专题51 平面向量的概念、线性运算与基本定理及坐标表示【六大题型】（举一反三）（新高考专用）（解析版）

专题5.1平面向量的概念、线性运算与基本定理及坐标表示【六大题型】

【新高考专用】

►热点题型梳理

【题型I平面向量的基本概念】.................................................................2

【题型2平面向量的线性运算】.................................................................4

【胭型3向量共线定理的应用】.................................................................6

【题型4平面向量基本定理的应用】.............................................................8

【题型5平面向量的坐标运算】.................................................................II

【题型6向量的线性运算的几何应用】...........................................................13

►命题规律

1、平面向量的概念、线性运算与基本定理及坐标表示

平面向量是高考的热点内容，属于高考的必考内容.从近几年的高考情况来看，平面向量的线性运算、

平面向量基本定理、平面向量的坐标运算是高考的热点内容，主要以选择题、填空题的形式考查，难度较

易；有时也会与三角函数、解析几何结合出现在综合性大题中，难度中等.学生在高考复习中应注意加强对

向量的线性运算法则、向量共线与垂直的条件的理解，熟记平面向量的相关公式，灵活求解.

►知识梳理

【知识点1平行向量有关概念的归纳】

1.平行向量有关概念的四个关注点

(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.

(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.

(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.

->

(4)非零向量a与卷的关系：卷是与。同方向的单位向量.

【知识点2平面向量线性运算问题的解题策略】

1.平面向量线性运算问题的求解思路：

(1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加

减法相互转化；

(2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中

位线定理、相似三角形对应边成匕例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示.

2.向量线性运算的含参问题的解题策略：

与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法

运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.

3•利用共线向量定理解题的策略：

⑴：//办=之于6)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.

(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,BC三点共线=石，就共线.

(3)若。与人不共线且2。=〃〃，则2="=0.

(4)万5=2丽为实数)，若A,8,C三点共线，则2+4=1.

【知识点3平面向量基本定理的探究】

1.应用平面向量基本定理求向量的实质

应用平面向量基本定埋求向量的实质是利用平行四边形法刻或二角形法则进行向量的加、减或数乘运

算.一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系.

2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路：

用平面向量基本定理解决问题的--般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向

量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分

解都是唯一的.

【知识点4平面向量坐标运算的方法技巧】

1.平面向量坐标运算的技巧

(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的

坐标，则应先求向量的坐标.

(2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.

►举一反三

【题型1平面向量的基本概念】

【例1】(2023•北京大兴•校考三模)设出3是非零向量，嗝=舒是*=户的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【解题思路】根据向量相等、单位向最判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答案.

【解答过程】由白二得表示单位向量相等，则日万同向，但不能确定它们模是否相等，即不能准出五二八

同\b\

由£=族表示d,丽向且模相等，则含=品

laip|

所以唱=含'是4=户的必要而不充分条件.

⑷|匕|

故选：B.

【变式1-1](2023•福建南平・统考模拟预测)已知正方形A8CZ)的边长为I,点M满足丽+更=2丽,

则|阿二()

A.-B.1C.—D.V2

22

【解题思路】根据儿何关系求解.

D

【解答过程】

如图，AB+BC=AC=2AM,所以M是AC的中点，|丽|二gBO=当；

故选：C.

【变式1-2］（2023•江苏盐城•统考三模）已知力是平面四边形，设p：AB=2DC,q：是梯形,

则r是q的条件（）

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

【解题思路】根据向量共线的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【解答过程】在四边形4BCD中，

若丽=2DC,

贝必8||DC,RAB=2DC,

即四边形/8C0为梯形，充分性成M；

若当/IO,8C为上底和下底时，

满足四边形4BCD为梯形，

但;=2讹不一定成立，即必要性不成立；

故p是q的充分不必要条件.

故选：A.

【变式1-3］（2022.云南昆明.统考模拟预测）下列有关四边形力8。。的形状判断错误的是（）

A.若而=而，则四边形ABC。为平行四边形

B.若而=:前,则四边形48co为梯形

C.若而=反，fL|A§|=\AD\,则四边形48CD为菱形

D.若标=比，且而J.而，则四边形48C0为正方形

【解题思路】根据向量共线、相等的知识确定正确答案.

【解答过程】A选项，AD=BC,^AD//BC,AD=BC,所以四边形48co为平行四边形，A正确.

B选项，AD=^BC,则40〃BC,4D所以四边形为梯形，B正确.

JJ

C选项，AB=DC,^\AB//DC,AB=DC,四边形ABC。是平行匹边形；由于|而|=|彳5|,所以四边形ABC。

是菱形，C正确.

D选项，AB=DC,^AAB//DC,AB=DC,所以四边形48CD为平行四边形；由于3?1BD,所以四边形力BCD

为菱形，D选项错误.

故选：D.

【题型2平面向量的线性运算】

【例2】（2023•浙江・统考二模）设M是平行四边形ABC。的对角线的交点，则而+2MB+2MC4-MD=（）

A.ABB.CDC.2ABD.^CD

【解题思路】根据平行四边形对角线平分及向量加减法计算可得.

【解答过程】M是平行四边形力BCD的对角线的交点，则拓？=-MC,MD=-环瓦

所以为？+2MB4-2MC+拓力=而？+而+前+而+血+血=耐+丽=而一雨=丽.

故选：A.

【变式2-1］（2023•宁夏石嘴山•平罗中学校考二模）如图，已知A/IBC中，。是AB边上一点，若丽=;丽,

3CD=CA+mCB,则/n=（）

A.-2B.2C.-1D.3

【解题思路】根据平面向量加减法运算求解即可.

【解答过程】连接CD,如图所示：

所以而=百+同=方+：丽=方+：（万一万）=^CA+^CB,

所以3通=褊十2而，所以6=2.

故选:B.

【变式2-2］（2023•浙江绍兴・统考模拟预测）在△ABC中，。是线段BC上一点，满足8。=2。&M是线段力。

的中点，设的=%四+丫彳？，则（）

.1,1

A.x-y=--BD.x+y=--

C.x-y=1D.x+y=^

【解题思路】利用向量的线性运算，求出丽=-）而+；而，得到%,y的值，再对各选项分析判断即可求

63

出结果.

【解答过程】因为。是线段BC上一点，满足BO=2OC,所以而=而+］瓦:二通+“而-而）=［而+

«5

-3AC,

又M是线段HD的中点，所以前二；同=；四+；尼，

263

所以前=雨+宿=-荏+*通+;而=一三而+L前，

6363

所以％=_}y=a故％+y=一§

OoZ

故选:B.

【变式2-3］（2023,河北邯郸•统考三模）已知等腰梯形4BCD满足AB〃CD,AC与BD交于点P,.目工B=2CD=

2BC,则下列结论谓误的是（）

A.AP=2PCB.\AP\=2\PD\

C.而号而+：而D.AC=-3AD+-3AB

【解题思路】根据题意，由平面向量的线性运算，对选项逐一判断，即可得到结果.

依题意，显然△力PB7OPG故有患=言=*=不

即HP=2PC,PD=2PD,则存=2而，故A正确;

又四边形A8CD是等腰梯形，故力户=PB,即|彳耳二2|而故B正确；

在A480中，AP=AD+~DP=AD+^~DB=AD+^（AB-AD）=^AD+^AB,故C正确；

又尼=,9而+：而）=而+：而，所以D错误；

故选:D.

【题型3向量共线定理的应用】

【例3】（2023•全国•模拟预测）如图，平行四边形4BCD中，4C与8D相交于点0,丽=3万，若而=2荏+

HBC（尢〃WR）,则:=（）

A.-iB.-2C.：D.2

22

【解题思路】由丽=3淀，得到E为0。的中点，化简得到荏=[而+]而，得到前=2荏一前，结合

A0=2AE^fiBC,求得;的值，即可求解.

【解答过程】因为平行四边形/8C。中，4C与80相交于点。，可得。为8D的中点，

由丽=3而，可得E为0D的中点，所以族=：而+，而二号方+：近，

可得而=2AE-~BC,

又由而=4族+〃巨？，所以4=2,〃=一1,所以（二-2.

故选：B.

【变式33]（2023•甘肃武威•统考一模）已知正三角形A8C的边长为6,AP=AAB+[/AC,XE[0,1],〃e[0,1]

且"+4〃=2,则点P到直线8C距离的最大值为（）

A.2>/3B.3C.3V3D.学

【解题思路】由而=l^AD+2〃屈结合/+2〃=1得出点尸在线段DE上运动，进而得出点P到直线BC距离

的最大值.

【解答过程】因为32+4〃=2,所以]/1+2〃=1,

所以而=4荏+〃配=日入亮丽+2〃彳彳？.如图，设标=g通，

AE=^AC,则而=|a而+2〃荏.因为26[0,1],p.G[0,1],

所以点P在线段DE上运动，显然，当点P与点E重合时，点P到直线BC的距离取得最大值苧.

【变式3-2]（2023・湖北武汉•统考三模）如图,在△49。中，M为线段31的中点,G为线段4M上一点,AG=

2的，过点G的直线分别交直线48,于P,Q两点，AB=xAP（x>0）,AC=yAQ（y>0）,贝仁+一；的

ATy11.

最小值为（）.

39

A.-4B.4-C.3D.9

【解题思路】先利用向量的线性运算得到万=：而+?而，再利用三点共线的充要条件，得到x+y=3,

再利用基本不等式即可求出结果.

【解答过程】因为M为线段BC的中点，所以褊=；（A§+配），又因为前=2而,所以我=：褊="而+

AC）,

又荏=AC=yAQ（y>0）,^l^AG=-AP+-AQ,

33

又P,G,Q三点共线，所以;+：=1,即x+y=3,

所医+去=汜+六力+。+1%=乂4+哀+等+1]之：（5+2舟甲）=£

当口仅当n二w,即*=?/=:时取等号.

y+1x3/3

A

【变式3-3］（2024•广东广州•铁一中学校考一模）如图所示，。点在△力BC内部，D,E分别是4C,边的中

点，且有瓦？+2而+3沆=6,则△力EC的面积与△4。。的面积的比为（）

【解题思路】由题意可知O,O,E三点共线，且黑=:，再由三角形面积公式即可求解.

\\JUI4

【解答过程】由a+2而+3击=6可得65+沆=-2（而+沆），

又因为D,E分别是4C,8c边的中点，

所以西+沅=2赤，OB+OC=2OE,

JUrU2OD=-4OE,BROD=-205,

所以0,D,E三点共线，且翳｝=也

所以E到AC的距离与。到4C的距离之比也为去

又AAEC的面积与^A0C的面积都以力。为底，

所以△力EC的面积与440C的面积的比为去

故选:A.

【题型4平面向量基本定理的应用】

【例4】（2024•全国•模拟预测）如图，在△48。中，丽=t/VC（t>0）,乔=为丽。>0）,若而二,尼一（近,

则7+t的值为（）

A

A.7B.6C.5D.4

【解题思路】表达出而，利用平面向量基本定理求出九3即可求出义+£的俏.

【解答过程】由题意及图可得，

VBP=廊,

••.而=而+而=而+之前=而+3(-而+而)=组+”

A+lA+1')1+A1+A

;而=tNC(t>0),

.•.丽=—ACAP="+--

t+ll+A(l+t)(l+A)

・・.丽=加一道=加一*而W*宿

1_1M_1解得：A=3,t=2,A+t=5,

1+A-4'(l+t)(l+A)-2f

故选：C.

【变式4-1］（2023・广东汕头・统考三模）如图,点。、E分别AC、8C的中点，设而=乙AC=b,尸是

。£的中点，则标二（）

A1,17n1一,1二1,17*n1.17

A.-a4--bB.--a+-bC.-a+-bD.—a+-b

22224242

【解题思路】根据向量的运算，利用基底向量d3表示而即可.

【解答过程】因为点。、E分别AC、8C的中点，尸是0E的中点,

所以而=而+而=2而+2而=-~AC-V-~AB.

2224

即"=-a+-b.

42

故选：C.

【变式4-2］（2023・四川成都・校联考一模）已知平行四边形4BC。，若点M是边BC的三等分点（靠近点8处），

点N是边AB的中点，直线BO与MN相交于点”，则()

A.-B.-C.-D.-

3554

【解题思路】设两=2,丽=3,设丽=2丽，丽=〃而，利用向量的基本定理可得求

得4=(,从而问题可解.

【解答过程】

设丽=d，丽=3,则丽=3&+23，MN=b-a,

设丽=ABD,MH=〃而，

则丽=3Aa+2北，MH=fib-逋，

因为8”—BM+MH=&十〃〃-“d=(1—&十曲,

所以「2片丁，解得I，

所以丽=河,即冷需/

故选：C.

【变式4-3](2022・安徽・芜湖一日校联考三模)平面上有及其内一点O,构成如图所示图形，若将

A0AB.AOBC,△OC4的面积分别记作SC，Sa，S。，则有关系式S&•雨+S。•OS+S’•灰=在因图形

和奔驰车的log。很相似，常把上述结论称为“奔驰定理已知△,4BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,

若满足Q•ON+b•方+c•元=5,则。为△48c的()

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【解题思路】根据平面向最基本定理可得2=2,占=£,延长。。交/IBFE,延长8。交4C于F,根据面积比

SQaSaa

推出瞿=盥，结合角平分线定理推出“为立4C8的平分线，同理推出8尸是N4BC的平分线，根据内心的

定义可得答案.

［解答过程】由Sa•+S》•砺+Sc•沃=6得勘=一包砺-&沆,

由a・赤+b•砺+c•沆=6得砺=--0B--0C,

aa

根据平面向量基本定理可得-普=-2,—

SaaSaa

所以金=2,.=£,

SaQSaQ

延长C。交48于E,延长8。交AC于〃，

所以CE为乙ACB的平分线，

同理可得B户是4ABe的平分线，

所以。为△48C的内心.

故选：B.

【题型5平面向量的坐标运算】

【例5】(2023•全国•模拟预测)已知向量,二(居1),b=(2,y),才=(x,y).若伍+办1伍一打，且G〃族，

则同=()

A.V2B.>/3C.V5D.V6

【解题思路】利用向量的数量积运算将向量垂直的条件转化为(3+3)・(,-均=日2-92=0,然后利用向

量的模的坐标运算公式和向量共线的坐标关系得到方程组，求解即得％y的值，进而计算向量不=(x,y)的模.

【解答过程】因为G=(%,1),b=(2,y),

由(G+B)1(五一B)可得，(a+b)•(a—S)=a2—S2=0,

即(%2+1)_(4+y2)=0,整理得％2一y2=3

又因为御族，所以孙=2,

联立R；。％解喉;或忧：

故间=yjx2+y2=V5,

故选c.

【变式5-1](2023•内蒙古赤峰•校联考三模)如图,在四边形488中，皿3=120。»4c=30°,AB=1,

AC=3,AD—2,AC=xAB+yAD,则x+y=()

【解题思路】建立平面直角坐标系，求得相关点坐标，求得相关向量的坐标，根据前=%而+、而，结合

向量的坐标运算，即可求得答案.

【解答过程】以A为坐标原点，以为x轴，过点A作力。的垂线为)，轴，建立平面直角坐标系,

则4(0,0"(一;，,)0(2,0),

故正=(嘎1而=一丹)，而=(2,0),

则由正=xAB+y而可得而=(^,1)=x(-py)+y(2,0),

(越=_%+2y仄

HIJ,22%十卬.,^=V3

\22

故《+y=2V3,

故选:A.

【变式5-2](2023•黑龙江哈尔滨・哈尔滨三中校考模拟预测)已知向量G=(-2,cosa),b=(l,sina),且五IIb,

sin(|n-a)sina

则)

cos2a

2B3

A.3-IC.D.2

【解题思路】根据两个向量共线的坐标表示得出tana,化简所求分式，再代入tana得出结果.

【解答过程】已知向量G=(-2,cosa),3=(1,sina),KaIIbf

则-2sina-cosa=0,解得tana=

sin©IT—a)sina

—cosasinasin2a

cos2acos2acos2a

故选：A.

【变式5-3](2023•全国•模拟预测)已知向量d=(L—l),B=(-l,2),F=(—3,3).若非零实数m,n满足

(na+5)//(5-me),则'=()

A.3B.-C.--D.-3

33

【解题思路】利用平面向量的坐标运算、向量共线的充要条件计算即可.

【解答过程】由题意可知，na+o=n(l,-1)+(-1,2)=(n-1,-n+2),b-me=(-1,2)-m(-3,3)=

(—1+3m,2—3ni).

因为(nd+?)//(5-me),所以(n—1)(2—3m)=(-n+2)(-1+3m),

整理得n=3机，HP-=3.

m

故选:A.

【题型6向量的线性运算的几何应用】

【例6】(2023.全国.模拟预测)在加图所示的五角星中，以人从C、。、E为顶点的多边形为正五边形,

且而:=等而，设就+瓦？=入而，则4=()

.x/5+lDV5+1c1--75c\/5-1

A・o・------------L•L)・

2222

【解题思路】将加+西转化为近+质，结合己知可得.

【解答过程】在五角星中，ES=RC,KA=CQ,则或+两=无+诙=而,

'Af=—TS,

2

;.而=粤丽,

RQ=-^—~DR=—DR=~~RD,

y6+122

n1-V5

故选：c.

【变式6-1]（2023•吉林・统考一模）在直角三角形4BC中，4=90。，ZkAB。的重心、外心、垂心、内心分

别为Gi，G?,G3,G4,若福=4而+出血（其中i=1,2,3,4）,当4+四取最大值时，i='：）

A.1B.2C.3D.4

【解题思路】利用△48。的重心、外心、垂心、内心的位置特征，结合向量的线性运算，求出小+〃济比较

大小.

【解答过程】直角三角形力8c中，A=90°,D为BC中点,aABC的重心为Gi，如图所示，

AG[=^AD=[x而+而）=』通+1温

则入=Ml=3»乙+%=32；

直角三角形48c中，A=90%△ABC的外心为G?,则G2为3。中点，如图所示,

AG2=^AB+AC）,则入2=〃2=（A2+ju2=1：

直角三角形4BC中，力=90。，△ABC的垂心为G3，则G3与A点重合，温=6,

则%=的=0，23+〃3=°；

直角三角形4BC中，A=90°,△ABC的内心为G4,则点G4是三角形内角平分线交点,

直角三角形ABC中，角48,C的对边分别为a,瓦c,设内切圆半径为r,

则SM8c=gbc=[(Q+b+c)r,得r=/匚?

AG=beAB+beAC_be

Aa+b+c|西a+b+c|祠a+b+ca+b+c苧=嬴亚+G宿

b+c

---------,U=----------,2+〃=<1.

a+b+ca+b+ca+b+ca+b+ca+b+c

%+〃2=l最大，所以当儿•+出取最大值时，i=2.

故选：B.

【变式6-2](2023・重庆・统考模拟预测)在正方形4BCD中，动点E从点B出发，经过C,D,到达4,AE=

AAB+fiAC,则2+〃的取值范围是()

A.[-1,1]B.[0,1]C.[-1,2]D.[0,2]

【解题思路】建立平面直角坐标系，写成点的坐标，分点E在BC,CD,力。三种情况，求出a+〃的取值范围.

【解答过程】以B为坐标原点，AB,8C所在直线分别为%轴，y轴，建立平面直角坐标系，

设HO=1,则0(0,0),4(1,0),C(0,l),D(l,l),

当点E在BC上时，设E(0,m),7nW[0,l],

则(一1即)=入(-1,0)+〃(-1,1),即[一“二匕：一1,故人+〃=1,

Im—

当点E在CO上时，设E(£,l),t6[0刀，

则(£—1,1)=1,0)+“(—1,1),即｛一晨T，解得｛)：：，

故7+〃=1-t£[0,1].

当点E在力。上时，设e[0,1],

则(o,u)=/i(—i,o)+〃(—1,1),艮iCm。，故a+〃=o

I〃一〃

综上，4+〃的取值范围是;I+“£[0,1].

故选:B.

【变式6-3］（2023•重庆沙坪坝•重庆八中校考模拟预测）如图所示，梯形AOCD中，AD//CD,比4。=2AD=

2CD=2CB=2,点。在线段8c上运动，若丽=谟5+丫而，则/+y2的最小值为（）

（1-1A）2+A2,然后利用二次函数的性质即得.

【解答过程】如图建立平面直角坐标系,

B

则H(0,0),8(2,0),C(1丹),。©，务

・••而=(2,0),而=或多,配=一片).

设丽=入苑(004工1),FP=AfiC=A(-py),

・••丽=~AB+BP=(2-1A,yl).

又丽=xAB+yAD=x(2,0)+y(1,^)=(2x+1y,^y),

2--A=2x+^y

Z

.f