

。作。EJ_O凡交4B于点E,交BC于点F,连接砂，若AE=4,FC=3,求石尸的长.

解：连接80.

•・,£>是4c中点,

AZABD=ZCBD=45Q,BD=AD=CD,BDA.AC

•••NEOB+N/08=90°，ZFDB+ZCDF=9Q°,

:./EDB=/CDF,

在△4££>和△CFQ中，

rZEBD=ZC

•JBD=CD,

ZEDB=ZCDF

:•△BEDSXCFD(ASA),

:・BE=CF；

,;AB=BC,BE=CF=3,

：.AE=BF=4,

22=5

在中，^=7BE+BF-

【变式3-3］已知：如图，ZkABC中，AB=AC,CQ_LA5于点。.求证：NBAC=2/DCB.

A

A

解：过A作AEJ_8C于E,

/.ZAFB=90°,

・・・NZME+N4=9(T,

'：CDLAB,

••・NOC8+NB=90°,

:,NDCB=NBAE,

,：AB=AC,

；・NB4E=2/8AC,

2

：.ZBAC=2ZDCB.

实战演练

1.如图，在平行四边形ABC。中，CQ=2A。，8E_L4）于点E,r为OC中点，连接EF、

BF,下列结论：®ZABC=2^ABF,®EF=BF；③S四世彩。律c=2%m小®ZCFE=3

NDEF,其中正确的有（）

C.①②③④D.®@®

解：如图，延长EF交BC的延长线于G,取48的中点儿连接F”.

G

:,CF=CB,

:・NCFB=NCBF,

•・・CQ〃AB,

:./CFB=/FBH,

：.NCBF=NFBH,

・・・N48C=2NAB/.故①正确，

\*DE//CG,

:,ND=NFCG,

•:DF=FC,NDFE=4CFG,

:.△DFEmXCFG(ASA),

:,FE=FG,

\'BELAD,

AZAEB=90°,

*：AD//BC,

：・NAEB=NEBG=9U0,

：,BF=EF=FG,故②正确，

■:S^DFE=SACFG,

:.S四边&DEBC=S^EBG=2saBEF,故③正确，

VAH=HB,DF=CF,AB=CD,

：.CF=BH,VCF//BH,

，四边形8C777是平行四边形，

•:CF=BC,

・•・四边形BCFH是菱形,

:,NBFC=NBFH,

•:FE=FB,FH//AD,BEVAD,

:・FH上BE,

，NBFH=NEFH=NDEF,

：・/EFC=3/DEF,故④正确,

故选：c.

2.如图，已知E,尸分别为正方形ABC。的边AB,8c的中点，A尸与。E交于点M,。为

的中点，则下列结论：

①/4ME=90°；②NBAF=NEDB；③/8MO=9(T；®MD=2AM=4EM；⑤AM=Z

3

MF.其中正确结论的是()

A.①③④B.®®©C.®©④⑤D.(D@@

解：在正方形A3CO中，AB=BC=AD,ZABC=ZBAD=9()a,

YE、尸分别为边AB,BC的中点，

：,AE=BF=^BC,

2

在△A8”和△D4£中，

'AE=BF

<ZABC=ZBAD,

AB=AD

：.AABF^ADAE(SAS),

/.^BAF=NAOE,

VZBAF+ZDAF=ZBAD=90c,

ZADE+ZDAF=N6A0=90°,

•••NAM/)=I8O°-(Z4DE+ZDAF)=180°-90°=90°,

・・・NAME=180°・N4MQ=180°-90°=90°,故①正确；

是△AB。的中线，

・••/ADE彳/EDB,

：・/BAFR/EDB,故②错误;

9：ZBAD=90°,AMIDE,

/.XAEDs△AM"△用EA,

.AM=MD=AD=2

..而AMAE

：.AM=2EM,MD=2AM,

：,MD=2AM=4EM,故④正确;

设正方形A8CQ的边长为2〃，则"=〃，

在RtZ\48尸中，^/?=7AB2+BF2=V5fl»

ZBAF=ZMAE,ZABC=ZAME=W,

:AAMESRABF,

.AM=AE

"ABAF

解得AM=2叵a,

:・MF=AF-

55

p

：.AM=^MF,故⑤正确;

3

如图，过点M作MN1A8于N,

则知=鲤=细

“BFABAF'

即班鲤二H;

a2aVsa

9d.

解得渺'=且4,

55

46

:・NB=AB-AN=2a--a=­a,

55

根据勾股定理，8M=后西肃=2叵a,

5

过点M作GH//AI3,过点0作OKVGH于K,

则OK=a--a=^-chMK=^-a-«=-a,

5555

在RtAjWKO中，M。=痴识标攵=1不〃，

根据正方形的性质，BO=2aX，

乙

,：BM1+MO1=(a)2+2=2u2,

55

BO2=(V^a)2=2优

：,BM2+MO2=BO2,

•••△3例0是直角三角形，Z^WO=90°,故③正确;

综上所述，正确的结论有①③④⑤共4个.

BC=6,ABH勺垂直平分线交AB于，交4C于

E,若CO=5,则AE=—

—4—

的垂直平分线交A8于。，交AC于E,

：.AE=BE,

••,k△ABC中，NACB=90°,。是AB的中点,

：.AB=2CD=\0,

又<BC=6,

・"(7=8,

设A£=BE=x,则CE=8-x,

VZZ^C£=90°,

.••r△BCE中，CE2+^=BE2,

即(8-x)2+62=^»

解得人=在

4

・・・T

故答案为：—.

4

AB

4.如图在中，NACB=9()°,BC=3,AC=4,点。是48的中点，过点。作D石

垂直AB交8c的延长线于点E,则CE的长是工.

-6-

解：在RtZXAAC中，日勾股定理得，"*32+42=5,

•・•点。是A8的中点，

.•・BO=2AB=§,

22

：.ABDE=ZACB=W,

•；/B=NB,

:.ABDESABCA,

・

••BE二BD,

BABC

_5

・BE~2

••,二,

53

957

：.CE=BE-BC=—-3=—,

66

故答案为：］.

6

5.如图.A5是半圆。的直径.点。、。在AB上.且AD平分NC4从已知43=10,4C=

6,则AO=4如.

D

AB

解：如图，连接0。交BC于E点，

〈AB为直径，

：.ACA-BC,

又・・・A8=10,AC=6,

•*,BC=VAB2-AC2=g，

「A。平分NCA8,

・,・&=丽，

J。。垂直平分3C,由此可得：0E=-AC=3,DE=OD-OE=5-3=2,

2

又•：BE=±BC=4,

2

在「△〃/）七中，由勾股定理，得8/52=8炉+。E2=20,

在RtAABD中,^=VAB2-BD2=V100-20=4泥.

6.如图，四边形A3CD中，AB=8,CD=6,ZADB=ZBCA=90a,以A。，AC为边作

平行四边形。ACE,连接BE,则8E的长为

解：连接AE交C。于O,连接力M、CM,取AB的中点M,连接OM,如图所示:

•・・A8=8,NAO8=NBCA=90°,

：.DM=CM=—AB=4,

2

•・•四边形DACE是平行四边形，

：.OA=OE,OC=OD=^-CD=3,

2

.\OM是△ABE的中位线，

：.BE=2OM,

\'DM=CM,OC=OU,

；・0M上CD,

•••NMOC=90°,

22=22=

由勾股定理得：^=7OMOCV4-3

:・BE=2OM=2到;

故答案为：277.

7.如图，正方形43C。的边长为6,点E是4C的中点，连接AE与对角线交于点G,

连接CG并延长，交AB于点F,连接。E交。产于点，，连接以下结论：①C/_L

DE；②GH=2；③A/)=4H；④生=2,其中正确结论的序号是①③④.

5HF3

解：•・•四边形人BCO是边长为6的正方形，点E是巾的中点,

：.AB=AD=BC=CD=6,BE=CE=3,

ZDCE=ZABE=90Q,/ABD=NCBD=45°,

：AABE@4DCE(SAS),

:.NCDE=NBAE,DE=AE,

'：AB=BC,ZABG=ZCBG,BG=BG,

•••△A3G0z^C3G(SAS),

：・NBAE=NBCF,

:・/BCF=/CDE,

又•：/CDE+/CED=90°,

：・NBCF+NCED=9C,

AZCHE=90°,

ACF1DE,故①正确；

VCD=6,CE=3,

•••D£=VCD2X：E2=V36+9=375，

S^DCE=—xCD・CE=—XDE*CH,

22

5

•；NCHE=/CBF,/BCF=/ECH,

:AECHSAFCB,

・

••'CH‘二CEr

BCCF

6X3j-

•・Q=还=3匹

5

：.HF=CF-CH=^-^-,

5

.・.gi=2,故④正确；

HF3

如图，过点A作AM_LQ£于点M,

VZCDH+ZADM=90°,NZMM+NAOM=90°,

:./CDH=/DAM,

又・.・4O=C。，NCHO=NAMO=90°,

:.△ADM/ADCH(A4S),

:.CH=DM=^^-'/M=QH=12匹.

55

:.MH=DM=^^-、

5

又・・・4M_L。"

：,AD=AH,故③正确；

,:DE=3低、£>〃=」答.,

5

ME=HE+MH=^^-,

5

'：AMA.DE,CFA.DE,

：.AM//CF,

•.•'GH'=HE.

AMME

375

GH-5"

A12V5-975~，

55

・・.〃G=尘区，故②错误.

5

综上，正确的有：®@④.

故答案为：①③④.

8.如图，8E是△A8C的中线，点尸在BE上，延长A尸交8C于点。.若BF=3EF,求理

DC

的值.

解：如图，・・・8E是△ABC的中线,

・・・8E是△A8C的中线，

.AE_1

"AC~2'

过点E作EG//DC交AD于G,

AZAGE=ZADC,NAEG=NC,

/.△AGES”。。，

.EG=AE=_1

,*DCAC~2'

：・DC=2GE,

・'BF=3卜E,

.EF.1

••■，

BF3

■:GE//BD,

：・/GEF=/FBD,/EGF=/BDF,

:•△GFEs^DFB,

@=世=工

"DBBF予

•.•DC-■2_,

DB3

•.•BD■_3•

DC2

9.如图，已知在△ABC中，4。是BC边上的中线，E是AD上一点，连接8石并延长交AC

于点F,AF=EF,求证：AC=BE.

BD=CD

「ZBDG=ZCDA,IV

DG=DA

:.ABDG%ACDA(SAS),

，8G=AC,NG4Q=/G,

XV4F=EF,

：.ZCAD=ZAEF,

又NBEG=/AEF,

：.ZCAD=ZBEG,

:・/G=/BEG,

：.BG=BE,

：.AC=BE.

10.已知线段48=8(点A在点8的左侧).

(1)若在直线A8上取一点C,使得AC=3C8,点。是C8的中点，求AD的长：

(2)若例是线段A4的中点，点。是线段A8延长线上任意一点，点N是线段4。的中

点，求型幽的值.

MN

解：（1）①当点C在线段AB上时，如图1,

f：AC=3BC,

设4C=x,则AC=3x,

'：AB=AC+BC,

8—3x+x,

・3=2,

；・BC=2,AC=6,

•・•点。是C8的中点，

：.CD=BD=^BC=\,

2

：,AD=AC+CD=6+\=lx

②当点C在线段的延长线上时，如图2,

设BC=x,AC=3BC=3x,

*：AB=AC-BC=2x=^,

.*.x=4,

；・BC=4,AC=12,AB=8,

•・•点。是C8的中点，

:・BD=CD=LBC=2,

2

：,AD=AB+BD=S+2=10；

③当点C在84的延长线上时，明显，此情况不存在;

综上所述,4。的长为7或10；

(2)如图3,TM是线段AB的中点，点N是线段6尸的中点,

：,BM=^AB.BN=TPB,

22

MN=BM+BN=LB+工PB=L(AB+PB)=—AP,

2222

.PM+AN_AP+HN

MNMN

i-------------------1Ii--------1

AMBNp

图3

J_____I____i

BDC

图2

CDB

图1

11.如图所示，在△ABC中，A。是边8c上的高线，CE是边AB上的中线，OG_LCE于点

G,CD=AE

(1)证明：CG=EG；

(2)若AO=6,BD=8,求CE的长.

解：(1)证明：CG=EG.

连接。£,如图.

AZADB=90°,

又E为A8中点,

:,DE=AE=BE,

*：CD=AE,

：.DE=CD,又DG1EC,

：.EG=CG；

(2)过E作于M,如图.

\'AD1BC,EM1.BC,

:.EM〃AD、

•「E为AB中点，

.'EM是△48。的中位线，

：,EM=—AD=3.

2

VAD=6,8。=8,

*：DE=—AB=5,

2

；・DM=4,

*：CD=AE=DE=5,

：.CM=CI}+DM=9,

12.如图I,直线AB上有一点P,点M、N分别为线段PA.PB的中点，AB=

•••♦•-----••••

AMPXBACBP

14.图1图2

(i)若点尸在线段上，且AP=8,求线段MN的长度；

(2)若点尸在直线4B上运动，试说明线段MN的长度与点尸在直线48上的位置无关；

(3)如图2,若点C为线段AB的中点，点P在线段AB的延长线上，下列结论：①电里

PC

的值不变：②的型的值不变，请选择•个正确的结论并求其值.

PC

解：(I)・・・AP=8,点M是人P中点，

：,MP=-AP=4,

2

.\BP=AB-AP=6,

又丁点N是08中点，

：.PN=2PB=3,

2

:,MN=MP+PN=1.

(2)①点P在A3之间；②点。在AA的延长线上；③点。在84的延长线上，均有MN

=­AI3=7.

2

(3)选择②.

设4c=8C=x,PB=y,

①里型=迪=卫(在变化)；

PCx+yX年

②P联=2x+2y=2(定值).

PCx+y

13.如图，菱形ABCO的对角线AC,8。相交于点O,E是AD的中点，点F,G在A5上,

EFYAB,OG//EF.

(1)求证：四边形0E?G是矩形；

(2)若AD=10,EF=4,求0E和8。的长.

(1)证明：•・•四边形4BCO为菱形,

：.OB=OD,

•・•点、E为AD中点,

・・・OE为△A3。的中位线，

：,OE//FG,

*：OG//EF,

・•・四边形OEFG为平行四边形，

9：EFVAB,

：,ZEFG=90°,

••・平行四边形。石FG为矩形；

(2)解：•・•四边形A8CO是菱形，

：.AB=AD=\0,

由(1)得：OE为△AB。的中位线，

：.OE=—AB=—X10=5,

22

•・•点七为A。的中点，

AA£：=—AD=Axi0=5,

22

由(1)可知，四边形。以、G是矩形,

AZ£FG-Z/AFE-Z(7G^-90°，OG-EF-4,FG-OE—5,

・•・^=VAE2-EF2=VB2-42=3,

-AF-FG=10-3-5=2,

B(9=VoG2+BG2=V42+22=2V5.

14.在菱形A8CO和等边aBG尸中，ZABC=60°,户是。户的中点.

(1)如图1,点G在BC边上时，

①判断AB。歹的形状，并证明；

②请连接P8,若48=10,BG=4,求P8的长：

(2)如图2,当点尸在A8的延长线上时，连接PG、PC.试判断PC、PG有怎样的关

系，并给予证明.

解：(1)①如图1,△BO尸是直角三角形，

理由是：•・•四边形A4CO是菱形，N"C=6()0,

•••NO8C=30°,

•••△8G/是等边三角形，

：・NGBF=60°,

，NDBF=NDBC+NGBF=9()°,

/是直角三角形；

②如图2,过A作AH_LB。于“，

VZ^AD-1200,AH-AD,

：.ZBAH=60°,

AZABH=30°,

RtAABH中,AB=10,

・""=5,

A^=V102-52=5V3^

:,BD=2BH=1。®,

•••△8G/是等边三角形，

:・BF=BG=4,

由勾股定理得：。/=NBD2+BF2=4(]0V^)2+42=4316=2^7^，

由①知：△B。尸是直角三角形，且P是D尸的中点，

DF=V79；

2

(2)如图3,PG=y/~3PC,理由是：

延长GP交。A于点E,连接EC,GC,

•・・NA4C=60°,是等边三角形，

：.GF//BC//AD,

:・/EDP=/GFP,

在△DPE和△尸PG中，

fZEDP=ZGFP

DP=PF,

lZDPE=ZFPG

:.△OPE^XFPG(ASA),

:・PE=PG,DE=FG=BG,

•:/CDE=/CBG=60°,CD=CB,

在△CQE和△C8G中，

CD=CB

<ZCDE=ZCBG,

DE=BG

:.△CDE/ACBG(SAS),

：.CE=CG,/DCE=4BCG,

:,NECG=/DCB=TW,

*：PE=PG,

ACPIPG,ZPCG=-X120°=60°,

2

：-PG=^3PC.

15.已知RtZkABC中，AC=BC,ZC=90°,。为AB边的中点，NEDF=90°,ZEDF

绕。点旋转，它的两边分别交4。、C8（或它们的延长线）于E、F.

（1）如图1,当NEDF绕D点旋转到DE1AC于E时，易证SgEF+SMEF与S%RC的

数量关系为_SbDEF+S&CEF=Ls国ABC；

（2）如图2,当/EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，上述结论是否成立？若成立,

请给予证明；

（3）如图3,这种情况下，请猜想5M圮八S&CEF、S"8c的数量关系，不需证明.

解：（1）当/E。尸绕Z）点旋转到OE_LAC时，四边形CED尸是正方形.

设△A3C的边长AC=BC=a,则正方形CEDF的边长为工■&

2

AS^ABC=­612^S正方形（—6/）2=­cr

224

即S^DEF+S^CEF=—S^ABC^

2

故答案为：S^DEF+S^CEF=­S^ABC；

2

（2）（1）中的结论成Z；

讦明：过点D作OM14CDNLBC.W0/DME=/DNF=/MDN=90°.

图2

又•••/C=90°,

：,DM//BC,DN//AC,

,••。为AB边的中点，

由中位线定理可知：DN=2AC,MD=』BC,

22

•：AC=BC,

：・MD=ND,

VZ£DF=90°,

・・・NMDE+NEDN=90°,/NDF+NEDN=90°,

・•・/MDE=ZNDF,

在ADME与/中，

rZDME=ZDNF

<MD=ND,

ZMDE=ZNDF

.•.△DMEqADNF(ASA),

:.SADME=SADNF,

:.S四动形DMCN=S四边形DECF—SaDEF'S^CEF,

由以上可知S四边形/)MCW="ks,M8C,

2

:.SADEF+S«EF=-5AABC.

2

（3）连接OC,

证明：同(2)得：△DEC@/\DBF,ZDCE=ZDBF=\35°,

S^DEF=S五边形DBFEC-.

=S&CFE+S&DBC,

S

_C.AABC

—SACFET-------—,

乙

SAABC

SdDEF-S^CFE=

2

故SdDEF、S