2025高考数学第二轮复习专练：数列的概念及表示（含答案）

2025版新教材高考数学第二轮复习

专题六数列

6.1数列的概念及表示

五年高考

考点数列的概念及表示

1.（2023天津,6,5分，易）己矢「数列｛小｝的前〃项和为S〃.若ai=2,a〃+i=2S〃+2（〃卜N*）,则由二

（）

A.16B.32C.54D.162

2.（2022全国乙理,4,5分，中）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国

第一颗环绕太阳飞行的人造行星.为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到

数列｛仇｝:4=1+工力2=1九=1+—二一,…，依此类推淇中原£N*（公1,2，…）.则（）

a1«1+------r

2〃2+石

A.Z?!</?5B.03<Z?8c.b6Vb2D./?4</?7

3.（2021北京,10.4分，中）已知｛〃〃｝是各项均为整数的递增数列，且sN3.若你+s+...+a产100.

则〃的最大值为（）

A.9B.10C.llD.12

4.（2021浙江,10,4分，难）已知数列｛.｝满足〃尸1,m+尸m=（〃£N*）.记数列｛雨｝的前〃项和

为S”,则（）

A.YSIOO<3B.3<SIOO<4

2

C.4<Sioo<-D.-<Sioo<5

22

5.（2020课标〃理,12,5分，难）0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列。而…。〃…

满足修£｛0,l｝（i=l,2,…）,且存在正整数血使得而〃尸必产1,2,...）成立，则称其为0-1周期序

列，并称满足而〃尸々"=1,2,...）的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0-1序

列a\ai...an...,C（k）=—43+履公1,2尸..,〃7-1）是描述其性质的重要指标.下列周期为5

的0-1序列中，满足。（攵）40=1,2,3,4）的序列是（）

A.11010...B.11011...

C.10001...D.11001...

6.（2022北京,15,5分，难）己知数列仅〃｝的各项均为正数淇前〃项和S1满足3$=9（〃=1,2,...）.

给出下列四个结论：

①｛〃“｝的第2项小于3;②｛〃“｝为等比数列；

③｛｝为递减数列\®｛an｝中存在小于焉的项.

其中所有正确结论的序号是.

7.(2023全国甲理,17,12分，中)记S〃为数列｛〃”｝的前〃项和，已知cn=l,2sL.

(1)求｛〃〃｝的通项公式；

(2)求数歹I]｛鬻｝的前〃项和Tn.

精品试卷•第2页(共10页)

三年模拟

练速度

1.（2024江西南昌二中适应性测试（一）,3）若数列｛血｝满足t/2=l4985二（）

If

A.—B.llC.--D.W

101011

2.（2024广东汕头金山中学调研,5）已知数列｛。“｝,防=1,斯+1・。”=2",则mo等于（）

A.5I1B.1022C.1023D.2047

3.（2024浙江宁波二模,6）已知数列｛m｝满足q尸方凡小对任意）＜｛1,2,3｝都有〃“＞斯+1,且对任

意〃£（叶仑7j£N｝都有〃〃＜加|,则实数7的取值范围是（）

A.扇］B.（M）

C（露）

4.（2024湖南长沙雅礼中学月考七,5）我们把由。和1组成的数列称为（）-1数列,0-1数列在

计算机科学和信息技术领域有着广泛的应用，把斐波/契数列｛尸〃｝（尸产B=l,R+2=凡+R+D

中的奇数换成0,偶数换成1可得到0-1数列｛〃〃｝,记数列｛Z｝的前n项和为"则Soo的值

为（）

A.32B.33C.34D.35

5.（2024河北沧州模考,4）已知数列｛〃〃｝的前n项和为S”M=2,（〃-2）S〃+i+2a〃+i=〃S〃,〃£N",下

列说法不正确的是（）

AZ/2=4B.｛雪为常数列

2

C.ai=\5D.Sn=n+n

6.（2024山东青岛模考,4）在数列｛〃〃｝中⑷="前〃项和S〃二〃（2〃-1）版,则数列｛〃〃｝的通项公式

为（）

A.C/n=----3---7B.4〃二在二

（2n-l）（2n+l）2n+l

C.a产2-『Da,尸2-胃

2n+l2n

7.（2024江苏八市三模,6）设数列｛〃“｝的前n项和为S”,若S”+〃则ai=（）

A.65B.127C.I29D.255

8.（2024河北唐山二模,6）已知数列满足〃〃+|=4〃+0+2%。10=130,则a\=（）

A.lB.2C.3D.4

9.（2024山东济南名校联盟模拟,7）已知数列｛小｝满足〃尸1,对于任意的“且近2,都有

(a-i十为奇■数,

n则020=)

为偶数,

A.2"B.2u-2C.2,0D.2,0-2

10.(2024浙江Z20联盟联考，5)已知数列｛a„｝满足

(2〃-3)。〃-(2，-1)。〃“=4芥8〃+3(佗2,〃£1^"),。1=1,则4后()

A.2/Z-2B.2/Z2-/?

C.2n-1D.(2/?-l)2

”.(2。24广东广州一模,12)已知数列⑥的前”项和S"+”,当膏取最小值时上一.

练思维

1.(2024山东滨州期末,8)如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》

中，后人称为“三角垛"三角垛''的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四

层有10个球,.……记第〃层球的个数为即则数歹ij｛J的前20项和为()

(^)

A.UB.竺C.竺D.V

21212110

2.(2024广东湛江联考,8)在数列｛〃〃｝中⑼=1,且小加尸也当n>2时二「+...+C以+所-24

u2u3an

则实数2的取值范围为()

A.(-8,l]B.[l,+8)

C.(0,l]D.(-oo,4]

3.(2024广东茂名一模⑻数列｛〃〃｝满足m=8,在尸/j(〃eN*)力后仕+“♦(3n，若数列｛为｝

是递减数列，则实数7的取值范围是()

A.(-*+8)B.(_£+OO)

C.g+8)D.%+8)

a+展+1

4.(多选)(2024安徽池州期末)已知数列｛z｝满足0=1,如+尸nT—，则下列说法正确的是

()

A.ai024>fl2023B.｛2｝为递增数列

精品试卷•第4页(共10页)

C.4a:+]-1=4a”+ia〃D.a,024Vl013

5.（2024浙江杭州模拟』4）两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上研究数学

问题.他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子排列的形状对数进行分类.

如图中的实心点个数1,5,12,22,…，被称为五角形数,其中第1个五角形数记作0=1,第2个

五角形数记作s=5,第3个五角形数记作4=12,第4个五角形数记作出=22,……，若按此规

律继续下去，则a5=，若。〃=145,则n=.

,・、4白》.

,・・、、■，，

・，•、・♦，'i

•、._：'♦-6―一：

151222

练风向

1.（新定义理解）（2024河南高中毕业班适应性测试,8）对于数列｛小｝,定义

4=。什3。2+...+3"%”为数列｛m｝的“加权和设数列｛加｝的“加权和"4尸〃S”,记数列

｛a”+p〃+l｝的前n项和为北,若7；£八对任意的恒成立，则实数p的取值范围为

2.（新定义理解）（2024安徽安庆联考,8）若项数均为2,〃£N"）的两个数列仅〃｝,屹〃｝满足

ak-bk=k（k=1,2,…浦），且集合｛0,。2,…,。〃力1，从，…也｝=｛1,2,3,…,2〃｝,则称数列｛an｝,｛儿｝是一对

“项紧密数列”.设数列｛。〃）,伯〃｝是一对“4项紧密数列”，则这样的“4项紧密数列”有（）

A.5对B.6对C.7对D.8对

专题六数列

6.1数列的概念及表示

五年高考

考点数列的概念及表示

1.（2023天津,6,5分，易）已知数列｛为｝的前n项和为S〃.若〃尸2,所尸2s“+2（〃£N，则a4=

（C）

A.16B.32C.54D.162

2.（2022全国乙理,4,5分，中）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国

第一颗环绕太阳飞行的人造行星.为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到

数列｛瓦｝为1=1+工/2=1H~1H,...，依此类推，其中GAWN*（公1,2，…）.则（D）

的ai+------r

9aZ+而

A./?I<Z?5B.Z?3<Z?8C.b6vb2D.b4Vb7

3.（2021北京,10,4分，中）己知｛〃〃｝是各项均为整数的递增数歹ij,且*3.若0+必+…+。,尸100,

则〃的最大值为（C）

A.9B.10C.llD.12

4.（2021浙江,10,4分，难）已知数列｛知｝满足〃尸1,小+］二e/〃£1^*）.记数列｛。〃｝的前〃项和

为S〃，则（A）

A.YSIOO<3B.3<SIOO<4

2

9Q

C.4<5D.#00<5

5.（2020课标〃理,12,5分，难）0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列山⑺…小…

满足a£｛0,l｝（i=l,2,…）,且存在正整数"八使得而"尸々"=1,2,...）成立,则称其为0-1周期序

列，并称满足。汁〃尸々（i=l,2,…）的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0-1序

m

列f/1672...an...,C（Z:）=—Xi=isa+K仁1,2,…,〃z-l）是描述其性质的重要指标.下列周期为5

的0-1序列中，满足。（幻4（仁1,2,3,4）的序列是（C）

A.11010...B.11011...

C.10001...D.11001...

6.（2022北京,15,5分滩）已知数列｛跖｝的各项均为正数，其前刀项和S〃满足跖&=9（〃=1,2,…）.

给出下列四个结论：

①｛〃〃｝的第2项小于3;②｛板｝为等比数列；

③｛“1｝为递减数歹|J；④｛〃〃｝中存在小于三的项.

精品试卷•第6页（共10页）

其中所有正确结论的序号是一①③④.

7.（2023全国甲理,17,12分，中）记S〃为数列｛〃“｝的前n项和，已知人=1,25行吟

⑴求｛小｝的通项公式;

⑵求数歹U｛得｝的前〃项和Tn.

解析（1）当n=\时,20=0,即6/1=0,

当n>2时

乂2s②1

②-①得2an=nan-（n-1）an\,

即（〃-2）a〃=（〃-l）a”-i.

当n=2时，上式成立.

当论3吐粉岩"产餐管…,念必小衿…号1=〃-1，即皿-1（佗3）.

当〃=1时必=0符合上式，当〃=2时42=1符合上式.

综上,｛〃“｝的通项公式为

（2）由（1）知小+尸〃，设为=符=/=〃.（3n

二刀尸。i+>2+加+…=Ixg）+2x（3）+3x（1）+…+〃•（：），①

A窃+2唔）篇窃+』（旷】②

①-②得*C）'+G）2+©+…+联啕*"啕""

=】◎-©、◎（1+）），

・・・7；尸2-（〃+2）.联

故数歹|J｛摩号的前〃项和7:,=2-（H+2）-Q）n.

三年模拟

练速度

1.（2024江西南昌二中适应性测试（一）,3）若数列｛而满足〃2=11,公+尸」一，则。985二（D）

B.llC.--D.W

101011

2.（2024广东汕头金山中学调研,5）已知数列｛。“｝,々|=1,斯+1・。”=2",则。10等于（C）

A.5I1B.1022C.1023D.2047

3.（2024浙江宁波二模,6）已知数列｛m｝满足》=加.小对任意〃w｛1,2,3｝都有〃“＞斯+i,且对任

意〃£（叶仑7j£N｝都有加则实数7的取值范围是（C）

A.扇］B.（M）

C（露）

4.（2024湖南长沙雅礼中学月考七,5）我们把由。和1组成的数列称为（）-1数列,0-1数列在

计算机科学和信息技术领域有着广泛的应用，把斐波/契数列｛尸〃｝（人=五2=1,尸〃+2二尸〃+Em）

中的奇数换成0,偶数换成1可得到0-1数列｛〃〃｝,记数列｛Z｝的前〃项和为"则Soo的值

为（B）

A.32B.33C.34D.35

5.（2024河北沧州模考,4）已知数列｛〃〃｝的前n项和为S”M=2,（〃-2）S〃+i+2a〃+i=〃S”,〃£N’,下

列说法不正确的是（C）

AZ/2=4B.｛雪为常数列

C.6t7=15D.S尸岛■〃

6.（2024山东青岛模考,4）在数列｛〃〃｝中⑷="前〃项利S〃二〃（2〃-l）z,则数列｛〃”｝的通项公式

为（A）

A.C/n=----3---7B.4〃二在二

（2n-l）（2n+l）2n+l

C.a产2-『Da,尸2-胃

2n+l2n

7.（2024江苏八市三模,6）设数列｛〃“｝的前n项和为S”,若S“+〃则cn=（B）

A.65B.127C.I29D.255

8.（2024河北唐山二模,6）已知数列｛〃“满足〃〃+|=4〃+0+2〃⑼10=13（）,则a\=（D）

A.lB.2C.3D.4

9.（2024山东济南名校联盟模拟,7）已知数列｛小｝满足〃尸1,对于任意的且位2,都有

精品试卷•第8页（共10页）

(a-i十为奇■数,

n则020=(B)

为偶数,

A.2"B.2u-2C.2,0D.2,0-2

10.(2024浙江Z20联盟联考，5)已知数列｛a„｝满足

(2〃-3)。〃-(2，-1)。〃“=4芥8〃+3(佗2,〃£1^"),。1=1,则4后(B)

A.2/2-2B.2/P-〃

C.2n-1D.(2/?-l)2

”.(2。24广东广州一模,12)己知数列⑥的前〃项和SM+”,当若取最小值时上」.

练思维

1.(2024山东滨州期末,8)如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》

中，后人称为“三角垛"三角垛''的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四

层有10个球,.……记第〃层球的个数为即则数歹ij｛J的前20项和为(C)

感b

A工喧D*

2.(2024广东湛江联考,8)在数列｛〃〃｝中⑷=1,且小加尸也当n>2时二「+...+C以+z+i-24

u2u3an

则实数％的取值范围为(A)

B.[l,+8)

C.(0,UD.(-8,4]

3.(2024广东茂名一模⑻数列｛〃〃｝满足m=8,在尸/j(〃eN*)力广仕+4)(丁,若数列｛瓦｝

是递减数列，则实数力的取值范围是(D)

A.(-*+8)B.(_£+OO)

C.g+8)D.%+8)

a+展+1

4.(多选)(2024安徽池州期末)已知数列｛z｝满足0=1,如+尸nT—，则下列说法正确的是