2025-2026学年人教A版高中数学选择性必修三单元测试 第6章 计数原理（二）

第6章计数原理

（时间:120分钟满分:150分）

一、选择题:本题共8小题,每小题5分洪40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1.某省实行“3+1+2”新高考模式,语文、数学、英语三科必选，物理、历史两科

中选择一科，思想政治、地理、化学、生物学四科中选择两科，则学生不同的选科

方案共有（）

A.6种B.12种

C.18种D.24种

2.若除二184，则in等于（）

A.9B.8

C.7D.6

3.设（1-3幻9=40+。1工+44+・・・+〃9?则|4o|+3|+|。2|+…+|〃9|的值为（）

A.29B.49

C.39D.59

4.若实数4=2-应，则小・2%，+22脸酒…+”等于（）

A.32B.-32

C.1024D.512

5.分配4名水暖工去3户不同的居民家里检查暖气管道.要求4名水暖工都分

配出去，且每户居民家都要有人去检查，那么分配方案共有（）

A.A：种B.AmAg种

C.C混种D.禺禺Ag种

6.如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个

区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方案有（）

A.72种B.96种

C.108种D.120种

7.（1+£）（1+犬）6的展开式中工的系数为（）

A.6B.15

C.18D.21

8.将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3所学校，要求每所学校至

少有1个名额且各校分配的名额互不相等，则不同的分配方法种数为（）

A.96B.114

C.128D.136

二、选择题:本题共3小题,每小题6分洪18分.在每小题给出的选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.现安排高二年级A,B,C3名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,

每名同学只能选择一个工厂，旦允许多人选择同一个工厂,则下列说法正确的是

()

A.所有可能的方法有3,种

B.若甲工厂必须有同学去,则不同的安排方法有37种

C.若同学A必须去甲工厂，则不同的安排方法有16种

D.若3名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种

10.从1,2,345,6中任取三个不同的数组成一个三位数，则在所组成的数中

()

A.偶数有60个

B.比300大的奇数有48个

C.个位和百位数字之和为7的数有24个

D.能被3整除的数有48个

11.已知(Q%-专则下列说法正确的是()

A.若。=1,则展开式中的常数项为15

B.若。=2,则展开式中各项系数之和为1

C.若展开式中的常数项为60,则a=2

D.若展开式中各项系数之和为64,则a=2

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分请把正确答案填在题中的横

线上.

12.在［2*)5的展开式中的系数是.

13.学校计划在公园小路的一侧种植丹桂、金桂、银桂、四季桂四棵桂花树,

佛手银杏、马铃银杏两棵银杏树，要求两棵银杏树必须相邻，则不同的种植方法共

有种.

14.在(1+sinx)6的展开式中，二项式系数最大的一项的值为河无在区间［0,2兀］

上的值为.

四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程

或演算步骤.

15.(13分)10件不同厂生产的同类产品：

⑴在商品评选会上，有2件商品不能参加评选，要选出4件商品，并排定选出的

4件商品的名次，有多少种不同的选法？

(2)若要选6件商品放在不同的位置上陈列，且必须将获金质奖章的2件商品

放上,有多少种不同的布置方法？

16.(15分)已知(1+24)〃的展开式中，某一项的系数恰好是它的前一项系数的

2倍，而且是它的后一项系数的).

6

(1)求展开式中二项式系数最大的项；

(2)求展开式中所有的有理项.

17.(15分)4名男同学和5名女同学站成一排.

(1)5名女同学必须站在一起，有多少种不同的排法？

⑵任何两名女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法?

(3)男生和女生相间排列方法有多少种？

18.（17分）已知=41+a2cl+,,,+arCn1+…+〃”+1CJJ（〃£N*）.

⑴若冬=〃-1,求危）;

⑵若小二3已求420）除以5的余数.

19.(17分)如图，从左到右有五个空格.

(1)向这五个格子中填入01,2,3,4五个数，要求每个数都要用到,且第三个格子

不能填。，则一共有多少种不同的填法？

(2)若向这五个格子中放入六个不同的小球，要求每个格子里都有球,则有多

少种不同的放法？

(3)若给这五个空格涂上颜色,要求相邻格子不同色，现有红、黄、蓝三种顼色

可供使用，则一共有多少种不同的涂法？

第6章计数原理

(时间:120分钟满分:150分)

一、选择题:本题共8小题,每小题5分洪40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1.B

根据题意,分两步完成：

第一步，先在物理、历史两科中选择一科，有2种选法；

第二步，再从思想政治、地理、化学、生物学四科中选择两科，有废二6种选法.

综上所述,根据分步乘法计数原理共有2x6=12种选法，故选B.

2.D

由题意，得A*)(力2)(”3)二I'"；：?：,，；

又24,整理得m-3=3,解得m=6.

3.B

由于〃0,。2,44,。6,。8为正⑼,43,45,47,。9为负，故令工二-1,得

(1+3)9=40-41+42-43+…+。8-49二|。。|+|。11+…+|〃9],故选B.

4.A

由二项式定理及。=2-加，得

,0928,,,00101928,,,10

a-2Ci0d4-2Ci0a-,+2=Ci0(-2)a+C}0(-2)a+Ci0(-2)d4-+Ci0(-2)=(a-2)

,O5

'O=(.V2)=2=32.

5.C

先将4名水暖工选出2人分成一组，再和其他2名水暖工构成三组，将三组水

暧工分配到3户不同的居民家,故有鬃AW种方案.

6.B

分步完成:第一步,涂区域1,有4种方法;第二步，涂区域2,有3种方法;第三步,

涂区域4,有2种方法(此前三步已经用去三种颜色);第四步，涂区域3,分两类，第一

类,3与1同色,则区域5涂第四种颜色，第二类，区域3与1不同色，则涂第四种颜色,

此时区域5就可以涂区域1或区域2或区域3中的任意一种颜色，有3种方法.

因此不同的涂色方案有4x3x2x(lxl+Ix3)=96种.故选B.

7.D

•・,(1+3(l+x)6的展开式中X的系数为1XC2+1X髭=6+15=21.故选D.

8.B

先用隔板法在中间17个空中放上2个隔板有底7二136种方法，再减去名额相

等的情况:(1//6),(2,2,14),(3,3J2),(4,4,10),(5,5,8),(6,6,6),(7,7,4),(8,8,2),共有

70+1=22种方法，所以不同的分配方法种数为136-22=114.

二、选择题:本题共3小题.每小题6分洪18分.在每小题给出的选项中.有多

项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.

9.BCD

根据题意，依次分析选项.

对于A,每人有4种选择，则3人一共有4x4x4=43种方法,A错误.

对于B,分三种情史讨论:①若有1名同学去甲工厂，则去甲工厂的同学情况为

心,另外2名同学的安排方法有3x3=9种,此种情况共有C；x9=27种；

②若有2名同学去甲工厂，则同学选派情况为最，另外1名同学的排法有3种,

此种情况共有髭x3=9种；

③若3名同学都去甲工厂,则此种情况唯一.

综上所述，共布27+9+1=37种安排方法,B正确.

对于C,若A必去甲工厂，则B,C2名同学各有4种安排方法，共有4x4=16种

安排方法,C正确.

对于D,若3名同学所选工厂各不同,则共有CjAg=24种安排方法,D正确.

故选BCD.

10.ACD

根据题意，依次分析选项：

对于选项A,其个位数字为2或4或6,有3种情况，在剩余5个数字中任选2

个，安排在百位和十位，有Ag=20种情况，则有3x20=60个三位偶数，选项A正确；

对于选项B,分两种情况讨论,若百位数字为3或5,有2x2x4=16个三位奇数,

若百位数字为4或6,有2x3x4=24个三位奇数，则符合题意的三位数有16+24=40

个，选项B错误；

对于选项C,个位和百位数字之和为7有(1,6),(2,5),(3,4),共3种情况，则符合题

意的三位数有3A^A；=24个,故选项C正确；

对于选项D,能被3整除，则三个数字之和为3的倍数，共有

(1,2,3),(1,2,6),(1,3,5),(1,5,6),(2,3,4),(2,4,6),(3,4,5),(4,5,6)8种选择，故能被3整除的

数有8A；48个,故选项D正确.故选ACD.

11.AB

对于选项A,若G=l,则［*)6展开式的通项几+产哈(・1)以6当，

令6-号=0,得4=4,故所求常数项为第二15,故选项A正确；

对于选项B,若〃=2,则展开式中各项系数之和为(2-1)6=1,故选项B正确；

对于选项C,由通项元+|二吟(-母.小以6又令6与=0,得2=4,故所求常数项为

C&〃2=15〃2=6(),解得〃二土2,故选项C错误；

对于选项D,若展开式中各项系数之和为64,即(.-1)6=64=26,解得或〃=3,

故选项D错误，

故选AB.

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.请把正确答案填在题中的横

线上.

12.40

展开式的通项是Tk+i北(x2产令10-32=4,解得攵=2.

・•.(/[)5的展开式中产的系数为(.2)2釐=40

故答案为40.

13.240

分两步完成：

第一步，将两棵银杏树看成一个元素，考虑其顺序，有A,种种植方法；

第二步，将银杏树与四棵桂花树全排列，有Ag种种植方法.

根据分步乘法计数原理,不同的种植方法共有A,•A卜240种.

呜或工

由题意，得74=C6sin\¥=20sin3^=|,

[0,2兀],；♦/=2或x=—.

66

四、解答题:本题共5小题，共77分解答应写出必要的文字说明、证明过程

或演算步骤.

15.

解(1)10件商品，除去不能参加评选的2件商品，剩下8件，从中选出4件进行

全排列，有A%=1680种选法.

(2)分两步完成:第一步，将获金质奖章的2件商品布置在6个位置中的2个位

置上，有A卷种方法;第二步，从剩下的8件商品中选出4件,布置在剩下的4个位贵上,

有A*种方法.

根据分步乘法计数原埋，共有A焉A*50400种布置方法.

16.

A

解:(1)二项式的通项为7I+I=C；J(2)X2,

由题意知展开式中第(k+1)项系数是第&项系数的2倍，是第伙+2)项系数的2

6

7cA

=《T

整理嗝=£?

(2k=n+1,

115(n-/c)=3(k+1),

解得《：4：3

因此展开式中二项式系数最大的两项是7^=C?(2V?)3=280XU

?5=C7(2V%)4=560x2.

(2)由(1)知二项式的通项为7V产啰2人蓝(攵二0,1,2,…,7),

・•・当7i+产仁目，?为有理项时,火=0,2,4,6,

・•・展开式中所有的有理项为7>C/2°f=l,

73=C?-22-XI=84X,75=C^24-X2=560X2,

乃式%26./=448火3

17.

解⑴根据题意，将5名女同学看成一个整体，与4名男同学全排列即可，有

AgA卜14400种排法.

(2)根据题意，先排4名男同学,再将女同学安排在排男同学形成的空位中，有

AjAj=2880种排法.

(3)根据题意,男生后女生相间排列，先排5名女同学，再将男同学依次安排在

女同学相互之间的空位中，有=2880种排法.

18.

解(1)因为=0+。2*+…+。£尸+…+。〃+1邛£N"),

又〃〃二〃-1,所以加)=0(^+1岫+2第+3+〃邛，