小学三年级数学核心素养导向下《余数的智慧：两位数除以一位数（商带余）的算理重构与生活应用》教案

小学三年级数学核心素养导向下《余数的智慧：两位数除以一位数（商带余）的算理重构与生活应用》教案

一、课程背景与教学定位

（一）学科与学段：小学数学·三年级第一学期

（二）基点定位：【非常重要】本课是“数与运算”主题下从算术思维向代数思维过渡的关键节点。基于冀教版（2024）新教材第四单元第4课时，课程以“分与合”的哲学思辨为暗线，以“平均分有剩余”的生活现象为明线，重构有余数除法的教学逻辑。本课承“表内除法”与“商无余笔算”，启“多位数除法”与“分数初步”，是形成运算能力与模型意识的“承重墙”。

（三）设计理念：【热点】践行2022版课标“三会”要求，以“本质追问”破机械计算，以“跨学科融合”育核心素养。借鉴许娟老师“多出来的数学小伙伴”意象化教学策略，将抽象的“余数”人格化为可对话的思维客体，使算理理解从“程序记忆”升维为“概念同化”。

二、精准化教学目标体系

【基础】1.结合“分皮球”等真实情境，理解“余数”产生的必然性与数学意义，能正确读写有余数除法算式。

【重要】2.经历“操作表征—图画表征—符号表征”的认知进阶，自主建构两位数除以一位数（有余数）的竖式模型，清晰阐述“商—乘—减—比”四步计算逻辑。

【非常重要·难点】3.通过比较“装盒”与“分班”两类问题，深刻内化“余数必小于除数”的守恒关系，并能根据生活背景（进一法/去尾法）对商与余数作出合理性决策。

【高频考点】4.能规范、准确地计算诸如95÷6、78÷5等典型算式，形成自觉估算与验算的习惯。

三、教材的二次开发与学情循证

（一）教材重构逻辑：【创新】新教材以“95个皮球”连续情境贯穿，本设计打破例题孤立呈现的常规，构建“一个大情境、三阶挑战、两类模型”的认知框架。

第一阶：无剩与有剩的对比——激活经验冲突。

第二阶：竖式模型的自主发生——拒绝灌输算法。

第三阶：余数去向的决策思辨——走向生活智慧。

（二）学情精准画像：【非常重要】前测显示约65%的学生能口算95÷6=15……5，但仅12%能清晰解释“为什么5必须小于6”；约70%在解决“需要几个盒子”时会直接写“15个”，潜意识忽略“余下5个也需要1个盒”。症结在于：将余数视为“数学游戏的终点”，而非“现实问题的待续”。故本课教学逻辑重心从“怎么算”前移至“为什么这样算”以及“算完怎么办”。

四、教学实施过程（核心·全流程深度展开）

（一）第一板块：境脉激活——让“剩余”从潜台词走到聚光灯下（约7分钟）

1.对比性操作：制造认知冲突

【师】呈现10颗糖果（磁性教具）。指令：请小助手平均分给3个小朋友，不能切断糖果。

【生】上台操作：每人3颗，剩余1颗。

【师】（故作困惑）我们二年级就知道10÷3=3余1，这个“1”今天有了新名字——余数。（板书课题核心词）但老师想问：这个孤零零的“1”，它在除法王国里到底算个什么身份？是“没人要的孩子”吗？

【非常重要】2.拟人化引喻：赋予余数生命

【师】不，它是除法运算中必然诞生的“数学小伙伴”。（板贴卡通余数形象）它虽然小，但有大规矩。今天我们就跟着95个皮球，去认识这位小伙伴的脾气。

（二）第二板块：算理发生——在竖式诞生中经历“数学化”（约20分钟·核心攻坚）

【难点·高频考点】1.问题驱动：95÷6，竖式从哪里“长”出来？

（1）原始经验暴露：

【生1】15个盒子，剩5个球。

【师】把你的思考“画”出来。允许用小棒图、圆圈图或者你喜欢的任何方式。

（2）表征系统交互：

选取三种典型作品投屏：

A.纯文字描述；B.圈画图（10个一堆圈一圈）；C.尝试竖式（部分学生将95÷6写成6√95，但商的位置混乱，乘积写错）。

（3）关键追问【本质追问】：

【师】刚才有人写商1在十位，有人写商1在个位。十位上的“1”到底代表什么？是1个盒子，还是10个盒子？

【生】（通过小棒捆扎演示）9捆（90根）分给6个盒子，每盒得1捆（10根），所以十位商1，表示10。

【师】剩下的3捆能直接丢掉吗？

【生】不能，要拆开和5根合并成35根继续分。

【师】所以竖式不是老师教的，是分东西的过程“录”下来的像。

【重要】2.竖式模型的契约化建构（板书生成仪式）

教师以“录像回放”节奏，与学生共同撰写竖式：

①写“厂”（除号）——是公平的屋檐，所有数都在屋檐下被分。

②商的位置——十位的1记录“每盒先得10个”，个位的5记录“第二次每盒得5个”。

③乘积的意义——6×15=90不是凭空写的，是分出去的球。

④余5——是“不够再分”的声明。

⑤【非常重要】比一比：指着余数5和除数6，强制问：谁大？如果余数比除数大，会发生什么？

【生】还能再分1个，说明分错了。

【师】所以余数是“喊停”的信号兵，它的底线是：绝对不能比除数大。

3.即时诊断性练习（防混淆专项）：

判一判：下面的竖式错在哪里？

呈现典型错例：6√95商16（乘积写96，余-1）。引导学生从“余数不能为负”“乘积极限不超过被除数”双维度批判。

（三）第三板块：商0占位——被忽略的“隐身术”（约8分钟）

【基础·易错】1.情境转场：95个球，每班分9个，最多给几个班？

【师】先估：10个班要90个，够吗？11个班要99个，够吗？所以最多——10个班，剩5个。

【生】竖式写到个位：5÷9不够商1。

【师】（层层剥笋）空着？写0？不写？

【生1】0占位，表示个位一个班也没有增加。

【生2】0可以不写，因为前面十位已经写了1。

【师】（演示错误写法：只写1，个位留白）这个数读作“1”，别人会误以为是1个班。0在这里是“站位”，不是“数值”。

2.算理顿悟：

将95÷9与95÷6竖式并列。引导发现：有余数除法，有时个位有商（5），有时个位商0。商0不是“没分”，是“分不动”。【重要】0在这里是除法对话中的“沉默发言人”。

（四）第四板块：余数的去向——生活逻辑介入数学决策（约12分钟·素养升华）

【热点·难点】1.双案例对冲思辨：

案例A（装盒）：95个球，每6个装一盒，需要几个盒？

案例B（分班）：95个球，每班分9个，最多够分几班？

【生】计算式完全一样：95÷6=15……5；95÷9=10……5。

【师】（掷地有声）算式一模一样，答案却不同。A题你们说需要16个盒，B题却说最多10个班。难道数学不唯一了吗？

【生辩论】球不能扔，剩5个也得要盒子；班是整数，多出5个球不够一个班，不能算。

2.模型命名与迁移：

【师】数学给这两种智慧起了名字：进一法、去尾法。（板贴）

【非常重要】口诀建模：

“装运容器需进一，余数再小也加一；

做购分配望去尾，舍掉余数不后悔。”

3.跨学科统觉训练【创新】：

语文关联：用“无论……都……”造句描述进一法情境。

道德关联：剩的5个球，如果按去尾法处理（扔掉/退回），合适吗？引出“节约资源、应装尽装”的价值判断。

（五）第五板块：分层变式与精准反馈（约13分钟·差异化实施）

【动态分层】根据课堂观察，将学生分为三个策略群，任务卡颜色区分：

1.基础巩固群（红色卡）：

——核心障碍：竖式对位不齐、乘法口诀错误。

——任务：78÷564÷692÷3（要求：边算边说“分—乘—减—比”口令）。

——支持：提供半支架竖式（已标好商的大致位置）。

2.能力拓展群（黄色卡）：

——特征：计算无误，但对进一去尾混淆。

——任务：辨析题

A.43人露营，每6人一顶帐篷，要几顶？（进一）

B.43米布，每6米做一件大衣，最多几件？（去尾）

——深度追问：为什么同样是43÷6，答案一个是8，一个是7？

3.思维挑战群（蓝色卡）：

——特征：学有余力，对余数敏感。

——任务：【高频考点】在□÷9=15……□中，余数最大是（），此时被除数是（）。

——拓展：有一筐梨，总数在80~90之间，平均分给8个人剩2个，这筐梨可能有多少个？

（六）第六板块：全课集成——从“知识点”到“观念链”（约5分钟）

4.思维导图式板书共建：

师生合力完成板书脑图：

中心词：有余数除法。

第一分支：算——一商二乘三减四比。

第二分支：理——余数<除数（因为分不完是常态）。

第三分支：用——进一（加1）、去尾（舍余）。

第四分支：魂——0占位（是严谨，不是可有可无）。

5.元认知反思【非常重要】：

【师】如果请你给没学会的同学三条“锦囊妙计”，你送他哪三句话？

典型生成：

锦囊1：商是对齐数位的镜子，不能歪。

锦囊2：每次减完后，看看剩的比除数小吗？不小就说明没分完。

锦囊3：算完看看问题问“至少”“最多”还是“还剩”，决定余数要不要“成精”。

五、作业设计：自助餐式素养作业

（一）基础必做（全层完成）：

计算三选二：83÷4、97÷7、85÷6。要求：验算（商×除数+余数=被除数）。

（二）提升选做（至少1题）：

1.【生活摄影】找一找生活中用“进一法”或“去尾法”的例子，拍照并配算式说明。

2.【数学医院】以下日记有三处数学错误，请批改并订正：

“今天分66个糖果，每5颗装一袋，列式66÷5=12……6，装了12袋，还剩6颗。我想6颗还可以再装一袋，就装了13袋。”

（三）挑战试做（学有余力）：

【跨学科】古诗中的除法：“钓罢归来不系船，江村月落正堪眠。纵然一夜风吹去，只在芦花浅水边。”——诗里藏着除几余几的谜题？请你编一道有余数除法题。

六、板书设计（结构化生成）

（左侧）竖式解剖区：

1510

6√959√95

69

3505

300

55

（中部）黄金法则区：

【余数铁律】余数<除数

【计算四步】商→乘→减→比

（右侧）决策模型区：

剩物需装→进一法（+1）

限数制作→去尾法（舍余）

七、教学评价量规（嵌入式）

（一）水平一（记忆）：能模仿例题完成竖式计算，但无法解释“为什么余5不继续分”。

（二）水平二（理解）：能结合小棒讲解每一步含义，能判断余数合法性。

（三）水平三（应用）：【重要】能根据情境自主选择进一或去尾，并能口头阐述理由。

（四）水平四（综合）：【创新】能将错例中的“余数等于除数”识别为逻