人教版数学七年级下册 第9章 不等式与不等式组 教学设计

不等式与不等式组

单元概述

【学科大概念】通过对一元一次不等式（组）定义、解法、应用的研究，能解决生活中与不

等式有关的问题。建立模型观念

【课程大概念】学会对生活中量与量的不等关系的研究与表达，拓宽审视世界的角度，丰富

表达世界的语言。

【单元内容】

本单元是在学习了实数、等式的基本性质和一元一次方程的基础上，运用类比的方法，

对一元一次不等式（组）的性质、解法及应用的探究；让学生在应用一元一次不等式（组）模

型解决实际问题的过程中，提升符号意识、推理能力和运算能力，感受数学与生活实际的紧

密联系，体会数学的价值.

【课标要求】

1.结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质；

2.能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；会用数轴确定由两个一元

一次不等式组成的不等式组的解集；

3.能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题.

【单元目标】

1.研读教材，通过在对式子进行分类的过程，总结不等式的特征，说出对一元一次不等式

的理解，画出一元一次不等式的知识体系；

2.通过类比等式基本性质的研究过程，探究不等式的基本性质，并用其探究一元一次不等式

（组）的解法；

3.通过借助数轴表示解集的过程，探究如何根据解集的特征求参数的值，构建一元一次不

等式（组）模型解决园林部门搭配方案问题；

4.重构一元一次不等式的知识、逻辑、能力和价值意义体系，通过单元过关，纠错反思总

结提升，总结用方程和不等式模型解决问题的共性与个性，实现人人过关.

【学习导航】

本单元的学习分为四个学习阶段，整体感知阶段主要是对一元一次方程相关知识的回顾,

通过类比一元一次方程得出一元一次不等式及其解（集）的定义，整体上把握它们之间的区

别和联系.探究建构阶段对于不等式的基本性质，要注重探索不等式的变形过程，通过观察、

归纳、类比、抽象、演绎、概括和数学表示，提升符号意识和推理能力.在学习中要注意不

等式解法要做到明确算理、循序渐进、规范解题；应用迁移主要是对于字母参数问题及实际

生活问题的解决，在解决实际问题中注意挖掘表示不等关系的词语，并能根据具体情况寻求

介理简洁的运算途径解决问题，增强应用意识，提高实践能力.重构拓展阶段是对本单元内

容的一个整体重构和过关，能够解决与一元一次不等式有关的综合问题.

【学时建议】

学习过程学习任务学时安排

整体感知整体感知一元一次不等式（组）初步体系1

探究建构探究一元一次不等式（组）的解法3

应用迁移探究一元一次不等式（组）的应用价值2

重构拓展应用一元一次不等式解决综合问题2

【本单元目标追求】

一、我的单元学习目标

二、单元目标达成情况

整体感知

元一次不等式

【学习目标】

1.通过观察具体式子，分析它们的特征并进行分类，用自己的话说出对不等式、一元一次不

等式概念的理解：

2.通过利用表格找出满足不等式的未知数的值的过程，在数轴上表示出不等式的解集；

3.写出围绕一元一次不等式概念的基础上，学习相关内容，画出学习导图.

【学习任务】认识一元一次不等式和解集的表示

学习活动1>一一认识不等式、一元一次不等式

16世纪法国数学家维叶特用“="表示两个量的差别.可是英国牛津大学数学、修辞学

教授雷科德觉得：用两条平行而又相等的直线来表示两数相等是最合适不过的，于是等于符

号“=”就从1540年开始使用起来.1591年，法国数学家韦达在文中大量使用这个符号，

才逐渐为人们接受.十七世纪德国莱布尼茨广泛使用了“=”号.

大于号和小于号“<”，是1631年英国著名代数学家哈里奥特创用.

问题1：请观察下列式子，回答以下问题：

x+yx>23xy2za2b=9a丰2x<y+1-x

22

2a2b-3abci-\-ac2>1TI5a<6--------―—―

2cL3b3

将上述所有式子进行分类，并说明你的分类依据.

【归纳生成】

说出对不等式的理解.，井总结表示不等关系的符号有哪些.

问题2：用数学式子表示下列数量之间的关系.

(1)x的三分之一与1的差不大于15；

(2)%与y的平方差是一个非负数；

(3)一头半岁的蓝鲸体重22/,9()天后体重为30.13设蓝鲸体重平均每天增加工人

(4)X的3倍与5的和比x的一半少2；

(5)在直角三角形中，两条直角边(〃与〃)的和一定比斜边c大；

(6)x的相反数与1的差不小于2.

观察以上所列式子，根据它们的特征进行命名，说出对一元一次不等式的理解.

【归纳生成】

总结一元一次不等式与一元一次方程的区别与联系.

学习活动2>

-------------/—识别并表示一元一次不等式的解(集)

当x的值分别取T、0、2、3、3.5、5、6时，不等式尸3〉0和尸4〈。能分别成立吗?

X尸3>0(填“成立”或“不成立”)尸4<0(填“成立”或“不成立”)

-1

0

2

3

3.5

5

6

问题1：犷3>0和尸4<()的解各有多少个？一元一次不等式的解与一元一次方程的解有什么

不同？

问题2：我们知道所有的实数都可以利用数轴上的点表示出来，而“不等式的解集”表示的

是所有解的集合，.请分别在数轴上表示出下列不等式的解集.

(1)x>2.5(2)定2(3)A<-1(4).遥-3.

【思考】用数轴表示解集时，“之”“工”在表示上有什么区别？

问题3：如图所示，在数轴上分别表示不等式x>-2和xW3.5的解集，利用数轴，尝试确定

使不等式-2«3.5成立的整数

x的值.-3-2-1―0—1~2―3~4-5―6~L

问题4：类比一元•次方程的解法，你认为应该通过怎样的变形才能求出不等式2工+3<11

的解集，变形的依据是什么呢？猜想分析解一元一次不等式与解一元一次方程的相同点与不

同点，自己举例说明.

【归纳生成】

说出不等式的解与解集的定义，思考它们的区别与联系.

学习活动3〉

写出一元一次不等式的研究内容并画出初步的体系

探究建构

元一次不等式

【学习目标】

1.通过类比等式的基本性质探究不等式的基本性质的过程，把不等式化成或

的形式：

2.通过类比一元一次方程的求解过程，探究解一元一次不等式的一般步骤并说出它们的区

别；

3.探究一元一次不等式组的解法的本质，借助数轴确定解集;

【学习任务】探究一元一次不等式（组）的解法

学习活动1〉

-----------/一一探究不等式的基本性质

已知线段。、b,请你用不等关系表示出线段。与线段6的大小.---------------------

问题1：如果将线段。、〃的长都伸长5cm,得到的线段长度分别怎么表示，他们有怎样的大

小关系？

问题2：如果将线段〃、〃的长都缩短2cm,得到的线段长度分别怎么表示，他们有怎样的大

小关系？

问题3：如果将线段〃、人的长都放大（或缩小）3倍，得到的线段长度分别怎么表示，他们

有怎样的大小关系？

问题4：将・3>1不等号的两边都乘-2,不等号两边的数值发生了怎样的变化?

问题5：若。>6的不等号两边都乘-2,不等号的方向是否改变？两边都除以-2呢？

【归纳生成】

1.观察上面得到的各不等式，类比等式的基本性质，归纳不等式的基本性质.

2.梳理不等式与等式的性质的区别与联系.

【学习评测】

L用“〉”或“V”填空，并说明理由.

(1)如果a<b,那么2aa+b(2)如果15+«>10,那么5+a0

(4)如果2+xG+l,则二七—

(3)如果.Ty,那么-x-y

33

2.把下列不等式化成心>〃或的形式.

(1)x+2>4(2)2x<.r-3(3)-x<--

33

(4)-6x>8

学习活动2〉

——探究一元一次不等式的解法

一元一次不等式与一元一次方程在定义和基本性质方面都有密切的联系，那它们的解法相同

吗？

1IyOr-1

问题1:我们已经学习一元一次方程的解法，你能求出方程——=-----的解吗？

23

1I9r—1

问题2：如果将改成“>"，如何求解不等式二r>上一呢？在数轴上表示出它的解

23

\+x2x-l

集，并写出不等式>的非负整数解.

23

【归纳生成】

总结解一元一次不等式的步骤，思考在求解的过程中有哪些注意点？和解一元一次方程的有

什么异同？

【学习评测】

解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来.

(1)2(2x+3)<5(x+l)(2)(3)

3

瑛+2<3上

84

学习活动3〉

探究一元一次不等式组的解法

在直角坐标系中，要使点P(3x-9,l+x)在第二象限，x须同时满足哪两个条件？

问题1：在上面写出的两个不等式中，x在什么范围内取值，能使第一个不等式成立？画数

轴表示出来.当x在什么范围内取值，能使第二个不等式成M?画数轴表示出来.当工在什么

范围内取值，能使两个不等式同时成立

问题2：类似地，当x分别满足什么条件时，点P(3x-9J+x)在第一象限、第三象限或第四

象限？

P(3x-9,l+x)X须满足的一元整理后的一元一次在同一条数轴上的表示一元一次不等式组

一次不等式组不等式组的解集

产在第一象限

P在第二象限

户在第三象限

尸在第四象限

【归纳生成】

1.说出你对不等式组、一元一次不等式组、不等式组解集的定义的理解.

2.求不等式组的解集或确定不等式组无解的过程叫做解不等式组.你能通过上面的探索活动,

总结出解一元一次不等式组的步骤吗？

3.一般地，一元一次不等式组经过整理，可化为下面四种情况的一种:

x>ax<ax>ax>a

■

x>b[x<b

9x<bx>b(a>h)

分别在数轴上把它们表示出来，可以得到一元一次不等式组的解集的四种情况.

【学习评测】

1.下列是一元一次不等式组的是（填序号）.

3x+2>5.

2x—2之x+L2X+2>S¥—8,⑶5x+8>3,8x>3-x,

(1)<x-2<3.⑵--7<3.(4乂(5)

4-5V7r+Lx9>2—y.3>2.

x+1>3,

⑹8-x24,

7<2二-1.

fx-l>0

2.不等式组【-3x+62°的解集在数轴上表示为（

).

A.

3.解下列不等式组，并把解集表示在数轴上.

2x-7<3(x-l)

4x+6>1-x

(1)

3(x-l)<x+55Tx+4)"

应用迁移

元一次不等式

【学习目标】

1.通过求解具体不等式组的过程，总结解一元一次不等式组的注意事项，用不同方法求解

连写不等式，

2.通过借助数轴表示解集的过程，探究如何根据解集的特征求参数的值，总结解决问题的一

般过程；

3.在解决园林部门搭配方案问题的情境中，构建不等式（组）模型解决的实际生活问题.

【学习任务】探究不等式（组）的应用价值

学习活动1

求解不等式组

解不等式（组）

2x+5<3（x+2）

3

1.1-2x1八2.2x-l<x-5<4--x

-------+->02

35

【归纳生成】

1.解不等式（组）的一般步骤及注意事项有哪些？

2.对于解连写不等式，你还有其他方法吗？尝试用其他方法求解.

学习活动2〉

求一元一次不等式（组）中字母参数取值（或范围）

1.如果一元一次不等式组J”>3的解的取值范围为3,求〃

x>a

2.若不等式组无解，求实数。的取值范围？

1—2,x>X—2

2x+a>0

3.关于x的不等式组1x—1的整数解有4个，求〃的取值范围？

x-]<——

4.如果不等式组（2x-3n<:7/?的解是5cx<22，求a，b的值.

6b-3x<5a

【归纳生成】

1.根据不等式组解的情况确定参数取值或范围问题的一般思路及注意事项.

2.以上四类问题有什么区别与联系？

【学习评测】

1.关于x的不等式（2。-1）/<2（2。-1）的解集是x>2,则〃的取值范围是（）.

n111

A.avOB.a<—C.a<——D.a>——

222

2.已知关于x的不等式组“>2的解集是一Ivxvl,则（4+b）刈5=_____.

b-2x>0

3.已知不等式组的解集是则。的取值范围是（）

x>l

A.d<lB.C.“21D.a>\

学习活动3〉

-------------/——利用一元一次不等式解决生活问题

为美化城市环境，园林部,】决定利用现有的3600盆甲种花卉和2900盆乙种花卉搭配A,B

两种园艺造型共50个，排放在迎宾大道两侧，搭配每个造型所需花卉情况如表所示：

造型甲乙

A90盆30盆

B40盆100盆

请问符合题意的搭配方案有哪几种？

造型造型个数甲乙

AX个__________盆__________盆

B___________个__________盆__________盆

问题1：根据题意，完成以上表格,列出不等式组，寻找搭配方案.

问题2：若搭配一个A种造型的成本为1000元，搭配一个B种造型的成本为1200元：试

说明选哪种方案成本最低？

【归纳生成】

请总结不等式或不等式组解决实际问题的思路及关键.

重构拓展

元一次不等式

【学习目标】

1.通过梳理一元一次不等式（组）概念、解法、应用的核心内容及内在联系的过程，构建

不等式的知识、逻辑、能力、价值意义体系；

2.深度探究带绝对值的不等式的求解过程，解决分类讨论思想在数与代数中是如何运用的;

3.围绕不等式（组）的应用进行二次过关，借助不等式组模型找到购买花木费用最低方案.

【学习任务】应用一元一次不等式准确解决综合问题

【单元重构】

通过学习，相信同学们对一元一次不等式有了更加深入的认识，下面有两个任务更大家

任选一个完成.

1.从一元一次不等式定义、运算、应用等方面层层深入，再次阅读《一元•次不等式》的课

本内容及271BAY相关资源，梳理本单元的核心知识和它们逻辑体系，重构思维导图.

单元过关〉

【基础过关】

1.若（6一2）/产7一5>1是关于％的一元一次不等式，则〃k_____.

2

2.下列判断正确的是（）.

_2

A.若7。<一7〃，W>Ja>-bB.若一2x<3,则—

3

C.若3—。<3—方，则。〉力D.若a>b,c<ch贝Ua+c>b+d

3.关于工的不等式力的解集是x>—竺，则。的取值范围是（）

a-\

A.a<0B.a>0C.a<\D.a>l

x<\

4.不等式组4九-1的解集，在数轴上表示正确的是（）

---<x+l

2

-(x+2)-3>0

5.不等式组<2的解集是x>4,那么的取值范围是（)

x>m

A.tn<4B.m<4C.m>4I).m>4

6.解下列不等式及不等式组，并把解集在数轴上表示出来:

x-2

(1)l+->5-x—2(x-1)W3

32

2x+5

----->x

3

(3)6<2(5x+3)<x-3(l-2x)

【应用过关】

1.某中学举行美化绿化校园活动，七年级计划购买A、B两种花木共100棵绿化操场，其

中A种花木每棵50元，B种花木每棵100元.

(1)若购进A、B两种花木刚好用去8000元，则购买了A、B两种花木各多少棵？

(2)如果购买B种花木的数量不少于A种花木的数量，请设计一种购买方案使所需总费

用最低，并求出该购买方案所需总费用.

2.现有A.B两种商品，买2件A种商品和I件B种商品用了90元；买3件A种商品和2件

B种商品用了160元.

(1)求A,B两种商品每件各是多少元？

(2)如果小明准备购买A,B两种商品共10件，总费用不超过350元，且不低于300元,

问有几种购买方案？哪种方案费用最低？

【单元拓展】解不等式上1|>5.

《一元一次不等式》单元检测

一、选择题

1.不等式2x—lW3的解集在数轴上表示正确的是().

3x-2>l

2.不等式组《<cR勺解集在数轴上的表示是（）.

x-5<-3

x-3>（）

3.不等式组,x的所有整数解之和是（）.

-<3

12

A.9B.12C.13D.15

2—xNx—2

4.不等式组，的最小整数解是（）.

3x-l>-4

A.-IB.0C.ID.2

5.下列不等式一定成立的是（）.

A.a<2aB.a<a+2C.-a>-2aD.a+2>2

6.某射击运动员在一次比赛中前6次射击共中52环,如果他要打破89环（10次射击）的记

录，第七次射击不能少于（）环（每次射击最多是10环）.

A.5B.6C.7D.8

7.已知关于x的方程2x-a=x-l的解是非负数，则a的取值范围为（）.

A.a>\B.a>\C.D.a<\

8.不等式组的整数解共有3个，则a的取值范围是（）.

A.4<a<5B.4<a<5C.4<a<5D.4<a<5

二、填空题

9.不等式2x-247的正整数解分别是.

10.已知0<2x-l<l,则x的解集为.

x-a>2

11.若不等式组L一八解集是TVXV1,则/笛以_________.

b-2x>0（“+”）

12.一队卡车运一批货物，若每辆卡车装7吨货物，则剩余10吨货物装不完；若每辆卡车

装8吨货物，则最后一辆卡车只装3吨货物就装完了这批货物，那么这批货物共有一

吨.

13.光明电器超市准备采购每台进价分别为190元、160元的A、B两种型号的电风扇，

若用不多于5070的金额采购这两种型号的电风扇共30台，则最多能采购A中型号

的电风扇台.

[x+2>0

14.若关于x的不等式组《，无解，则b的取值