2026年高考数学复习（全国）幂函数与指、对数函数（讲义）试题版

专题2.5募函数与指、对数函数（举一反三复习讲义）

【全国通用】

内容导航

考情分析

L思维导图

夯基•核心知识梳理

「题型1指数的运算

广题型2对数的运算

广题型3幕函数的图象与性质

鬲函数与指、对数函数

r题型4指数、对数函数的定义域与值域问题

提升•必考题型归纳--题型5指数、对数函数的图象问题

'题型6指数、对数函数的单调性问题

'题型7指对鬲数比较大小

'题型8解不等式问题

L题型9指数函数与对数函数的综合应用

高考真题练

1、幕函数与指、对数函数

幕函数、指数函数与对数函数是高中三类常见的重要函数，在历年的高

考中都占据着重要的地位，是高考常考的重点、热点内容.从近几年的高考

命题规律情况来看，对累函数、指数函数与对数函数的考查，主要以基本函数的性质

为依托，结合指、对数的运算性质，运用基函数与指、对数函数的图象与性

分析

质解决具体的问题，包括比较指对幕数的大小、指数与对数的应用、解不等

式等热点题型.在复习过程中要掌握相关知识，能对常见的指数型函数、对

数型函数进行灵活处理.

高考真题考点2023年2024年2025年

统计塞函数与I卷：第4题，5分新课标I卷：第6题，5全国一卷：第8题，5

指、对数函全国甲卷（文数）：第分分

数11题，5分天津卷:第2题，5分北京卷:第4题，4分

北京卷：第4题，4分天津卷:第5题,5分北京卷:第9题，4分

北京卷:第7题，4分天津卷：第7题，5分

上海卷：第14题，4分

预测在2026年全国卷高考数学中，对暴函数与指、对数函数的考查仍

2026年为必考重点，考情较为稳定。题型主要以单选题或填空题的形式考查，分值

占比固定。命题形式主要以指对基数比较大小、指数与对数的应用、指数函

命题预测数与对数函数的图象与性质等考查方向为主，难度不大。

幕函数的解析式

幕函数的图象与性质

幕函数T幕函数

比较幕值的大小

分数指数幕：规定：0的正分数指数幕等于0；0的负

根式与分数分数指数寨没有意义

指数幕

有理数指数幕的运算：(1)有理数指数幕的运算性

指数质；(2)指数鬲的几个常用结论

无理数指数幕及实数指数幕

数J指数幕的运

指数鬲运算的一般原则

与

指数函数的概念

指

指数函数的解析式的结构特征：①系数为1;②底数〃是大于。且

•概念不等于1的常数.

对

指数函数图象：分0十＜1和两种

数

指数函数的性质：⑴定义域为R；(2)值域为(0,+00)；(3)图象过

图象与性质定点(0.1),即当“0时，E；(4)0＜片1时，单调递

减；时，单调递增

对数的运算性质：积的对数、商的对数、塞的对数

—对数的运算对数的换底公式及其推论、对数运算的常用技巧

对数T

知识梳理

知识点1幕函数及其解题策略

1.第函数的解析式

幕函数的形式是y=x"(a£R),其中只有一个参数a,因此只需一个条件即可确定其解析式.

2.事函数的图象与性质

在区间(0,1)上，幕函数中指数越大，函数图象越靠近^轴(简记为“指大图低”)，在区间(1,+8)上，基函数

中指数越大，函数图象越远酉Lx轴.

3.比较幕值的大小

在比较塞值的大小时，必须结合塞值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较,准确掌握各个塞

函数的图象和性质是解题的关键.

知识点2指数、对数运算的解题策略

1.指数幕运算的一般原则

(1)指数基的运算首先将根式、分数指数基统一为分数指数寻，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底

数需相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序.

(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.

(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.

2.对数运算的常用技巧

(I)在对数运算中，先利用累的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数器的形式,使制的底数最简，然

后用对数运算法则化简合并.

(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用充数的运算法则，转化为同底对数真数的枳、

商、呆再运算.

⑶指对互化:a"=N—〃=lo&N(a>0,且是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意

互化.

知识点3指数函数与对数函数的常见问题及解题思路

1.比较指数式的大小

比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数寒，再利用单调性比较大小:

(2)不能化成同底数的,一般引入地或12等中间量比较大小.

2.指数方程(不等式)的求解思路

指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.

3.指数型函数的解题策略

涉及指数型函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单

调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一-性质分析判断.

4.对数函数图象的识别及应用

（1）在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最高点、最低

点等）排除不符合要求的选项.

（2）一%对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.

5.对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略

利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：

一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系:三是复合函数的构成，即它是

由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.

举一反三

【题型1指数的运算】

/o\3+V5

【例1】（2025•河南新乡•二模）（为=（）

A.16B.8V2C.32D.1672

【变式1-1]（2025•黑龙江佳木斯三模）已知正数4,y满足乃•必二4盯，则2x+y的最小值是（）

A.2V2B.9C.1D.13

【变式1-2]（2025•辽宁葫芦岛•一模）标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录

方式.标准对数视力表各行“E”字视标约为正方形，每一行“E”的边长都是上一行“E”的边长的扁，若视力

4.0的视标边长约为10cm,则视力4.9的视标边长约为1）

标3八时■m运强力表

Eor

wEm-

SEW-

m3IDE

m3Ew

amEw3

A.7TUB.1VTo«C.扁D.*

【变式1-3]（2025・浙江嘉兴•二模）若实数a,匕满足eae2bT=1,则她的最大值为（）

A.•—B.-C.~D.—

16248

【题型2对数的运算】

【例2】（2025,浙江金华一模）已知:+―-=£,则。=（）

log9alog27a3

A.3B.9C.27D.81

【变式2-1]（2025•北京海淀•三模）历史上，在5月27日曾有多次地震记录.例如：2006年5月27日，

印尼爪哇发生里氏6.3级地震，2024年5月27日，四川木里县发生里氏5.0级地震，经过科学家的研窕发

现，地震时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级"之间的关系为lg£=4.8+1.5M.印尼爪哇

地震所释放出来的能量约是四川木里地震的（）倍.（精确到1.参考数据：lg87.5«1.942,lg88.5«

1.947Jg89.5«1.952,ig90.5«1.957）

A.87B.88C.89D.90

【变式2-2]（2025•天津河北•模拟预测）已知a=lg2,b=lg3,则lgl2可以表示为（）

A.a2bB.2abC.a+2hD.2a+b

【变式2-3]（25-26高一上•新疆•期中）荀子《劝学》中说：“不积在步，无以至千里；不积小流，无以成江

海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把（1+1%>65看作是每天

的“进步”率都是1%,一年后是1.01365a37.7834；而把（1一1%）365看作是每天“退步,,率都是1%,一年后

是C.99365X0.0255：这样，一年后的“进步值”是“退步值”的瞿法“1481倍.那么当“进步”的值是“退步”的

099皿

值的2倍，大约经过（）天.

（参考数据：IglOl«2.0043,lg99al.9956,lg2«0.3010）

A.9B.15C.25D.35

【题型3鬲函数的图象与性质】

【例3】（2025•湖南•一模）已知笈困数/■（>）=（*+2m-2）/+2在（0+8）上单调递增，则加的值为（）

A.1B.-3C.-4D.1或-3

【变式3-1]（2025•河南驻马店•模拟预测）己知鼎函数/（%）=（7层+m-1）廿的图象与坐标轴无公共点，

则m=（）

A.-2B.IC.-2或1D.-1或2

2

【变式3-2]（2025•江苏盐城•三模）=2”是“/（x）=（7n-m-1）"+2*3为幕函数,，的（）条件.

A.充要B.必要不充分C.既不充分也不必要D.充分不必要

【变式3-3］（2025・四川绵阳•模拟预测）关于函数f（x）=L2,下列说法错误的是（）

A.函数的定义域为（—8,0）u（0,+8）

B.函数的值域为（0,+8）

C.函数在（一8,0）上单调递减，在（0,+8）上单调递增

D.函数是偶函数

【题型4指数、对数函数的定义域与值域问题】

（2X—1x<—2

【例4】（2025•云南昆明•模拟预测）函数/（x）=的值域为（）

A.［-1,+oo）B.（-1,-：）C.RD.［-1,-3

【变式4-1］（2025•陕西西安•模拟预测）关于函数/（%）=1g（白-1）,下列说法不正确的是（）

A./（幻的定义域为（一1,1）B./V）在区间（0,1）上单调递增

C./（⑼的值域为伐,10）D./（%）的图象关于原点对称

【变式4-2］（2025・海南•一模）若函数/（%）=£—1（。>0且QH1）在区间［0,4］上的值域为［0,4］,则Q=（）

A.V3B.V5C.3D.5

【变式4-3】（2025•河北•模拟预测）已知函数，若/（幻的值域为［2,+8）,则

（1十lOgal%十Lj,X，1

实数Q的取值范围是（）

A.（1,V2］B.（V2,2］C.（1,烟D.（V2,2］

【题型5指数、对数函数的图象问题】

【例5】（2025•河南•三模）函数/㈤=（2--2》）生勺大致图象是（）

【变式5-3］（2025・安徽合肥模拟预测）函数/（%）=（|4一必|一4）111（4一，）的图象大致为（）

【题型6指数、对数函数的单调住问题】

【例6】（2025•新疆喀什•模拟预测）已知In/-Ina=1,则函数/（%）=的单调递增区间为（）

A.（—co,0]B.（-8,1]C.[0,+co）D.[1,+co）

【变式6-1]（2025•山东泰安•模拟预测）已知函数/（%）=吆（/一。%一5）在（5,+8）上单调递增，则a的取值

范围是（）

A.（-8,4）B.（-oo,4]

C.（4,+oo）D.[4,4-oo）

【变式6-2]（2（）25•山东济宁•二模）若函数/（X）=0，一”在[1,+8）上单调递减，则实数Q的取值范围是（）

A.a<2B.a>2C.a<1D.a>1

【变式6-3]（2025•黑龙江哈尔滨二模）函数/（%）=log2G2-2、）的单调递增区间为（）

A.（2,+oo）B.（l,+oo）C.（-8,1）D.（-oo,0）

【题型7指对尾数比较大小】

【例7】（2025湖南一模）若a=log7：，b=7。，，c=仔），则a、b、c的大小关系为（）

A.c<a<bB.a<b<cC.a<c<bD.c<b<a

【变式7-1]（2025•四川绵阳•一模）已知a==log34,c=3,贝lj（）

A.b<a<cB.a<b<c

C.c<b<aD.a<c<b

【变式7・2】（2025•河南•模拟预测）设a=&y,b=logj,r=3-；，贝加瓦。的大小关系为（）

\-J/2$

A.a<c<bB.b<c<a

C.c<b<aD.c<a<b

【变式7-3](2025・天津•二模)已知a=4.545,b=5.454,c=式8今0明则mb,c的大小关系为()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b

【题型8解不等式问题】

【例a】(2025•广东肇庆一模)已知/(X)=e'-ef,若/(无+1)+/(无一1)>U成立，则x的取值范围是

()

A.(0,+oo)B.(1,4-oo)C.(-1,+8)D.(-oo,0)U(0,+co)

【变式8・1](2025•山西临汾•三模)已知f(%)=log2(l+4r)+》,则满足f(2m-3)Vf(m)的实数在的取

值范围为()

A.(1,3)B.(1,3)C.(-8,3)D.(3,+8)

【变式8-2](2025・湖南•模拟预测)设函数f(%)=elxT+l,则使得f(4-1)Vf(r)成立的%的取值范围

是()

A.(0,1)B,&+8)C.(-8,3D.(心&

【变式8-3](2025•四川绵阳•二模)已知定义在R上的函数gG)=eX-ef+f(%),其中g(%)是奇函数且在R

上单调递减，f(\og2x)+f(2)>0的解集为()

A.(-8,：)B.C.&+8)D.(4,+8)

【题型9指数函数与对数函数的综合应用】

【例9】(2025•河北•模拟预测)若函数f(%)=小g2(-/+2x+3)(,》。且OH1)的最大值为3,则。=()

A.\B.V3C.2D.3

xx

【变式9-11(2025•河北石家庄•一模)已知函数/X%)=d+]n(e+e-)-2,则不等式/(X+2)<f(2x-3)

的解集为()

A.[-5,-1]B.(-co,-5]UV，+8)

C.[1,5D.U[5,4-co)

XX

[变式9-2](2025•四川资阳•一模)已知函数f(%)=2-log2(2x-2)-l,g(x)=3-log3(3x-3)-1,h(x)=

logs(5x—5)-5T的零点分别为a,b,c,则a,b,c的大小顺序为()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a

（9T，％<0

2

【变式9-3】（2025•内蒙古呼和浩特二模）已知函数/（x）=\2a（aW0）在R上单调，且/'（logM）W8

在[2,4]上恒成立，则a的取值范围是（）

A.0<a<lB.0<a<|C.0<a<^D.^<a<l

高考真题练

考点一事函数与指、对数函数

一、单选题

1.（2025•北京•高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间7=

/dog2%（单位:h）,其中攵为常数.在此条件下,已知训练数据量N从106个单位增加到1.024x109个单

位时,训练时间增加20h；当训练数据量N从1.024x109个单位增加到4.096x10。个单位时,训练时间增

加（）

A.2hB.4hC.20hD.40h

2.（2025,天津•高考真题）函数/（x）=0.3》一〃的零点所在区间是（）

A.（0,0.3）B.（0.3,0.5）C.（0.5,1）D.（1,2）

3.（2025•上海•高考真题）设Q>0,SER.下列各项中，能推巴QS>Q的一项是（）

A.a>1,且s>0B.a>1,且s<0

C.Ovavl,且s>0D.Ovavl,且sv0

4.（2025・全国一卷•高考真题）已知2+log2x=3+log3y=5+log5z,则x,y,z的大小关系不可能是（）

A.x>y>zB.x>z>y

C.y>x>zD.y>z>x

5.（2024•新课标I卷•高考真题）已知函数/■（%）=[一工；产[二，在R上单调递增，则〃的取值范围