专题 空间位置关系、空间角与空间距离小题（练习及答案）高三数学总复习

高考二轮空间位置关系、空间角与空间距离小题备考练

（原卷+答案）

微专题1空间位置关系

保分题

1.若。和a分别为空间中的直线和平面，则“a_La”是“a垂直a内无数条直线”的

（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.如图，在正方体中，E,尸分别为CG，01G的中点，则下列直线

中与直线台£相交的是（）

A.直线A/B.直线

C.直线GQiD.直线A4

3.[2022.福建福州三模]在底面半径为1的圆柱OOi中，过旋转轴OQ作圆柱的粘截面

ABCD,其中母线A8=2,£是筑的中点，尸是A8的中点，贝山）

A.AE=CF,AC与E尸是共面直线

B.AE^CF,AC与E尸是共面直线

C.AE=CF,AC与E尸是异面直线

D.AE^CF,AC与E尸是异面直线

提分题

例1（1）（多选）若加，户是两条不同的直线，。，口是两个不同的平面，则下列说法正确的

有（）

A.若a〃从加ua,则

B.若a_L£,m_La,fi!jm//p

C.若m〃〃，m_La,则〃_La

D.若加_L〃，加〃a,则〃〃a

（2）在正方体48CO-A用IGQI中，E,E分别为AB,8c的中点，则（

A.平面8/凡1_平面6加。|

B.平面8iEF_L平面A山£>

C.平面/〃平面ApAC

D.平面SEF〃平面4G。

巩固训练1

1.设机、〃是空间中两条不同的直线,。、6是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）

A.若/〃_La,/〃_!_〃，则aJL4

B.若me.a,nuB,a〃£,则in〃n

C.若加〃a,〃〃£,Q_L”，则加_L〃

D.若mua,nuB,m〃B，n//a»则a〃4

2.一几何体的平面展开图如图所示，其中四边形ABC。为正方形，E、尸分别为PB、

PC的中点，在此几何体中，下面结论错误的是（）

A.直线4E与直线8”异面

B.直线AE与直线0尸异面

C.直线EF〃平面出。

D.直线〃平面4BCO

微专题2空间角与距离

保分题

1.在四棱锥P-ABCD中,底面4BCO是矩形，布_L底面ABCD,且PA=AB,AD=3AB,

则尸C与底面ABC。所成角的正切值为（)

A.B.3

3

C.—D.VTo

10

2.正三棱锥S-ABC的底面边长为4,侧棱长为2心，。为棱AC的中点，则异面直线

SD与AB所成角的余弦值为.

3.已知正方体人BCO-AiSGG的棱长为2,点E是AI1的中点，则点八到直线BE

的距离是.

提分题

例2（1）若正四棱柱ABC。-4由6d的底边长为2,N/MB/,E是。。的中点，则

AiG到平面E4C的距离为（）

A.V5B.2V5

厂2同「2同

c丁D--

⑵在长方体ABCD-AyB^Di中，已知BxD与平面ABCD和平面A4出出所成的角均为

30°,则（）

A.AB=2AD

B./W与平面ABiGD所成的角为30。

C.AC=CB\

D.8。与平面88GC所成的角为45。

巩固训练2

1.在四棱锥P-A8C。中，以_L平面A4C。,A8C。是矩形，且"=3,4。=4,以=程，

则平面ABD与平面PBD的夹角为（）

A.30°B.45°

C.60°D.75°

2.如图，在长方体中，AQ=A4|=2,"=3,若E为A4中点，则点/力到平面5EC

的距离为.

参考答案

微专题1空间位置关系

保分题

1.解析：若则〃垂直。内所有直线，因此，命题“若a_La,则。垂直a内无

数条直线”正确，

。垂直。内无数条直线，若这无数条直线中无任何两条直线相交，此时直线。可以在平

面a内，即不能推出。_La,

所以是“。垂直a内无数条直线”的充分不必要条件.

答案：A

2.解析：连接E尸，CD,,A®则)〃C。，EF=1CD1,

由4d〃8C,AiDi=BC,可得四边形4OCB为平行四边形，

：.A\B//CD\,A\B=CD\,

所以律〃4归，EF=\\\B,即四边形为梯形，

故直线4P与直线8E相交，

直线人"与直线BE为异面直线，直线GD与直线BE为异面直线，直线AAi与直线

8E为异面直线.

答案：A

3.解析：由题意，圆柱的轴截面A8CQ为边长为2的正方形，

E是血的中点，尸是A8的中点，

所以ACu平面A3c,E*与平面ABC相交.且与AC无交点.

所以AC与E尸是异面直线；

又b=，12+22=V5,AE=Jz2+(a)2=述，麻以AEWCF.

答案：D

提分题

［例1］解析：(1)对于A,由面面平行性质：两平面平行，在一平面内的任意直线与另

一平面平行.而a〃6，〃?ua,故〃?〃夕，A正确；对于B,a邛,/n±a,此时机有可能在

平面夕内，故不能得到〃B错误；对于C,由于加〃〃，则〃可经平移到与加重合的位

置而平移不改变直线与平面是否垂直，w±«,故"_La,C正确；对于D,当机〃a,/冰a,

过/〃上一点作直线〃_La,此时不能得到〃〃a,D错误.综上，AC正确.

(2)如图，在正方体ABCD-A/IGQI中，易知8OJ_AC又E,尸分别为AB,BC的中点,

所以£7"MC,所以4O_L£F.由正方体的性质，知。。।_L平面A8CD又上/七平面A8C。，所

以OOi_LEE因为BOnDDi=O,所以EEL平面BDD1.因为£7七平面用石凡所以平面BiEF上

平面8QOi,A正确.假设平面BiE/LL平面48D因为平面BiEF工平面8。。”且平面4山。0

平面3DD］=8D,所以BD上平面5EE在正方体/WCQ-AiOCQ中，显然BD与平面B\EF

不垂直，B错误.设4A与野E的延长线相交于点P,所以平面小石尸与平面44C不平行，

C错误.连接48,BiC,易证平面ACBi〃平面AC。.因为平面ACS与平面8万r相交，

所以平面与平面4G。不可能平行，D错误.故选A.

答案：(l)AC(2)A

［巩固训练I］

1.解析：对于A选项，设直线/"、〃的方向向量分别为〃、V,

因为机_La,〃_1_夕，则平面a的一个法向量为〃，平面外的一个法向量为。，

因为小_!_〃，则故a邛,A对；

对于B选项，若〃?ua,nuB,。〃£,则加、〃平行或异面，B错；

对于C选项，若〃?〃a,〃〃人a邛,则〃八〃的位置关系不确定，C错；

对于D选项，若"7Ua,〃u£,"7〃4，〃〃a,则a、。平行或相交，D错.

答案：A

2.

解析：由题意知：该几何体是底面为正方形的四棱维，如图所示，连接AE,EF,BF,

DF,易得EF〃8C,BC//AD,则E尸〃A。，故EF,A。共面，贝1AE,。尸共面，故B错误;

又平面AEFD,阴平面AE&Z尸不在直线AE上，则直线AE与直线3〃异面，A正确;

由EF〃AD,由平面玄。,4。（=平面PAD,则直线E产〃平面附/XC正确；EFQ平面ABCD,

AQu平面48c。，则直线后户〃平面ABCQ,D正确.

答案：B

微专题2空间角与距离

保分题

1.解析：因为以_1"底面ABC。，ACu底面4BCQ,

所以B4_LAC,则PC与底面A8C。所成角为NPC4.

设A8=l,则B4=I,AO=3,AC=VTO.

所以由/也4=鞋=*

答案：C

2.解析：取8c的中点£,连接SE,OE,则NSO£（或其补角）为异面直线SO与48所

成的角,

由题意知SE=SD=712-4=2&,DE=2,

所以cos/S/»=悬

答案：T4

0),BE=(0,1,2).

故点A到直线BE的距离J=|AB|sin〃=2乂警=乎,

答案:"

提分题

［例2］解析：⑴由棱柱的几何性质可知，A£〃AC,

又4GQ平面E4C.人Cu平面E4C.

则A\C\//平面EAC,

所以点4到平面EAC的距离即为直线4G到平面EAC的距离,

因为正四棱柱ABCO-A/iGD的底边长为2,

则AA］=2g,

以点人为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，

则4(0,0,0),4(0,0,2V3),C(2,2,0),E(0,2,V3),

所以屈=((),2,呵,AC=(2,2,0),AA7=(0,0,2次),

设平面AEC的法向量为〃=(x,)，，z),

iji.ifn-AE=0n(2y+V3z=0

(n-AC=0，Pl(2x+2y=0，

令则)，=-V5,z=2,

故〃=(V5,—V3,2),

所以点Ai到平面EAC的距离4=里生=~^^=喀，

|n|V3+3+45

故4,Ci到平面EAC的距离为粤.

(2)连接80,则/小。&NOBiA分别是用。与平面ABC。和平面AA田田所成的角，

所以NBQ5=N£>6i4=30°.所以BD=与DB\,AD=，DB].设BBi=a,则DBi

=2a,AD=BC=a,BD=Wa,所以=VBD2-AD2=V2a,AC=BD=V3a,CBi=

JBB：+8c2=&”.所以AB=gD,AC^CB1,因此A,C项错误.易知NQBC是B。

与平面BBCC所成的角，且为锐角.因为DC=&a,DB】=2a,CBI=V5G,所以DC?+CB：

=DB：,所以DCLCBi.在RlADCBi中,sinND8c所以ND81c=45。,即3D

DBi2

与平面88CC所成的角为45。，因此D项正确.因为AO_L平面ABSAi,AOu平面ABC。，

所以平面A8iGQ_L平面4BB1/11,所以NB1A/3是/W与平面ABiG。所成的角.在RlAA^Bi

中，AB=yfia,&;]=〃，所以tanZB|AB=^=—^―,所以N8|A4W30。，即A4与平面

ABC]。所成的角不是30。，因此B项错误.故选D.

答案：(1)C(2)D

[巩固训练2]

1.解析：因为用_L平面A8cO,44C。是矩形，所以A3,4。，4P两两垂直，

故以4为坐标原点，A8,AD,AP为x轴，)轴，z轴建立空间直角坐标系，

又AB=3,AO=4,朋="，

所以40,0,0),5(3,0,0),ZX0,4,0),P(0,0,乎)，

因为以_1_平面4BCQ,所以平面4B。的一个法向量为〃=(0,0,1),

而而=(3,(),一?)，而=(-3,4,0),

设平面PB。的法向