专题123离散型随机变量及其分布列数字特征

专题12.3离散型随机变量及其分布列、数字特征

课标要求核心素养

离敦型随机变量及其分布列：通过具体实例，了解数据分析

离数型随机变量的概念,理解离散型随机变量分布数学运算

列及其数字特征(均值、方差).数学建模

1.离散型随机变量

一般地，对于随机试验样木空间。中的每个样木点3都有唯一的实数X(3)与之对应，我们称X为随机变量.

表示：川大写英文字母表示随机变量，如XYZ；用小写英文字母表示随机变量的取值，如与y,z.

2.离散型随机变量的分布列

一般地，设离散型随机变量X的可能取值为勺,必，…，/，我们称X取每一个值项的概率

P(x=Xi)=Pi，i=1,2,3,1••,n

为X的概率分布列，简称分布列.

与函数的表示方法类似，离散型随机变量的分布列也可以用表格表示：

X打%2・・・Xk・・・

PP1P2•••Pk・・・Pn

3.离散型随机变量的分布列的性质

(Dp,>0,i=1,2,3,…,九：

⑵P1+P2+…+Pn=l.

注意：①列出随机变量的所有可能取值；

②求出随机变量的每一个值发生的概率.

4.离散型随机变量的均值与方差

⑴离散型随机变量的均值的概念

一般地，若离散型随机变量X的概率分布为:

X・.・・・・

XlX2Xk

pPiPz・・・Pk・・・Pn

则称E(X)=XiPi+x2p2+…+xnpn=XiPt

为随机变量X的均值或数学期望.数学期望简称期望.

⑵离散型随机变量的方差的概念

一般地，若离散型随机变量X的概率分布列为：

XXl%2・・・Xk・・・

PPlP2•••Pk•••Pn

则称D(X)=(孙一E(X))2p]+•,•+区—E(x))2p,+.・•+(xn-E(X))2pn=23(x.-£冢)汴

为随机变量X的方差，有时也记为Var(X).称©(X)=/欧为随机变量X的标准差.

【重要结论】

若X是随机变量，丫=。乂+瓦。”是常数，则丫也是随机变量.

⑴利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值.

⑵随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的,利用这一点可以求相关事件的概率.

⑴E(k)=k,D(k)=0,其中々为常数；

⑵E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2DW，a,b为常数,X是随机变量；

⑶E(X[+X2)=£(XD+E(X2)；

(4)D(X)=E(X2)—(E(X))2；

(5)若XIM相互独立，则E(Xi•XQ=E(X])•E(X2)；

⑹若X〜N3，，),贝ijx的均值与方差分别为E(X)=H，D(X)=

L【人教A版选择性必修三7.2离散型随机变量及其分布列例1P59]已知离散型随机变量X的分布列

2

服从两点分布，满足P(X=O)=9P(X=1)，且P(X=0)VP(X=1),则E(X)=()

A.1B.|C.|D.1

3234

解：由题意，P(X=0)+P(X=1)=1,

又P(x=°)=两念，所以P(X=1)+的乐=1,解得P(X=1)=黑I，

又P(X=0)<P(X=1),故P(X=1)=1，P(X=0)=1，

故E(X)=0xP(X=0)+1xP(X=1)=/故选C.

2.【人教A版选择性必修三习题7.3第6题P71】猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，

某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌名相互独立，猜对两首歌曲48歌名的概率分别为0.8,0.5,且猜对

两首歌曲48歌名分别可得奖金为Q元，b元(b>Q>0).规则规定：只有在猜对第一首歌名的情况下，才

有资格猜第二首歌名.

(1)若Q=1000,b=2000,该嘉宾选择先猜4,再猜R,求他得到奖金的分布列及均值；

(2)从得到奖金的均值的角度，该嘉宾应选择怎样的猜歌顺序，才能得更多的奖金？

解：(1)X的可能取值为0,1000,3000,

P(X=0)=1-0.8=0.2,

P(X=1000)=0.8(1-0.5)=0.4,

P(X=3000)=0.8X0.5=0.4,

所以分布列为

X010003000

P0.20.40.4

:.E(X)=0x0.2+1000x0.4+3000x0.4=1600：

(2)设先猜4再猜8得到奖金为X,先猜8,再猜A得到奖金为匕

则X的可能取值为0,Q,a+bfV的可能取值为0,b,Q+氏

P(X=0)=0.2,P(X=a)=0.8x0.5=0.4,P(X=a+b)=0.8x0,5=0.4,

P(Y=0)=0.5,P(Y=b)=0.5x0.2=0.1,P(Y=a+b)=0.8x0.5=0.4,

£,(.¥)=0x0.2+0.4a+0.4(a+b)=0.8a+0.4b,

E(V)=0x0.5+0.1b+0.4(a+b)=0.4a+0.5b,

E(.¥)-E(K)=0.4a-0.1b,

当a=*匕时，即E(X)—E(V)=0,即E(X)=E(Y),先猜力与先猜8一样；

当寸，g|JF(X)-F(r)>0,即E(X)>E(V),应先猜

当时，即E(X)-E(y)<0,即E(X)<E(Y),应先猜5.

考点一离散型随机变量及其分布列

考点归纳

【方法储备】

第一步：确定X的所有可能取值/(i=1,2,3,…)，并明确每个取值代表的意义；

第二步：求出相应的概率P(X=%)=p,(i=1,2,3,…);

第三步：写出分布列或列出分布列；

第四步；根据分布列的性质对结果进行检验.

注意：

⑴利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性.

⑵随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.

2.离散型随机变量分布列的常见类型及解题策略：

⑴与排列组合有关的分布列的求法.可由排列组合、概率知识求出概率,再求出分布列.

⑵与频率分布直方图有关的分布列的求法.可由频率估计概率,再求出分布列.

⑶与互斥事件有关的分布列的求法.弄清互斥事件的关系,利用概率公式求出概率,再列出分布列.

⑷与独立事件（或独立重复试验）有关的分布列的求法.先弄清独立事件的关系，求出各个概率,再列出分布

列.

【典例精讲】

例1.（2023•广东省东莞市月考）甲乙两人进行乒乓球比赛，经过以往的比赛分析，甲乙对联时，若甲发

球，则甲得分的概率为若乙发球，则甲得分的概率为:•该局比赛中，甲乙依次轮换发球（甲先发球），每

人发两球后轮到对方进行发球.

（1）求在前4球中，甲领先的概率；

（2）12球过后，双方战平（6:6）,已知继续对战奇数球后，甲获得胜利（获胜要求至少取得11分并净胜对方

2分及以上）.设净胜分（甲，乙的得分之差）为X,求X的分布列.

解：⑴甲与乙的比分是4:0的概率为沃卜；x；=4

比分是3:1的概率为2x^x^x-^-x^+2x^-x^x^x-^=装,

DOJ。OOOOO

故的4球中，甲领先的概率2=叁+差=黑

（2）依题意，接下来由甲先发球.继续对战奇数球后，甲获得胜利，则甲11:6或11:8获胜，

即在接下来的比赛中，甲乙的比分为5:0或5:2,且最后一球均为甲获胜.

记比分为5:0为事件4则

P⑷=（酊笥+合

记比分为5:2为事件从即前6球中，乙获胜两球，期间甲发球4次，乙发球两次，

P（B）=H-（|）2（I）2（|）2+c曲。+X|X1]X|=>

故甲依题意获胜的概率为会+慕=黑，

1256/5625

X的所有可能取值为3,5,

由条件概率有，P（X=3）=!|,P[X=5）=林

故X的分布列为

X35

5215

P

6767

例2.（2023•江苏省淮安市模拟）2021年9月以来，多地限电的话题备受关注，广东省能源局和广东电网

有限责任公司联合发布《致全省电力用户有序用电、节约用电倡议书》，目的在于引导大家如何有序节约

用电.某市电力公司为了让居民节约用电，采用“阶梯电价”的方法计算电价，每户居民每月用电量不超

过标准用电量》（千瓦时）时，按平价计费，每月用电量超过标准电量双千瓦时）时，超过部分按议价计费.随

机抽取了100户居民月均用电量情况，已知每户居民月均用电量均不超过450度，将数据按照［0,50）,

［50,100）,…，［400,450］分成9组，制成了频率分布直方图（如图所示）.

（1）求直方图中加的值；

（2）如果该市电力公司希望使85%的居民每月均能享受平价电费，请估计每月的用电量标准x（千瓦时）的值;

⑶在用电量不小于350（千瓦时）的居民样本中随机抽取4户，若其中不小于400（千瓦时）的有X户居民，

求X的分布列.

解：(1)由题得50x(0.0008+0.0016+0.0040+0.0052+0.0012+0.0008+0.0004+2m)=L

解得m=0.0030.

（2）月均用电量小于250（千瓦时）的居民家庭所占百分比为

50x(0.0008+0.0016+0.0030+0.0040+0.0052)=0.73,

即73%的居民家庭月均用电量小于250（千瓦时）,

同理，88%的居民月均用电量小于300（千瓦时）,

故250VxV300,贝IJ0.73+(x-250)x0.0030=0.85,

解得x=290（千瓦时）.

（3）在样本中用电量不小于350（千瓦时）的居民共有（0.0008+0.0004）x50x100=6（户）,

用电量不小于400（千瓦时）的居民共有0.0004x50x100=2（户）,

由题意随机变量X可取0,1.2,

£t=±

P(X=0)=

厂15，

*6—8

P(.¥=1)=

P（X=2）=等=£=',

L6

所以随机变量X的分布列为:

X012

182

P

15155

【拓展提升】

练11（2023•福建省厦门市期中）有一个盒子里有1个红球，现将九（九WAT）个黑球放入盒子后，再从盒子

里随机取一球，记取到的红球个数为f个，则随着的增加，下列说法正确的是（）

A.E（f）减小，06）增加B.EG）增加,0（。减小

C.E6）增加，Ct）增加D.E⑷减小，0（。减小

解：由题意可得，取到红球个数服从两点分布8（1,p），其中p二上,

则=p=含随着九的增大，小⑹减小，

如)=占(1-焉)=品，

X

设/(%)二讲正，

求导可得/'(%)=言崇，当XN1时，/,«<0,故/\乃在［L+8)上单调递减，

则当nWN*时，。代)随着九的增大而减少.

故选：D.

练12(2023・湖北省襄阳市联考)若离散型随机变量X的分布列为P(X=k)二初订端汴(1<^<

5,k£Z),则P^VXV,)的值为()

661厂25p.62

AA•五BD.瓦C,-D.-

解：由题可知P(X=k)=m(六一声匕)(1<k<5,keZ),

则由离散型随机变量分布列的性质可得P(X=1)+P(X=2)4-…+P(X=5)

二皿市m+齐1赤+…+后一环?)=皿1-二•)二1，

解得加=等

OZ

故P(|<X<|)=P(X=2)=||X(七—/)=£,

故选A.

练13(2023•辽宁省大连市月考)甲、乙两人进行射击比赛，一局比赛中，先射击的一方最多可射击3次,

一旦未击中目标即停止，然后换另一方射击，一旦未击中目标或两方射击总次数达5次均停止，本局比赛

结束，各方击中目标的次数即为其本局比赛得分.已知甲、乙每次射击击中目标的概率分别为各吟两人的

各次射击是否击中目标相互独立.•局比赛中，若甲先射击.

(1)求甲、乙得分相同的概率；

(2)设乙的得分为X,求X的分布列及数学期望.

解：(1)甲、乙各得。分的概率

甲、乙各得1分的概率匕="，­！=$

甲、乙各得2分的概率P2='x：xJxJxJ=』；

故两人得分相同的概率为Po+Pl+P2=/.

(2)由题意知X的所有可能取值分别为0,1,2,3,4,

因为甲最多射击3次，所以X=0表示乙第一次射击就未击中目标，其概率与甲的得分无美,

故P(X=0)=1x1

同理P(X=1)=1x|x|=|,

X=2时，考虑甲射击3次和少于3次两种情况,

c〜r、22T小2/I21\小2113

P(X=2)=-x-xlx(-)+(-+-x-)x(-)x-=-，

同理"X=3)=|Wx(^+"(才x＞高，P(X=4)/x④丁奈

X的分布列为:

X01234

111371

p

247214448

户〜、1.13.7,1121

E(x)=w+数+而+逐=正？

考点二离散型随机变量的数字特征

【方法储备】

求离散型随机变量的期望与方差：

⑴求解离散型随机变量的分布列，利用离散型随机变量的期望与方差的公式，进行计算；

⑵二项分布的期望、方差可直接利用公式E(X)=np,DW=np(l—P)求解，但要注意模型及公式的正确

性.

【典例精讲】

例3.(2023•山西省阳泉市模拟)2022年是中国共产主义青年团成立100周年，某市团委决定举办一次

共青团史知识抢答竞赛。抢到答题权并回答正确得2分，回答错误对方得2分。共抢答3题，得分高者获

胜.甲、乙两名同学抢答过程中，甲抢到答题权的概率为小甲回答正确的概率为：乙回答正确的概率为,。

各题答题权的抢夺和答题正确率之间均相互独立。

(1)求第一题甲得分高于乙得分的概率：

(2)记甲得分为X,求X的分布列，期望E(X)和方差D(X).

解：(1)设事件力=｛甲抢到答题权并回答正确｝,B=｛乙抢到答题权并回答错误｝

^(-4)=|x|=|,P(F)=|x|=

第一题甲得分高于乙得分的概率P=P(A)+P(8)=1

(2)设甲得分为X,

X可能的取值为0,2,4,6,

由(1)知《~3(3,弓)

p(x=2i)=qG)，(,)3T,i=(u,2,3

X0246

P(X)1251008064

729243243729

E(X)=2np=2x3x^=|,D(X)=4np(l-p)=4x3x|x|=

例4.(2023•辽宁省沈阳市模拟)甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每一局比

赛都没有平局(必须分出胜负)，且每一局甲赢的概率都是p，随机变量X表示最终的比赛局数，若0VpW/

则E(X)的最大值是；D(X)的最值范围是.

解；由已知条件可得，X的所有可能取值为2,3,

P(X=2)=p2+(1—p)2=2p2-2p+1,

P(X=3)=C»(l-p)p+C；p(l-p)(l-p)=-2p2+2p,

故E(X)=2x(2p2-2p+l)+3x(2p-2p2)=-2p2+2p+2=-2(p-1)2+

122

vO<p<-,2<E(X)<—,

故耿X)的最大值是等

•••D(X)=F(X2)-[E(X)]2=4x(2p2-2p+1)+9x(2p-2p2)-(-2p2+2p+2)2,

令t=2p-2P2=-2(p-1)2+1，

V0<p<i,0<t<

JX

...D(X)=4x(1-t)+9t-(t+2)2=-t24-1G(0,1^].

故答案为等(0帚].

【拓展提升】

练21(2023•湖南省长沙市期末)某校为了合理配置校本课程资源，教务部门对学生们进行了问卷调查，

据统计，其中J的学生计划只选择校本课程一，另外弓的学生计划既选择校本课程一又选择校本课程二.每位

44

学生若只选择校本课程一，则记1分;若既选择校本课程一又选择校本课程二，则记2分，假设每位选择校

木课程一的学生是否计划选择校木课程二相互独立，视频率为概率.

(1)从学生中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X,求X的分布列和数学期望；

(2)从学生中随机抽取n人(nGM),记这n人的合计得分恰为n+1分的概率为乙，求+P?+…+乙；

解：(1)由题意知，每位学生计划不选择校本课程二的概率为:，

选择校本课程二的概率为*则X的可能取值为3,4,5,6,

P(X=3)=(厅=总P(X=4)=C；x,x(斤=4,

P(X=5)=魅x(孙x*=系P(X=6)=(*)3=署,

所以X的分布列如下表所示：

X3456

192727

P

64646464

所以E(X)=3x—+4x—+5x—+6x—=—.

''646464644

(2)因为这n人的合计得分为〃+1分，则其中只有1人计划选择校本课程二,

所以P小心・江仁尸=第

设又=P1+「2+…+Pn=鲁+最+[+…+养

则:Sn=1(^1+。2+…+Pn)=/+捺+焉+…+磊'

由两式相减得泡=今+1+焉+…+亮一福■'

日113c4(1-4^)3nli3n.3n+4

即衿=Q3x；_丽=1_»_丽=1_布「

1-4

所以Pl+22+…+乙=g(l-冬甘)•

练22(2023•山东省青岛市入学测试)为弘扬中华优秀传统文化，营造良好的文化氛围，某高中校团委组

织非毕业年级开展了“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中

的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如卜.：

个人赛

奖项组别团体赛获奖

一等奖二等奖三等奖

高一20206050

高二162910550

(I)从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率;

(II)从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以X表小这2人中团体赛获奖的人数，

求X的分布列和数学期望；

（n【）从获奖学生中随机抽取3人，设这3人中来自高一的人数为"来自高二的人数为1试判断。①与D（n）

的大小关系.（结论不要求证明）

解：（I）记”任取1名学生，该生获得一等奖”为事件4

记”任取1名学生，该生为高一学生”为事件8,

P（4）=爵，尸（硒=爵

20

・-350-1

••尸3|月）_P（A）_生_9，

350

（II）由己知可得，X的可能取值为0,1,2

“V八、1001501

,•P(X=°)=150X200=2,

10050,501505

P(¥=1)=T50X200+i50X200=12,

P(X=2)=里区=工

15020012

・•・X的分布列为

17

+2XI2=12;

理扎•••f+n=3,•y=3-n，•••06)=0(3-1])=(-1)2/)6)=。01).

考点三方案与决策问题

【方法储备】

随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一

般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.

⑴当期望不同时，两个随机变量取值水平可见分歧,可对问题作出判断.

⑵若两个随机变量期望相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定

程发，进而进行决策.

⑶实际应用中是方差（期望）大了好还是小了好，要根据这组数据反应的实际问题来判断.

【典例精讲】

例5.（2023•四川省成都市月考）有甲、乙两家公司都需要招聘求职者，这两家公司的聘用信息如表所示.

甲公司乙公司

职位ABCD职位ABCD

月薪/千元5678月薪/千元46810

获得相应职位概率0.40.30.20.1获得相应职位概率0.40.30.20.1

(I)若一人去应聘甲公司的c职位，另一人去应聘乙公司的c职位，记这两人被录用的人数和为n，求n的

分布列.

(2)若小方和小芳分别被甲、乙两家公司录用，求小方月薪高于小芳月薪的概率.

(3)根据甲、乙两家公司的聘用信息，如果你是求职者，你会选择哪•家公司？说明理由.

解：(1)11=0,1,2,

则p(H=0)=[0.82=0.64,p(n=1)=00.2x0.8=0.32,p(y]=2)=C'^0.22=0.04,

所以n的分布列为

n012

p

0.640.320.04

(2)小方月薪高于小芳月薪的概率：P=0.4x0.4+0.3x0.4+0.2x(0.4+0.3)+0.1x(0.4+0.3)=0.49

(3)入职甲公司，月薪的期望为E(X)=0.4x5+0.3x6+0.2x7+0.1x8=6,

方差D(X)=0.4x(5-6)2+0.3X(6-6)2+0.2X(7-6)2+0.1x(8-6)2=1,

入职乙公司，月薪的期望为E(r)=0.4X4+0.3X6+0.2X8+0.1X10=6,

方差D(X)=0.4x(4-6)2+0.3x(6-6)2+0.2x(8-6)2+0.1x(10-6)2=4,

乙公司月薪高于甲公司的概率为P=0.3x0.4+0.2x(0.4+0.3+0.2)+0.1=0.4,

即£(X)=E(Y),D(X)<Z)(y),

即两家公司月薪的期望相同，但甲公司月薪的波动性小，乙公司的月薪波动性更大，且甲公司月薪高于乙

公司的月薪概率更大，故选甲公司.

例6.(2023•浙江省金华市期中)某景区有一个自愿消费的项目，在某特色景点入II处，工作人员会为每

位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带

走照片.若带走照片则需支付20元，没有被带走的照片会收集起来统一销毁.该项目运营一段时间后，统计

出平均只有三成的游客会选择带走照片.为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿的关系做了

市场调研，发现价格与消费意愿有较强的线性相关性.统计出在原有的基础上，价格每下调1元，游客选择

带走照片的概率平均增加0.05.假设平均每天约有5000人参观该特色景点，每张照片的综合成本为5元，

每个游客是否选择带走照片相互独立.

(1)若调整为支付10元就可带走照片，该项F1每天的平均利润比调整前多还是少？

(2)要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价？

解：(1)当收费为20元时，照片被带走的概率为0.3,不被带走的概率为07设每个游客的利涧为八元，则

%是随机变量，其分布列为：

%15-5

P0.30.7

=15x0.3-5x0.7=1(元)，

故5000个游客的平均利润为5000元，

当收费为10元时，照片被带走的概率为0.3+0.05x10=0.8,不被带走的概率为0.2,

设每个游客的利润为丫2元，则%是随机变量，其分布列为：

5-5

Y2

P0.80.2

E“2)=5x0.8-5x0.2=3(元)，

故5000个游客的平均利润为5000x3=15000(元)，

该项目每天的平均利润比调整前多10000元；

⑵设降价%元，则0WXV15,照片被带走的概率为0.3+0.05%,不被带走的概率为0.7-0.05%,

设每个游客的利润为y元，则V是随机变量，其分布列为：

Y15-x-5

P0.3+0.05x0.7—0.05x

E(K)=(15-x)(0.3+0.05%)-5(0.7-0.05x)=0.05[69-(x-7)2],

当为=7时,E(y)有最大值3.45元，

当定价为13元时，日平均利润的最大值为5000x3.45=17250(元).

【拓展提升】

练31(2023•广东省汕头市模拟)从2021年起，全国高考数学加入了新题型多选题，每个小题给出的四

个选择中有多项是正确的，其中回答错误得0分，部分正确得2分，完全正确得5分，小明根据以前做过

的多项选择题统计得到，多选题有两个选项的概率为P，有三个选项的概率为l-p(其中0Vp〈l).

(1)若p=g,小明对某个多项选择题完全不会，决定随机选择一个选项，求小明得2分的概率；

(2)在某个多项选择题中，小明发现选项力正确，选项4错误，下面小明有三种不同策略：

I：选择力,再从剩下的。，。选项中随机选择一个，小明该题的得分为X;

1【:选择/CD,小明该题的得分为V;

in：只选择4小明该题的得分为z；

在P变化时，根据该题得分的期望来帮助小明分析该选择哪个策略.

解：(1)若答案是两个选项，所有的可能有：AB,AC,AD,BC,BD,CO共6种,

则小明只选一个得2分的概率为：=

264

答案是三个选项，所有的可能有：有ABC,ACD,ABD,BCD,共4种，

则小明只选一个得2分的概率为：=

248

故小明得2分的概率为人［=春；

488

(2)选策略/,则小明得分为X的分布列为：

X025

11

P1-P

得分的期望为E(X)-2(l-p)+5x|p-2+2,

选策略n,则小明得分为丫的分布列为：

Y05

PP1-P

得分的期望为E(y)=5(l-p)=5-5p；

选策略HL得分为Z,则E(Z)=2,

当2+gp—(5—5p)=？p-3>0=l>p>

此时E(X)>E(y),E(X)>E(Z),故此时选择策略/,

当ovp<4时，E(X)<E(Y),E(y)最大，此时选择策略n,

当P=K时，策略/,II概率一样，都可以.

练32(2023•江苏省南通市期中)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有4B两类问题，每位参加比赛

的司学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误，则该同学比赛结束；若回答

正确，则从另一类问题中再随机抽取一个问题【可答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.4类问题中的

每个问题回答正确得m(0<mW100,mwN)分，否则得0分；8类问题中的每个问题回答正确得n(0V

nW100,九£N)分，否则得0分.已知学生甲能正确回答人类问题的概率为pi，能正确回答8类问题的概

率为P2,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.

(1)若学生甲先回答人类问题，m=20,九=80,pi=0.8,p2=0.6,记X为学生甲的累计得分，求X的

分布列和数学期望.

(2)从下面的两组条件中选择--组作为己知条件.学生甲应选择先回答哪类问题，使得累计得分的数学期望

最大？并证明你的结论.©m=n,pi>②Pi=P2，m>n.

解：(1)由题意得X的可能取值为0,20,100.

P(X=0)=0.2,

P(.Y=20)=0.8x0.4=0.32,

P(.¥=100)=0.8x0.6=0.48,

分布列如下表：

X020100

p0.20.320.48

则X的数学期望E(X)=0x0.24-20x0.32+100x0.48=54.4.

(2)如果选择条件①.

若甲同学选择先回答人类问题，得到对应的分布列为

Xi0m2m

P1-P1Pi(l-P2)P1P2

=mpi(l+P2).

若甲同学选择先回答B类问题，得到对应的分布列为

X20n2n

Pl-PzP2(1-PI)P1P2

F(X2)=np2(l+p1).

E(XD-E(X2)=mpi(l+P2)-np2(l+Pi)=m(p］一P2)>0,

所以甲同学先回答A类问题的期望大.

(评分标准同上)如果选择条件②.

若甲同学选择先回答A类问题，得到对应的分布列为

X30mm+n

P1—PiPl(l-P2)P1P2

E(X3)=P15+，P2)・

若甲同学选择先回答8类问题，得到对应的分布列为

X《0n机+71

PI-P2P2(/P1)P1P2

£1(^4)=Pz(n+mp。，6(X3)—E(XQ=(zn—n)pi>0,

所以甲同学先回答4类问题的期望大.

1.(2023•湖北省黄冈市月考)设随机变量X〜8(n,p),当正整数n很大，p很小，几p不大时，X的分布

接近泊松分布，即P(X=i),e(teN)现需100个正品元件，该元件的次品率为0.01,若要有95%

以上的概率购得100个正品，则至少需购买的元件个数为(已知;=0.367879…)()

A.100B,101C.102D.103

解：记随机变量X为购买Q个元件后的次品数.

由题意，此时X可看成泊松分布，则P(XWa-100)N0.95,it!t=a-100,

则ELM吧吧?产外型2095,由于0.(m很小，故大致有£：二0六N095,

分别计算1=01,2,3,左边约等于0.37,0.74,0.92,0.98,

故tN3,即a2103.

则至少需购买的元件个数为103.

故选。.

2.(2023•江西省宜春市入学测试)一对夫妻计划进行为期60天的自驾游.已知两人均能驾驶车辆，且约

定：①在任意一天的旅途中，全天只由其中一人驾车，另一人休息；②若前一天由丈夫驾车，则下一天继

续由丈夫驾车的概率为右由妻子驾车的概率为*③妻子不能连续两天驾车.已知第一天夫妻双方驾车的

概率均为今

(1)求在刚开始的三天中，妻子驾车天数的概率分布列和数学期望；

(2)设在第n天时，由丈夫驾车的概率为外，求数列｛pn｝的通项公式.

解：(1)设在刚开始的三天中，妻子驾车的天数为随机变量X,则X可能取值为0,1,2,

则P(X=0)=：x4)2=摄

P(3)=9那G+9洛唱

P(X=2)=lx|=|.

因比X的分布列为：

X012

P1193

32328

所以E(X)=0x*+lx£+2x高二导

(2)设在第71天时，由丈夫驾车的概率为P”.

因为第1天夫妻双方驾车的概率均为提

所以第1天由丈夫驾车的概率Pl=

因为第1天和第2天都由丈夫驾车的概率为x";

第1天由妻子驾车，第2天由丈夫驾车的概率为发

所以第2天由丈夫驾车的概率P2=Jx)+,=：.

4»1O

因为妻子不能连续两天驾车，所以第九天由妻子驾车，

则第八-1天必由丈夫驾车，第71+1天由丈夫驾车，其概率为,P,L1；

若第n天由丈夫驾车，则第n+1天由丈夫驾车的概率为:p〃，

所以第n+1天由丈夫驾车的概定Pn+1=？2),

因比Pn+1-Pn~~1(Pn一Pn-l)(fl之2)«