中考数学模拟题《代数几何综合问题》专项检测题

中考数学模拟题《代数几何综合问题》专项检测题(附答案)

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两圆一中垂模型讲解

【模型】已知点A,B是平面内两点，再找一点C,使得△ABC为等腰三角形.

若AB=AClf则点C在以点A为圆心，线段AB的长为半径的圆上

若BA=BC,,则点C在以点B为圆心，线段AB的长为半径的圆上

若CA=CB则点C在线段AB的垂直平分线PQ上.以上简称“两圆一中垂”.

，・两圆一中垂”上的点能构成等腰三角形，但是要除去原有的点A,B,还要除去因共线无法构成三角形的点M,

N以及线段AB中点E(共除去5个点)，需要注意细节.

典例秒杀

典例1

如图平面直角坐标系中已知A(22)B(40)若在x轴上取点C使.△/为等腰三角形，则满足条件的点C

有().

yt

0BX

A.I个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【解析】•・•点AB的坐标分别为(22)B(40)：.AB=2y/2.

①若AC=AB以A为圆心AB长为半径画弧与x轴有2个交点(含B点)即(00)(40)(舍去)

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・•・满足AABC是等腰三角形的点C有1个

②若BC=AB以B为圆心BA长为半径画弧与X轴有2个交点，即满足AABC是等腰三角形的点C有2个

③若CA=CB，作线段AB的垂直平分线与x轴有1个交点,即满足AABC是等腰三角形的点C有1个.

综上所述，满足条件的点C共有4个.

故选D.

典例2

如图，已知点A(I,2)是反比例函数y=£图象上的一点，连接AO并延长交双曲线的另一分文于点B,P是x

轴上一动点.若aPAB是等腰三角形，则点P的坐标是—.

【答案】(-30)或(50)或(30)或(-50)

【解析】•・•反比例函数y=:的图象关于原点对称

:.A,B两点关于点。对称

・・・0为AB的中点且B(-l・2)

・••当△/MB为等腰三角形时，只有.PA=48或PB=71B两种情况.

设点P的坐标为(x0)

VA(12)B(-l-2)

•••AB=V[l-(-l)]2+[2-(-2)]2=2>/5,

PA=yj(x-l)2+22,PB=V(x+l)2+(-2)2

故当PA=AB时V(x-l)2+22=2追，解得x=-3或x=5此时P点坐标为(-30)或(50);

当PB=AB时+I/+(-2)2=2区，解得x=3或x=-5此时P点坐标为(30)或(-50).

综上可知点P的坐标为(-30)或(50)或(30)或(-50).

典例3

如图，抛物线y=好一2%-3与y轴交于点C,点D的坐标为(0,-1),抛物线在第四象限内有一点P,若

△PCD是以CD为底边的等腰二角形，则点P的横坐标为().

A.l+y/2B.1-V2

C.V2-10.1-应或1+企

【答案】A

【解析】令x=0则y=3

・••点C的坐标为((0,-3).

•・•点D的坐标为(0-1)

，线段CD的中点的纵坐标为1x(-l-3)=-2.

•••△PCD是以CD为底边的等腰三角形

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••・点P只能在线段CD的垂直平分线上

.•.点P的纵坐标为-2

:.x2—2%—3=-2,

解得无1=1-V2,X2=14-^.

•・•点P在第四象限

・••点P的横坐标为1+&.

故选A.

小试牛刀

1.(★★☆☆☆)如图在平面直角坐标系中AB=2。&在坐标轴上取一点P,使得△力“为等腰三角形，则符

合条件的点P共有().

A.4个B.5个C6个

☆☆攻口图点A的坐标是(22)若点P在x轴上且AAPO是等腰三角形，则点P的坐标不可能是().

A.(40)B.(l0)

C.(一2痣'0)D.(20)

3.伊十☆☆☆汜知直线y=-V5x+3与坐标轴分别交于点AB点P在抛物线y=-1。-冉y+4上则能

使AABP为等腰三角形的点P有().

A.3个B.4个C.5个D.6个

直击中考

1.如图所示，一次函数产kx+b的图象与反比例函数y=7的图象交于A(34)B(n-1)两点

(1)求反比例函数和一次函数的解析式.

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(2点x轴上存在一点C,使△40C为等腰三角形，求此时点C的坐标.

(3底艮据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围.

2.已知抛物线y=ax2+hx+c(a*0)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点。(0,-3),顶

点D的坐标为((1，-4).

⑴求抛物线的解析式.

(2在y轴上找一点E,使得.△欧。为等腰三角形，请直接写出点E的坐标.

两垂一圆模型讲解

【模型】平面内有两点A,B,再找一点C,使得△48c为直角三角形.

【结论】分类讨论：

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若4力=90。,则点C在过点A且垂直于AB的直线上（除点A外）；

若LB=90。,则点C在过点B旦垂直于AB的直线上（除点B外）；

若a=90。,则点C在以AB为直径的圆上（除点AB外）以上简称炳垂一圆”.

“两垂一圆”上的点能构成直角三角形，但要除去A,B两点.

典例秒杀

典例1

如图已知点A（-80）B（20）点C在直线y=-：X+4上，则使△力8c是直角三角形的点C的个数为（）.

典例2

已知抛物线y二必-9与x轴交于A,B两点，点P在函数y==的图象上，若△P/1B为直角三角形，则满足

条件的点P的个数为（）.

A.2B.3C.4D.6

【答案】D

【解析】令％2-9=0,解得Xi=3,X2=-3,

不妨设A（-30）B（30）

若AB为斜边，则以O为圆心，OA长为半径作圆，如图1.

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圆。与y==的图象的交点即为满足条件的点，这样的点有4个，分别是PltP2,P3,P4；

若以AB为一直角边，则分别过A,B作X轴的垂线，交y=4的图象于点P6,P5,交点即为满足条件的点，

如图2,这样的点有2个.

综上所述，满足条件的点P有6个.

故选D.

典例3

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象的对称轴为经过点(I,0)的直线，其图象与x轴

交于点A,B,且过点C(0,-3),,其顶点为D,在y轴上有一点P1点P与点C不重合),使得△4PD是以点P为

直角顶点的直角三角形，则点P的坐标为().

A.(03)8.(0，-3)

C.(0-1)江(0，-1)或(0，-3)

【答案】C

【解析】由题意得二次函数图象的对称轴为直线.％=1,则=l,b=-2

又二次函数的图象过点C(0,-3)

:.-3=c即c=-3

・•・二次函数的解析式为y=x2-2x-3.

由y=3一2%-3=(x-1)2-4彳导顶点D的坐标为(1-4).

令无2-2%一3=0得打=3,X2=-1厕A(30).

设P(0m)(n#-3)由题意得

PA=V9+m2,PD=yjl+(rn+4)2,AD=2^5.

•・•ZAPD=90°

PA2+PD2=AD2,

即(，9+,2)2+“1+(m+4)2)2=Q佝2,

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解得mi=-l,ni2=-3(不合题意，舍去).

AP(O-1).

故选C.

1.(★★★☆☆攻口图所示已知A(26)B(8-2)C为坐标轴上一点且aABC是直角三角形,则满足条件的点C

有().

y

A.6个B.7个•/

C.8个D.9个

已知点P为二次函数y=x2-2x-3图象上一点，设这个二次函数的图象与x轴交于A,B两

点(A在B的右侧)，与y轴交于C点，若AAPC为直角三角形且AC为直角边,则点P的横坐标的值为.

直击中考

1如图1,抛物线y=Qd+加+6与x轴交于点A(-20)B(60)与y轴交于点C顶点为D直线AD交y轴

于点E.

⑴求抛物线的解析式.

(2)如图2将ZkAOE沿直线AD平移得到屈'尼

①当点M落在抛物线上时，求点M的坐标

②在ANMP移动过程中，存在点M使AMBD为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标.

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胡不归模型讲解

从前，有一个小伙子在外地当学徒，当他获悉在家乡的老父亲病危的消息后，便立即启程日夜赶路.由于思念

心切，他选择了全是沙砾地带的直线路径A-B（如图所示，A是出发地，B是目的地，AC是一条驿道，而驿道靠近

目的地的一侧全是沙砾地带），当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子不觉失声痛哭，邻居劝慰小伙

子时告诉说，老人在弥留之际不断喃喃地念叨着“胡不归？胡不归？……”

这个古老的传说，弓I起了人们的思索，小伙子要提前到家是否有可能呢》倘若有可能，他应该选择怎样的路线

呢?这就是风靡千年的“胡不归问题”.

【模型】由于在驿道和沙砾地带的行走速度不一样，那么，小伙子有没有可能先在驿道上走一段路程后，再

走沙砾地带，虽然多走了路，但反而总用时更短呢?如果存在这种可能，那么要在驿道上行走多远才最省时？

【解析】设在沙砾地带的行驶速度为vi,在驿道上的行驶速度为v2显然巧＜v2.

不妨假设从C处进入沙砾地带•设总用时为t,则七=些+”=2（BC+^AC\

因为V1,V2是确定的，所以只要BC+Hue的值最小，用时就最少.问题就转化为求BC+"4C的最小值.

V2V2

我们可以作一条以c为端点的线段，使其等于"4G并且与线段CB位于AM两侧，然后根据两点之间线段最

v2

短，不唯找到最小值点.

怎么作呢？

由三角函数的定义，过A点，在AM的另一侧以A为顶点，以AM为一边作乙MAN=a,sina=N然后作CE

V2

±AN则CE=电力C.故当点B,C,E在一条直线上时，BC+CE的值最小即BC+的值最小，即总用时最少.

V2

【问题解决】求形如“P4+ZP夕的最值问题，构造射线AD，使得sin乙DAN=k,即^=k,CH=kAC.

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,B

N

将问题转化为求BC+CH的最小值过B点作BH14。交MN于点C交AD于点H此时BC+CH取到最小

值即BC+kAC的值最小.

典例秒杀

典例I

如图菱形ABCD中ZABC=60c边长为3p是对角线BD上的一个动点，则抄P十PC的最小值是（）.

A.V3B.4C.3D.^/3+1

【答案】B

【解析】如图作PMJ_AB于点MCH1AB于点H.

,:四边形ABCD是菱形

:.乙PBM=^Z,ABC=30°,

••.PM=\PB,

•••；P8+PC=PC+PM,

根据垂线段最短可知CP+PM的最小值为CH的长

在RtACBH中CH=BC•sin60°=竽，

第9页共21页

.《PB+PC的最小值为拳

故选B.

典例2

如图“ABC在平面直角坐标系内，点A(0,3V3)C(20).点B为y轴上的动点，则+BC的最小值为

【答案】B

【解析】如图，取.。(-3,0),连接AD作.BE1AD,CE'1710交AD于点。，交y轴于点B'.

•••4(0,3百),。(2,0),。(-3,0),

：.OD=3,0A=3炳QC=2,CD=5,

/.tanz.DAO=—=—

OA3

乙DAO=30°,

：.EB=-AB,Z-ADO=60°,

2

•二八B+BC=EB+CB,

2

・••当E与？重合,B与重合时，EB+BC的值最小,即最小值为CE的长.

在R@CDE中(CE'=CD«sin600=竽，

《48+8。的最小值为

故选B.

典例3

如图，△48C中4B=4C=10,toh4=2,BEJ.力。于点ED是线段BE上的一个动点，则CD+?BD的最

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小值是〔).

A.2屈B.4炳C.5V3D.10

【答案】B

【解析】如图，作DH工46丁点H(CM146丁点M.

•••BE±AC,

••ZEB=90°.

vtan/1=第=2,

・••设AE=aBE=2a

贝U100=a2+4a乙

a2=20,

解得a=2通或a=-2石（舍去）

:.BE=2a=4通.

•「AB=ACBE±ACCM±AB

CM=BE=475（等腰三角形两腰上的高相等）.

•••乙DBH=乙ABE,乙BHD=Z.BEA,

,DHAEN/5

AsmZy-nDrBaHf=——=——=——,

BDAB5

V5

：.DH=yFD,

:.CD+?BD=CD+DH,

CD+DHNCM,

:.CD+『D>4圾

・•.CD+的最小值为4V5.

故选B.

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小试牛刀

u★★★☆☆)如图AABC在平面直角坐标系中AB=ACA(02V2)C(10)D为射线AO上一点，一动点P

从点A出发，运动路径为A-D-C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动E寸间最少，则点

D的坐标为().

A.（0V2）A（0,当）C,M）A（0号）

(第1题图)(第2题图)

2.4**^^)如图在"BC中ZA=90°ZB=60°AB=2若D是BC边上的动点则2AD+CD的最小值

为

直击中考

I.已知抛物线y=。必+必+c与x轴交于A(-l0)B(5())两点C为抛物线的顶点抛物线的对称轴交x轴于

点D,连接BC,且tanzCfiD=*如图所示.

⑴求抛物线的解析式.

(2)设P是抛物线的对称轴上的一个动点.

①过点P作x轴的平行线交线段BC于点E过点E作EF1PE交抛物线于点F,连接FB,FC,求aBCF的面

积的最大值②连接PB求：PC+P8的最小值.

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阿氏圆问题模型讲解

“阿氏囿、又称为“阿波罗尼斯圆”，如图，已知A,B两点，点P满足PA:PB=k(k/l)则点P的轨迹为圆.这个

轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆二

【模型】如图所示。。的半径为R点AB都在(DO外P为0O上一动点，已知K=：08,连接PAPB则

当102:|/4B的值最小时，P点的位置如何确定？

【解析】如图，在线段0B上截取0C使。C二阻连接POPC则可说明△BP。与△PCO相似，则有「8=

PC.故本题求PA+|P8的最小值可以转化为求PA+PC的最小值，其中A与C为定点，P为动点，故当A,P,C

典例秒杀

第13页共21页

典例1

如图，正方形ABCD的边长为4,0B的半径为2,P为。B上的动点,则PD+的最小值等于（）.

【答案】C

【解析】如图，在BC上截取BE=1,连接BPPEDE.

•・•正方形ABCD的边长为40B的半径为2

:.BC=CD=4,BP=2,：.EC=3,

BP器=/又"BE=乙PBE,

BC

PBECBP,—

:.PE=|PC,:.PD+：PC=PD+PE,

・•・当DPE三点共线时PD+PE取得最小值即PD+^PC取得最小值

:.PD+gPC的最小值为DE=y/DC2+CE2=5.

故选C.

典例2

问邈提出:如图I在RSABC中ZACB=90°CB=4CA=60c的半径为2P为圆上一动点连接APBP求

力P+：BP的最小值.

（1送试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：

如图2连接CP在CB上取点D使CD=1连接PD则有等=黑=今

CHCo/

又•・・/PCD=NBCP/.△PCD^ABCP.

PDPC1。八1

:.—=—=PD=-oBnP,

BPRC22

第14页共21页

.-.AP+-BP=AP+PD.

请你完成余下的思考，并直接写出答案：+的最小值为

(2)自主探索：在、、问题提出”的条件不变的情况下,\AP+8P的最小值为.

(3柘展延伸:如图3已知扇形COD中^COD=90。,0C=6,OA=3,。8=5,点P是一CD上一点，求2

图3

AP+^BP=AP+PD,

・•・要使4P+；BP最小，即AP+PD最小则点APD在同一条直线上

二AP+涉的最小值为AD的长，在RtAACD中CD=1AC=6

・•.AD=y/AC24-CD2=V37,

・•.AP+^BP的最小值为V37.

(2)如图在CA上取点D连接BD使

S*Lin，

VZPCD=ZACP

/.△PCD-AACP

...丝=生==,PC=ZAP,

APCA33

JAP+BP=PD+BP,

3

同⑴的方法得|/IP+8户的最小值为BD=>/BC2+CD2=1V37.

(3)如图延长OC到点E使CE=6

则OE=OC+CE=12

连接PEOP

vZ.AOP=乙EOP,

:•&OAPO△OPE,

EP=2PA,

2PA+PB=EP+PB,

当EPB三点共线时2PA+PB取得最小值，为BE=yJOB2+OE2=13.

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小试牛刀

1.(★★☆☆☆)如图在中^ACB=90°,CB=7,AC=9,,以C为圆心3为半径作。C,P为。C上

A.7F.5V2C.4+V10D.2g

如图所示已知正方形ABCD的边长为40B的半径为2,点P是。B上的一个动点，则P。-

如图在平面直角坐标系中点A(40)B(44)点P在半径为2的圆O上运动，则\PA+的

1.如图1,在平面直角坐标系中，直线y=-5x+5与x轴y轴分别交于AC两点抛物线y=必+bx+c经过A,

C两点，与x轴的另一交点为B.

(1成抛物线解析式及B点坐标

(2禽点M为x轴下方抛物线_1_一动点，连接MA,MB,BC,当点M运动到某一位置时，四边形AMBC的

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面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积

(3)如图2若P点是半径为2的OB上一动点连接PCPA当点P运动到某T立置时，PC+的值最小,

请求出这个最小值，并说明理由.

等分面积模型讲解

【模型】三角形中的中线等分面积很常见，如图，在4ABC中，取BC的中点D,连接AD,由于左右两个三

角形等底同高，故它们的面积相等，即S.D=.4G。如果在AC边上取一点P,那么如何作线平分面积呢？

【作法】因为D是BC的中点SABD=SR。,所以要想平分三角形的面积，可作.AE\\PD,连接PE如图.

比较SARD~SACO,/ED可等量替换为△4EP,因此，得S四边形ABEP~SEPC，即元成了面积平分•

典例秒杀

典例1

已知平面上点0(00)A(32)B(40)直线.y=mx-3m+2将△。48分成面积相等的两部分，则m的值为

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A.IB.2C.3D.4

【答案】B

【解析】y=mx--3m+2=m(x-3)+2

当x=3时y=2

则直线y=mx-3m+2一定过点A(32)

因为直线y=mx-3m+2将aOAB分成面积相等的两部分

所以直线y=mx-3m+2一定过OB的中点(20)

把x=2y=0代入y=mx-3m+2

得0=2m-3m+2

解得m=2.

故选B.

典例2

如图AB〃DCED〃BCAE/7BD那么图中与△ABD面积相等的三角形(不包括△ABD)有().

DC

A.I个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】TAB〃DC

JAABC与△ABD的面积相等.

,・，AE〃BD

，ABED与"BD的面积相等.

•；ED//BC找不至I」与△ABD等底等高的三角形

・••与AABD面积相等的三角形有AABCABED共2个.故选B.

典例3

⑴如图1梯形ABCD的对角线交于点OABZ/CD请写出图中面积相等的三角形

⑵如图2,在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A(—2,3)B(21).

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①求点C的坐标及三角形AOC和三角形BOC的面积

②请利用⑴的结论解决如下问题：D是边0A上一点，过点D作直线DE平分三角形ABO的面积，并交AB

于点E(要有适当的作图说明).

图1

【解析】(DVAB/7DC

SABD~SABC，SADC~

SAOD=SBOC，

(2)©・・•点A(-23)B(21)

・,•直线AB的解析式为y=-^x+