圆周运动模型中临界问题和功与能（模型与方法讲义）（全国适用）原卷版及解析

专题06圆周运动模型中临界问题和功与能

目录

1.圆周运动的三种临界情况............................................................................1

2.常见的圆周运动及临界条件.........................................................................1

3.竖直面内圆周运动常见问题与二级结论...............................................................2

〔模型剖析)

1.而南运防前三制临界情况

(1)接触面滑动临界：Ff=Fmax°

(2)接触面分离临界：FN=()O

⑶绳恰好绷紧：FT=0；绳恰好断裂：FT达到绳子可承受的最大拉力。

2.常见的圆周运动及临界条件

(1)水平面内的圆周运动

水平面内动力学方程临界情况示例

水平转盘上的物体

恰好发生滑动

圆锥摆模型

，〃glan8=nirco2恰好离开接触面

r、>/

(2)竖直面及倾斜面内的圆周运动

轻绳模型

ZL-、、、、

✓、恰好通过最高点，绳的拉力恰

/、、

1/\

t1最高点：Fr+mg=〃ry

\1

\4好为0

\/

\/

\/

、、z

轻杆模型

丁…、、、

旦…上V2恰好通过最高点，杆对小球的

取高点："火土/=〃7

力等于小球的重力

带电小球在叠加场中的圆周关注六个位置的动力学方程，恰好通过等效最高点，恰好做

运动最高点、最低点、等效最高点、完整的圆周运动

岁等效最低点，最左边和最右边

位置

等效法

倾斜转盘上的物体

最高点：/ngsin0±Ff=ma7r

恰好通过最低点

最低点F(-mgsin0=m(frr

/

//

3.竖直面内圆周运动常见问题与二级结论

【问题1】•个小球沿一竖直放置的光滑圆轨道内侧做完整的圆周运动，轨道的最高点记为A和最低点记

为C,与原点等高的位置记为B。圆周的半径为A

2____

要使小球做完整的圆周运动，当在最高点A的向心力恰好等于重力时，由〃火="2上"可得口二厢①

R

对应C点的速度有机械能守恒

mg2R=gmv1--rnv\得比二15gR②

当小球在C点时给小球一个水平向左的速度若小球恰能到达与0点等高的D位置则由机械能守恒

mgR=gtnv｝得匕=/2gR③

小结：(1).当匕＞岛及时小球能通过最高点A小球在A点受轨道向内的支持力

2

由牛顿第二定律F+mg=m—@

AR

(2).当vc=底无时小球恰能通过最面点A小球在A点受轨道的支持力为0

2

由牛顿第二定律叫=/吟。⑤

(3).当向元＜匕*时小球不能通过最高点A小球在A点，上力至D4圆弧间的某位向右做斜抛运

动离开圆周，且u越大离开的位置越高，离开时轨道的支持力为0

在DA段射重力与半径方向的夹角为。则以gcos。=m彳、cos。=

(4).当0＜匕"J荻时小球不能通过最高点A上升至C。圆弧的某一位置速度减为0之后沿圆弧返回。上

升的最高点为C永不脱离轨道

【问题2】常见几种情况下物体受轨道的作用力

(1)从最高点A点静止释放的小球到达最低点C：由机械能守恒〃吆2A=

2

在C点由牛顿运动定律：F-mg=m—得FN=5〃7g⑥

NR

⑵从与O等高的D点(四分之一圆弧)处静止释放到达最低点C：由机械能守恒mgR=g唠

在C点由牛顿运动定律：F-mg=m—得取=3叫⑦

NR

⑶从A点以初速度”=质释放小球到达最低点

由机械能守恒mg2R=g〃忧~~mvA

在C点由牛顿运动定律：FN-mg=m—得鼠=6〃7g⑧

【典例1】“旋转秋千”是游乐园里常见的游乐项目，如图甲所示：其基本装置是将绳子上端固定在转盘的边

上，绳子卜.端连接座椅，游客坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。若将“旋转秋千''简化为如图乙所示的模

型，人和座椅看作质点，总质量约为m=8Okg,圆盘的半径为R=2.5m,绳长L=&R，圆盘以恒定的角速度

转动时，绳子与竖直方向的夹角为。=45。，若圆盘到达最高位置时离地面的高度为/『22.5m,重力加速度g

取lOm好•在游玩过程中，游客的手机不慎从手中自由滑落。忽略空气阻力的影响，求：

(!)手机滑落瞬间的速度大小;

(2)手机落地点距离中心转轴的距离。

图甲图乙

【典例2】如图，在竖直平面内，一半径为R的光滑圆弧轨道ABC和水平轨道附在A点相切，BC为圆弧

3

轨道的直径，。为圆心，OA和OB之间的夹角为a,sina=g,一质量为5的小球沿水平轨道向右运动，

经A点沿圆弧轨道通过C点，落至水平轨道；在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受

到一水平恒力的作用，已知小球在C点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零。重

力加速度大小为g。（提示：可以尝试把小球所受合力看作新的直力）求:

（I）水平恒力的大小和小球到达C点时速度的大小；

（2）小球到达4点时动量的大小；

【总结提升】解决圆周运动问题的基本思路

分析物体受力情况，画出受力示意图，确定向心力来源

T怀用平行四边形定则、正交分解法等表示出径两百万

-I根据牛顿第二定律及向心力公式列方程

【典例3】如图所示，轻杆的•端固定在通过O也的水平转轴上，另一端固定一小球，轻杆绕O点在竖直

平面内沿顺时针方向做匀速圆周运动，其中A点为最高点，C点为最低点，8点与。点等高，下列说法正

确的是（）

A

✓、

//、、

f\

9\

I\

80........

I!t

\।*；//

\、I://

它

A.小球经过4点时，所受杆的作用力一定竖直向下

B.小球经过8点时，所受杆的作用力沿着80方向

C.从A点到。点的过程，小球重力的功率保持不变

D.从A点到。点的过程，杆对小球的作用力做负功

【提炼总结】解决竖直面内圆周运动的三点注意

1.竖直面内的圆周运动通常为变速圆周运动，合外力沿半径方向的分力提供向心力，在轨迹二某点对物体

进行受力分析，根据牛顿第二定在列出向心力方程。

2.注意临界问题：物体与轨道脱离的临界条件是FN=0或曰=0。

3.求物体在某一位置的速度，可根据动能定理或机械能守恒定律，将初、末状态的速度联系起来。

【典例4］如图所示，被锁定在墙边的压缩弹簧右端与质量为0.2kg、静止于4点的滑块P接触但不粘连,

滑块P所在光滑水平轨道与半径为0.8m的光滑半圆轨道平滑连接于B点,压缩的弹簧储存的弹性势能为

2.8J,重力加速度取10m/s2,现将弹簧解除锁定，滑块p被弹簧弹出，脱离弹簧后冲上半圆轨道的过程中（）

A.可以到达半圆轨道最高点。

B.经过8点时对半圆轨道的压力大小为9N

C.不能到达最高点。，涓块厂能到达的最大高度为1.35m

D.可以通过C点且在CD之间某位置脱离轨道，脱离时的速度大小为2.2m/s

1.如图所示，质量为加的小物块开始静止在一半径为R的球壳内，它和球心0的连线与竖直方向的夹角

为30。。现让球壳随转台绕转轴一起转动，物块在球壳内始终未滑动，重力加速度大小为g,则（)

A.静止时物块受到的摩擦力大小为9〃吆

B.若转台的角速度为』型，小物块不受摩擦力作用

C.若转台的角速度为,小物块受到的摩擦力沿球面向下

若转台的角速度为2^小物块受到的摩擦力沿球面向下

D.

2.如图所示，长度为/的轻绳一端固定在。点，另一端系着一个质量为，〃的小球，当小球在最低点时，获

得一个水平向右的初速度%=2而，重力加速度为g,不计空气阻力。在此后的运动过程中，下列说法正

确的是（）

A.小球恰好能到达竖直面内的最高点

B.当小球运动到最右端时，小球所受的合力大小为2〃?g

C.轻绳第一次刚好松弛时，轻绳与竖直方向夹角的余弦值为|

D.初状态在最低点时，细绳对小球的拉力大小为4〃田

3.如图所示，小球机在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，下列说法中正确的有（）

A.小球通过最高点的最小速度为Ji?下”

B.小球通过最高点的最小速度为零

C.小球在水平线岫以上管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力

D.小球在水平线"以下管道中运动时，外侧管壁对小球可能无作用力

4.如图所示，一半径为R的圆环处于竖直平面内，4是与圆心等高点，圆环上套着一个可视为质点的、质

量为机的小球。现使圆环绕其竖直直径转动，小球和圆环圆心。的连线与竖直方向的夹角记为仇转速不

同，小球静止在圆环上的位置可能不同。当圆环以角速度⑦匀速转动且小球与圆环相对静止时（）

A.若圆环光滑，则角速度①=坛需

B.若圆环光滑，则角速度①=后用

C.若小球与圆环间的摩擦因数为"，且小球位于A点，则角速度⑦可能等

D.若小球与圆环间的摩擦因数为"，且小球位于A点，则角速度3可能等于,。=

5.如图甲所示的陀螺可在圆轨道的外侧旋转而不脱落，好像轨道对它施加了魔法一样，被称为“魔力陀螺

其物理原理可等效为如图乙所示的模型：半径为R的磁性圆轨道竖直固定，质量为次的小铁球视为质点在

轨道外侧转动，A、B两点分别为轨道上的最高、最低点，铁球受轨道的磁性引力始终指向圆心且大小不变，

重力加速度为g，不计摩擦和空气阻力，下列说法正确的是（）

A.铁球可能做匀速圆周运动

B.铁球绕轨道转动时机械能不守恒

C.铁球在人点的速度一定大于或等于必

D.要使铁球不脱轨，轨道对铁球的磁性引力至少为5〃4

6.（多选）如图所示，倾角为30。的斜面体置于•粗糙的水平地面上，斜面上有一质量为4〃?的滑块，通过轻

绳绕过光滑的滑轮与质量为〃的音正电的小球（可视为质点）相连，滑轮下方有一个光滑的小孔，轻绳与

斜面平行。小球在水平面内做圆周运动，轻绳与竖直方向的夹角也为30。。斜面体和滑块始终价止，滑块与

斜面的动摩擦因数为立，小球与小孔之间的绳长为L，重力加速度为g,下列说法正确的是（）

2

A.斜面体所受到地面的摩擦力大小为〃吆

B.若增大小球的转速，绳子对小孔的作用力减小

c.若增大小球的转速，小球能达到的最大转速为《杵

D.若此时在空间加上竖直向下的电场，要使小球的转速不变，则小球到转动中心的距离增大

7.（多选）.如图所示，在水平圆盘上，沿半径方向放置物体A和B,，纵=4kg,，％=1kg,它们分居在圆

心两侧，与圆心距离为以=O.lm,，h=0.2m,中间用细线相连，A、B与盘间的动摩擦因数均为〃=0.2,

设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，若圆盘从静止开始绕中心转轴非常缓慢地加速转动，g=10m/s2,以下

A.B的摩擦力先达到最大

B.当@=2石rad/s时，绳子出现张力

C.当@=Arad/s时，A、B两物体出现相对滑动

D.当3=5&rad/s时，A、B两物体出现相对滑动

8.（多选）如图，质量为机的电动遥控玩具车在竖直面内沿圆周轨道内壁以恒定速率y运动，已知圆轨道

的半径为R,玩具车所受的摩擦阻力为玩具车对轨道压力的〃倍，重力加速度为g,P、Q为圆轨道上同一

竖直方向上的两点，不计空气阻力，运动过程中，玩具车（）

A.在最低点与最高点对轨道的压力大小之差为6mg

B.通过P、Q两点时对轨道的压力大小之和为也三

R

C.由最低点到最高点克服摩擦力做功为丘加供

D.由最低点到最高点电动机做功为

9.（多选）在X星球表面宇航员做了一个实验：如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球,

现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，小球运动到最高点时，受到的弹力为F,速度大小为V,其

尸--图像如图乙所示。已知X星球的半径为%,引力常量为G,不考虑星球自转，则下列说法正确的是

)

-o

R

A.x星球的第一宇宙速度4=石

3b

B.X星球的密度夕=7■方丁

C.X星球的质量";姐

GR

D.环绕X星球的轨道离星球表面高度为&的卫星周期T—4%坦瓦

10.（多选）如图所示，在竖直平面内固定有半径为R的光滑圆弧轨道48C,其圆心为。，B点在。的正上

方，A、C点关于08对称，ZA0B=a.可看成质点的物块自A点以初速度%沿着轨道切线方向向上运动，

并且能沿轨道运动到8点。已知重力加速度为班sin37=0.6,下列说法正确的有（）

A.若a=37,则物块在A点初速度可能为

B.若。=37，则物块在A点初速度可能为

C.若a=53,则物块在A点初速度可能为

D.若a=53,则物块在A点初速度可能为

11.（多选）如图所示，半圆竖直轨道与水平面平滑连接于8点，半圆轨道的圆心为。，半径为R,C为其

最高点。8。段为双轨道，D点以上只有内轨道，。点与圆心的连线与水平方向夹角为以一小球从水平面

上的4点以一定的初速度向右运动，能沿圆弧轨道恰好到达C点。不计一切摩擦。则（）

B.小球到达C点后做平抛运动落在地面上

C.小球在A点的初速度为阿

D.若小球到达。点时对内外轨道均无弹力，则sin夕

12.（多选）如图，固定在竖直面内的光滑轨道A8C由直线段A3和圆弧段8C组成，两段相切于8点，

段与水平面夹角为8C段圆心为0,最高点为C、A与C的高度差等于圆弧轨道的直径2心小球从人

点以初速度%上轨道，能沿轨道运动恰好到达C点，下列说法正确的是（）

A.小球从8到C的过程中，对轨道的压力逐渐增大

B.小球A从到。的过程中，重力的功率先增大后减小

C.小球的初速度%

D.若小球初速度%增大，小球有可能从4点脱离轨道

13.空中飞椅是各大游乐场中常见的娱乐设施，尤受年轻人的喜欢。某空中飞椅可简化为如图所示的模型，

上端是半径厂=3m的水平圆形转台，转台可绕过其圆心的竖直轴00转动。在转台的边缘固定有一长L=5m

的轻绳，轻绳的底端悬挂有一座椅（含游客）。玩耍时，一游客系好安全带后坐在座椅上静止在最低点，然

后转台在电机带动下绕竖直转轴。缓慢加速转动起来，座椅摆动到轻绳与竖直方向的夹角为8=53。时开

始以某角速度匀速转动。游客和座椅均可视为质点，其总质量M=60kg,取重力加速度大小g=10m/s2,

sin53°=0.8,cos53。=0.6。求：

&

（1）该座椅（含游客）稳定转动时受到的合力大小尸：

⑵座椅（含游客）从静止开始转动到稳定转动的过程中，座椅（含游客）的机械能增量

14.“旋转飞椅”是游乐场中颇受欢迎的游乐项目，其简化模型如图所示。半径分别为&=4m、1m的

水平转盘A与水平转盘B通过皮带连接，皮带与两转盘之间不发生滑动，竖直中心轴固定在转盘B上，半

径为a=3m的转盘C固定在竖直中心轴的顶端，长度为£=5m的缆绳一端系着座椅，另一端固定在转盘C

的功缘。转播静止时，缆绳沿竖直方向自由下垂并系卜.人：装署启动后，转席C先向上抬升。=lm,然后

绕竖直轴转动，转动的角速度缓缓增大，达到设定值后保持不变，稳定后缆绳与竖直方向的夹角为。=37。°

游客和座椅（整体可视为质点）的总质量为，〃=60kg,不考虑一切阻力和缆绳的重力，重力加速度8取

10m/s2,sin37°=0.6,8s37。=0.8。求：

（1）稳定后缆绳拉力的大小；

（2）转盘A转动的角速度大小；

（3）从静止到整个装置稳定转动过程中缆绳对游客和座椅所做的总功。

15.如图所示，光滑水平轨道与半径为R的光滑竖直半圆轨道在8点平滑连接，整个空间分布有大小为

E=%、水平向右的匀强电场（未画出），现将一质量为〃?、电荷量为+夕的小球（可视为质点）从水平轨

道上A点由静止释放，小球运动到。点离开半圆轨道后落在水平轨道上。已知整个运动过程小球的电荷量

保持不变，A、3间的距离为3尺重力加速度为g.求

AB

⑴小球运动到B点时受到的支持力大小；

(2)小球在竖直半圆轨道速度的最大值I，曲

⑶小球落入水平轨道瞬间的速度大小。

16.如图所示，质量为，〃=0.2kg的小物块从平台的右端人点以速度%=3m/s水平飞出后，恰由P点沿切

线方向进入竖直圆轨道，并刚好通过轨道最高点M飞出。已知圆轨道半径R=0.5m,圆心为。，N点为轨

道最低点,NPO253。,重力加送度g=10m/s：sin53°=0.8,cos53°=0.6,求：

(1)小物块在夕点的瞬时速度大小。：

(2)小物块通过M点的瞬时速度大小％;

(3)小物块在圆轨道.上运动的过程中摩擦力对它做的功W。

17.如图所示，在倾角为。的固定光滑斜面体A8CD上(CO为斜面体与地面的交线)，有一根长/?=0.2m的

细线，细线的一端固定在斜面上的。点，另一端连接着一个可视为质点的小球，过O点平行干AO的直线

交CD于E点,的长度玉=lm。现使小球沿顺时针方向刚好能在斜面上做完整的圆周运动，F、。为轨

迹圆的最高点和最低点，从某次过Q点细线被割断瞬间开始计时(不影响小球速度)，小球沿斜面运动，后

经斜面边缘上的M点E出，落到地面上的N点，总共用时Z=1.5s。不考虑小球反弹，忽略空气阻力，sin8=0.4,

重力加速度g=10m/s2。求:

B.

⑴小球经过。点时的速度大小为

⑵小球经过M点时的速度大小为；

(3)历、N两点间的距离心(结果均可保留根号)

18.如图所示，M、N为固定在同一竖直方向上相距L的两个钉子，一根长为10£的轻绳一端系在M点，

另一端竖直悬挂质量为〃?的小球，小球与水平地面接触但是无压力。忽略空气阻力、钉子直径和小球直径,

不计绳被钉子阻挡和绳断裂时机械能的损失，重力加速度为g。

(I)给小球一个初速度使其在竖直面内可以做圆周运动，且能通过M点正上方，求初速度的最小值；

⑵若给小球大小为8痴的初速度，使其在鞋直面内运动旋转两周时经过M点正下方时绳子断开，求绳子

断裂瞬间小球的速度大小和小球落在地面时水平位移的大小。

19.如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心。

的对称轴。。重合。转台以定角速度⑦匀速旋转，质量为m的小物块落入陶罐内，经过段时间后，

小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和。点的连线与OO'之间的夹角〃为60。。重力加速度大小为

⑴若&=外,小物块受到的摩擦力恰好为零，求5;

（2）若。=,求小物块受到的摩擦力大小和方向。

20.如图所示为一遥控电动赛车（可视为质点）和它的运动轨道示意图。假设在某次演示中，赛车从A位

置由静止开始运动，工作一段时间后关闭电动机，赛车继续前达至8点后水平匕出，赛车能从C点无碰撞

地进入竖直平面内的圆形光滑轨道，。点和E点分别为圆形轨道的最高点和最低点。已知赛车在水平轨道

A〃段运动时受到的恒定阻力为/=0.4N,赛车质量为〃?=0.4kg,通电时赛车电动机的输出功率恒为2W,

8、C两点间百度差为％=0.45m,赛道人8的长度为L=2m,C与圆心。的连线与竖直方向的夹角a=37。,

空气阻力忽略不计，sin37°=0.6,cos37°=0.8,取g=10m/d,求:

（1）赛车经过。点时的速度大小%:

⑵电动机工作的时间/；

⑶要使赛车能通过圆轨道最高点。后沿轨道回到水平赛道EG,则轨道半径的最大值鼠为多少？

21.如图所示，半径为火（厚度不计）的铁质圆形轨道固定在竖直面内，A、B分别为轨道的最高点和最

低点（AB和CO垂直），P为轨道上一点且和圆心连线与水平方向夹角为30。。质量为加的磁性小球通过磁

力吸附在轨道上，磁力大小恒为州电、方向始终通过圆心。现给磁性小球施加水平向左、大小为疯咫的恒

力。忽略轨道厚度及小球大小，不计一切摩擦，重力加速度大小为

A

(1)若让小球从轨道外侧A点由静止释放，通过计算判断小球会不会脱离轨道;

⑵若让小球从轨道内侧A点以初速度大小厢水平向左射入轨道，求:

①小球运动过程中对轨道的最大压力的大小;

②小球运动到尸点时对轨道压力的大小。

22.如图所不，光滑半球半径为球心为0,固定在水平地面上，其上方有一个光滑的四分之一圆弧轨

道A8,高度为。，轨道底端水平并与半球顶端相切。半径可不计、质量为，”的小球由A点静止滑下，经过

4

圆弧轨道最低点8,从半球上C点(图中未标出)离开，落在水平地面上。重力加速度为求：

m

(1)小球在8点对轨道的压力;

(2)C点距离水平地面的高度。

专题06圆周运动模型中临界问题和功与能

目录

1.圆周运动的三种临界情况............................................................................1

2.常见的圆周运动及临界条件.........................................................................1

3.竖直面内圆周运动常见问题与二级结论...............................................................2

〔模型剖析)

1.而南运防前三制临界情况

(1)接触面滑动临界：Ff=Fmax°

(2)接触面分离临界：FN=()O

⑶绳恰好绷紧：FT=0；绳恰好断裂：FT达到绳子可承受的最大拉力。

2.常见的圆周运动及临界条件

(1)水平面内的圆周运动

水平面内动力学方程临界情况示例

水平转盘上的物体

恰好发生滑动

圆锥摆模型

，〃glan8=nirco2恰好离开接触面

r、>/

(2)竖直面及倾斜面内的圆周运动

轻绳模型

ZL-、、、、

✓、恰好通过最高点，绳的拉力恰

/、、

1/\

t1最高点：Fr+mg=〃ry

\1

\4好为0

\/

\/

\/

、、z

轻杆模型

丁…、、、

旦…上V2恰好通过最高点，杆对小球的

取高点："火土/=〃7

力等于小球的重力

带电小球在叠加场中的圆周关注六个位置的动力学方程，恰好通过等效最高点，恰好做

运动最高点、最低点、等效最高点、完整的圆周运动

岁等效最低点，最左边和最右边

位置

等效法

倾斜转盘上的物体

最高点：/ngsin0±Ff=ma7r

恰好通过最低点

最低点F(-mgsin0=m(frr

/

//

3.竖直面内圆周运动常见问题与二级结论

【问题1】•个小球沿一竖直放置的光滑圆轨道内侧做完整的圆周运动，轨道的最高点记为A和最低点记

为C,与原点等高的位置记为B。圆周的半径为A

2____

要使小球做完整的圆周运动，当在最高点A的向心力恰好等于重力时，由〃火="2上"可得口二厢①

R

对应C点的速度有机械能守恒

mg2R=gmv1--rnv\得比二15gR②

当小球在C点时给小球一个水平向左的速度若小球恰能到达与0点等高的D位置则由机械能守恒

mgR=gtnv｝得匕=/2gR③

小结：(1).当匕＞岛及时小球能通过最高点A小球在A点受轨道向内的支持力

2

由牛顿第二定律F+mg=m—@

AR

(2).当vc=底无时小球恰能通过最面点A小球在A点受轨道的支持力为0

2

由牛顿第二定律叫=/吟。⑤

(3).当向元＜匕*时小球不能通过最高点A小球在A点，上力至D4圆弧间的某位向右做斜抛运

动离开圆周，且u越大离开的位置越高，离开时轨道的支持力为0

在DA段射重力与半径方向的夹角为。则以gcos。=m彳、cos。=

(4).当0＜匕"J荻时小球不能通过最高点A上升至C。圆弧的某一位置速度减为0之后沿圆弧返回。上

升的最高点为C永不脱离轨道

【问题2】常见几种情况下物体受轨道的作用力

（1）从最高点A点静止释放的小球到达最低点C：由机械能守恒〃吆2A=

2

在C点由牛顿运动定律：F-mg=m—得FN=5〃7g⑥

NR

⑵从与O等高的D点（四分之一圆弧）处静止释放到达最低点C：由机械能守恒mgR=g唠

在C点由牛顿运动定律：FN-mg=m—得取=3叫⑦

R

⑶从A点以初速度”=质释放小球到达最低点

由机械能守恒mg2R=；〃忧~~mvA

在C点由牛顿运动定律：F-mg=m—得鼠=6〃7g⑧

NR

【典例1】“旋转秋千''是游乐园里常见的游乐项目，如图甲所示：其基本装置是将绳子上端固定在转盘的边

上，绳子卜.端连接座椅，游客坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。若将“旋转秋千''简化为如图乙所示的模

型，人和座椅看作质点，总质量约为m=8Okg,圆盘的半径为R=2.5m,绳长L=&R，圆盘以恒定的角速度

转动时，绳子与竖直方向的夹角为。=45。，若圆盘到达最高位置时离地面的高度为/『22.5m,重力加速度g

取10m*•在游玩过程中，游客的手机不慎从手中自由滑落。忽略空气阻力的影响，求：

（I）手机滑落瞬间的速度大小；

（2）手机落地点距离中心转轴的距离。

图甲图乙

【答案】（1）5&m/s;（2）15m

【详解】（1）设乘客和座椅的总质最为〃?，绳子拉力为尸丁，对乘客和座椅整体进行分析，有

FTCOS0=mg,F-rainO=mar（j?+Lsin19）

联立，解得

co=V2rad/s

手机滑落瞬间的速度

v=c()(R+Lsin0)

解得

v=55/2m/s

(2)手机滑落后做平抛运动，竖直方向有

/?一Lcos，=g城

解得

t=2s

则¥抛运动的水平位移为

x=vt=\0>/2m

手机落地点距离中心转轴的距离

s=y)x2+(R+LsinO)2

解得

5=15m

【典例2】如图，在竖直平面内，一半径为R的光滑圆弧轨道ABC和水平轨道网在A点相切，8c为圆弧

3

轨道的直径，。为圆心，。人和0B之间的夹角为a,sina=-,一质量为〃?的小球沿水平轨道向右运动，

经A点沿圆弧轨道通过C点，落至水平轨道；在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受

到一水平恒力的作用，已知小球在。点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零。重

力加速度大小为g。(提示：可以尝试把小球所受合力看作新的重力)求：

(1)水平恒力的大小和小球到达C点时速度的大小；

(2)小球到达A点时动量的大小；

【详解】(1)设水平恒力的大小为尸。，小球到达。点时所受合力的大小为凡由力的合成法贝J有

二-=tana①

mg

产2=(〃?g)2+42②

设小球到达C点时的速度大小为P,由牛顿第二定律得

2

F=/?2—3)

R

由①②③式联立解得

4=，吆④

v=甄-⑤

2

(2)设小球到达A点的速度大小为匕，作COJLPA,交刚于D点，由几何关系得

DA-Asin。⑥

CD=R(l+cosa)⑦

由动能定理有

-mgCD-F^-DA=一；〃球⑧

由④⑤⑥⑦⑧式解得，小球在A点的动量大小为

一利用平行四边形定则、正交分解法等表示出径向合力

根据牛顿第二定律及向心力公式列方程

【典例3］如图所示，轻杆的一端固定在通过。点的水平转轴上，另一端固定一小球，轻杆绕。点在竖直

平面内沿顺时针方向做匀速圆周运动，其中4点为最高点，C点为最低点，8点与。点等高，下列说法正

确的是()

A.小球经过A点时，所受杆的作用力一定竖直向下

B.小球经过B点时，所受杆的作用力沿着方向

C.从A点到C点的过程，小球重力的功率保持不变

D.从A点到。点的过程，杆对小球的作用力做负功

【答案】D

【解析】小球经过A点时、合外力提供向心力，则当小球速度较小时有〃*<〃g，则所受杆的作用力竖直向

上；当小球速度较大时有"?加g，则所受杆的作用力竖直向下；当小球速度满足时，则杆对小球

无作用力，故人错误；

小球重力和杆的作用力的合力提供向心力，则小球在8点所受杆的作用力斜向右上方，故B错误；

A点和C点处重力与速度方向垂直，则小球重力的功率为0,B点处重力与速度共线，故重力功率不为0,

则从A点到。点的过程，小球重力的功率先增大再减小，故C错误；

A到。的过程中，重力做正功，杈据动能定理可知1忆+卬杆=八反=0,故杆对小球的作用力做负功，故D

正确。

【提炼总结】解决竖直面内圆周运动的三点注意

1.竖直面内的圆周运动通常为变速圆周运动，合外力沿半径方向的分力提供向心力，在乳迹二某点对物体

进行受力分析，根据牛顿第二定律列出向心力方程。

2.注意临界问题：物体与轨道脱离的临界条件是2N=0或尸丁=0。

3.求物体在某一位置的速度，可根据动能定理或机械能守恒定津，将初、末状态的速度联系起来。

【典例4］如图所示，被锁定在墙边的压缩弹簧右端与质量为0.2kg、静止于A点的滑块P接触但不粘连，

滑块P所在光滑水平轨道与半径为0.8m的光滑半圆轨道平滑连接于B点，压缩的弹簧储存的弹性势能为

2.SJ,重力加速度取10nVs2,现将弹簧解除锁定，滑块P被弹簧弹出，脱离弹簧后冲上半圆轨道的过程中()

A,可以到达半圆轨道最高点。

B.经过8点时对半圆轨道的压力大小为9N

C.不能到达最高点。，滑块。能到达的最大高度为L35m

D.可以通过C点且在CD之间某位置脱离轨道，脱离时的速度大小为2.2m/s

【答案】BC

【详解】A.设滑块P恰能通过最高点。，则有

解得

vD=2>/2m/s

则滑块P从B点到。点，根据动能定理有

—mgx2R=-mv-)--nr/~

解得滑块在B点的动能为

石叠〃吟=4J>2.8J

所以滑块不能到达半圆轨道最高点D,故A错误;

B.滑块经过8点时的速度大小为由，根据功能关系可得

L_12

4胡一/〃叫

在B点根据牛顿第二定律可得

联立解得

%=9N

根据牛顿第三定律可知对半圆轨道的压力大小为9N,故B正确；

CD.滑块在C点的重力势能为

E；=〃电火=0.2xiOx0.8J=1.6J<2.8J

则滑块可以通过C点且在C。之间某位置脱离轨道，此时的速度大小为v

根据功能关系可得

E弹簧=gmv~+mgR(\+cos0)

根据牛顿第二定律可得

mgcos0=

联立解得

<9=60°,v=2nVs

滑块离开轨道后做斜上抛运动

v=vcos30°=2x—m/s=£m/s

2

根据功能关系可得

4货=+〃3

解得滑块P能到达的最大高度为

/-1.35m

故C正确，D错误。

故选BCo

［实战演练）

1.如图所示，质量为加的小物块开始静止在一半径为R的球壳内，它和球心。的连线与竖直方向的夹角

为30。。现让球壳随转台绕转轴一起转动，物块在球壳内始终未滑动，重力加速度大小为g,则（）

.0）

O

静止时物块受到的摩擦力大小为当，咫

A.

B.若转台的角速度为，小物块不受摩擦力作用

C.若转台的角速度为，小物块受到的摩擦力沿球面向F

若转台的角速度为2,我，小物块受到的摩擦力沿球面向下

D.

3A

【答案】D

【详解】A.静止时，对物块分析，根据平衡条件有

4=/^sin30

故A错误;

B.球壳随转台绕转轴一起转动，物块做匀速圆周运动，由沿圆周半径方向的合力提供向心力，若物块

所受摩擦力恰好为。时，角速度为外，对物块进行分析，则有

mgtan30=Rsin30

解得

故B错误;

C.若转台的角速度为,由于

可知，物块有沿球壳向下运动的趋势,小物块受到的摩擦力沿球面向上，故C错误

D.若转台的角速度为,由于

可知，物块有沿球壳向上运动的趋势,小物块受到的摩擦力沿球面向卜，故D正确。

故选D.

2.如图所示，长度为/的轻绳一端固定在。点，另一端系着一个质量为〃?的小球，当小球在最低点时，获

得一个水平向右的初速度%=2而，重力加速度为身，不计空气阻力。在此后的运动过程中，下列说法正

确的是（）

0

O——►%

A.小球恰好能到达竖直面内的最高点

B.当小球运动到最右端时，小球所受的合力大小为2〃?g

c.轻绳第•次刚好松弛时，轻绳与竖直方向夹角的余弦值为1

D.初状态在最低点时，细绳对小球的拉力大小为4〃名

【答案】C

【详解】A.若小球能到达最高点,，根据机械能守恒，有

-mg2/=；"八-g〃就=>v'=0

根据小球在竖直面内的圆周运动受力特点，可知恰好做完整的圆周运动，则在最高点时小球重力恰好提供

所需向心力，根据牛顿第二定律可得

0

V

mg=m-

在最高时小球的最小速度为

V=y/glN0

故A错误：

B.分析小球从最低点运动到最右端的过程，根据机械能守恒，有

-mgl=；mv；-；m\i=>匕=y/2^1

根据牛顿第二定律和向心力可得，小球的向心力为

%=箸=2"名

又因为小球受重力作用，根据平行四边形定则可知小球所受的合力为