三角恒等变换（突破训练）-2026届高三数学二轮复习

专题2.3三角恒等变换专题突破训练-2026届高三数学二轮复习

一、选择题

1.(2025•浙江模拟)在锐角△A8C中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2戾皿竿=

V5asin(i44-C)»则：的取值范围为()

2253

C-D

-占-

A.5B.35-(1-1)

2.(2025・广安模拟)若函数f(%)的定义域内存在%1，M(必口冷)，使得/(/)-1=1一人上)成立，

则称该函数为“完备函数”.已知/(x)=^cos(cox—•)—/sin(3%+等)®>0)是号，竽]上的“完备

函数”，则3的取值范围为()

A.[3,4)B.|4,+oo)C.[2,4)D.[3,4-oo)

3.(2025高三上•重庆市模拟)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若高，

焉cosB品cost成等差数列，则c”os;Bc黑os”C的最小值为()

A.2B.3C.4D.5

4.(2024•温州月考)已知函数f(%)=cos%,g(x)=|sinx|,下列说法正确的是()

A.函数m(x)=/(x)-g(x)在今年)上单调递增

B.函数m(%)=/(X)-g(%)的最小正周期为兀

C.函数九(%)=/(%)+g(x)的值域为[一1,迎]

JT

D.函数九(%)=/(x)+g(x)的一条对称轴为x=4

5.(2024高三下•社旗模拟)已知△4BC中，a、b、c为角A、B、C的对边，acosB+bcosA=csinC,若

乙B4C与乙48c的内角平分线交于点I,△48。的外接圆半径为泥，则面积的最大值为()

A.2V2-2B.4&一4C.V2-1D.2-V2

6.12024.湖北模拟)若Vx£R,小二一;COS2MV+；，则实数3的最大值为()

A.IB.0C.D.5

7.(2024高三下•南通模拟)已知曲线的:“2+y2-4x+2y=0与曲线C?：/。)=/在第一象限交于点

A,在A处两条曲线的切线倾斜角分别为明氏则()

A.a+/?=5B.|a—/?|=5

乙乙

C.a+/?=|D.|a_0|=：

8.(2024岛二下•吉林模拟)已知a,"为锐角，且cos(a+/?)=然，，则tcmH的最大值为()

A.廖B.乎C.造D.?

12462

二、多项选择题

9.(2025•浙江模拟)如图所示，某游戏闯关者需从区域I内的定点P快速移动至区域II内的定点Q.

两区域以直线1为分界线，已知P,Q两点到直线1的距离分别为1,2,且向量所在直线1的方向向

量上的投影向量的模长为3,考虑到两区域通行环境差异，设定闯关者在区域I的移动速率为a,在

区域II中的移动速率为b,线段PQ与直线1相交于点A,若图示折线路径P8Q是耗时最短的闯关路

线.则下列说法正确的有()

A.存在实数九使得瓦？=2前+(1-4)的

B.若tan乙BQP=义，则A8=1

/4

C.a<b

D.bcosz.PBA4-acosz.QBA=0

10.(2025•长沙模拟)已知函数/(x)=sinxTnx/(%)是其导函数.若存在%力必G(0㈤且勺<x?,

满足f(耳)=f。2),贝U)

A./(xi)>/(x2)B.XiX2>1C./(x1)/(x2)>1D./■(%!)+/(x2)<2

11.(2025♦诸暨模拟)已知函数/(x)=sinx+cosx+|s出x-cosx|,则()

A./l(x)的图象关于点6,0)对称

B.71(%)的最小正周期为27r

C.f(x)的最小值为一2

D./(%)=遍在［0,2〃］上有四个不同的实数解

三、填空题

12.(2025•浙江模拟)圆台内有一个球，与圆台的上下底面及所有母线均相切，则圆台与球的体积比

的取值范围为.

13.(2025・青神模拟)已知函数/(x)=log2(VFT淳+¥)一岛+2,(%WR),若皿W鄂使关

于9的不等式/(2sin6cos。)+/(4-2sin。-2cos8-m)<2成立，则实数m的取值范围

是.

.3

14.（2025・德阳模拟）若关于。的方程cos2M1'皿也知=sina在区间（项）上有且仅有一个实数

mcosza+m—sin2acos3a

解，则实数m=

四、解答题

15.（2025•雨花模拟）已知△ABC的角48,。所对应的边为Q,b,c,4H冬，a=bcosA.

（1）若8=5,求sinA；

O

（2）若皿。=与需‘求人+2-

（3）在（2）的条件下，求证：5a>5c>2b.

16.（2025・揭阳模拟）已知△48C内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且sii?%+sh?B=2+

cos2C.

（1）证明：coscr+cos/?=2coscos

求嘉息的最值;

（3）若c=6,勺，求AABC的面积S的取值范围.

17.（2025•汕头模拟）=sinkx-sinkx+coskx-coskx—cosk2x»其中Cw5".

（1）当k=l时，求方程/（x）=l-孚的解集;

（2）若fCv）是偶函数，当k取最小值时，求函数9（外=爆+$勿%+恒5%的取值范围;

（3）若/（%）是常数函数，求〃的值.

18.（2025•顺义模拟）已知函数/（x）=sin（侬--勺+V5cos①%（3>0）.

（1）求/（0）的值;

（2）再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知条件，使函数/（x）存在且唯一确定.当

/（均在区间（0,Q）（Q>0）上仅有一个零点时，求Q的取值范围.

条件①：/⑴在［各咨］上是单调函数；

条件②：y=/（x）图象的一个对称中心为瑞,0）；

条件③：对任意的％ER,都有/•（%”/•皓）成立.

注：如果选择的条件不符合要求，得（）分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解

答计分.

19.（2025・上海市模拟）己知定义在。上的函数y=F（x）的图像上存在4,B两点，记直线48的方程为

y=G(%),若直线48恰为曲线)，=FQ)的一条切线(4,8为切点)，且对。上的任意的工,均有

FM>G(x),则称函数y="(外为"切线支撑”函数.

(1)试判断函数/"a)=V5sE2x-2cos2%是否为“切线支撑''函数.若是，写出一组点儿B；否

则，请说明理由；

(2)证明：函数九(%)=2%+s讥3%为“切线支撑”函数;

⑶已知如厂产装?：。：。’为“切线支撑”函数，求实数。的取值范围

答案解析部分

1.【答案】D

【解析】【解答】解：因为2bsin"一=V5asin(4+C),所以2bsin与一=VSasinB,

乙乙

所以2bcos?=VSasinB,由正弦定理可得2sinBcos?=VSsin/sinB,

乂0<F<^,所以sinB丰0»所以2cos?=V5sin/4=2V5sin^cos^»

因为0V4V3，所以父(0皆)，所以cos/0,所以sh4=9,所以cos屋卒，所以sinA=W，

乙乙，/Z3250

cosn=q.

AQ3

因为c_sinC_sin(4+B)_5c°sB+」sinB_4+-

b~sinF-—sinF—-sinB-5tan85

因为0VBV不0V7T—(4+B)V之，所以2-AVBV今

所以lanB>Ian(?—/1)==T»所以］<i=+F<

\Z/tan/145b5tann53

所以例取值范围为(I，I)，

故选：D.

【分析】根据三角形内角和与诱导公式可得2bcosS=Aasin8,进而利用正弦定理可得

2sin5cosd=V5sin/lsin5,利用半角公式可得sin/1=t，cos/l=再利用正弦定理和同角的三角函

乙J3

数关系可得三=嬴+!根据乙B的范围求得tanB的范围,进而即可求得年的取值范围.

2.【答案】D

【解析】【解答】解：由题意可知，/(x)=fcos-Isin(cox+^)=空cos(①x+粤)一

々sin(3%+竽)

=cos(a)x+粤+=cos(cox+岑)=sintox.

因为/⑶=sin.是修，堂上的“完备函数”,

所以存在小，X2eg^],使得/•(/)-1=1一/'@2)成立;

即存在必，右€长,竽]，使得/'(与)+/'(%2)=2成立；

又因为/(x)max=1，所以/(%1)="%2)=1，

即f。)=Sinai”在戈w快,引上至少存在两个最大值点，

令f(x)=l,则3X=］+2/C7T(/C6Z),解得％=省卢(忆EZ)，

・•3<喀红w擎(k€Z)至少存在两个整数k,・,•铝<k<良燮，

乙乙co乙*

当笫1一51=冬n2,即口N4一定满足题意.

又・.•券1一铝=竽21,即公之2,

・♦・彳斗，即

(^<1

4

・••当k取1,2时，j3W_1，解得343W5,

(23一4~

综上所述，口的取值范围为［3,+8).

故选：D

【分析】利用诱导公式和辅助角公式化简函数/(%)可得;•(%)=sin3X,由“完备函数''的定义得到关系

式存在修，欠2七长，引，使得/■3)+/。2)-2成立，结合三角函数的有界性，得到/'ai)-

/(x2)=1,从而得到/(x)=sins在xwg,岑］上至少存在两个最大值点，即可得好■GwW沪

中至少存在两个整数匕进而求得3的取值范围即可.

3.【答案】B

【释析】【解答】解：由题知晟+晟=焉,由正弦定理得需+蕊=需,

即$in4cosc+cos4sinC_sin(/+C)_sin4_2sinB

cosAcosC-cosAcosC-cosAcosC-cosB'

因为BG(0,it),sinB>0,所以cosB=2cos4cosC,

又因为cos8=—cos(/l+C)=-cosAcosC+sinAsinC,

所以-cosAcosC+sinAsinC=2cos?lcosC,得tan4tanC=3,

所以4c最多有一个是钝角，所以tan4>O,tanC>0,

因为=sin(B+C)sinBcosC+cosBsinC

=tanfi+tanC

cosBcosCcosBcosCcosBcosC

tan/l+tanC…„14.,3「

=-tan(/l+C)+tanC=\—7~T7-+tanc=不tanA4-tanc，

1-tanAtanC22

由基本不等式得；tan/l4-^tanC>2tan/ltanC=3，

当且仅当EtanA=》anC,gptan/1=3/tanC=1时等号成立,

Vtan/ltanC=3

sbh4

所以的最小值为3.

cosBcosC

故答案为：B.

【分析】根据三角形中角B的取值范围、等差中项公式和正弦定理以及三角恒等变换，从而化简得

出taMtanC=3,再结合三角形内角和定理和两角和的正弦公式、正切公式，则将所求化简为关于

tanAtanC的表达式，再利用基本不等式求最值的方法得出;:;的最小值.

COSDCOSC

4.【答案】C

【解析】【解答】对于A：若％e(今,筌),则9(%)=|sinx|=sinX,

可得m(x)=sinxcosx=；sin2x，

又因为2%eG，竽)，且y=Sim:在G，岑)上单调递减，

所以函数m(x)=f(x)•g(x)在(半竿)上单调递减，故A错误；

对于B：因为m(x)=/(x)•g(x)=cosx­|sinx|的定义域为R,

且m(x+TT)=cos(x+TT)•|sin(x+兀)|=—cosx|sinx|=—m(x)Hm(x),

所以TT不是函数mG)的最小正周期.故B错误：

对于C：因为7i(x)=/(x)+g(%)=cosx4-|sinx|的定义域为R,

且n(x+2TT)=cos(x+2九)+|sin(x+2TT)|=cosx+|sinx|=n(x),

可知27r是函数九(乃的周期，

又因为九(—x)=cos(-x)+|sin(-x)|=cosx+|sinx|=n(x),可知九(x)为偶函数，

当Te[0,旭时，n(x)=cosx+sinx=V2sin(x+.),

且x+异冷苧卜则sinQ+$61]，可得九(吗=缶也(工+/)€[—1,何，

结合偶函数可知：当xw[-九,用时，可得几(无)€[-1,V2],

结合周期性可知：函数71(%)的值域为,故C正确；

对于D,因为几(—今)=cos(-舟+|sin(—勺|=遮，九(半)=cos半+|sin芋|=0,

所以％=今不是n(为的一条对称轴，故D错误；

故答案为：C.

【分析】对于A：若不€今,手)，可得m(x)=3sin2x，结合正弦函数单调性分析判断；对于B：根

据周期性的定义分析判断；对于C：先求九(x)在[0,河内的值域，再根据偶函数和周期性求函数"(x)

的值域；对于D：举反例说明即可.

5.【答案】A

【酢析】【解答】解：因为acosB+bcos/l=csinC,由正弦定埋可得：sinAcosB+sinBcosA=

sin2C

又因为sinAcosB+sinBcosA=sin(4+8)=sinC,

即sinC=sin2C,且CG(0,兀)，则si〃C>0,可得sMC=1,则C=5,

且AABC为直角三角形且外接圆半径R为&，可知c=2或，

则》+庐=。2=8，可得伍+与2工2(02+■)=16，即。+匕工4,当且仅当。=匕=2时，等号成

立，

设内切圆半径为丁，则丁=坐二=。+纥2&工2-企,可得△入川的面积为S△./=义"W2x

2V2x(2-鱼)=2鱼一2,

即A48/的面枳的最大值为22.

故答案为：A.

【分析】根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换可得C=进而可得小+且==8,结合基本

不等式可得r=吗二32-近，即可得a/zlB面积的最大值.

6.【答案】A

【解-析]【解答】解：因为y=-2cos23x+,为偶函数，不妨先取3>0,

由/>一：COS23X+4得/>sin2a)x,即|x|>\sina)x\,

因为y=sineox为奇函数，且值域为[一1,1],所以只需VxW[0,1],x>sincox^

贝ijcox工(osincox,当sinaxWO时，不等式恒成立,

当sinax>0时，O)<"",

sincox

令9。)=%—sinx，x>0,

则g'(x)=1-cosx>0,则g(x)在(0,+8)上单调递增，

则g(x)>g(0)=0.则%>sin%,则篙>1»则0<3W1,

而r=o时，x>0在xe[0,1]上恒成立；

当①=1时，由g(x)=x—sinx的单调性可知%>sinx&xe[0,1]上恒成立,

所以3的最大值为1.

故答案为：A.

【分析】先根据二倍角公式化简可得工2>sinza)x,由y=x,y=sintox均为奇函数且|sEsx|<1可

知，只需VxG[0,1],x>sins即可，co<堪器，再设函数g(x)=x-sinx,得到经典不等式%>

sin%即可得解..

7.【答案】A

【解•析】【解答】解：因为曲线Ci：》2+y2—4x+2y=0与曲线七:“乃二好在第一象限交于点力，

联立二者方程，即,2+y2—43；2y=0,得出炉+3工-4=0,因为点A在第一象限，

y=必

所以，x>0,y>0,所以，交点A(l,1),

又因为曲线的:%2+y2一轨+2y=0与曲线C2：f。)=必在4处两条曲线的切线倾斜角分别为a,B，

由f'(x)=2x,所以，曲线。2：〃刈=%2在点A处的切线斜率为k切=/(1)=2x1=2,

所以tan/?=卜切=2,因为直线C通和曲线Ci在点A处的切线垂直，

所以直线的4的斜率和曲线的在点A处的切线的斜率等于-1,

即”勿=一诟=一二I二I=2=tan%又因为tana=1>O,tan/?=2>0,所以，a,/?£(0或)，

所以，a+/?6(0,TT)又因为tan(a+/?)=兽察1—tanatang=1—^x2=0，

AriCvno'/

c1-93r

所以，a+0=余又因为tan(a_/?)=:凿1焉==一尹F

所以|a-/?|=arctan*

故答案为：A.

【分析】利用已知条件结合联立曲线方程得出交点A的坐标，再结合导数的几何意义得出两曲线布

点A处的切线斜率，再利用直线的斜率与直线的倾斜角的关系式得出角明夕的正切值，再结合三角

函数值在各象限的符号得出角。，0的取值范围，进而得出a+。的取值范围，再利用两角和与差的正

切公式以及反三角函数值求解方法，进而找出正确的选项.

8.【答案】A

【解析】【解答】解：因为cos(a+/7)=2；；方,所以cosacos/?—sinasin/?='鬻,又因为§为锐角,

所以cos/?00,

则方程两边同时除以cos£可得：cosa-sinatan夕=々鬻，所以cosasina=tan/?(sin2a+2),

乂也为锐角，所以tana>0,

«sinacosasinacosatana1,1、后

所以tan。=-----9—=------------=-------5----=---------n-£T~n==f,

2+sir/a2cos2a+3sinza3tan»a+23tana4-j——2V612

LailiA

当且仅当3tana=磊，即tana=第时取等号•

故答案为：A.

【分析】本题主要考查余弦的和差公式及同角三角函数的关系，基本不等式求最值，先利用和差公

1

式及同角的三角函数关系对已知等式进行化简可得：tan£==工然后再运用基本不等式即

3tana+

tana

可求解.

9.【答案】A,B,D

【解析】【解答】解：对于选项A：因为点A在线段PQ上，

所以存在这样的实数九故A正确；

对于选项B,分别过点P,Q作直线1的垂线，垂是分别为C,D,

tanzjlQD-tanzjlQB__3

所以tanz_8QD=tan(z/K?D-/4QB)=

1+tanz.AQDxtanz.AQB~“工-4,

则|DB|

因此|幽=3—1一故B正确;

对于选项D：设|BC|=x,显然只需考虑0＜第＜3,

则闯关时间为：@=早+晤更也)=病-卷苹

x1

因为"=石4=忘(°〈》＜3)为增函数，

所以"黄「为减函数’

则“划单调递增，

因为t'(O)VO,t(3)＞0,

所以t'(%)在(0,3)上存在唯一零点与，即为t(x)的极小值点，

则当％=%o时闯关用时最短，此时t'(xo)=0»

可得bcos4PBA=acos乙QBD,

则bcos/PBA4-acosZ-QBA=0,故D正确；

对于诜项C：当点B在点A右侧时可得乙P8AV/QBO,因此Q＞从故C错误.

故答案为：ABD.

【分析】利用向量共线定理和平面向量基本定理，则判断出选项A；分别过点P,Q作直线1的垂线，

利用角的正切值得出AB的长，则判断出选项B；利用三角形中大角对大边的性质，则可判断选项C；

设［8。=心先计算出最短距离，再求导，从而得出函数的单调区间，进而得出函数的极小值，则判

断出选项D,从而找出说法正确的选项.

10.【答案】A,B,D

【解析】【解答】解：因为/•'(%)=cosx—%

数形结合得到在(0,九)内y=cosx,y=工的大致图象为如图所示：

X

所以/(%)<o(xG(0,7T))»则/(久1)>/(x2)，故A正确；

由,(石)=八孙)，得COS%2一同=COS%--,

贝咚jl=cosx1—cosx2=cos(中-号)一cos(空+号)=2s山中S山矢气

由题意，则浮

1

所以书r<2\IsmJ1<X2-%1,

X2X1乙N

x>0,sinx<x,则>1，故B正确；

因为/'(/)+f(x2)=sinxx+sinx2-lnxrx2<sinx14-sinx7<2,故D正确；

因为(%2)<VI，故C错误•

故答案为：ABD.

【分析】先求导函数，再根据函数图象结合函数的单调性，则判断出选项A；根据角之间的关系式

和两角和与差的余弦公式以及角的取值范围，从而化简得出孙工2>1，则判断出选项B；再利用对数

函数的单调性，则判断出选项D：再结合基本不等式求最值的方法，则判断出选项C,从而找出正

确的选项.

1L【答案】B,D

【解析】【解答】解:A、函数/3)=sinx+cosx+\sinx—cosx\=f2sinx,sinx亍cos%_

7I2cosx,sinx<cosx

2rtiax{sinx,cosx},

作出g(x)=2smxfil/i(x)=2cosx的图像，取位于上方的部分即可:

"g(x)=2siav

h(x)=2co&x

由图可知：函数f(x)不可能关于(兀,0)对称，故A错误；

B、由图可知：函数f(x)的最小正周期为2立，故B正确；

C、由图可知：函数/(%)的最小值为苧)=2sin^=—&，故C错误;

由图可知：/■(%)=V5在。2词有4个根，故D正确.

【分析】去绝对值化简函数可得f(x)=27nax{si?ix,cosx},作出函数f(x)大致图象，数形结合判断

各选项即可.

12.【答案】©,+8)

【解析】【解答】解：设圆台轴截面如图，等腰梯形底角为2a,上底面半径为r,下底面半径为R,

高为h,球的半径为p,

则圆台的体积V台=＜兀h(/?2+初+丁2),球的体积V球=［中3,

已知p=Rtana,h=2p=2/?tana,

r4r.eh2tana

由tan2a=p-=-~~-__,

Kr1-tan^a

得R_/=M1rt3n20),

2tana

把h=2Rtana代入，得出R-r=R(1—tan2a),

所以r=R—/?(1—tan2a)=/?tan2a,

则/台=g7rx2/?tana(/?2+RxRian2a4-(/?tan2a)2)=17r/?3tana(l+tan2a4-tan%),

42

V球=壬兀(Rtana),

贝1J台!7r/?3tana(l+tan2a+tan4a)

、'球扣了tan%

4Q

/衿汨tana+tana+11..1、

【乜I可得-------------=5(tarr2a+1H----^―),

2tan7aztana

令，=taMa,tE(0,1),

当r=l,y=t+—+1=3;

当，靠近0时，"变得很大，y趋近正无穷,

所以义4+1+5)的取值范围是。,+8)，

乙1/4

则£(9,+8).

故答案为:(2,+oo).

【分析】设圆台的底角为2a,上底面半径为r,下底面半径为R,高为h,球的半径为p,根据台体

和球体的体积公式，从而计算出二者的体积，进而得到二者的比值，令亡=12«戊，再利用换元法结

合对勾函数性质，从而得出圆台与球的体积比的取值范围.

13.【答案】(2,+8)

【解析】【解答】解：由题意可知，函数〃幻的定义域为R,

______n______o

22

因为/(%)+/(r)=log2(Vl+x+x)-+2+log2(vl+x-%)-2-x+1+2=log2l-

22”2

-V-----y-—+4=2,

2“+l2X+1

所以f(x)的图象关于(0,1)对称，

______o

2

因为y=log2(Vl+x+x),y=一评五在(0,+8)上单调递增，

所以/(x)在(0,+8)上单调递增，所以f(x)在R上单调递增，

因为f(2sin0cos。)+/(4—2sin9—2cos。—m)<2,

所以/(2sinecos6)<2-/(4-2sin6-2cos6-m)</(-4+2sin0+2cos04-m),

因为/(x)在R上单调递增，所以2sin6cos6<-4+2smO+2cos0+m,

即Z10G［。，郛使2sin0cos。+4—2sir)0—2cos0<7?i成立，

令y=2sin”cos8+4—2sme—2cos仇8€[。图

令t=sin。+cos0=x/2sin(。+今)，所以产=1+2sin0cos。，所以t2-1=2sin0cos0»

当8E[o,管时，J+*E[/，居卜所以sin(。+今)€[¥，1],所以tC

令9。)=£2-1+4-21=(£一1)2+2,亡£[1,&],所以g(£)在£W[1,a]上的最小值为2,

所以y=2sin6cos8+4-2sin8-2cos8,8E]。,引的最小值为2,所以m>2,即m的取值范围是

(2,+8).

故答案为:(2,4-00).

【分析】判断出/（均关于（0,1）对称，进而可知/（外在R上单调递增，转化为MW,2使

2sin0cos04-4-2sin6-2cos6<zn成立，利用分离参数法令y=2sin6cos6+4-2s\n0-2cos。，

6€[o,^]»令t=sin。+cos。，贝叼⑴=产+3-2t,t€[1,何，求出函数g（t）上的最小值，即可

求得y=2sin0cos04-4-2sin0-2cos。，0E|o,管的最小值，从而可求得m的取值范围.

14.【答案】一2或

【解析】【解答】解。由cos2、+l+msin2a_cos2a+7nsinacosa_cosa+7\sina_sin3a

3，

“mcos2a+m-sin2a-mcos^a-sinacosa-mcosa-sina-COsa

所以(cosa+msina)cos3a=(mcosa-sina)sin3a»

整理得cos4a+sin4a=msinacosa(sin2a-cos2a),

2,2

所以m=2(cos2a)I(sin2a).

sin2acos2a

又因为2ae则tan2a>0,

、9

故血=-空鬻)-二一(日先+tan2a)'

结合对勾函数的性质，

在tan2aE（0,e）上加单调递增目.值域为（一8,—2&）;

在tan2at（'②十8）」.m单调递减且值域为（―8,—2四），

要使皿=一（而W+tan2a）在区间。e（0,勺上有且仅有一个实数解，

只需tan2a=企时，此时m=-2丘.

故答案为：—2企.

【分析】利用二倍角正弦公式和余弦公式，整理化简得捞=-（布缶+12112口）在区间（0,勺上有且仅

有一个实数解，再利用对勾函数性质求出实数m的侑.

IS.【答案】(1)由a=bcosA和正弦定理知sinA=sinBcos/L

又B=看，则sinA=；cos4，

又sir?力+cos2A=1,cosA=2sinA代入该式

因A6sinA>0,解得sinA=9

(2)由tanC=±@^得黯=与鬻公

cosi4costcosA

sinCcos/l+cosCsin/1=cosC,

即sin(A+C)=cosf,

由A+B+C=nssin(7T-B)=cosC»即sin?=cosC,

则B=C+牺B+C=*

当B+C=3时，A=^与题目中的4工3矛盾，舍去，

故B=C+3，又A+B+C=m故4+B+B—3=兀，

乙乙

即A+2B=等

(3)证明：因sin/l=sinBcosA,则sin(竽-28)=sin8cos(竽-28),

则cos28=sinFsin2F,即cos2B=2sin28cos8,

2

故2cos-1=2(1—cosB')cosBf

B|J2cos3Z?+2cos2?—2cosB-1=0»

因为B=C+3，故8为钝角，令亡=8$8,-1<t<0,

令f(t)=2t3+2t2-2t-1(-1<t<0),

由f'(t)=6t2+4t-2=2(3t-l)(t+1)V0，

故f(t)在(-1,0)上单调递减，

又f(T)>g

所以由零点存在定理可知，存在to«-4，—|)使得/Qo)=0,所以4VCOSBV-I，

因B£(*,兀)，sin25+COS25=1

[jlir/3./2T

则彳<s\nDB<-5-

由｛吗记喘浮W=sE"8sC，

12

乂-5VcosB<—q

则与vcoscv争,从而*sincv｝则cvj

乂与VtanAV争，则A吗

所以4>C,即Q>C

又好箫>春乂，则5c>2人

"F

综h：5a>Sc>2b

【解析】【分析】(1)利用正弦定理将边的关系a=bcosA转化为角的关系，再结合已知角B的值，

以及同角三角函数的平方关系来求解sinA；

(2)先将tanC化切为弦，再利用三角函数的和角公式以及三角形内角和定理，推导出角之间的关系，

从而求出A+2B的值；

(3)先利用已知条件和三角函数公式得到关JcosB的方程，构造函数并利用其单调性确定cosB的

范围，进而得到sinB、sinC等的范围，再根据角的大小关系和正弦定理来证明边的大小关系，得出

5a>5c>2b.

(I)由a=bcosA和正弦定理知siiVl=sinBcosA,

又B=[,则sinA=JcosA,又siGA+cos2A=i,

o2

因.46(0,7T),解得sin4=普；

J

(2)由tanC=与警得爵二与鬻，

cosAcostcosA

sinCcos/l+cosCsin/1=cosC,

即sin(4+C)=cosf,

由A+8+C=TT,sin(7r—B)=cosC,即sin8=cosC,

则B=C+^或B+C=*,

当B+C=?时，4=今与题目中的4H3矛盾，舍去，

乙乙乙

故8=。+[又A+B+C=TT,故4+8+8-?=TT,

乙乙

即A+2B=等

(3)因sin4=sin8cos力，则sin(当一28)=sinBcos(岑-2B),

则cos2B=sinFsinZF,即cos2B=2sin28cos8,

故2cos2^-1=2(1—COS25)COS5,

即2cos3/?+2cos2'-2cos8—1=0,

因为8=C+S，故8为钝角，令£=8$8,-1<t<0,

令f©=2t3+2t2-2t-1(-1<t<0),

由f'(t)=6产+4t—2=2(3t-l)(t+1)V0，

故f(t)在(-LO)上单调递减，

有f>0,fV0，所以—gVcosB<—

因B6怎,兀)，则当vsinBV缘

由严4：sin灰俨可得tag=s[nB=cosC,

lsin«=cost

则学<cosC<争，从而"sinCV；,则

又空vtanA〈等，则

所以/>C,即Q>C

2

又A舞〉盘浣，则5c>26

综上：5a>5c>2b

16.【答案](1)因为cosa=cos=cos^^cos^^-

0(a+pci-p\a+Ba-p.a+0.a-p

cosp=cos[—2-----2)=cos~2cos_2+1sin-2sin-2"

两式相加得cosa+cos6=2cos结cos马团得证.

乙乙

(2)当2=4时,4+B=?,满足sin?。+sin?B=2+cos2c.

令A-0,.S*nC=.=-^-7+00,故.s「CA无最大值,

sinp/lsinFsinD/lsinFsin2/ls\nAs\nB

因为Si"4+sh/B=Jy+l-co2/?

乙乙S

=1-A(cos24+cos2B)=1—cos(/I+8)cos(4—B),

乙

2+cos2C=14-2cos2。，

则cosCcos(A—B)—2cos2c=0,

cosC[cos(/l-8)+2cos(A+8)]=0,

cosC(3cosAcos8-sinAsinb)=0,

则cosC=0或sinAsinB=3cosAcosB,

由sinAsinB>0,有cosAcosB>0,则tanAtanB=3.

①c=3时,sinC12、oA=8=[时取等号,

sinAsinB-sinAsir.B-s\n2A~q

@tanAtanB=3时，

sinC_sin(?l+F)_sinXcosF+sinficosX

sinAsinB~sinAsinB~sinAsinB

=J_+_J_>2=2/3

tanAtanB-JtanAtanB3

A=B=C时取等号，

因为2>挛，则点扁的最小值是单,

3blll/lblllDJ

综上，sci舄n/iS叱inoR有最j小值挛，无最大值.

⑶①0二和寸，2AW(亨,分则S=±•6sin4•6sinB=18sin/cos4=9sin24€(^^,9).

②tan/ltanB=3时，

在△ABC中，由正弦定理有二=<=£,贝b=留学，/,=竺平，

sin/1sin/jsinesinCsinC

川S一16sinzl6sinB_sinAsinB_18sin6sinB_54

、-2sinCsinCSin-sinC-sinAcosB+sinBcosA-tan/l+tanB'

由函数/（x）=x+[在（等,1）上单调递减，有tan4+tanB=tanA+盛/噌，

・"（争与

综上，△4BC的面积S的取值范围是（竽,9）U（争，那

【解析】【分析】3）利用cosa=cos（竽+等），cos/?=cos（喈一等）展开化简即可证明；

⑵取C=3,利用极限思想证明出制'无最大值，接着对si/A+si/B=1一早24+上竽空式

乙sinAsinbZZ

子进行化简，结合基本不等式进行求解即可得到结果；

（3）结合面积公式与正弦定理转化成求S=[an霜an夕进而利用函数/（幻=%+称在（亨，。求出最

值即可得到结果.

(])因为cosa=cos=coscos—sin^^sin^^*

fa+Pa—P\a+0a-p..a+0.a-/?

cospo—cosl-2-------2~cos-2cos―—Fsin—-sin—~~，

两式相加得cosa+cos/?=2cosq骗cosq骗，得证.

⑵当2=1时,4+8=多满足sin?。+sin?/=2+cos2c.

令A->0,.s*nC„=.2.=-^-r->+oo,故・.s无最大值,

smAsmBs\nAs\nBpsin24sinHsinB「'.

因为siM/l+sh?B=上警+上咨

=1—(cos2/l+cos2B)=1—cosQ4+B)cosQ4—B),

2+cos2C=1+2cos2。，

则cosCcosG4-8)-2cos2c=0,

COSC[COS(J4-B)+2cos(4+B)]=0,

cosC(3cosAcosB-sinAsinB)=0,

则cosC=0或sinAsinB=3cosAcosB,

由sinAsinB>0,有cosAcosB>0,则tanAtanB=3.

①C=?时，.s'C=.=."之2,4=B=J时取等号，

J2sin/lsinPsin/lsinFsin2/l-4

@tarii4tan/?=3时，

sinC_sin(/+F)_sinAcosB+sinBcosA

sin/sinB-sinAsinB-sinXsinS

=—+—>L2=2区

tanAtanB-VtaMtanfi3

A=8=C=5时取等号，

•J

因为2＞孥，则嘉品的最小值是苧,

JolllZiolIlO□

综上，小脸有最小值挛，无最大值・

sin/iSino□

(3)①。=.时,2AW管，分

则S=6sin4-6sinB=18sin4cos/l=9sin24G

②tan/ltanB=3时，

在△ABC中，由正弦定理有二=当=则°=丝学，b=竺邛，

sin/1sinBsinesinCsinC

Ijllls一工6sin/l6sin—_sinAsinB_18sin6sin8_54

'-2sinCsinCSin-sinC-sinAcosB+sinBcosA-taaA+tanB'

由函数/(%)=x+[在(等,1)上单调递减，有tanA+tanB=tanA+三篇€(4,

•♦・“管第

综上，△ABC的面积S的取值范围是(竽,9)U(笠围，当)

17.【答案】(1)当k=1时，/(x)=sinx-sinx+cosx-cosx—cos2x=1—cos2x,

由f0)=1—空得：cos2x=Y,解得2X=2/CTT+看，或2%=2々九一看,kEZf

即x=kn+y2或无=kn-豆，kWZ,

故所求方程的解集为｛x|x=+各或％=版•一各kezj；

(2)/(%)的定义域为R,由/(#)是偶函数得:"—)=/),即：

sin(-kx')•sinfc(-%)+cos(-kx)-cosk(-x)—cosk(-2x)=sinkx•sinkx+coskx-coskx—cosk2x,

月f以一sink%•+coskx-coskx-cosk2x=sinkx-sinkx+coskx-coskx—cosk2x>

从而sink%•+(—1)"]=0,进而1+(—1)"=0,所以k为正奇数,

当k取最小值即k=1时,f(x)=1—cos2x=2sin2%,