专题09 圆中的最值模型之瓜豆原理（曲线轨迹）解读与提分精练（北师大版）（解析版）

专题09圆中的最值模型之瓜豆原理（曲线轨迹）

动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该

压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型

的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原

理（动点轨迹为圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

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例题讲模型］

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模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹类）........................1

习题练模型］

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例题讲模型］

模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹类）

模型解读

“主从联动”模型也叫“瓜豆”模型，出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆这类动点问题中，一个动点随另一

个动点的运动而运动，我们把它们分别叫作从动点和主动点，从动点和主动点的轨迹是一致的，即所谓“种''

线得线，“种”圆得圆（而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是）。解决这一类问题通常用到旋

转、全等和相似。

模型证明

模型1、运动轨迹为圆弧

模型1・L如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP,。为AP中点.Q点轨迹是？

分析：如图，连接AO,取A。中点M,任意时刻，均有△AMQS/V1OP,QM：PO=AQ：AP=\：2。

则动点。是以M为圆心，M0为半径的圆。

模型L2.如图，。是圆。上一个动点，A为定点，连接AR作AQ_LAP且AQ=A尸，当点〃在圆O上运动

时，。点轨迹是？

分析：如图，连结A。，作AM_LAO,A。=AM；任意时刻均有△APOgMQM,且MQ=PO。

则动点。是以M为圆心，MQ为半径的圆。

模型1・3.如图，A4PQ是直角三角形，NB4Q=90。且AP=kA。，当P在圆。运动时，Q点轨迹是？

分析：如图，连结AO,作4M_LAO,AO:AM=kA；任意时刻均有△4P0s/\AQM,且相似比为鼠

则动点。是以M为圆心，MQ为半径的圆。

模型14为了便于区分动点P、Q,可称P为“主动点”，Q为“从动点

此类问题的两个必要条件：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（Nm。是定值）；②主动点、从

动点到定点的距离之比是定量（4P：4。是定值）。

则动点。是以〃为圆心，MQ为半径的圆。

特别注意：很多题目中主动点的运动轨迹并未直接给出，这就需要我们掌握一些常见陷圆的轨迹求法。

（1）定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其物迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中）

如图，若尸为动点，但4B=AC=/P,则8、C、尸三点共圆，则动点尸是以4圆心，4R半径的圆或圆弧。

（2）定边对定角（或直角）模型

1）一条定边所对的角始终为直角，则更角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧.

如图，若夕为动点，A8为定值，NA/VA90。，则动点尸是以48为直径的圆或圆弧。

2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧.

如图，若P为动点,AB为定值，N4PB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。

模型运用

例I.（23-24九年级上.山东泰安.期末）如图，点尸（3,4）,：P半径为2,A（2.5,0）,8（5,0）,点W是QP上的

动点，点。是MB的中点，则AC的最大值是（）

【答案】C

【分析】如图，作射线OP交PF，％、“2,连接OM.因为。4=ABCM=CB,所以=所

以当OM最大时，4C最大，可知当M运动到/弘时，OM最大，由此即可解决问题.

【详解】如图，作射线O尸交（P于%、/%,连接

•・,点〃为弦AB的中点，.•.OP_LAB,.•.N4PO=90。，.・•点尸在以为直径的圆上，

以。4为直径作eN,过N点作直线NFLCE于F,交eN于M,则eN上到直线CE上最短的距离是MF,

4

此时，△“€"£即/CE的面积最小，当x=0时，＞'=--.r+4=4,贝IJ£(0,4),

4________,____

当7=0时，-§x+4=0,解得冗=3,则。(3,0),/.OE=4,OC=3\CE=JoC+OE?=用彳=5,

•；O的半径为2,OA=2,\W=NO=1,NC=ON+OC=3+\=4

由等积法可知：口(709石=〈尾即尸.,・雁=空手=?=?

；.MF=NF-NM=?I=?,；.S.,g=；CE整F=；的:,即JCE的面积最小是1,故选：D.

【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，一次函数的性质和等积法等知识点，属性相关性质是解题的

关键.

例3.(2023春•湖北黄石•九年级校考阶段练习)如图，四边形488为正方形，。是以边人。为直径的。0

上一动点，连接研，以BP为边作等边三角形BPQ,连接。Q,若AB=2,则线段。。的最大值为.

【答案】x/5+l/l+x/5

【分析】连接。8、OP,将OB绕点8逆时针旋转60。得到。’8,连接O'Q,通过证明［08/『03Q(SAS),

得出OP=OQ=1,从而得出点。在以点O'为圆心，。'。为半径的圆上运动：则当点O,O',P三点在同

,直线上时，52取最大值，易证△04。为等边三角形，求出00，=。8=逐，即可求出

OQ=O°+O，Q=逐+1.

【详解】解：连接。8、0P,将。8绕点8逆时针旋转60。得到。归，连接。'Q,

•/08绕点B逆时针旋转60。得到O'B,I.OB=OB,=60。，

•・・V8P。为等边三角形，:.PB=QB,NP8Q=60。，

.・.2OBO'-ZPBO'=NPBQ-/PBO',即"BP=40BQ,

OB=O'B

在dOBP和cO'BQ中，｛/O8P=NO'8Q,/.OBSQ(SAS),

PB=QB

VAB=2,四边形A8CD为正方形，I.45=48=2,则O4=OP=1,

.・.OP=O，Q=1,.•.点。在以点。为圆心，00为半径的圆上运动；

・•・当点0,O',P三点在同一直线上时，Q2取最大值，

在Rt04A中，根据勾股定理可得：OB=\/OA2+AB2=>/5，

'：OB=OB,NO8O=60。，，△03。为等边三角形，/.OOf=OB=^,

：.OQ=OO,+O'Q=45+1,故答案为：x/5+l.

【点睛】本题主要考查看瓜豆模型——圆生圆模型，解题的关键是确定从动点Q的运动轨迹，以及熟练掌

握全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质.

例4.（23-24九年级匕河南漂河•期末）如图，已知正方形ABCZ）的边长为3,点P在以点C为圆心，半径

为2的0C上运动，同时点P绕点。按逆时针方向旋转90。，得到点Q,连接3Q,则3Q的最大值是.

【分析】连接CRAQ,以A为圆心，以AQ为半径画圆，延长84交（A于£.根据正方形的性质，旋转的

性质，角的和差关系，全等三角形的判定定理和性质求出A。的长度，根据三角形三边关系确定当点。与点

E重合时，6。取得最大值，最后根据线段的和差关系计算即可.

【详解】解：如下图所示，连接CP,八Q,以A为圆心，以人。为半径画圆，延长交A于K.

*/正方形ABCD的边长为3,C的半径为2,AD=CD=AB=3.ZADC=90°.CP=2.

•・•点尸绕点。按逆时针方向旋转90。，得到点Q,.•.NQDP=9（P，2O=P。.

・•・/ADC-NQDC=NQDP-ZQDC,即AADQ=/CDP.

AADQ^CDP（SAS）.:.AQ=CP=2.AE=AQ=2.

TP是CC上任意一点，，点Q在4上移动.・・.8E=AE+AB=AQ+AB，BQ.

工当点。与点£重合时，BQ取得最大值为应:..•.的=AE+A8=5.故答案为：5.

【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，角的和差关系，全等三角形的判定定理和性质，三角形三

边关系，线段的和差关系，综合应用这些知识点是解题关键.

例5.（2024•江苏南通•校考模拟预测）如图，已知正方形ABCD的边长为2,以点A为圆心，1为半径作

圆，E是。A上的任意一点，将线段DE绕点D顺时针方向旋转90。并缩短到原来的一半，得到线段DF,

连结AF,则AF的最小值是.

E.

D

【答案】V5

【分析】通过证VGOE:V4）E可得G尸=；,由勾股定理可得YG=JAD?+3=5根据三角形三边关

系求AF的最小值即可；

【洋解】解：如图，取CD中点G,连接AE、GF、AG,

VED1DF,AZEDF=90°,'・•四边形ABCD是正方形，AZGDA=90°,

VZGDF+ZFDA=90°,ZFDA+ZADE=90°,AZGDF=ZADE,

,,DGDF\

=NGDF:YADE,

'~DA~~DE~2AE2

又AE=1,解得G尸二：,由勾股定理可得，AG=\lAD2+DG2=\/22+12=45•

由三边的关系可得，AF的最小值为：AG-GF=V5-1；故答案为：

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系，掌握相似三角形的判定

与性质，勾股定理，三角形三边关系是解题的关键.

例6.（2024・江苏无锡•校考一模）如图，线段为。O的直径，点。在AB的延长线上，AA=4,BC=2,

点P是；Q上一动点，连接CP,以CP为斜边在PC的上方作R必PCD,且使NDCP=60。，连接00,贝ijOD

长的最大值为

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、两圆的位置关系、轨迹等知识，如图，作.COE,使得

NCEO=90°,ZECO=60°,则CO=2CE,0E=2百，NOCP=NEC。，由△CO〜推出工二==2,

EDCD

即ED=goP=l（定长），由点E是定点，是定长，推出点D在半径为1的（E上，由此即可解决问题,

解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题.

【详解】解：如图，作一COE,使得/CEO=90。，ZECO=60°,MCO=2CE=4,。£=26，NOCP=NCD,

COCP

:,CP=2CD,—=—=2

CECD

/.ACOP^ACED,，勺=三=2,即七。（定长）,

EDCD2

•・•点E是定点,OE是定长，，点。在半径为1的。E匕

•••ODKOE+QE=2G+I，的最大值为2J5+1,故答案为：2X/5+1.

例7.（23-24九年级上•湖北十堰•阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，04=08=36,点

3

。为平面内一动点，BC=a，连接AC,点M是线段AC上的一点，且满足CM:M4=1:2.当线段O例取

最大值时，点”的坐标是.

【分析】由题意可得点C在以点4为圆心，g为半径的。8上，在K轴的负半轴上取点。上手,oj,连接8D,

分别过C、M作C/J_OA,ME10A,垂足为尸、E,先证AOA/S一"。，得要=丝=],从而当

CDAD3

取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当。，B,C三点共线，且点B在线段。。上时，CD取得

最大值，然后分别证“比。2。几利用相似三角形的性质即可求解.

【详解】解：•・•点C为平面内一动点，8。=：3,.•.点。在以点8为圆心，3;为半径的。8上,

22

在二轴的负半轴I二取点。连接8。，分别过C、M作CF_LO4,MELOA,垂足为F、E,

*.*OA=OB=3\/5>AD=OD+OA=■^叵，/.=—,*.*CM:MA=1:2,----=-­=——，

2AD3AD3AC

OMOA2

'：ZOAM=ZDAC,/.OAM^DAC,：.——=—="，当c。取得最大值时，0M取得最大值，结

CDAD3

合图形可知当。，B,。三点共线，且点3在线段。C上时，CD取得最大值,

2

15

*：OA=OB=3y/5,00二竽，,BD=JOB、5/)2=卜南+=—:.CD=BC+BD=9,

2

=：.OM=6,•・•)'轴J.x轴，CF1OA,ZIX)B=ZDFC=90°,

•:4BD0=/CDF,:・、BDO^_CDF,,即3石T,解得=1^1

CFCD-=-5

ME2厂

・・.嚷=某4,即菽=3,解得ME=S

同理可得，AEM^AFC,

CFAC3—二—5

5

12石述，，当线段0M取最大值时，点M的坐标是6小126、

/.OE=y)0M2-ME2=62-

4~5~

5~5~

‘述12卮

故答案为:~5~"5

【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的•般概念以及坐标与图形，熟练掌握

相似三角形的判定及性质是解题的关键.

例8.（2024•北京海淀•一模）在平面直角坐标系xQv中，对于图形M与图形N给出如下定义：尸为图形N

上任意一点，将图形M绕点尸顺时针旋转90。得到将所有“'组成的图形记作AT,称M'是图形例关

于图形N的“关联图形（1）已知｛-2,0）,5（2,0）,C（2j）,其中eO.①若/=1,请在图中画出点A关

于线段的“关联图形”；②若点A关于线段8C的“关联图形”与坐标轴有公共点，直接写出，的取值范围；

（2）对于平面上一条长度为。的线段和一个半径为「的圆，点S在线段关于圆的“关联图形”上，记点S的纵坐

标的最大值和最小值的差为"，当这条线段和圆的位置变化时，直接写出”的取值范围（用含〃和厂的式子

表示）.

【答案】（1）①见详解;②YT或1N2⑵2扬4公2岳+a

【分析】（1）①根据新定义找出关键点8、C的旋转90。后连接据C即可;②同上理分情况讨论即可;

（2）画出分析图，如图所示，线段AB的长度为〃，圆N的半径为，易得.BNPs,6N0且相似比为］：&,

再移动图形即可求出d：本题考查了旋转的性质，圆的杓关性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上

知识的应用是解题的关键.

【详解】⑴解：①如图所示：线段8。,即为所求;

②如图：当，-2时，点A关于线段4C的“关联图形”与y轴恰有公共点,

・・・此2时，点A关于线段8c的“美联图形”与丁轴有公共点；

当/=T时-，点A关于线段的“关联图形”与“轴恰有公共点,

・••YT时，点A关于线段BC的“关联图形”与x轴有公共点;

综上所述：，4-4或122；

（2）如图，画出分析图，如图所示，线段A6的长度为“，圆N的半径为人

点44分别绕点N顺时针旋转90°得到N八M，分析可知，BN尸sBN©且相似比为1：&,

可得圆的半径均为及「，随意转动图，可得2及"公2"一〃.

习题练模型j

1.（2023•山东泰安•统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，RtZXAOB的一条直角边08在x轴上，点

A的坐标为（一6,4）；Rt二COD中，NCOO=90。，OO=4x/5,/。=30。，连接3C,点M是8。中点，连接AA/.将

Rt二COD以点。为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段AAf的最小值是（）

B.6x/2-4C.2V13-2

【答案】A

【分析】如图所示，延长8A到E,使得AE=A8,连接OE,CE,根据点A的坐标为（-6,4）得到8E=8,再

证明41/是.8C石的中位线，得到解得到OC=4,进一步求出点C化以。为圆心，

半径为4的圆上运动，则当点M在线段。石上时，C石有最小值，即此时AM有最小值，据此求出CE的最

小值，即可得到答案.

【详解】解：如图所示，延长区4到£使得=连接OE,CE,

,/RtZXAOB的一条直角边。8在］轴上，点A的型标为（-6,4）,

・・・A4=4,04=6,AAE=AB=4,AfiE=8,

•・•点M为中点，点4为随中点，・・・4M是的中位线，・・・AM=QCE；

在RJCOQ中，ZCOD=90°,OD=46,ZD=30°,AOC=—OD=4,

3

•・•将Rl二COD以点。为旋转中心按顺时针方向旋转，，点C在以。为圆心，半径为4的圆上运动，

・•・当点M在线段。石上时，CE有最小值，即此时AM有最小值，

•：OENBE;OB?=10,・・・CE的最小值为10-4=6,.・・AM的最小值为3,故选A.

另解：取B。的中点为。（-3.0）,根据中位线可确定MQ=g0C=2,

故点M为以Q为圆心，MQ为半径的圆上运动，故AM的最小值为AQ-MQ=3

【点睛】本题主要考查了•点到圆上一点的最值问题，勾股定理，三角形中位线定理，坐标与图形，含30

度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键.

2.（2023•山东青岛・二模）如图，已知正方形A8C。的边长为4,以点4为圆心，1为半径作圆，E是OA上

的任意一点，将OE绕点。按逆时针旋转90。，得到。尸，连接,4/，则4方的最小值是（）

A.45/3-1B.4夜-1C.46-2D.4旧

【答案】B

【分析】

此题是正方形的性质，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解

本题的关键是确定"•最小时，尸在线段AC上，是一道中等难度的试题.

根据题意先证明VAOEWS产，则B=A£=1,根据三角形三边关系得：AF>AC-CF,即AfNAC—l,

可知：当尸在AC上时，A尸最小，所以由勾股定理可得AC的长，可求得4尸的最小值.

【详解】解：如图，连接尸C，AC,

A

E

B

EDJ.DF，

/.NEDF=ZEDA+ZADF=90°,

••・四边形A8CO是正方形，

：.AD=CD,ZADC=90°,

/.ZAZ)F+ZC£)F=90°.

/.ZEDA-^CDF,

在V4OE和VC。/中，

AD=CD

<ZEDA=ZFDC,

ED=DF

.•…AOE—W(SAS),

.-.CF=AE=1,

:.AF>AC-CF,BPAF>AC-\,

J当尸在AC上时，"最小，

•・•正方形488的边长为4,

/.AC=4叵,

..AF的最小值是4&-1;

故答案为：B.

3.(2024•浙江•一模)如图，在矩形A8CQ中，AB=2,。是线段A8上一动点，点C,。绕点。逆时针旋

转90。得到点E，F,若在运动过程中一£4尸的度数最大值恰好为90。，则8c的长度为.

Ai---------------

RC

【答案】2加

【分析】根据点与圆的位置关系，由/£4尸二90。，得到AN21,根据AN2/W-P4,得到?A27W-1,

结合Q4K2,得到尸NW3,由旋转的性质可得尸MW3,根据可以取最大值3,即可求解,

本题考查了旋转的性质，矩形的性质，点与圆的位置关系，两点之间线段最短，勾股定理，解题的关键是:

根据一£4歹的最大值，得到PMf勺最大值.

【详解】解：作。。中点M,所中点N,分别以M、N为圆心画圆，连接PM、PN,AN,

由旋转的性质，矩形的性质，可得：EF=CD=AB=2,PN=PM,

在旋转的过程中当ANNI时，^EAF<90°,

VAN>PN-PA,：.PN-PA<\,即：PA>PN-\,

•・•点P在线段48上，：,PA<2,：.PN-\<PA<2,即PN«3,

由旋转的性质可得：PM=PN.：.PM<.3,

/.PM“『以取到最大值3时，/丛产的度数最大值恰好为90。,

在RtZ\MPC中，BC=PC7PM2-MC?=S-庚=2叵,

故答案为：2夜.

4.（2024四川成都•校考一模）在菱形488中，ZD=60°,CD=4,以A为圆心2半径作4,交对角线AC

于点E，点”为CA上一动点，连结C尸，点G为C尸中点，连结8G,取8G中点儿连结则AH的

最大值为.

【分析】连接引，GE,BE,取BE中点P,连接〃尸和Q4,由圆的性质和菱形的性质可求巴AE的长,

利用中位线的性质求出的值，再分析出“尸的运动轨迹，利用三角形三边长的性质可得到

人必皿="~+21，再由勾股定理求出R4的长代入即可.

【详解】连接£4,GE,BE,取BE中点P,连接”?和Q4,如图所示：

•・•四边形力88为菱形，/。=60。,。。=4

・•・BC=BA=CD=AD=CA=4

•・•）A半径为2,与AC交于E

/.AE=2,E为C4中点

/.BEA.CA,BE-2y/3

VG,E分别为CF,C4中点

AGE=-FA,GE//FA

2

：.GE=\

•；H,尸分别为BG,BE中点

APH=-GE,PH/IGE

2

・•・PH=-

2

•；P为定点,ABHPSABGE

，，在以尸为圆心，以I长为半径的圆上运动

/.PA-HP<AH<HP+PA

:.AHmax=HP+PA

•・•在用中，PE,BE=百,£4=2

2

:.PA=y/l

G1277+1

AHa=6+3=~T~

故答案为：豆以

2

【点睛】本题为几何综合题，主要考查了菱形的性质，中位线的性质，圆的性质，三角形的定义，勾股定

理等知识点，合理作出辅助线，分析出图形的运动轨迹是解题的关键.

5.（2024.河南郑州•三模）如图，点M是等边三角形A8C边的中点，尸是三角形内一点，连接AP,将

线段AP以A为中心逆时针旋转60。得到线段AQ,连接MQ.若48=4,=1,则MQ的最小值为.

【答案】26-1

【分析】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、圆的有

关定义以及和性质等知识，得到点Q的运动路线是解答的关键.连接?例，AM,将线段40绕着点A逆

时针旋转60。得到线段A",连接Q”,MH,由旋转性质可推导H4室..M4P（SAS）,M4”是等边三角

形，则”。=MP=1,朋”=AM，根据圆的定义可得点。在以“为圆心，1为半径的圆上运动，进而可知

当似、Q、〃共线时，MQ最小，最小值为MH-1,根据等边三角形的性质求得AM值即可求解.

【详解】解：连接PM,AM,将线段40绕着点4逆时针旋转60。得到线段AH,连接。”，MH，

由旋转性质得4Q=AP，AH=AM,NMA"=NPAQ=60。，即N〃AQ=/^42=60。一/(240,

:…HAQ3MAP(SAS),MA"是等边三角形,

AHQ=MP=\,MH=AM,

则点。在以“为圆心，1为半径的圆上运动，

♦:MQNMH-HQ,

・••当M、Q、〃共线时，MQ最小，最小值为MH-1,

•・•点M是等边三角形ABC边55勺中点，AB=4,

AAMLBC,BM=-BC=-AB=2,

22

,AM=>]AB2-BM2=V42-22=2>/3，即"=2有，

:.MQ的最小值为2小-1,

故答案为：2百-1.

6.（23-24九年级上.浙江绍兴•阶段练习）如图，在RtZ^ABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=6,BD=2,

以点8为圆心，4。长为半径作圆.点石为。归上的动点，连结£C,作尸C_LCE,垂足为C,点尸在直线BC

的上方，且满足。尸=；四，连结8尸，点E在：8上运动过程中，W■•存在最大值为.

【答案】36+1

【分析】证明AAC广-△8CE,推出生=£=（，可得A/=l,再根据8户KA尸+A8=l+36，求解即

BECB2

可.

【详解】解：如图2中，连接AF,BE,

.•."CE=NAC8=90°,

ZACF=/BCE,

AC=3,BC=6,CF=、CE,

2

ACCFI

---=---=一,

BCCE2

:NACF:YBCE,

AFAC

~BE='CB=2'

BE=2,

AF=\»

Z4CB=90°,AC=3,BC=6,

/.AB=y/AC^+Cli2=V32+62=3x/5，

BF<AF+AB=\+3y/5,

.•.3厂的最大值为1+36.

故答案为：36+1.

【点睛】小题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问

题.

7.（23-24九年级上•江苏盐城•阶段练习）如图，已知正方形48co的边长为4,以点A为圆心，2为半径

作圆，点石是。A上的任意一点，将点七绕点。按逆时针方向转转90。得到点F,连接AF、。凡则AF+^DF

的最小值是

E

【答案】5

【分析】连接AE,CF,易证△ADEgZXCDF,所以CFnAE,可知F点在以C为圆心，2为半径的圆上运动，

作出运动轨迹，在CD上截取CM=gCF=1,利用相似可得FM=1DF,当A、F、M三点共线时，AM的长

22

度即为AF+；DF的最小值.

VZADE+ZADF=90°,ZADF+ZCDF=90°,

AZADE=ZCDF

在AADE和ACDF中,

DE=DF

ZADE=ZCDF

AD=CD

/.△ADE^ACDF(SAS)

ACF=AE,

・・・F点在以C为圆心，2为半径的圆上运动,

如图所示，以C为圆心，2为半径作圆C,

在CD上截取CM二;CF=1,

..CM_1CF_2_1

•"~""""，

Cb2CD42

.CM_CF

'CF-CD

又*・NFCM=NDCF

/.△CMF^ACFD

.FMCM1H|.1a

DFCF22

，AF+-DF=AF+FM

2

当A、F、M三点共线时，AM的长度即为AF+^DF的最小值，

在R@ADM中，AD=4,DM=CD-CM=3,

:，AM=VAD2+DM2=V42+32=5

故答案为5.

【点睛】本题考杳圆中的线段最俏问题，找到F点的运动轨迹,利用相似将;DF转化为FM是解决本撅的

关键，本题难度较大，属于“阿氏圆''模型，需要较强的几何功底.

8.(23-24九年级上.浙江金华.期中)如图，点4,C,N的坐标分别为(-2,0),(2,0),(4,3),以点C为圆心、2

为半径画点P在OC上运动，连接”，交于点。，点M为线段QP的中点，连接MN,则线段MN

的最小值为.

【答案】3

【分析】本题考查了垂径定理，90。的圆周角所对的弦为直径，勾股定理.熟练掌握弦中点，连接圆心与中

点，明确点M的运动轨迹是解题的关键.

如图，连接CM,由垂径定理可得，NCM4=90。，则M在以AC为直径的］O上运动，如图，连接QV交。O

于当O、M、N三点共线时，线段的值最小，由勾股定理得，ON=5,根据线段MN的最小值为

MN=ON-OM,计算求解即可.

【详解】解：如图，连接CM,

•••点M为线段。P的中点，

・•・由垂径定理可得，NCM4=90。，

••・〃在以AC为直径的：O上运匆，如图，连接。N交〔O于

,当O、M、N三点共线时，线段MN的值最小，

・・・00的半径为34。=2,

由勾股定理得，ON=J(4-0)2+(3-0)2=5,

・•・线段MN的最小值为MN=ON-OW=3,

故答案为：3.

9.(2024.湖北•模拟预测)如图，点A,B的坐标分别为A(2,0),B(0,2)，点C为坐标平面内一点,

8c=1,点M为线段AC的中点，连接OM,则OM的最大值为

【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的。8上，通过画图可知，。在8。与圆8的交点时,

OM最小，在08的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论.

【详解】解：如图，

;点C为坐标平面内一点，BC=l,

・・・。在。。上，且半径为1,

取。。=。4=2,连接CD,

：・0M是CD,

2

当。M最大时，即C。最大，而。，B,。三点共线时，当。在。B的延长线上时，0M最大，

*：OB=OD=2,NBOD=90。,

：.BD=2y/2，

:・CD=2近Q,

：・OM=gcD=e+L

22

BP0M的最大值为&+；；

故答案为

【点睛】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是

解题的关键，也是难点.

10.（24-25九年级」二湖北省直辖县级单位•阶段练习）如图，在矩形A8C。中，AB=4,4。=8,。是矩

形ABCO左侧一点，连接AQ、BQ,且ZAQ8=90。，连接。Q,石为。Q的中点，连接CE,则CE的最大

【答案】6

【分析】此题主要是考查了点到圆的最值，勾股定理，三角形的中位线定理.延长。C到点〃，但b=DC,

取A8中点。，连接尸。并延长交（。于点Q,取CO中点G,连接OG,则OG_LCZ）,利用勾股定理求得。尸

的长，则可得产Q的最大值，利用中位线定理可得8的最大值.

【详解】解：延长DC到点尸，teCF=DC,取A8中点。，作A8为直径的（。，连接广。并延长交：。于

点0，取CO中点G,连接OG,

.,矩形ABC。，

••・四边形水X；。为矩形,

则。G1CQ,

点。为。”中点,

了.EC为△。。厂中位线,

OG=AO=8,GF=CG+CF=2+4=6,

:.OF=dOG'GF2=>/82+62=10»

Q为圆上一动点,

当点Q，。，尸三点共线时，。产=。。+。尸=2+10=12,

此时尸Q=12为最大值,

•.CE的最大值为g尸Q=6.

故答案为：6.

11.（23-24九年级上•内蒙古呼和浩特•期末）如图，在平面直角坐标系工。＞，中，半径为4的8与x轴的正

半轴交于点A,点，是G。上一动点，点C为弦题的中点，直线＞，=3-6与，轴、y轴分别交于点。、E,

【答案】28

【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.也考查了圆周角

定理、相似三角形的判定与性质和•次函数的性质.连接OC，如图，根据垂径定理得到则利用

圆周角定理可判断点。在以Q4为直径的圆上(点0、A除外)，以。4为直径作P,过P点作直线PH1DE

于“，交P于M、N,如图，先利用一次函数解析式确定6),0(8,0),则。七=10,应着证明

1QOQQ

△DPH-二DEO,利用相似比求出户〃=彳，则N〃=二，由于当C点与M点重合时，S最大；C

JJJ

点与N点重合时,S最小，然后计算出NED和S&MED可得结论.

【详解】解：连接OC,如图，

,点。为弦A8的中点,

:.0CLAB,

...ZACO=90°,

•••点C在以。4为直径的圆上(点。、A除外)，

以。4为直径作(P,过/)点作直线于〃，交P于M、N,如图,

当H=0时，y=^x-6=-6,贝ljE(0.-6),

4

当：,，=0时，=x—6=0,解得工=8,则力(8,0),

4

:.DE=yj62+^=10,

v440),

..P(2,0),

:.PD=6,

.NPDH=/EDO,4HD=Z.EOD,

:.'DPHsQEO,

IQ

:.PH.OE=DP:DEtg|JP/y：6=6:10,解得

2«o

：.MH=PH+2=^-,NH=PH-2=^,

।8।28

•■-5V/：O=-X10X-=8，S,=-xlOx—=28,

J4J/A/H，

当C点与用点重合时，s最大；C点与N点重合时，S最小，

.•4CDE面积的最大值为28.

故答案为：28.

3

12.（2024•浙江金华•二模）如图，在正方形A8CO中，AB=4,EC=~,以点E为直角顶点作等腰直角三

角形DEF（D,E,尸为顺时针排列），连接质，则环的长为，AF的最大值为.

【分析】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三

角杉的性质，正方形的性质等等，正确作出辅助线构造相似三角形从而确定点产的运动轨迹是脩题的关键.

如图所示，连接80,先证明/=NC£）E,空=空=0,进而证明一得到

DECD

BF=ECE=3叵,则点尸在以点7?为圆心，为半径的圆上运动，故当AB、尸三等共线，质最大,

22

据此可得答案.

【详解】解：如图所示，连接80,•・•四边形A8CD是正方形，・・・/a）8=45。，BD=叵CD，

•・•是以点E为百角顶点的等腰直角三角形，・・・NEDP=Na）8=45。，DF=42DE，

Z.ABDF=ZCDE=45°-ZBDE,・••丝=竺=a,A.BDF^CDE,

DECD

・・・%=岩=夜，，8/=夜。后=:夜，，点尸在以点8为圆心，|>/2为半径的圆上运动，

・••当AB、产三等共线时，AF最大，，A77的最大值为4+"|加；

故答案为：：五,4+：夜.

22

13.（2023上•江苏连云港•九年级校考阶段练习）已知矩形ABCD,AB=6,BC=4,P为矩形ABCD内一点,

且/4PC=135。，若点P绕点A逆时针旋转90。到点Q,则PQ的最小值为.

•0

AD

BC

【答案】2历-4

【分析】在矩形A8C。外，以边8c为斜边作等腰直角三角形8。。，NAOC=90。，再以点。为圆心，OC

为半径作〔。，点夕为矩形A8CQ内一点，且N3PC=135。，所以点「在【。的劣弧8C上运动，根据点P绕

点A逆时针旋转90。到点。，所以4P=AQ,ZPAQ=90°,则尸。=JA尸+=也从尸,所以当AP最小时,

PQ最小，然后连接AO,交O于尸，此时，廿最小，则PQ也最小，最后过点。作18c于E,OFLAB

交AB延长线于凡利用勾股定理求HlOA,OP的长，从而求得心，即可求解.

【详解】解：在矩形A8CO外，以边为斜边作等腰直.角三角形8OC,N8OC=90。，再以点。为圆心,

0c为半径作O,如图,

Q

•・•点P为矩形ABC。内•点，且N8PC=135。，・••点户在，:，O的劣弧BC上运动,

丁点尸绕点A逆时针旋转90。到点Q,・•・AP=AQ,NPAQ=90。，

:・pQ=JAP2+4Q2=■JiAP：.当A?最小时,P。,连接40,交。于P,此时，A“最小，则P0也最小，

在Rl8OC中，V5C=4,OB=OC,：,OB=OC=2五,，OP=OB=2应，

过点。作OE_LBC于E,/交48延长线于广，/.BE=CE=OE=^BC=2,

♦：OE工BC,OFLAB.：,NOEB=NOFB=90。

•••矩形ABCD：.NA3C=90。Z.NE8/=90。・••四边形OEM正方形，

ABF=OF=OE=2,AF=AB+BF=6+2=^,

在RlVAR)中，由勾股定理，得0A=〃尸+0尸=加+2?=2后,

：.AP=OA-OP=2ji7-2j2AP(2=>/2AP=V2(2717-2>/2)=2737-4,故答案为：2后-4.

【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，圆满的性质，勾股定理，作出辅助圆，得出”取

最小值的点。位置是解题的关键.

14.(2()23・四川宜宾・统考中考真题)如图，M是正方形ABCO边CO的中点，尸是正方形内一点，连接3P,

线段叱以〃为中心逆时针旋转90。得到线段6Q,连接MQ.若A6=4,MP=l,则"Q的最小值为.

【答案】2晒-1

【分析】连接8W,将BM以8中心，逆时针旋转90。，”点的对应点为E,由P的运动轨迹是以M为圆

心，1为半径的半圆，可得：。的运动轨迹是以E为圆心，1为半径的半I员I，再根据“圆外•定点到圆上任'

点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点之间的距离最短“，所以当M、。、E三点共线时，

M。的值最小，可求ME=>fiBM=2加,从而可求解.

【详解】解，如图，连接8M,将6M以4中心，逆时针旋转90。，M点的对应点为E,

P的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的半圆，的运动轨迹是以石为圆心，I为半径的半圆，

如图，当M、Q、E三点共线时，MQ的值最小，

四边形ABCO是正方形，.•.8=人4=3。=4,ZC=90°,

M是CM的中点，「.CM=2,.,BM=y/cM2+BC2=V22+42=25/5»

由旋转得：BM=BE,;.ME=4iBM=2弧，

.♦./WQ=/WE—EQ=2jIU—1,••.M2的值最小为2函—1.故答案