填空小压轴（图形的运动、新定义）（16区）解析版

专题10填空小压轴（图形的运动、新定义）（16区）

1.（2023•上海浦东新•统考二模）我们规定：两个正多边形的中心之间的距离叫做中心距，在同一个平面

内有边长都为6的正三角形和正方形，当它们的一边重合时，中心距为.

【答案】3-0或3+8

【分析】分两种情况，结合正方形和正三角形的性质，即可求解.

【详解】解：如图，在正方形488和正三角形中，连接交于点O,正三角形8CE的中线

七G,8厂交于点凡则点O,P分别正方形48CQ和正三角形8CE的中心，

在正方形48CO和正三角形8CE中，OB=OC,OB工OC,BG=CG,BE=CE,ZCBF=30°,

•••点O,E均在8c的垂直平分线上，

:.点E,O,P,G四三点共线，

•.•正方形ABCD和正三角形BCE的边长都为6,

:.BC=BE=6.

OG=BG——BC=—x6=3,

22

:・PG=8GxtanZ.CBF=3x—=^,

3

•・.OP=OG-PG=3-6

即中心距为3>/3；

如图，在正方形48c。和正三角形BCE中，连接力C/。交于点O,正三角形8CE的中线EG4”交于点

F,则点。，尸分别正方形力8c。和正三角形8CE的中心，

在正方形48。和正三角形BCE中，OB=OC,OBLOC,BG=CG,BE=CE,ZC5F=30°,

:点O,£均在5c的垂直平分线上，

:,点.E,O,P,G四三点共线，

•••.正方形和正二角形，CK的边长都为6,

BC=BE=6.

,.OG=BG=-BC=-x6=3t

22

:,PG=BGxtan/CBF=3*=5

3

：.()P=0G-PG=3+6

即中心E巨为3+石；

综上所述，中心距为3-6或3+石.

故答案为：3-6或3+石

【点睛】本题主要考查了正方形和正三角形的性质，解直角三角形，利用分类思想解答是解题的关键.

2.(2023・上海宝山•统考二模)如图,已知VMC中,ZBJC=30°,28=70。,如果将V4BC绕点C顺时

针旋转到△*'6'C,使点5的对应点*落在边4c上，那么乙44g的度数是.

【答案】20。/20度

,

【分析】根据旋转可得/8WC=ZJ8C=30。，Z^CJ=ZJC5=80°,AC=ACt等边对等角得

NCAA'=/C/A=50°,根据/AAE=NCA'A-/B'A'C即可求解.

【详解】解：）C=30。,NB=700,

:.4cB=180°-70°-30°=80°.

•.•招VABC绕点C顺时针旋转到△4'4'C，使点B的对应点"落在边AC上,

,,

・fA'C=/BAC=30。,ZACA=ZACB=S00tAC=AC,

:.Z.CAA'=ACAA=1（I8O0-80°）=50°•

/.ZAA'B'=NCA'A-NB/C=50°-30°=20°.

故答案为：20。.

【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，掌握旋转的性质是关

键.

3.（2023・上海松江•统考二模）我们定义：二次项系数之和为I,图像都经过原点且对称轴相同的两个二次

函数称作互为友好函数，那么歹=2/+4%的友好函数是.

2

【答案】y=-X-2x

【分析】函数y=2/+4》的对称轴为4=-1,设y=2—+4x的友好函数是y=。一+队,根据二次项系数之和

为1,图像都经过原点且对称轴相同可列出方程组，解出即可求出.

【详解】解：函数y=2/+4x的对称轴为x=-1,

设夕=2/+4x的友好函数是y=ad+加，

2+。=1

a=-}

"6=-2'

>=2x2+4%的友好函数是歹=7二-2工

故答案为：y=-x2-2x.

【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是读懂“友好对称二次函数"的定义.

4.(2023・上海闵行•统考二模)阅读理解：如果一个三角形中有两个内角。、/满足2a+/=90。，那么我

们称这个三角形为特征三角形.

4

问题解决：如图，在V/l8c中，为钝角，AB=25,tanJ=-,如果V48C是特征三角形，那么线

段NC的长为.

【答案】胃

【分析】由题意可分：①设N/=a,N8=/7,则在48上截取一点。，使得。。=U,此种情况不符合题

意；②设乙4过点8作班＞"L/C于点E,过点。作3工于点R然后根据三角函数及勾

股定理可进行求解.

【详解】解：由题意可分：①设乙4=a,N8=/7,则在上截取一点。，使得8=。，如图所示：

Z4=ZADC,

4

■:tanA=—f

4

tanZ.ADC=—,

.••/COB为钝角，故不存在2a+//=9()。；

②设N/1=6，NA=a,过点4作BE_L42于点E,过点C作CF人4B于点F,如图所示:

B

•••V.48c是特征三角形，即2a+4=90。，且乙4+48E=90。，

ZABE=2NABC,

:.BC平分NABE,

:.CF=CE,

4

vtan/!=-j,

CFBE

----=-----,

AFAE

设4尸=3x,CF=CE=4x,AC=5x,则有AE=9x,

BE=I2x,

•••AB=25,

2

・•・在Rt/\ABE中，由勾股定理得81—+144x=625，

解得一=g,

.••〃=竺；

3

故答案为g.

【点睛】本题主要考查三角函数及勾股定理，熟练掌握三角函数及勾股定理是解题的关键.

5.（2023・上海闵行•统考二模）如图，在菱形/1BCQ中，48=6,乙4=80。，如果将菱形力86绕着点。

逆时针旋转后，点力恰好落在菱形力88的初始边力5上的点石处，那么点后到直线的距离为

BD

【答案】3

【分析】如图，旋转、菱形的性质可知，DE=AD=AB=6,贝J/。口=乙4=80。,

1OAO_//

NABD=ZADB=——=—=50°,ZADE=180°-NDEA-ZJ=20°,DBDE=DADB-DADE=30°,根据E

2

到直线BD的距离为。曰sinNBDE,计算求解即可.

【详解】解：如图，菱形48co绕着点。逆时针旋转后为菱形

由旋转、菱形的性质可知，DE=AD=AB=6,

.-.ZZ）EJ=ZJ=80°,NABD=NADB=—-=—=50°,

2

ZJDE=180°-ZDEA-NA=20°,

:.0BDE=DADB-DADE=30°,

：.E到直线BD的距离为OE・sinNBDE=6x1=3,

2

故答案为：3.

【点睛】本题主要考查了旋转的性质，菱形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，正弦等知识.解题

的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.

6.（2023・上海黄浦•统考二模）我们规定：在四边形中，。是边8c上的一点.如果VOtB与VOCD

全等，那么点。叫做该四边形的“等形点”.在四边形ErGH中，NEFG=90。，EF//GH,EF=1,

FG=3,如果该四边形的“等形点”在边尸G上，那么四边形EFG"的周长是.

［答案］8或6+而

【分析】根据平行线的性质，得到"G，=90。，分两种情况讨论：当VOMgVOHG时，证明四边形ER7,

时平行四边形，据此即可求出四边形石打汨的周长：当VOEQVOG〃时，根据全等三角形的性质，推出

GH=2,NEOH=90。，利用勾股定理，依次求出OE=逐，EH=回,即可求出四边形的周

长.

【详解】解：•••NEFG=90。，EF//GH,

NFGH=90°,

•••四边形EFG"的"等形点”在边FG上，

如图1,当VOEFmOHG时,则EF=〃G=1,

鼠_________簿

F>每

EF//GH,

四边形EFG”时平行四边形，

:.EH=FG=3,

..・四边形EFG〃的周长为(1+3)X2=8；

如图2,当VOMgW/OG时，

：.EF=OG=\tOF=GH,OE=OH,NOEF=4HOG,

•:FG=3,

:.OF=FG-OG=3-i=2,

/.6/7=2,

vZEFO=90°,

NOEF+/EOF=90°,

/HOG+/EOF=90°,

：.ZEOH=180°-（NHOG+/EOF）=90°,

在RiVE尸。中，OE=ylEF2+OF2=Vl2+22=45»

；.OE=OH=&

在RtVEO〃中，EH=d（）E2+加=M，

..・四边形的周长为1+3+2+厢=6+布，

故答案为：8或6+J16.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角

形的性质是解题关键.

7.（2023・上海黄浦•统考二模）七巧板是中国传统智力玩具，现用以下方法制作一-副七巧板：如图所示，

取一张边长为20厘米的正方形纸板，联结对角线8。；分别取8C、CD中点E、F,连接：过点4作

后尸垂线，分别交8。、EF于G、”两点；分别取4G、QG中点M、M联结MH、NF,沿图中实线剪开

即可得到一副七巧板.其中四边形G〃刃V的面积是平方厘米.

【答案】50

【分析】根据勾股定理求出8Q,证明四边形G/VN是正方形，即可解得.

【详解】根据勾股定理可得，

8D7AB2+AD?=20底，

,:BC、CD中点E、F,联结£产，

:.EF//BD,

EF=LBD=U）6,

•••N是。G的中点,

•••GN=5&

•••根据对称性，EFLAH,

:.EH=HF=5>{i，

,:GN=HF=5五，

GN//HF,

四边形GHFN是平行四边形，

又••NNGH=90。，

•••四边形是矩形，

•:ZNDF=NDFN=45。,

:.DN=NF=54i，

二四边形是正方形，

:.SGHFN=5>/2x5a=50cn/,

故答案为：50.

【点睛】此题考查了正方形的证明和面积，解题的关键是熟悉正方形的性质.

8.（2023・上海杨浦•二模）如图，已知在扇形〃用中，乙108=60。，半径04=8,点P在弧力4上，过点

P匕PCLO4于■点C,PD1OB于点D,那么线段CO的长为.

【答案】4石

【分析】作辅助线：接PO,取尸。的中点E,连接CE，DE,通过COPD共圆求出等腰三角形CDE的钝角

为120。，从而求出CD的长度.

【详解】解：如图，连接PO,取PO的中点凡连接CE,DE,

在"△〃C'。和Rt^PDO中，点E是斜边PO的中点，

:.CE=DE=PE=OE=1PO=4,

2

根据圆的定义可知，点P，C,0,。四点均在同一个圆，即OE上,

又♦,♦/。0。=60。,

ZCEZ)=120°,

/CDE=NDCE=3。。,

过点H作EHLCD,垂足为点”，

由垂径定理得，CH=DH=；CD,

在RNDEH中,EH=-DE=2,DH=2日

2

:.CD=2DH=473.

故答案为：46.

【点睛】本题考查辅助线的添加、直角三角形斜边上的中线、对角互补的四边形共圆；掌握这些是本题关

键.

9.(2023・上海浦东新•统考二模)如图，将矩形43CO纸片沿对角线力。折叠，点8落在点£处，EC与边

/W相交于点尸.如果4。=2/4,那么/。。尸的正弦值等于.

H'----------

【答案】|3

【分析】通过证明△力"^△COF(AAS)得到E/=。八AF=CF,在RtV/M中，根据勾股定理列出等

量关系式，得出边之间的关系，即可求解.

【详解】解：■:AD=2AB,

.•.设/5=4,力。=2〃，

vLAEC由VABC沿AC折叠得到，

:・AE=AB=CD=a,NE=NB=ND=90。,

在△力石尸和VC。尸中，

Z£=ZD=90°

«NAFE=NCFD,

AE=CD

.-.△JEF^ACZ)F(AAS),

；・EF=DF,AF=CF,

设EF=DF=b,贝1」/产=(7/=40-。尸=2。一/),

在RtV川即中，根据勾股定理可得：AE?+EF2=AF'

^az+bz=(2a-b)2,整理得：=

CF=2a-b=-a,

4

3

1J

.-.sinZDCF=——

CFL5

4

3

故答案为：

【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，解直角三角形，解题的关键是掌握矩形的性质，折叠的性质，

勾股定理，以及解直角三角形的方法和步骤.

3

10.（2023•上海金山•统考二模）已知V力BC中，ZBAC=90°,"=3,tan。二:，点O是线段AC上的动

4

点，点E在线段力。上，如果点E关于直线力力对称的点尸恰好落在线段8C上，那么CE的最大值为

【答案】|

【分析】过4点作4G_L3C于点G,先解直角三角形求出/C=4,BC=5,然后利用面积求出

4G二三,当户与G重合时4尸最小，即CE最大，求出最大值即可.

【详解】解：如图，过力点作4GJL8C于点G,

vZ.BAC=90°,AB=3,tanC=—,

4

:.AC=4,

贝I」8C=y/AB2+AC2=V32+42=5，

又,

22

sACxAB3x412

:.AG=----------=-----=—

BC55

•••点七、点"关于直线力。对称，

:.AF=AE,

又点F恰好落在线段6C上，

•••当尸与G重合时4Z7最小，即CE最大，

二比最大值为4_5咤

故答案为：g.

【点睛】本题考查解直角三角形，轴对称的性质，掌握垂线段最短是解题的关键.

11.（2023・上海宝山•统考二模）如果一个三角形的两个内角。与夕满足2a+/=90。，那么我，‘门称这样的

三角形为“倍角互余三角形已知在Rt△月8c中，ZJCB=90°.AC=4,4C=5,点。在边BC上，且

△ABD是"倍角互余三角形"，那么BD的长等于.

【答案】,或41-4百

【分析】分两种情况讨论，当/5=/CW时，利用tanND4c=tanNB,列式计算即可求解；当

/84力=/。。时，即力。是NA4C的角平分线，利用角平分线的性质以及勾股定理即可求解.

【详解】解：当时，N8+/比+/例。=90°,即2/6+/34。=90。，△48。是“倍角互

余三角形”,

AC4

贝ljtanADAC=tanZB=—=-

BC5

当/ZbiD—NUD时，NZ7十NG49十NZ?9=90%即NA+2N〃力。—90。，△44。是“倍角互余二角形”,

此时AD是/B4C的角平分线，

作DE/48于£,则DC=DE,

'：AD=AD,.-.RtA^Z)C^RtA/iD£(HL),,-.AE=AC=4,

:,ZJC5=90°,AC=4,BC=5,:.AB=442+5]=向，5E=TJT-4।

设8Q=x,则CO=OE=5-x,在中，由勾股定理得+(5-x1=/,解得

41-4历

综上，8。的长等于”或国二巫

55

故答案为：?或去二迎

55

【点睛】本题考查了正切函数的定义，角平分线的性质以及勾股定理，分情况讨论是解题的关键.

12.（2023・上海崇明•统考二模）如图，已知在两个直角顶点重合的RtA48C和中，

乙4cB=NDCE=90。，NC48==30。，8c=3,CE=2,将VCQf绕着点。顺时针旋转，当点。

恰好落在力4边上时，联结8£,那么8£=

【答案】"

【分析】利用含30度角的直角三角形的性质，分别求出力8,。上的长，证明△/COsaBCf,得到

jnl

—=V3,推出/Q8E=90。，在RtVOBE中，利用勾股定理进行求解即可.

BE

【详解】解：•：NACB=/DCE=卿，NC4B=NCDE=3。。，BC=3,CE=2,

:.AB=2BC=6,DE=2CE=4,48c=60°,tan300=—=—=—,^ACD=Z.BCE=90c-Z.BCD,

DCAC3

•••△ACDs^BCE,

ADl

—=6,NCBE=/4=30。，

BE

:.ZDBE=ZABC+Z.CBE=90°,

设BE=x,则：AD=，

•••BD=AB-AD=6-JJx,

在RWO8E中，DE2=BE1+BD2，即：42=x2+（6->/3x）2

解得：*=3舁3或x=36+币(不合题意，舍去);

22

:.BE=巫

2

故答案为:

~T~

【点睛】本题考查含30度的直角三角形，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解一元

二次方程.熟练掌握相关知识点，证明三角形相似，是解题的关键.

13.(2023・上海徐汇•统考二模)如图，在直角坐标系中，已知点4(8,0)、点8(0,6),e/1的半径为5,点

C是e4上的动点，点尸是线段8C的中点，那么"长的取值范围足

【分析1如图，在y轴上取•点&(0，-6),连接次4,B'C,由勾股定理求出*/=10,由三角形中位线

定理求8'C=2OP,当C在线段〃力上时，*C的长度最小值10-5=5,当C在线段牙力延长线上时,

B'C的长度最大值10+5=15,即可求解.

【洋解】解：如图，在y轴上取一点8'(0,-6),连接8N,B'C,

・；4(0,-6),4(8,0),

：.OB'=OB=6,04=8,

-BrA=>JoB,2+OA2=10»

•・•点P是BC的中点,

:.BP=PC,

•••08=08,BP=PC,

.•.OP是△88'C的中位线，

:.B'C=2OP,

当C在线段*力上时，8'C的长度最小值为：10-5=5,

当C在线段发4延长线上时，8C的长度最大值为：10+5=15,

A5<^C<15,

••.2.5WOPW7.5,

故答案为：2.5<OP<1.5.

【点睛】本题考查的是圆外一点到圆上点距离的最值，三角形中位线定理，勾股定理等知识，添加恰当的

辅助线是解答本题的关键.

14.(2023・上海徐汇•统考二模)如图，抛物线G：y=/+2x-3与抛物线G：y=+瓜组成一个开

口问卜的"月牙线”,抛物线G和抛物线。2与*轴有着相同的交点力、F(点F在点力右侧).与》轴的交点

分别为C、D.如果BD=CD,那么抛物线G的表达式是.

4

【答案】y=5(x+3)(x-l)

【分析】先求出小B、。的坐标，设点。的坐标为(0,〃?)，则利用勾股定理结合8。=。。得

到〃/+1=(3+〃］「解得加=-；则可设抛物线G的解析式为J，=a(x+3)(x-l),利用待定

4

系数法求出.

【详解】解：在y=./+2x-3中，令工=0,则，=-3,

.-.C(0,-3),

在/=/+2x-3中，令y=0,则炉+2工一3=0,解得x=l或4=一3,

.•.4(-3,0),8(1,0),

.%OB=\,

设点D的坐标为(0，，〃)，则OD=-m

-CD=3+ni,BD=>JOD2+BD1=y/rn2+1»

vBD=CD,

m2+1=(3+m)",

4

解得〃?=-针

J

邛-3，

••・抛物线G经过小B,

・•・可设抛物线的解析式为歹=a(x+38-1),

4

.-.«(O+3)(O-l)=-y,

4

解得。=3，

4

••・抛物线。2的解析式为y=](x+3)(x-1),

4,

故答案为：y=—(^+3)(x-1).

【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，求二次函数与坐标轴的交点，正确求

出点。的坐标是解题的关键.

15.(2023•上海静安•统考二模)在平面直角坐标系xS中，我们定义点"(》))的“关联点〃为

B(x+yyx-y).如果已知点A在直线歹=》♦3上，点8在e。的内部，e。的半径长为3&(如图所示)，

那么点A的横坐标x的取值范围是.

【答案】-3<x<3

【分析】先求得点4(x,y)的“关联点〃为8(2x+3,-3),过点C(O，-3)作歹轴的垂线交圆。于点E、

F,连接OE,则点4在线段£产(两端点除外)上运动，利用勾股定理及垂径定理即可求解.

【详解】解：•••点力在直线尸"3上，

/l(x,x+3),

.•.x+y=x+x+3=2x+3,x-_v=x-(x+3)=-3,

・•.点4(x,y)的“关联点〃为B(2x+3「3),

过点。(0,-3)作y轴的垂线七八交圆。于点E、F,连接。石，则点4在线段上尸(两端点除外)上运

在RtVOCE中，CE=JOE?-0C2=小⑸-3?=3,

•.•即ly轴，y轴过圆心，

:.CE=CF=3,

门的取值范围为-3<》<3.

故答案为：-3<x<3.

【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理，•次函数数等知识，熟练掌握垂径定理是解题的关键.

16.(2023・上海静安•统考二模)如图，在V力BC中，4B=AC,耨V力BC绕着点B旋转后，点、C落在4C

边二的点E处，点A落在点。处，DE与48相交于点F,如果BE=BF,那么8c的大小是.

【答案】108。/108度

【分析】设/力=X,由48=4C,BE=BF^/ABC=NC,/BEF=/BFE,再由旋转的性质得

/DEB=/C=/ABC=/DBE,BE=BC,从而有/CBE=NA=x,同理可证：/EBF=/A=x,利

用三角形的内角和定理构造方程即可求解..

【详解】解：设N4=x,

AB=AC,BE=BF»

:.NABC=/C,NBEF=NBFE,

•••将WI8C绕着点8旋转后，点。落在XC边上的点E处，点A落在点。处，DE与4R相交于点F,

:.NDEB=NC=NABC=NDBE,BE=BC,

vNBEC+/C+NCBE=/48C+/C+/力=180°,

:.NCBE-ZA-x,

同理可证：/EBF=/4=x,

NDBE-/ABC-^C-NBEC-2x,

•••N/BC+NC+//=180。，

:.2x+2x+x=\80°,

解得x=36。，

/.NDBC=NDBE+/CBE=3x=108°

故答案为108。.

【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，旋转的性质以及一元一次方程的应

用，熟练掌握三角形的内角和定理时解题的关键.

17.（2023•上海嘉定•统考二模）如图，在RtV48C中，ZC=90\AC=4,BC=2,点、D、七分别是边

BC、4/1的中点，连接将V80E绕点3顺时针方向旋转，点。、£的对应点分别是点。、片.如果

点月落在线段力c上，那么线段C"=—.

BD