四川省资阳市安岳中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题(强基班)（原卷版）

高2024级第四学期强基班入学考试数学试题考试时间：120分钟；满分：150一、单选题（本题含8小题，每题5分，共40分）1.若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.2.记等差数列的前项和为.若，，则（）A. B. C. D.3.等比数列的前项和为，，则（）A.60 B.50 C.40 D.304.函数图象上点到直线的距离的最小值为（）A B. C. D.5.已知数列满足，，则的前20项和为（）A.299 B.300 C.301 D.3026.已知点满足方程，点Q在圆上运动，，则的最小值为（）A.2 B.3 C.4 D.57.已知定义在上的奇函数的导函数为，，当时，，则不等式的解集为（）A. B.C. D.8.若函数有2个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题（本题含3小题，每题6分，共18分）9.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（）A.B.C.数列的前n项和的值可能为D.10.已知圆和直线，点P在直线l上运动，直线、分别与圆C相切于点，则下列说法正确的是（）A.切线长的最小值为B.四边形面积最小值为4C.当最小时，弦所在的直线方程为D.弦所在直线必过定点11.如图，正四棱锥每一个侧面都是边长为4的正三角形，若点M在四边形ABCD内（包含边界）运动，N为PD的中点，则（）A.当M为AD的中点时，异面直线MN与PC所成角为B.当平面PBC时，点M的轨迹长度为C.当时，点M到AB的距离可能为D.存在一个体积为的圆柱体可整体放入正四棱锥内三、填空题（本题含3小题，每题5分，共15分）12.直线：被圆：截得的弦AB的长为______.13.设两个等差数列的前项和分别为，若对任意正整数都有，则的值为__________.14.已知函数在上既有最大值，又有最小值，则实数的取值范围为___________．四、解答题（共5小题，共77分）15.开展主题为“贯彻新发展理念，建设节水型城市”的用水宣传周活动，为了解活动开展成效，某街道办事处工作人员赴一小区调查住户的节约用水情况，随机抽取了200名业主进行节约用水调查评分，将得到的分数分成6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求a的值，并估计这200名业主评分的众数和中位数；（2）若先用分层抽样的方法从评分在和的业主中抽取5人，然后再从抽出的这5位业主中任意选取2人作进一步访谈：求这2人中至少有1人的评分在的概率．16.记数列的前项和为，已知.（1）证明：是等比数列；（2）设，求数列的前项和.17.如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，．（1）若为线段中点，求证：平面．（2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值．18.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若恒成立，求取值范围.19.已知椭圆（）离心率为，过椭圆C上一点作两条互相垂直的直线，与椭圆分别交于异于点的两点.（