专题11 抛体运动模型（解析版）

2021届高考物理一轮复习热点题型归纳与变式演练

专题11抛体运动模型

【专题导航】

目录

热点题型一平抛运动规律的基本应用.............................................................1

命题角度一分解思想的应用.................................................................2

命题角度二斜抛运动......................................................................4

命题角度三基本物理量的计算................................................................5

热点题型二有约束条件的平抛运动模型..........................................................6

模型一对着竖直墙壁平抛....................................................................6

模型二斜面上的平抛问题....................................................................8

模型三半圆内的平抛问题..................................................................13

热点题型三平抛运动中临界问题的分析方法.......................................................15

热点题型四生活中的平抛运动（STS问题）.......................................................19

热点题型五类平抛运动问题.....................................................................22

【题型归纳】

热点题型一平抛运动规律的基本应用

【题型要点】1.平抛（或类平抛）运动所涉及物理品的特点

物理量公式决定因

取决于下落高度h和重力加

飞行时间

速度g,与初速度小无关

必由初速度加下落高度/?和重

水平射程X=V()t=V(^—

力加速度g共同决定

与初速度w、卜落高度h和重

落地速度口=q诲+*=N闻+2g/z

力加速度尺有关

方向恒为竖直向下

由重力加速度g和时间间隔

速度改变量

力共同决定

2.关于平抛（或类平抛）运动的两个重要推论

（1）做平抛（或类平抛）运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中4

点和8点所示，即,3=当.

（2）做平抛（或类平抛）运动的物体在任意时刻任意位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为位移与水

平方向的夹角为仇则tana=2tan0.

命题角度一分解思想的应用

【例1】（多选）（2020•山东师大附中二模）以w的速度水平抛出一物体，当其水平分位移与竖直分位移大小相

等时，下列说法正确的是（）

A.此时速度的大小是V5v0B.运动时间是印

C.竖直分速度大小等于水平分速度大小D.运动的位移是要通

【答案】ABD.

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【解析】：物体做平抛运动，根据平抛运动的规律可得水平方向上：X=VOt,竖直方向上：〃=*/2当其水平

分位移与竖直分位移大小相等时，即工=心所以的=a/2解得/=平，故B正确；平抛运动竖直方向上的

速度为力=即=Q2业=2%,故C错误；此时合速度的大小为=2+评=小w,故A正确；由于此时的水平分

O

位移与竖直分位移相等，所以E=wr=w•平=萼，所以此时运动的合位移的大小为后不=叵=晔*

OOo

故D正确.

【规律总结】“化曲为直”思想在平抛运动中的应用

根据运动效果的等效性，利用运动分解的方法，将其转化为我们所熟悉的两个方向上的直线运动：

(1)水平方向的匀速直线运动。

(2)竖直方向的自由落体运动“

【变式1](2020•河北唐山三模)如图所示，虚线是小球由空中某点水平抛出的运动轨迹，4、B为其运动轨

迹上的两点。小球经过A点时，速度大小为10m/s、与竖直方向夹角为60。；它运动到8点时，速度方向与

竖直方向夹角为30。，不计空气阻力，取重力加速度g=IOm/s2＜下列说法中正确的是()

A.小球通过4点的速度为12m/sB.小球的抛出速度为5m/s

C.小球从A点运动到8点的时间为1sD.A、8之间的距离为

【答案】C

【解析】由平抛运动规律知柄o=wsin60。，i，o=£8sin30。，解得w=5小m/s,VB=I()V3m/s,选项A、B错

误；竖直速度师=VACOS60°,vuy=VBCOS30°,VBV=VAV解得f=ls,选项C正确；由汤L%=2g.v,x

=iof，5=正+)巴解得s=5#m,选项D错误。

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命题角度二斜抛运动

【例2】（2。20•河南郑州一模）甲、乙两个同学打乒乓球，某次动作中，甲同学持拍的拍面与水平方向成45。

角，乙同学持拍的拍面与水平方向成30。角，如图所示.设乒乓球击打拍面时速度方向与拍面垂直，且乒乓

球每次击打球拍前、后的速度大小相等，不计空气阻力，则乒乓球击打甲的球拍的速度也与乒乓球击打乙

的球拍的速度。之比为（）

A普B.V2C坐D芈

【答案】C.

【解析工由题可知，乒乓球在甲与乙之间做斜上抛运动，根据斜上抛运动的特点可知，乒乓球在水平方向

的分速度大小保持不变，竖直方向的分速度是不断变化的，由于乒乓球击打拍面时速度与拍面垂直，在甲

以

处：vx=visin45°,在乙处：vr=V2sin30°；所以：?=，由45=坐,故C正确，A、B、D错误.

V202

sin30°

【变式1】,有A、4两小球，8的质量为A的两倍.现将它们以相同速率沿同一方向抛出，不计空气阻力.图

中①为4的运动轨迹，则B的运动轨迹是（）

A.①B.②C.③D.@

【答案】A.

【解析】：由于不计空气阻力，因此小球以相同的速率沿相同的方向抛出，在竖直方向做竖直上抛运动，水

平方向做匀速直线运动，竖直方向的初速度相同，加速度为重力加速度，水平方向的初速度相同，因此两

小球的运动情况相同，即B球的运动轨迹与4球的一样，A正确.

【变式2］（2020•江苏苏州联考）某电视综艺节目中有一个“橄榄球空中击剑”游戏:宝剑从空中8点自由下落，

同时橄榄球从A点以速度ib沿48方向抛出，恰好在空中C

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点击中剑尖，不计空气阻力。关于橄榄球，下列说法正确的是（）

A.在空中运动的加速度大于宝剑下落的加速度

B.若以大于物的速度沿原方向施出，一定能在。点上方击中到尖

C.若以小于ib的速度沿原方向抛出，一定能在C点下方击中剑尖

D.无论以多大速度沿原方向抛出，都能击中剑尖

【答案】B

【解析】：由于橄榄球和宝剑在空中只受重力作用，故加速度均为g,A错误；若要击中剑尖，需满足水平

方向x=wfcos。，竖直方向A/=z^/2+vo/sin^—vwsin^,若以大于w的速度沿原方向抛出，此时，变小，

相遇时宝剑下落的高度减小，则一定能在C点上方击中剑尖，B正确；若以小于no的速度沿原方向抛出，

若速度过小，则橄榄球可能不能运动到宝剑的正下方就落地，故不一定能在C点下方击中剑尖，C、D错误。

命题角度三基本物理量的计算

【例3】（2020•陕西汉中市下学期模拟）如图所示，x轴在水平地面上，y轴在竖直方向.图中画出了从），轴

上沿x轴正方向水平抛出的三个小球〃、方和c的运动轨迹.不计空气阻力，下列说法正确的是（）

A.4和〃的初速度大小之比为明：1B.。和力在空中运动的时间之比为2：1

C.。和。在空中运动的时间之比为明：1D.〃和c的初速度大小之比为2：1

【答案】C

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【解析】根据/=：1：根据u=，可知a和人的初速度大小之比

为I：巾，选项A、B错误.根据尸可知〃和c在空中运动的时间之比为小：1；根据尸^可知〃和

c的初速度大小之比为啦：1，选项C正确，D错误.

【变式】（2020大庆实验中学模拟）水平抛出的小球，，秒末的速度方向与水平方向的夹角为4，/+h秒内位

移方向与水平方向的夹角为仇，亘力加速度为所忽略空气阻力，则小球初速度的大小可表示为（）

.gCto—t）cg（/+2力）

A---------------------------------------K---------------------------------------

,2（tan^2~tan0\）'2（tana-tana）

C-------出-------D——红——

2（tan仇一lan0\）（an仇一tan0\

【答案】A

【解析工/秒末的速度方向与水平方向的夹角为a，则tan4=于=%/+/o秒内位移方向与水平方向的夹

VoVo

*（什/。）2«（叶布）

角为仇，则tan仇士；,；

vo（/+/（＞）2vo

.,,,1八八g（什/0）&

贝han0i-（an6\=Q,~z-----

2vovo

整理得（.8「故先项A正确,B,C,D错误•

2（tan1^°2——：ta）n0Q\）

热点题型二有约束条件的平抛运动模型

模型一对着竖直墙壁平抛

【题型要点】如图所示，水平初速度如不同时，虽然落点不同，但水平位移，，相同，/嗯

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【例1】（2020•安徽淮南市第二次模拟）如图所示，将一小球从水平面MN上方A点以初速度直向右水平抛

出，经过时间力打在前方竖直墙壁上的P点，若将小球从与A点等高的3点以初速度1，2向右水平抛出，经

过时间打落在竖直墙角的N点，不计空气阻力，下列选项中正确的是（）

A.V|>V2B.V1<V2

C.t\>tiD.t\=ti

【答案】A

【解析】小球在竖直方向上为自由落体运动，则根据/=、旧可知，九</2；在水平方向上为匀速直线运动,

根据v=y,因xi>X2，则片>也，故选A.

【变式】（多选）从竖直墙的前方4处，沿40方向水平发射三颗弹丸。、b、c,在墙上留下的弹痕如图所示，

已知Oa=ab=bc,则a、b、c三颗弹丸（不计空气阻力）（）

靖

A.初速度大小之比是加：小：及

B.初速度大小之比是1：也：小

C.从射出至打到墙上过程速度增量之比是1：爽：小

D.从射出至打到墙上过程速度培量之比是#：5：理

【答案】AC

【蟀析】水平发射的弹丸做平抛运动，竖直方向上是自由落体运动，水平方向上是匀速直线运动，又因为

竖直方向上Oa=ab=bc,即Oa：Ob：Oc=\：2：3,由〃=上户可知tb:11：小:小,由水平方向

可得

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:Vb：%=1：点::#:也，故选项A正确，B错误；由Av=gt,可知从射出至打到墙上过程

速度增量之比是1：啦：小，故选项C正确，D错误.

模型二斜面上的平抛问题

【题型要点】⑴顺着斜面平抛（如图）

方法：分解位移.

lan。="，

-r山田2vo/an<9

可求得t=­：—.

（2）对若斜面平抛（如图）

方法：分解速度.

V.x=V0f

丹=g3

vo_vo

tan0=»一"

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可求得尸赢•

【例2】（2020•河南信阳一模）如图所示，•名跳台滑雪运动员经过•段时间的加速滑行后从。点水平飞出，

经过3s落到斜坡上的4点。已知。点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角。=37。，不计空气阻力（sin37。

=0.6,cos37°=0.8,g取lOm/s?）。则运动员落到斜坡上时速度方向与水平方向的夹角e满足（）

A.tan9=1.33B.lan尹=1.44C.tan1.50D.tan9=2.00

【答案】C

【解析】运动员落到斜坡上的瞬间，对其速度进行分解，如图所示。竖直分速度抄=0，与水平分速度vo

的比值•8=募=的触直分位移尸上凡与水平分位移x=v<7的比值tan，可见lan°=2tan。

=1.50,选项C正确。

【变式1］（2020•山西晋城市模拟）如图所示，斜面体4BC固定在水平地面上，斜面的高48为6m,倾角

为。=37。，且。是斜面的中点，在A点和。点分别以相同的初速度水平抛出一个小球，结果两个小球恰能

落在地面上的同一点，则落地点到C点的水平距离为（sin37。=0.6,cos37。=0.8,^=10m/s2,不计空气阻

力）1）

人3BBC坐mD.|m

A-4m

【答案】D

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[:解析】设48的高度为人落地点到。点的距离为x,则有故选D.

【变式2]（2020•河南省八市重点高中联盟第三次模拟）如图所示，小球从斜面的顶端A处以大小为小的初

速度水平抛出，恰好落到斜面底部的8点，且此时的速度大小摩=小小，空气阻力不计，该斜面的倾角为

君（）

A.60°B.45°C.37°D.30°

【答案】B

【解析】根据平行四边形定则知，小球落到底端时竖直分速度为；6=5^F=2VU，

则运动的时间为：，=?=*，

So

设斜面的倾角为仇则有tan6=/=^=l,

解得。=45。，B正确.

【变式3】.（多选）（2020•山东日照市上学期期末）如图，在斜面顶瑞以不同的初速度水平抛出几个小球，所有

小球均落在斜面上.忽略空气阻力，下列说法正确的是（）

二

A.所有小球的竖直位移与水平位移之比都相等

B.小球的运动时间与初速度的平方成正比

C.所有小球落到斜面上时的速度方向都相同

D.小球从抛出到离斜面最远的过程中，竖直位移为总竖直位移的一半

【答案】AC

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【解析】所有小球都落在斜面上，所以所有小球的位移方向相同，设斜面的倾角为"所有小球的竖直位移

与水平位移之比都等于tan"故A正确；小球水平方向做匀速直线运动竖直方向做自由落体运动：

产上产，所以3/；=tan仇解得一=如詈，故B错误：平抛运动在某时刻速度方向与水平方向夹角的

正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍，由于所有小球的位移方向相同，所以所有小球落到斜面上时

的速度方向都相同，故C正确；小球在触直方向的总位移为），=*2=%（誓坦）2=考咆,小球从抛出

到离斜面最远时，速度方向与斜面平行，此时竖直方向的速度V5=i，oian。，位移为）,=芟=喏警，所以小

ZgNg

球从抛出到离斜面最远的过程中，竖直位移为总竖直位移叫，故D错误.

【例3】.（2020•安徽江淮十校三模）如图所示，长木板A8倾斜放置，板面与水平方向的夹角为仇在板的4

端上方P点处，以大小为w的水平初速度向右抛出一个小球，结果小球恰好能垂直打在板面上；现让板绕

A端顺时针转过•个角度到图上虚线的位置，要让球从户点水平抛出后仍能垂直打在板面上，则抛出的水

平速度v（不计空气阻力）（）

B.一定小于VK）

C.可能等丁voD.大丁心小丁心等丁用都有可能

【答案】B

【解析工设板与水平方向的夹角为仇将速度进行分解如图所示,

根据几何关系可得:

vo=VytanO=gt-tan0®

水平方向有：x=vot,则1=

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将②代入①整理可得：i3=g»tan。

让板绕人端顺时针转过一个角度到图上虚线的位置，。减小，由图可知x减小、故初速度W减小，即v<vo,

故B正确，A、C、D错误.

【变式1】.（2020•河北衡水中学高三二调）如图所示，可视为质点的两个小球4、8从坐标为（0,2和）、（0,

加）的两点分别以速度W和%水平抛出，两个小球都能垂直打在倾角为45。的斜面上，由此可得w:VB等于

A乖：1B.2：1C.4：1D.8：1

【答案】A.

【解析】：设抛出点距O点高度为人水平初速度为知末速度的竖直分量为方运动时间为/，小球垂直

击中斜面，末速度与斜面垂直，分解末速度可知：3an45o=i，o,又I，尸的可得：，=?，根据几何关系得:

A=^/2+-77^.联立以上各式可得：〃=铛8呱根据题意，小球人B从坐标分别为（0,22、（0,yo）

的两点平抛，可得〃A=2yo，fin=y（）r故v4:vn=y[JiA:y[fiB=y[2*1,A正确，B、C、D错误.

【变式2]（2019•湖南永州市第二次模拟）如图所示，在斜面顶端。处以速度电水平抛出一小球，经过时间

恰好落在斜面底端c,处.今在c•点正上方与。等高的8处以速度跟水平抛出另一小球，经过时间力恰好落

在斜面的三等分点d处.若不计空气阻力，下列关系式正确的是（）

A—g

A.tu—2lbB.t(l=3lb

c.金D.v=2yb

a

【答案】C

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【解析】。、力两球下降的高度之比为3：1,根据〃=耳可知，/=［看，则公〃两球运动的时间关系为

I小4,故A、B错误；因为小。两球水平位移之比为3：2,由皿=：得：均=乎的,故C正确，D错误.

模型三半圆内的平抛问题

如图所示，由半径和几何关系制约时间%/?=5产，

R±\lR1—/r=vot.

联立两方程可求t.

【例4】（2020•四川宜宾市第二次诊断）如图所示，一竖直圆弧形槽固定于水平地面上，O为圆心，AB为沿

水平方向的直径.若在A点以初速度坐沿A8方向平抛一小球，小球将击中槽壁上的最低点。点；若A点、

小球抛出的同时，在。点以初速度也沿84方向平抛另一相同质量的小球并也能击中。点，已知NCOO=

60°,且不计空气阻力，则（）

A.两小球同时落到。点B.两小球初速度大小之比为加：3

C.两小球落到D点时的速度方向与0。线夹角相等D,两小球落到。点时的瞬时速率之比为吸：I

【答案】B

【解析】由于人、。两点到/）点的竖直高度不同，两球在空中运动时间不同，A选项错误；设圆弧形槽半

径为R,对A点抛出的小球，/C=ViM»M=

第13页，共27页

对C点抛出的小球，/?sin60°=V2/C，屋='-比，；6。则也=哼2^=口：也

=加：3,B选项正确；

设在。点速度方向与。。线夹角为优竖直分速度为叫，水平分速度为闲，则tan〃=¥

由71:V2=m:3

Vyl:Vy2=tA:tc=y（2:1

tan仇枷n仇，C选项错误；

设A、C两点抛出球落到。点时的瞬时速率分别为W、1，C，%=W2+VyW=y^^，vc=7也2+

则以：依=遮：巾，D选项错误.

【变式1】如图所示，薄半球壳AC4的水平直径为AB,C为最低点，半径为R.一个小球从4点以速度小

水平抛出，不计空气阻力.则下列判断正确的是（）

A.只要如足够大，小球可以击中A点

B.w取值不同时，小球落在球壳上的速度方向和水平方向之间的夹角可以相同

C.w取值适当，可以使小球垂直撞击到半球壳上

D.无论vo取何值，小球都不可能垂直撞击到半球壳上

【答案】D

【解析】：小球做平抛运动，竖直方向有位移，w再大也不可能击中8点，A错误；vo不同，小球会落在半

球壳内不同点上，落点和A点的连线与48的夹角/不同，由推论相〃夕=2s〃夕可知，小球落在半球壳的

不同位置上时的速度方向和水平方向之间的夹角6也不相同，若小球垂直撞击到半球壳上，则其速度反向

延长线一定经过半球壳的球心，且该反向延长线与A8的交点为水平位移的中点，而这是不可能的，故B、

C错误，D正确.

第14页，共27页

【变式2］（2020•兰州一中期中）如图所示，在竖直放置的半圆形容器的中心。点分别以水平初速度VHV2

抛出两个小球（可视为质点），最终它们分别落在圆弧上的A点和B点，已知04与03互相垂直，且04与

竖直方向成a角，则两小球初速度之比为（）

奏1

A.tanaB.sinaC.tana\jtanaD.cosa

【答案】C

【解析】：两质点抛出后都做平抛运动，设容器的半径为R,

两质点运动的时间分别为以、以

对A球：/?sina=vi//t，Reosa=5小，

对B球：Rcosa=V2〃3，Rsina=5曲，

联立得：£=ianayjlana,故选C.

热点题型三平抛运动中临界问题的分析方法

【题型要点】在平抛运动中，由于时间由高度决定，水平位移由高度和初速度决定，因而在越过障碍物时，

有可能会出现恰好过去或恰好过不去的临界状态，还会出现运动位移的极值等情况.

1.若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点.

2.若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些“起止

点“往往就是临界点.

3.若题目中有“最大虫最小共至多尔至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值点，这些极值点也往往是

临界点.

【解题方法、规律】求解平抛运动临界问题的一般思路

（1）确定临界状态。

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（2）我出临界状态对应的临界条件。

（3）分解速度或位移。

（4）若有必要，画出临界轨迹。

【例1】（2020•新课标n卷）如图，在摩托车越野赛途中的水平路段前方有一个坑，该坑沿摩托车前进方向

的水平宽度为M，其左边缘，点比右边缘〃点高0.5/?。若摩托车经过a点时的动能为E,它会落到坑内c

点。。与a的水平距离和高度差均为生若经过。点时的动能为民,该摩托车恰能越过坑到达5点。号■等

于（）

A.20B.18C.9.0D.3.0

【答案】B

【解析】有题意可知当在〃点动能为笈时，有&=匕2,根据平抛运动规律有〃=gg彳，力二卬1,当

在〃点时动能为反时，有七二5相片，根据平抛运动规律有g〃二g/；，3人二匕G，联立以I洛式可解

E

得曾=18,故选B。

【变式1］（2015•新课标全国I・18）一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示.水平台面的长和宽分别为h

和心，中间球网高度为人.发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓

球，发射点距台面高度为3〃.不计空气的作用，重力加速度大小为g.若乒乓球的发射速率u在某范围内，通

过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则u的最大取值范围是（）

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A当事《〈Li避B与7'等⑶，

号般VV产嚅近D与舟痣产产

【答案】D

【解析】：发射机无论向哪个方向水平发射，乒乓球都做平抛运动.当速度v最小时，球沿中线恰好过网,

有：

与•=*②

联立①②两式，得片=今，!

当速度I，最大时，球斜向右侧台面两个角发射，有

x=N与+L仁恒2③

3〃=如④

联立③④两式，得电二宗产四岁次

所以使乒乓球落到球网右侧台面上，丫的最大取值范围喏卫嘿"，选项D正确.

【变式2］（2020•福建泉州市第一次质量检查）某游戏装置如图所示，安装在竖直轨道A8上的弹射器可上下

移动，能水平射出速度大小可调节的小弹丸.圆心为。的圆弧槽BCD上开有小孔P,弹丸落到小孔时，速

度只有沿OP方向才能通过小孔，游戏过关，则弹射器在轨道上（）

第17页，共27页

A.位于8点时，只要弹丸射出速度合适就能过关B.只要高于4点，弹丸射出速度合适都能过关

C.只有一个位置，且弹丸以某一速度射出才能过关D.有两个位置，只要弹丸射出速度合适都能过关

【答案】C

【解析】根据平抛运动速度反向延长线过水平位移的中点可知，位于B点时，不管速度多大，弹丸都不可

能沿0P方向从P点射出，故A错误；如图所示，

根据平抛运动速度反向延长线过水平位移的中点可得：EN=3Rl+cosa),则竖直位移PN=ENvana=^R(\

+cosa)tana,弹射器离8点的高度为)，=PN—Rsina=，?(tana-sina),所以只有一个位置，且弹丸以某一

速度射出才能过关，故B、D错误，C正确.

【变式3](2020•福建莆田市5月第二次质检)如图，抛球游戏中，某人将小球水平抛向地面的小桶，结果球

落在小桶的前方.不计空气阻力，为了把小球抛进小桶中，则原地再次水平抛球时，他可以()

A.增大抛出点高度，同时增大初速度B.减小抛出点高度，同时减小初速度

C.保持抛出点高度不变，增大初速度D.保持初速度不变，增大抛出点高度

【答案】B

第18页，共27页

【解析】设小球平抛运动的初速度为助抛出点离桶的高度为，?，水平位移为X,根据〃=gg/2,可得平抛运

动的时间为：/=、旧，则水平位移为：工=幅=%\旧.增大抛出点高度，同时增大初速度，则水平位移X

增大，不会抛进小桶中，故A错误.减小抛出点高度，同时减小初速度，则水平位移x减小，可能会抛进

小桶中，故B正确.保持抛出点高度不变，增大初速度，则水平位移x增大，不会抛进小桶中，改C错误.保

持仞速度不变，增大抛出点高度，则水平位移x增大，不会抛进小桶中，D错误.

热点题型四生活中的平抛运动（STS问题）

【题型要点】平抛运动与日常生活紧密联系，如乒乓球、足球、排球等运动模型，飞镖、射击、

飞机投弹模型等。这些模型经常受到边界条件的制约，如网球是否触网或越界、飞镖是否能中

靶心、飞机投弹是否能命中目标等。解题的关键在于能准确地运用平抛运动的规律分析对应的

运动特征。

【例1】（2019•河北衡水市重点名校四模）在公园里我们经常可以看到大人和小孩都喜欢玩的一种游戏

——“套圈假设某小孩和某大人从同一条竖直线上距离地面不同高度处分别水平抛出两个小圆环，大人抛

出圆环的高度为小孩抛出圆环高度的2.25倍，结果两圆环恰好都套中地面上的同一物体.不计空气阻力，

则大人和小孩所抛出的圆环（）

A.运动时间之比为9：4B.速度变化率之比为4：9

C.水平初速度大小之比为2：3D.落地时速度大小之比为3:2

【答案】C

【解析】平抛运动竖直方向上的运动为自由落体运动，竖直方向上有力=上-，解得，=、伊，设大人和小

孩抛出圆环的高度分别为小、生，圆环的运动时间分别为小⑶则大人和小孩所抛出的圆环运动时间之比

八：/2=4万：4后=也：0=3：2,选项A错误；圆环只受重力作用，其加速度为g,由g=^，可知大人

和小孩所抛出的圆环的速度变化率相等，即速度变化率之比为1：I，选项B错误；设大人和小孩所抛出圆

环的初速度大小分别为四、也，圆环在水平方向上做匀速直线运动，且水平位移相等，由1=出可得大人

和小孩所抛出的圆环的水平初速度大小之比为ri：v2=t2：4=2：3,选项C正确；圆环落地时的竖直速度

vy=gh故大人和小孩所抛出的圆环落地时竖直方向上的速度大小之比为3：2,再结合C选项的分析可知,

大人和小孩所抛出的圆环落地时速度大小之比不是3：2,选项D错误.

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【变式1].（2020•东北三省四市教研联合体模拟）2022年冬奥会瘠在中国举办的消息吸引了大量爱好者投入

到冰雪运动中.若跳台滑雪比赛中运动员在忽略空气阻力的情况卜，在空中的运动可看成平抛运动.运动

员甲以一定的初速度从平台末端水平飞出，轨迹如图1中实线①所示，运动员乙以相同的初速度从同一点

水平飞出，且质量比甲大，则乙运动轨迹应为图中的（

A.①B.②C.③D.④

【答案】A

【解析】平抛运动可分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动，在竖直方向上有），

=/凡在水平方向上有解得>=备F，说明以相同初速度从同一点做平抛运动，其运动轨迹方程

与质量无关，故乙的运动轨迹仍是实线①，故选A.

【变式2】.（2019•浙江稽阳联谊学校3月模拟）如图所示，乒乓球的发球器安装在足够大的水平桌面上，可

绕竖直转轴。。，转动，发球器oz部分水平且与桌面之间的距离为人ox部分的长度也为"重:力加速度为

g.打开开关后，发球器可将乒乓球从4点以初速度向水平发射出去，4期小怩2建诵.设发射出去的所有乒

乓球都能落到桌面上，乒乓球可视为质点，空气阻力不计.若使该发球器绕转轴00,在90。的范围内来回缓

慢地水平转动，持续发射足够长时间后，乒乓球第一次与桌面碰撞区域的面积5是（）

A.27t/rB.3兀力2C.4加D.8山/

【答案】C

【解析】设乒乓球做平抛运动的时间为/，则/=、己.当速度最大时,水平位移具有最大值Xmax=MnaU=2同

X\^=4/?,当速度最小时，水平位移具有最小值Xmin=Vminr=U^X\^=2/7,其中1，皿、Min为W的最

大值和最小值，又因为发球器O'A部分长度也为h,故乒乓球的落点距竖直转轴距离的范围为3/7<A<5/2

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,乒乓球第一次与桌面碰撞区域是一个圆心角为90。的宽度为助的环形带状区域，其面积为S=$兀[（5〃）2

一（3%）2]=4兀/?2,故选项A、B、D错误，C正确.

【变式3】.（2019•江苏苏州市期初调研）一小孩站在岸边向湖面抛石子.a、〃两粒石子先后从同一位置抛出

后，各自运动的轨迹曲线如图3所示，两条曲线的最高点位于同一水平线上，忽略空气阻力的影响.关于。、

人两粒石子的运动情况，下列说法正确的是（）

A.在空中运动的加速度以＞念B.在空中运动的时间/“V%

C.抛出时的初速度%＞监D.入水时的末速度iVVM

【答案】D

【解析】两石子在空中运动的加速度均为g，选项A错误：因两石子从同一位置抛出，它们的最高点又在

同一水平线上，则竖直方向的运匆相同，则在空中的运动时间相同，选项B错误；。的水平射程小，则根据

可知，。的初速度小，选项C错误；根据日2可知,。入水的末速度小，选项D正确.

【变式4】.（2020•山东德州市二模）中国的面食文化博大精深，种类繁多，其中“山西刀削面”堪称天下一绝，

传统的操作手法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里.如图4所示，小面圈刚被削离时距开水

锅的高度为力，与锅沿的水平距离为L锅的半径也为心将削出的小面圈的运动视为平抛运动，且小面圈

都落入锅中，重力加速度为身，则下列关于所有小面圈在空中运动的描述筠用的是（）

A.运动的时间都相同B.速度的变化量都相同

C.落入锅中时，最大速度是最小速度的3倍D.若初速度为小,则L,恭i,o＜3叭偏

【答案】C

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【解析】削出的小面圈的运动可视为平抛运动，在竖直方向有〃=/凡可知所有小面圈在空中运动的时间

都相同，故选项A正确；由△□="可知，所有小面圈在空中运动速度的变化量都相同，故选项B正确；小

面圈都落入锅中的条件为即联立力=,2解得：心\^〈］,，0<3、^,故选项D正确；

小面圈都落入锅中时水平方向的最大速度是最小速度的3倍，但是落入锅中时，最大速度不是最小速度的3

倍，故选项C错误.

热点题型五类平抛运动问题

【例1】.（2020山西五校四联，21）（多选）如图所示，M7.v为一竖直平面内的直角坐标系，），轴沿竖直方向，

04为竖直平面内的光滑抛物线轨道，其方程为（式中x、），的单位均为m）.将穿在此轨道上的光滑小

环从。点由静止释放后，其沿轨道下滑，尸是抛物线轨道上的一点.已知。、尸两点的连线与竖直方向的夹

角为45%取月=10m/s2.下列说法正确的是（）

A.小环沿轨道下滑的过程中机械能增大

B.小环通过P点时的速度大小为10m/s

C.小环从0点到P点的平均速度大小为10m/s

D.小环到达P点时，其速度方向与），轴正向的夹角的正切值成

【答案】BD

【解析】：

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因0A为光滑抛物线轨道，则环下滑过程中只有重力做功，机械能守恒，A项错误.设〃点坐标为（而，力），

因。、P两点的连线与竖直方向的夹角为45。，则白=将，又冲=/在,解得什=）v>=5m,又因小环下滑过

程中机械能守恒，则有〃皿=上昂，解得"=10m/s,因小环由0点到户点做加速运动，则知其从。点到

。点的平均速度小于10m/s,B项正确，C项错误.由平抛运动规律作图，如图所示，则tane=g,D项正

确.

【变式1】.（2020广东华南三校联考，16）横截面为直角三角形的两个相同斜面紧挨在•起，固定在水平面

上，如图所示.它们的竖直边长都是底边长的一半，现有三个小球从左边斜面的顶点以不同的初速度向右

平抛，最后落在斜面上，其落点分别是小氏c•.下列判断正确的是（）

A.图中三个小球比较，落在〃点的小球飞行时间最短

B.图中三个小球比较，落在c•点的小球飞行过程速度变化最大

C.图中三个小球比较，落在c点的小球飞行过程速度变化最快

D.无论小球抛出时初速度多大，落到两个斜面上的瞬时速度都不可能与斜面垂直

【答案】D

【解析工图中三个小球均做平抛运动，可以看出。、〃和c三个小球下落的高度关系为儿》。田，由传

得心力>人又△尸gf,则知庐△%,A、B两项错误.速度变化快慢由加速度决定，因为

=g,则知三个小球飞行过程中速度变化快慢相同，C项错误.由题给条件可以确定小球落在左边斜面上的

瞬时速度不可能垂直于左边斜面，而对右边斜面可假设小球初速度为小时，其落到斜面上的瞬时速度u与

斜面垂直，将y沿水平方向和竖直方向分解，则如=w，叭=gf，且需满足?=¥=tan为右侧斜面倾角），

vy

由几何关系可知tan则如Kg/,而竖直位移y=；g/2,水平位移工=皿=%凡可以看出工=）,,而由题

图可知这一关系不可能存在，则假设不能成立，D项正确.

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【变式2].（多选）如图所示，两个倾角分别为30。，45。的光滑斜面放在同一水平面上，斜面高度相等.有

三个完全相同的小球％c,开始均静止于同一高度处，其中b小球在两斜面之间，a,c两小球在斜面顶

端，两斜面间距大于小球直径.若同时释放，。，b,c小球到达水平面的时间分别为小/2,.若同时沿水

平方向抛出，初速度方向如图所示，到达水平面的时间分别为"，拉'，厅.下列关于时间的关系正确的是（）

A.n>/3>/2B.t\=t\,f2=f2'，h=ti

C.D.会<权，h<h

【答案】ABC

【解析】：由静止群放三个小球时，对a：；勺）。=益溜30°,价,则6=呼.对力：4=物，则对c：

oilIJU4片4^1;11?fLJO

=如1145。区则6=午，所以八2/2.当平抛三个小球时，小球。做平抛运动，小球〃，c在斜面内做类平

抛运动.沿斜面方向的运动同第一种情况，