2025北京通州区高三（上）期中数学试题及答案

第1页/共1页2025北京通州高三（上）期中数学2025年11月本试卷共4页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，请将答题卡交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合，集合，则（）A. B.C. D.2.已知复数在复平面内对应的点的坐标是，则（）A. B. C. D.3.已知命题“”，则为（）A. B.C. D.4.下列函数中，既是奇函数，又在单调递增的是（）A. B.C. D.5.已知，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.6.已知非零向量，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.在锐角中，，则（）A. B. C. D.8.已知函数．甲同学将的图象向左平移1个单位长度，得到图象；乙同学将的图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到图象．若与恰好重合，则下列给出的中符合题意的是（）A. B. C. D.9.设函数，关于有下列四个结论：①的导函数为周期函数，且最小正周期为；②在上单调递增③的图象关于对称；④方程在上有唯一解，则实数的值为．其中正确结论的个数为（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个10.如图，正方形的边长为5cm，第一次操作：取正方形各边的中点，作第二个正方形；第二次操作：取正方形各边的中点，作第三个正方形，依此方法一直操作下去．若经过次这样的操作后，使得到所有正方形（包括正方形）的面积之和大于cm2，则的最小值为（）（参考数据：）A.8 B.9 C.10 D.18第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.函数的定义域为______.12.已知向量，若，则实数的一个值为__________．13.已知数列为等差数列，，则__________；若，则__________．14.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，底面为矩形，．若m，m，m，且与平面所成角的正弦值均为，则该五面体的体积为__________m3．15.已知函数的定义域为．对于正实数，定义集合．给出下列四个结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则都有．其中正确结论的序号是__________．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16.在中，内角的对边分别为．（1）求；（2）若，求的面积．17.设函数，且．（1）求的值；（2）已知在区间上单调递减，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求在区间上的取值范围．条件①：；条件②：是的一个极值点；条件③：的图象关于点对称；注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分，如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18.如图，在六面体中，为正方形，．（1）求证平面；（2）若二面角为直二面角，求平面与平面夹角的余弦值．19.已知函数有三个零点记为，其中和．（1）求实数的取值范围；（2）记曲线在点处的切线为，设直线与轴交点的坐标为，求的范围．20.已知函数的定义域为，其导函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若，求证：函数的图象恒在函数的图象的上方；（3）若为的极大值点，求实数的取值范围．21.设有序数阵，集合，（其中）．若满足：①；②，则称为集合的覆盖数阵．（1）若为的覆盖数阵，求的值；（2）当时，写出所有的的取值，使得为的覆盖数阵．（3）设有序数阵的个数为，若为的覆盖数阵，求证：．

参考答案第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．12345678910ACCBDBADCB第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．1112131415（或填）①.②.325①②④三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16.【答案】（1）由，根据余弦定理得.因为，所以.又，即，，解得.因为，所以，故.（2）由（1）知，.由正弦定理，得.三角形面积.17.【答案】（1）由，得，又，故.（2）条件①：由，得，即.因正弦函数的值域为，而，故此条件下函数不存在.条件②：由是极值点，得（），解得.又在上单调递减，区间长度为，故，即.结合，得，则.当时，，，故的取值范围为.条件③：由图象关于点对称，得（），解得.又在上单调递减，区间长度为，故，即.结合，得时，，则.当时，，，故的取值范围为.18.【答案】（1）取的中点，连接、.由，，得且，故四边形为平行四边形，从而且.又为正方形，故且，因此且，四边形为平行四边形，得.因平面，平面，故平面.（2）由二面角为直二面角，即平面平面，且交线为，平面，所以平面，由于平面，所以，所以两两互相垂直，由此以为原点，分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，，.得，.设平面的法向量为，则，令，得，，即.平面的法向量为.则平面与平面夹角的余弦值为.19.【答案】（1），显然，由题意，为的零点，因为和，为开口向上的抛物线，所以，解得，所以实数的取值范围为；（2）由得，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，令得，由（1）知，所以，又及得，所以，，记，，则，因为，所以，所以在上单调递增，所以，所以的范围为.20.【答案】（1）因为定义域为，令，则，令，解得，所以当时，当时，所以的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）要证函数的图象恒在函数的图象的上方，即证恒成立，令，即证恒成立，又，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以恒成立，原命题得证.（3）因为为的极大值点，所以在处左侧（不要求为），右侧（不要求为），当时，恒成立，所以即在上单调递增，又，此时当时，当时，则在处取得极小值，不符合题意；当时，由（1）可知在上单调递减，在上单调递增，则，即，解得，此时当时，当时，则为的极大值点，符合题意；综上可得实数的取值范围为.21.【答案】（1）由题意可得，解得，则且，故，，综上，有、、、、；（2）由，则，，故，又，故，则有，即，由，则，当时，，不符；当时，，不符