专题02函数的图像与性质

专题02函数的图像与性质

1.函数

对应法则f

(1)映射：集合A(A中任意x)----＞集合B(B中有唯一y与A中的x对应).

⑵函数：非空数集A-—非空数集B的映射，其三要素：定义域A、值域C(CUB)、

对应法则f.

①求函数定义域的主要依据：

(I)分式的分母不为零：

(II)偶次方根被开方数不小于零；

(IH)对数函数的真数必须大于零；

(IV)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；

(V)正切函数y=中，x的取值范围是x£R,且xWA兀+[■,A£Z.

②求函数值域的方法：无论用什么方法求值域，都要优先考虑定义域，常用的方法

有基本函数法、配方法、换元法、不等式法、函数的单调性法、函数的有界性法、

导数法.

③函数图象在X轴上的正投影对应函数的定义域；函数图象在y轴上的正投影对应

函数的值域.

2.函数的性质

(1)函数的奇偶性

如果对于函数y=F(x)定义域内的任意一个x,都有F(—x)=—F(x)(或f(—x)=

f6,那么函数F(x)就叫做奇函数(或偶函数).

(2)函数的单调性

函数的单调性是函数的又一个重要性质.给定区间〃上的函数Ax),若对于任意为、

在£〃，当水莅时,都有/.⑴"(应)(或/'⑴>/'&)),则称F(x)在区间〃上为单调

增(或减)函数.反映在图象上，若函数f(x)是区间〃上的增(减)函数，则图象在〃

上的部分从左到右是上升(下降)的.如果函数f(x)在给定区间(热加上恒有

f’30("(x)<0),则Ax)在区间(a,A)上是增(减)函数，(a,为f(x)的单

调增G成)区间.

判定单调性方法主要有定义法、图象法、导数法等.

⑶函数的周期性

设函数y=fU,xRD,如果存在非零常数7,使得对任意xRD,都有A%+7)=/*(%),

则函数f(x)为周期函数，T为y=f(x)的一个周期.

⑷最值

一般地，设函数y=F(x)的定义域为/,如果存在实数,"满足：

①对于任意的都有(或/'(x)〉胁；

②存在於。£I,使打照)=M那么称.犷是函数y=f(x)的最大值(或最小值).

3.函数图象

(1)函数图象部分的复习应该解决好画图、识图、用图三个基本问题，即对函数图象

的掌握有三方面的要求：

①会画各种简单函数的图象；

②能依据函数的图象判断相应函数的性质；

③能用数形结合的思想以图辅助解题.

⑵利用基本函数图象的变奥作图

①平移变换：

A>0,右移|力|个单位

y=f(x)------->y=f{x—力)，

h<0,左移|力|个单位

k>0,上移|用个单位

y=-----y=F(x)+k.

k<0,下移|用个单位

②伸缩变换：

0<3<1，横坐标伸长到原来的,倍

U)

y=f(x)-----------------------------------------►y=/(5),

侬>1,横坐标缩短到原来的二-倍

0)

“、0<4<1,纵坐标缩短到原来的4倍”/\

丁刁⑴八1,纵坐标伸长到原来的4倍少二组(»

③对称变换：

关于於由对称

y=f(x)-------y——f(x),

关于辟由对称

y=f(x)------->y=F(—x),

关于直线x=a对称

y=f{x)-----y=f(2a—x),

关于原点对称

y=f{x)------y=—f{-x).

4.对函数性质的考查主要依托基本初等函数及其基本变换来进行，对于某些抽象函

数来说，一般通过恰当赋值，结合基本定义来研究.

高频考点突破

考点一函数表示及定义域、值域

例1、(1)已知函数*x)的定义域为(-1,0),则函数丹2>+1)的定义域为()

(n

A.(—1,1)B.—1,—,

C.(-1,0)D.1

L乙J

【解析】：基本法：由已知得一1V2X+1V0,解得一IVxV-J所以函数f(2x+l)

乙

的定义域为一1，一5，选B.

k乙)

【答案】：B

3x—b,xVl,((5、、

(2)设函数F(x)=°,若ff《=4,则6=()

/

7

A.1B.-

o

、31

C-4D，2

【解析】：基本法:/7=3X--/?="-/?,

J。乙

53(5、5

当万一621,即bWj时，n^~b=2--/?,

乙乙y乙

551

即25—6=4=2、得到万一方=2,即6=5；

乙乙乙

53(5、1515

当〃<1,即时，九〃—<?3bb;—,4Z?»

乙乙y乙乙

1F73

即46—4,得到〃一Q<，舍去.

ZoZ9

综上，b=:,故选D.

乙

【答案】：D

考点二函数的奇偶性对称性

例2、(1)设函数F(x),例力的定义域都为R,且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则

下列结论中正确的是()

A.f(x)g(x)是偶函数

B.|f(x)|g(x)是奇函数

C.f(x)|g(x)|是奇函数

D.|f(x)g(x)|是奇函数

【解析工基本法：由题意可知f(-x)=—F(x),g(—x)=g(x),对于选项A,f(一

x)・g(—x)=—Ax)・g(x),所以F(x)g(x)是奇函数，故A项错误;对于选项B."(一

x)|g(一x)=|—f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),所以|/'(x)|g(x)是偶函数，故B项错误；

对于选项C,F(—x)|g(一才)|=-F(x)|g(x)|,所以F(x)|g(x)|是奇函数，故C项

正确；对于选项D,|F(—x)g(—x)|=|-F(x)g(x)|=|F(x)g(x)所以|f(x)g(x)|

是偶函数，故D项错误，选C.

速解法：y=f(x)是奇函数，则y="(x)|为偶函数.

故f(x)♦£(才)=奇，A错，"(x)|g(x)=偶，B错.

F(x)|g(x)|=奇，C正确.

【答案】：C

(2)已知函数F(x)是定义在区间［―a司(a>0)上的奇函数,若g(x)=F(x)+2016,

则g(x)的最大值与最小值之和为()

A.0B.1

C.2016D.4032

【解析】：基本法：函数f(x)是定义在区间［-a,a］(a>0)上的奇函数，则f(x)最

小值与最大值的关系为f(x)min=一aX)皿,所以g(x)min=F(x)min+2016,gj)皿=

F(x)s+2016,则g(x)s-g(x)min=0+2016+2016=4032.故选D.

速解法：因为函数F(x)为奇函数，所以其图象关于原点对称.而g(x)=f(x)+2016

的图象是由f(x)的图象向上平移2016个单位长度得到的，故g(x)的图象关于点(0,

2016)对称，所以'"鹏=2016,即g(x*、+g(x)皿=4032.故选D.

乙

【答案］D

V+1,x>0,

(3)(2014•福建高考)已知函数/(/)二•一八则下列结论正确的是

cosx,xWO,

A.Kx)是偶函数B.F(x)是增函数

C.f(x)是周期函数D.f(x)的值域为［―1,+8)

【答案1D

考点三函数单调性、周期性与对称性的

例3、⑴偶函数y—Ax)的图象关于直线x—2对称，A3)-3,则A-1)-.

【解析工基本法：・・,函数y=F(x)的图象关于直线＞=2对称，.・・H2+x)="2—x)

对任意x恒成立，

令x=L得/'(1)=*3)=3,

Ar(-i)=AD=3.

速解法：由题意y=/'(x)的图象关于才=0和才=2对称，则周期7=4.

・・・人-1)=1+4)=A3)=3.

【答案13

【方法技巧】

1.基本法是利用单调性化简不等式.速解法是特例检验法.

2.求函数的单调区间与确定单调性的方法一样.常用的方法有：

(1)利用己知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间.(2)

定义法：先求定义域，再利用单调性定义确定单调区间.(3)图象法：如果f(x)是以

图象形式给出的，或者人力的图象易作出，则可由图象的直观性写出它的单调区

间.(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间.

3.若函数Ax)在定义域上(或某一区间上)是增函数，贝IJ泾.利用上

式，可以去掉抽象函数的符号，将函数不等式(或方程)的求解化为一般不等式(或方

程)的求解，但无论如何都必须在定义域内或给定的范围内进行.

ax＜0，

【变式探究】已知函数/Q)=、八满足对任意者彳物都有

a—o3x+4a＞三0

/用一/刖＜0成立，则a的取值范围是

Xx-X2

，【解析】：基本法：因为对任意小w如都有‘T长<0成立,所以f(x)

Xx-X2

fO<a<l,

一1(1

是减函数，所以Ja—3V0,解得0<点］,即在/,“

、a°2a—3X0+4&,

(1

【答案］/，［

考点四比较函数值的大小

e

例4、(1)已知x=lnn,y=log52,z=-',则()

A.x<y<zB.z<x<y

C.z<y<xD.y<z<x

【解析工基本法：由已知得x=Inn>1,y=log52e(0,1),

z=e-2e(0,1),又2Ve<3,.\^2<^e<^/3,

；：>去>g,得z=e二而y=log52Vlog5《：.y<z<x,故选D.

【答案】：D

］+

⑵设片(5),。=1哂,c"吗3,则()

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>c>aD.c>a>b

【解析】：基本法：V-log32e(—1,0),c=—log23<—1,

d=(2)>0,/.a>b>c>选A.

【答案］A

考点五指数函数、对数函数图象的变换与应用

例5、⑴当OVxW细，4ylog,必则a的取值范围是()

C.(1,pD.阪2)

【解析工基本法：易知OVaVl,则函数y=4'与y=log,i的大致图象如图，则只

需满足log,3>2,解得率，

，主<a<l,故选B.

1

速解法：若a>l,~,显然log“xVO,原不等式不成立，，0<aVL

若当x=J时，log“x=l,4"=4]=2,显然不成立，，故只能选B.

乙乙乙

【答案】：B

(2)(2013•湖南高考)函数f(x)=21nx的图象与函数g(x)=f—4x+5的图象的交

点个数为()

A.3B.2

C.1D.0

【答案】选B在同一直角坐标系下画出函数Mx)=21nx与函数g(x)=/—4x+5

=5—2尸+1的图象，如图所示.

・・・F(2)=21n2>g(2)=l,・・・F(x)与屋x)的图象的交点个数为2,故选B.

x

⑶（2。13•四川高考）函数尸目的图象大致是（）

【答案】选C因为函数的定义域是非零实数集，所以A错；当水0时，y>0,所以

B错；当》f+8时，，7—0,所以D错，故选C.

I7-1I

（4）（2012•天津高考）已知函数y=J一1的图象与函数y=kx-2的图象恰有两个

x—1

交点，则实数左的取值范围是

IA2-1|x+1xW—1或1,

【答案】解析:因为函数y=」1=又函数y=kx—2

1,-KK1,

的图象恒过点（0,-2），根据图象易知，两个函数图象有两个交点时，0<A<l或1<K4.

答案：(0,1)U(1,4)

【2017年高考真题】

1.12017课标3,文16】设函数小）=：+L二。，则满足/“）+仆_卜］的才的取值范围

2,x>0,2

是.

【答案】（-*）

【解析】由题意得：当时2“+2"：>］恒成立，即当时2x+x-g+l>l恒成

立，即当x40时x+1+x-2+1>1=x>,那一;<x40；综上x的取值范围是

2244

（-今收）.

【考点】分段函数解不等式

【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的

函数解析式是什么然后代入该段的解析式求值.解决此类问题时，要注意区间端点是

否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.

2.12017山东，文14］已知Ax)是定义在R上的偶函数，且F(x+4)=f(尸2).若当

XG［-3,O］时，f(x)=舒,则f(919)=_二

【答案】6

【解析】

试题分析：由f(田4)二「(『2)可知，/(力是周期函数，且7=6,所以

/(919)=/(6x653+1)=/(I)=/(-1)=6.

【考点】函数奇偶性与周期性

【名师点睛】与函数奇偶性有关问题的解决方法

①已知函数的奇偶性,求函数值

将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.

②已知函数的奇偶性求解析式

将待求区间上的自变量，转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性

构造关于Ax)的方程(组)，从而得到f\x)的解析式.

③已知函数的奇偶性,求函数解析式中参数的值

常常利用待定系数法：利用Ax)±f(—x)=0得到关于待求参数的恒等式，由系数的

对等性得参数的值或方程求解.

④应用奇偶性画图象和判断单调性

利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.

3.12017江苏，11】已知函数/(x)=V-2x+e，4,其中e是自然对数的底数.若

e

/("1)+)W0,则实数〃的取值范围是▲.

【答案】［7,；］

【解析】因为/（一%）=-1+2、+±-/=一/（幻，所以函数/（X）是奇函数，

e

因为f（力=3/-2+，+e-x23/-2+>0,所以数/（x）在R上单调递增，

又，g7）+/（2J）W0,即〃2万）£〃1一4）,所以2/41一4,即2『+。-1=0,

解得故实数。的取值范围为［一L；L

【考点】利用函数性质解不等式

【名师点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为，g（x））>/（Mx））的

形式，然后根据函数的单调性夫掉“广'，转化为具体的不等式（组），止匕时要注意冢制

与以外的取值应在外层函数的定义域内

4.［2017江苏，14］设/⑴是定义在R且周期为1的函数，在区间［丽上，/㈤

［x,X任

其中集合。={4=_…对，则方程/⑴-也.。的解的个数是.

【答案】8

【解析】由于”X）£［OJ）,则需考虑lKx<10的情况

在此范围内，xeQ且xwZ时，设x=g,pM£N,pN2，且p,q互质

P

?fIgxeQ，则由Igxw（OJ），可设=£N二〃2，且〃7,〃，lJ页

m

因此10工幺，则10"=（今"，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此Igx任。

PP

因此lg7不可能与每个周期内X£。对应的部分相等，

只需考虑怆工与每个周期X史。的部分的交点，

画出函数图像，图中交点除外（1,0）其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期X任。

的部分，

且工=1处（怆村=」_=_!_<1,则在X=1附近仅有一个交点

xln10In10

因此方程解的个数为8个.

【考点】函数与方程

【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值,

结合函数的单调性、草图确定其中参数范围.从图象的最高点、最低点，分析函数

的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函

数的单调性、周期性等.

5.12017山东，文10]若函数e'/(x)(e=2.71828一是自然对数的底数)在/(力的定

义域上单调递增，则称函数八力具有护性质，下列函数中具有物性质的是

-v2

A./(x)=2B./(x)=xC./(A)=3-XD./(X)=COSX

【答案】A

【解析】由A,令g*)=e'.2]gG)=eX(2Y+27|n：)=e'2T(l+lnJ)>0,则g(x)在R上单调

递增，/*)具有财性质，故选A.

|x|+2,x<h

6.[2017天津，文8】已知函数f(x)=\2设awR，若关于x的不等式/(幻2|2+〃|

x+-,x>1.2

x

在R上恒成立，则。的取值范围是

(A)[-2,2](B)[-26,2](C)[-2,273](D)[-2百,2我

【答案】A

【解析】

试题分析：首先画出函数/(X)的图象，当々>0时，g(x)=：+4的零点是x=-2a<0,零点左边直线

的斜率时-!>-1,不会和函数/(可有交点，满足不等式恒成立，零点右边g(x)=：+a,函数的斜率

1Y

左=匕根据图象分析，当x=0时，a<lf即0W2成立，同理，若。<0,函数g(x)=1+a的

零

点是工=-2。>0,零点右边g(x)g+a</(x)恒成立，零点左边g(x)=-5-a,根据图象

分析当R=0时,-a<2=>a>-2,H|J-2<tz<0，当a=0时，〃x)Ng(x)恒成立,所以

-2<«<2,故选A.

【2016年高考真题】

1.12016高考新课标1文数】函数)，=2/一网在［—2,2］的图像大致为()

(C)(D)

【答案】D

【解析】函数f(x)=2x2-龈在［-2,2］上是偶函数，其图像关于y触对称，因为

/(2)=8-e2,0<8-e2<l,所以排除A,B选项；当xc［0,2］时，八幻=以-d有一零点，设

为小,当xw(O,%)时，/⑴为减函数，当xwK，2)时，|/(幻为增函数.故选D.

2.12016高考新课标2文数】下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=IO®'的定

义域和值域相同的是()

(A)y=x(B)户Igx(C)尸2,(D)y=-}=

VA-

【答案】D

【解析】尸心X”，定义域与值域均为(0,y)，只有D满足，故选D.

3.12016高考新课标2文数】已知函数人x)(x£R)满足Hx)寸(2r),若函数

y=\x-2x-3\与产F(x)图像的交点为(xi,y。，(尼,先),…，(居，%)，则£%=()

r=l

(A)0(B)勿(C)2/7/(D)4/z?

【答案】B

【解析】因为y=/(x),yJ/-2x-3|都关于［%=1对称，所以它们交点也关于x=1对称，当

，〃为偶数时，其和为2X二=M,当阳为奇数时，其和为2x竺匚+1=小，因此选B.

22

4.12016高考新课标HI文数】已知〃=29=3限=25、，则()

(A)b<a<c(B)a<b<c(C)b<c<a(D)c<a<b

【答案】A

【解析】因为a=2^=4"c=25?=5"又函数y=3在。+8)上是增函数，所以于<4彳<5］,

即故选A.

5.12016高考浙江文数】已知函数=V+如贝「伏0"是'""(X))的最小

值与F(x)的最小值相等”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】由题意知/步与最小值为七

•>2•2

2

^t=x+bx9则/（/⑺）=/（，）=i=（，+7r,

当力<0时，/v（x））的最小值为-与，所以“力<o”能推出“/（/⑺）的最小值与/（X）的

4

最小值相等”；

当力=0时，/（/1））=/的最小值为0,/（X）的最小值也为0,所以“/（/（工））的最小值

与〃X）的最小值相等”不能推出“6<0”.故选A.

6.12016高考浙江文数】已知函数/*）满足：/⑶之凶且/（幻之2',尤ER.（）

A.若/⑷引小贝心工8B.若/⑷<2〃，则4（。

C.若73）2例，则〃刈D.若/（〃后2〃，则〃2〃

【答案】B

“、12g0）

fM=

【解析】可设[2*<0）,则f（x）满足题意.

易知/⑴=2£-51=5,但1>一5,排除A.7（2）=4>|3|=3,但2V3,排除C.

/（-2）=42|2|=2,但-2<1,|排除D.

7.12016高考北京文数】已知4（2,5）,3（4,1）,若点P（x,y）在线段AB上，则2x-y的最

大值为（）

A.-1B.3C.7D.8

【答案】C

【解析】由题意得，AB：y-l=1^（x-4）^v=-2x+9,

2—4

/.2x-y=2x-（-2x+9）=4x-9<4-4-9=7,当x=4时等号成立，即2x-y的最大值为7,故选C.

8.12016高考北京文数】下列函数中，在区间（T1）上为减函数的是（）

A.y=B.y=cosxC.y=ln（x+1）D.y=2~'

\-x

【答案】D

【解析】由），=27=（；）,在A上单调递减可知D符合题意，故选D.

9.12016高考上海文科】设/（x）、g（x）、4x）是定义域为R的三个函数,对于命题:

①若fa）+g。）、/（工）+/心）、8。）+〃鱼）均为增函数，则/。）、g（x）、⑴中至少有一

个增函数；②若/"）+g"）、If（x）+/?*）、&*）+h（x）均是以r为周期的函数，则/“）、g（x）、

〃（幻均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（）

A、①和②均为真命题8、①和②均为假命题

C、①为真命题，②为假命题。、①为假命题，②为真命题

【答案】D

【解析】

因为/⑴=［/（幻+g1）］+"（X）+力（幻］一但（幻+力（幻］,所以

5="（"）+3+"（5）；心+乃］-［g（5+又/⑴+如）、/⑴+心）、

g（x）十/心）均是以丁为周期的函数，所以/*⑺="⑸+g（刈+"⑶；心）］—也⑴+可幻］寸（刈,

所以/⑴是周期为7的函数，同理可得g（x）、均是以7为周期的函数，②正确；增

函数加减函数也可能为增函数，因此①不正确.选D.

10.【2016高考上海文科】己知点（3,9）在函数/（乃=1+优的图像上，则

/（x）的反函数/।（x）=.

【答案】log2（x-l）

【解析】将点(3,9)代入函数/3=1+优中得”2,所以〃力=1+2',用y表示X得

x=log2(y-l),所以广(x)=log2(x-l).

11.12016高考浙江文数】设函数f(x)=x43］+L已知aWO,且

f(x)-f(w)=(x-A)(x-d)2,x£R,则实数的,斤.

【答案】一2；1.

［解析］fM-/(。)=丁+3/+1-/-3/-1=丁+436,

3X2_

(x-b)(x-a)2=x3-(2a+b)x2+(a2+2ab)x-a2b,

-2a-b=3

<a2+lab=0\a=-2

所以〔一。％=-。3-3/,解得年=1

12.【2016高考山东文数】已知函数/⑴A-W其中,”0,若存在实数从

使得关于X的方程f(X)N有三个不同的根，则加的取值范围是.

【答案】(3,+8)

t解析】画出函数图象如下图所示:

由图所示，要/(x)=b有三个不同的根，需要红色部分图像在深或色图像的下方，即

|w|>m~—2mm+4m,m"-3w>0,解得m>3

【2015年高考真题】

L【2015高考四川，文5】下列函数中，最小正周期为〃的奇函数是()

(力)y=si>?(2x+g)(而y=cos(2x+/)

(0)y=sin2x+cos2x(0y—sinx+cosx

【答案】B

【解析】A.B、。的周期都是〃，〃的周期是2"

但片中，y=cos2x是偶函数，C中y=近s力?(2万+工)是非奇非偶函数

4

故正确答案为B

2.12015高考天津，文7】已知定义在R上的函数/⑴=2"・1(加为实数)为偶函数,

记”/(logos?),b=f(k>g25),c=/(27n),则ahc,的大小关系为()

(A)<h<c(B)c<«<h(C)a<r<b(D)r<b<a

【答案】B

【解析】由〃力为偶函数得m=0,所以〃=册。•科-1=2%3T=3-1=2,

8二2唾2—1=5—1=4,|c=2°—1=0，所以c<"b,故选B.

3.12015高考陕西，文9】设/(x)=x-sinx,则/(工)=()

A.既是奇函数又是减函数B.既是奇函数又是增函数

C.是有零点的减函数D.是没有零点的奇函数

【答案】B

［解析J/(x)=x-sinx=>f(-x)=(-x)-sin(-x)=-x+sinx=-(x-sinx)=-f(x),

又/(x)的定义域为尺是关于原点对称，所以/0)是奇函数；r(A)=l-cosA>0->/(A)^

增函数.

故答案选B

4.12015高考山东，文8】若函数/(外=箸1是奇函数，贝IJ使,f(x)>3成立的x的取值

2—ci

范围为()

(A)(一a,-：!)(B)(-1,0)(C)(0,1)(D)(l,+oo)

【答案】C

»+]7X+1

【解析】由题意=即5一二一三一:所以，(l-a)(2x+l)=0a=l,〃x)=J，由

2*—472A-t7;2—1

2X+1

f(x)=J>3得，1<2X<24<X<L故选C.

2-1

5.12015高考广东，文3】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()

A.y=x2+sinxB.y=x2-cosxC.y=T+D.y=x+sin2x

【答案】A

【解析】函数/(”)=—+而】的定义域为R,关于原点对称，因为〃l)=l+sinl,

“T)=l-sinl,所以函数〃x)=V+sinx既不是奇函数，也不是偶函数；函数

/(x)=x2-cosx的定义域为R,关于原点对称，因为

F(T)=(T)Jcos(r)7…户/⑴,所以函数/㈤Z-8SX是偶函数;函数

L2"的定义域为R,关于原点对称，因为“)2T2'八)，所以

函数彳是偶函数；函数/W=»sin2x的定义域为R,关于原点对称，因为

/(T)=T+sin(-2x)=--sin2x=-/(x),所以函数/3=x+sin2x是奇函数.故选人.

6.12015高考北京，文3】下列函数中为偶函数的是()

A.y=x2sinxB.y=x2cosxC.y=|lnA|D.y=2-'

【答案】B

【解析】根据偶函数的定义/(r)=/"),A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项

定义域为(0,+8)不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数，故选B.

7.12015高考福建，文3】下列函数为奇函数的是()

A.y=y/xB.y=exC.y=cosxD.y=e".t

【答案】D

【解析】函数），=五和），是非奇非偶函数；|），=cosx是偶函数；），="-常是奇函数,

故选D.

8.12015高考安徽，文4】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）

（力）y^lnx（8）y=f+l（C）y^sinx（〃）y=cosx

【答案】D

【解析】选项/：P=lnx的定义域为（0,-x）,故j=lnx不具备奇偶性，故月错误;

选项3:1=/+1是偶函数，但J=/+l=0无解，即不存在零点，故3错误;

选项C：y=sinx是奇函数，故C错;

选项D：y=cosx是偶函数,

且y=cosx=0=>x=kwz,故D项正确.

10.12015高考浙江，文5】函数〃x）=卜-£|cosx（-434乃且门0）的图象可能为

()

【答案】D

【解析】因为/（-X）=（-]+"!■）cosx=-（x」）COSx=-/Cr）,故函数是奇函数，所以排除A,

XX

B；取工=%|,则/（乃）=（万一上）85乃=一（万一工）＜0,故选D.

7171

10.12015高考安徽，文10]函数/（力=/+加+以+3的图像如图所示,则下列结论

成立的是()

(⑷ao,b<o.c>0,d>Q

(皮a>0,仅0,c<0,rf>0

(G水0,/KO,r<0,d>0

(〃)a〉0,Z?>0,c>0,d<0

【答案】A

【解析】由函数f(x)的图象可知c>0,令x=0=d>0

f:

又f(x)=3ax+2bx+c,可知x;x:是f\x)=0的两根

由图可知毛>0,x:>0

2b

Xy+X,=一一>A0

3a=i<0

故/正确

cc<0,

XiX,=—>0

.3a

【2Q14年高考真题】

1.(2014•安徽卷)设函数f(x)(x£R)满足f(x+n)=f(x)+sinx.当0Wx<n时,

(23兀)

4)=0,贝姐丁=()

1y[3

A.-B.

C.0D.

2

【答案】A

(23兀1(17兀117n(11兀)11JI17H

【解析】由已知可得，4—=4—+sin—=4—+sin—4sin—-

6

11n17n5n(叫5n1

sin-z-sin'---=2sin二—+sin—~r=sir\—r-=-.

b66IbJ62

2.（2014•北京卷）下列函数中，在区间（0,+8）上为增函数的是（）

A.y=y[x+lB.y=(x—1尸

x

C.y=2~D.y=log0,5(%+l)

【答案】A

【解析】由基本初等函数的性质得，选项B中的函数在（0,1）上递减，选项C,D中

的函数在（0,+8）上为减函数，所以排除B,C,D,选A.

4.(2014•江西卷)函数/(x)=ln(V—x)的定义域为()

A.(0,1]B.[0,1]

C.(—8,0)U(1,+°°)D.(—8,0]U[L+0°)

【答案】C

【解析】由/—x>0,得x>l或x<0.

5.(2014•山东卷)函数f(x)=I0।的定义域为()

7(log2X)1

(1}

A.0,-B.(2,+°0)

\句

(1]1]

C.0,-U(2,+°°)D.0,-U[2,+°°)

【答案】C

Y>0,

x>0,

【解析】根据题意得，J(log)-I>0,解得「1故选C.

2元>2或才<5.

乙

6.(2014•北京卷)下列函数中，在区间(0,+8)上为增函数的是()

A.y=y[x+lB.y=(^―I)2

C.y—2'D.y=logo.5(x+1)

【答案】A

【解析】由基本初等函数的性质得，选项B中的函数在(0,1)上递减，选项C,D中

的函数在(0,+8)上为减函数，所以排除B,C,D,选A.

7.(2014•四川卷)设FG)是定义在R上的周期为2的函数，当—1)时,

-4/+2,-1^X0,

f(力=<

x,0WK1,

【答案】1

⑶(n(“2

【解析】由题意可知,/1—=—4—+2=1.

2JI2J\2]

8.(2014•四川卷)以力表示值域为R的函数组成的集合，8表示具有如下性质的函

数&(才)组成的集合：对于函数。(入)，存在一个正数M,使得函数0(,v)的值域包

含于区间[一机M.例如，当02(x)=sinx时,02(x)W笈

现有如下命题:

①设函数/'(x)的定义域为，则"/'(x)的充要条件是“V6£R,maWDf(a)

=b"；

②函数f(x)金夕的充要条件是f(x)有最大值和最小值；

③若函数F(x),g(x)的定义域相同，且f{x)g(x)SB,则/V)+g(x)住民

V

④若函数Hx)=aln(x+2)+F7(x>—2,a£R)有最大值，则/'(不)£笈

XI1

其中的真命题有_______.(写出所有真命题的序号)

【答案】①③④

【解析】若则尸⑺的值域为R,于是，对任意的b£R,一定存在己£〃，

使得故①正确.

取函数f(x)=x(—IVxVl),其值域为(一1,1),于是，存在物=1,使得f(x)的值

域包含于［—机M=［—1，1］,但此时Ax)没有最大值和最小值，故②错误.

当f(x)£/时，由①可知，对任意的存在仅使得Ha)=4所以，当g(x)£5

时，对于函数Hx)+g(x),如果存在一个正数也使得F(x)+g(x)的值域包含于［一

机"1,那么对于该区间外的某一个打)£R,一定存在一个为£〃，使得f(&)=人一g(&),

即f(a)+g(a)=加在［-MM,故③正确.

X

对于〃x)=aln(x+2)+7n(才>-2),当a>0或a<0时，函数f(x)都没有最大

V

值.要使得函数f(x)有最大值，只有a=o,此时f(x)=F7(x>—2).

易知Ax)e所以存在正数财=:，使得Ax)£［一机M，故④正确.

乙乙乙

/+1,x>0，

9.(2014•福建卷)已知函数〃x)=，八则下列结论正确的是()

cosx,万W0,

A.f(x)是偶函数

B.f(x)是增函数

C.f(x)是周期函数

D.f(x)的值域为［―1,+8)

【答案】D

【解析】由函数f(x)的解析式知，/(I)=2,f(—1)=cos(—1)=cos1,F(l)Wf(一

1)，则Hx)不是偶函数；

当》0时，令/(又)=/+1,则广(X)在区间(0,十8)上是增函数，且函数值F(x)》l；

当xWO时、f(x)=cosx,则f(x)在区间(-8,0］上不是单调函数，且函数值

f(x)G［―1,1］；

・・・函数/'(x)不是单调函数，也不是周期函数，其值域为［―1,+8).

10.(2014•湖南卷)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)

—g(x)=/+/+1,则F⑴+g(l)=()

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】C

【解析】因为Hx)是偶函数，g(x)是奇函数，

所以f(D+g(D=f(—i)—g(—D=(—i)3+(—i)2+i=L

11.(2014•新课标全国卷【)设函数Ax),g(x)的定义域都为R,且/‘(X)是奇函数，

g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()

A.f(x)g(x)是偶函数

B.|F(x)|g(x)是奇函数

C.及x)|*(x)|是奇函数

D.|Hx)g(x)|是奇函数

【答案】C

【解析】由于偶画数的绝对值还是偶函数，一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数，故正确选项为C.

12.(2014•新课标全国卷II)已知偶函数f(x)在［0,+8)单调递减，/(2)=0,若

f(x—1)>0,则x的取值范围是.

【答案】(-1,3)

【解析】根据偶函数的性质，易知f(x)>0的解集为(一2,2),若f(x—1)>0,则一

2<x-l<2,解得一1<水3.

13.(2014•湖北卷)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当才20时，f(x)=］(|x

乙

—a\+\x-Z(a\—3a2).若F(x—1),则实数3的取值范围为()

11

6,6

1f44境

【答案】B

【解析】因为当x20时，£5）=1（|>—，|+鼠一2才|一3才），所以当OWxW才

乙

时♦,f（x）=9（才一x+2l-x-3#）=­x；

乙

当衣K2,时，

F（x）=g（x—才+2，一才一3孑）=一才；

当x22才时，

Ax）=J（x—，+x—2#-3才）=>—3步.

(一右OWxW，,

综上，F(x)=1—才，a<x<2a,

1x—3#,x>24.

因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数Hx）在R上的大致图象如下,

观察图象可知，要使X/xWR,f（x—l）Wx）,则需满足2才一（一4，）<1,解得一*

WaW弓A/6二故选B.

o

14.(2014•浙江卷)在同一直角坐标系中，函数F(x)=x"(>>0),g(*)=log,x的图

像可能是()

AB