广东省惠州市惠东县2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷（含答案）

2025.2026学年广东省惠州市惠东县九年级（上）期中数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A.11,4)B.(1,-4)C.(-1,4)D.(-1,-4)

3.如图，AC.BC是。。的弦，连结OA,OB,若NC=38。,则乙40B的大小为

)

A.19°B.38°C.52°D.76°

4.若点A（m,2）,B（3,n）关于原点对称，则m+n的值为（）

A.-1B.1C.-5D.5

5.若方程（m-2）%m+3x=o是关于x的一元二次方程,则m的值为（）

A.m=±2B.0C.m=2D.m=-2

6.关于x的一元二次方程M一3乃一5二o的两个根是无i，%2,则与+&-的值为（）

A.8B.-8C.-2D.2

7.在一次酒会上，参加酒会的人每两人碰一次杯，一共碰杯55次，共有多少人参加酒会？设有x人参加酒

会，则可列方程为（）

A.x(x-1)=55B.x(x4-1)=55C.^^=55D.^^二55

8.如图，将△力BC绕点C逆时针旋转得到△DEC,点。落在边AB上，且

AC//DE,则乙A的度数是()

A.55°B.60°C.65°D.70°

9.二次函数y=（无+2m）2-1,当xW5时1y随x的增大而减小，则机的取值范围是（）

A.m<B.m>C.m>-1D.m<-1

乙乙乙乙

10.已知抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标X与纵坐标），的对应值如表:

.V•••-10123•••

•••30-1m3•••

有以下几个结论：

①抛物线y=ax2+bx+c的开口向下；

②抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线乃=-1：

③方程a/+以+c=0的根为。和〃?；

④当y>。时，x的取值范围是“<0或%>2.

其中正确结论的个数是()

A.OB.1C.2D.3

二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

11.已知0。的半径是357,则。。中最长的弦长是.

12.将抛物线y=/向右平移1个单位，再向下平移2个单位,所得抛物线的解析式为一.

13.已知关于x的一元二次方程(m-l)x24-2x+5=0有实数根，则m的取值范围是_.

14.如图，直线〃，匕互相垂直且相交于点0,曲线c,关于点。成中心对称，,b

点A的对应点是4,48la于点B,4。1b于点D.若。8=3,0D=2,则

a0，卜

阴影部分的面积之和为一.

15.若。是方程/-X-1=0的一个根,…之…的值为―

三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，记E明过程或

演算步骤。

16(.本小题7分)

解方程：2/-4%+1=0.

17(.本小题7分)

如图：已知二次函数的图象经过点C(0,3),顶点坐标为(-2,4),L方x轴交于A,8两点(点A在点8左侧).

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)求的面积.

/TV

18.(本小题7分)

如图，48为。0的直径，弦CD1AB于点E,连接AC,BC.

A

⑴求证：乙CAB=LBCD；

(2)若AB=4,BC=2,求CO的长.w//\

B

19.(本小题9分)

如图，某农户准备利用墙面(墙面足够长)，用34〃?长的栅栏围一个矩形羊圈A3CO和一个边长为的正

方形狗屋CEFG(图中阴影部分为羊的活动范围).设=xm.

⑴"的长为______m.(用含x的代数式表示)

(2)若羊的活动范围的面积为95m2,求4B的长.

(3)羊的活动范围的面积能否为1307n2?若能，求出此时A8的长；若不能，请说明理由.

20.(木小题9分)

如图，在平面直角坐标系中，己知△/16C的三个顶点都在格点上，坐标分别为A(2,4),8(1,2),C(5,3).

⑴画出△A8C关于原点0对称的△4B]G；

(2)将△ABC绕原点。顺时针旋转90。,得到A&B2c2,画出△

4282c2并写出4点坐标；

(3)在x轴上找一点P,使P8+PC的和最小，求出P8+PC的最小

值.

21.(本小题9分)

综合与实践

驱动任务：

跳绳，作为•项全民皆可参与的运动，只要•根绳子就能跳遍天下，是•项简单、有趣的运动.不仅可以锻

炼身体，增强免疫力，还可以训练反应能力和协调能力.单人跳、多人跳、花样跳，简单易学，精彩纷呈.

学校计划在运动会上增加跳绳比赛项目，数学应用研习小组协助跳绳筹备组对多人跳绳的战队方式进行了

相关设计.

研究步骤：

数学建模：图1是甲，乙两人甩绳子的示意图，当绳子甩到最高处时，其形状可近似地看作一条抛物线(如

图2所示).

实践操作：

第一步：选两名身高基本相同的男同学为持绳手，量得两人拿绳子的手离地面的高度都为1加，并且两人

相距6m；

第二步：经过多次试跳发现：当绳子甩到最高处时，身高1.75米的小敏同学从乙持绳手的左侧距离乙1.5米

处进入游戏，恰好通过：

第三步：现以两人的站立点所在的直线为x轴，过甲拿绳子的手作x轴的垂线为y轴，建立如国2所示的

平而百■角坐标系.

问题解决:

(1)求绳子甩到最高处时所对应的抛物线表达式并求出其顶点坐标.

(2)当绳子甩到最高处时，通过计算说明身高1.50m的小明，从甲持绳手的右侧距离甲1〃?处进入游戏能否

通过跳绳.

(3)现有9位同学身高统计如下表，计划采取•路纵队并排的方式同时起跳(如图1),为了保证安全，要求

人与人之间距离至少0.5m,此时绳子能否顺利地甩过所有队员的头顶？若能，请写出队列安排方案；若不

能，请说明理由.

同学编号123456789

身高/m1.501.611.771.531.681.751.701.681.78

22.(本小题13分)

综合与探究

数学课上，老师布置了这么一道题目：如图1,点£,尸分别在壬方形"CO的边8C,C。上，Z.EAF=

45°,连接EE求证：EF=BE+DF.

思路梳理：

(1)“勤奋”小组的同学给出了如下的思路分析过程，请你补充完整;

AB=CD,

.•.招△绕点A逆时针旋转90。至4ADG,可使AB与A。重合，

vZ.ADC==90°,

A£FDG=180°,即点尸,D,G共线.

根据，易证△力FGg,即可证得EF=BE+DF.

类比引申:

(2)“智慧”小组的同学在“勤奋”小组同学的基础上，改变了条件：如图2,在四边形ABCO中，AB=

AD,乙BAD=90。，点E,产分别在边8C,CO上，^EAF=45*,连接EF.若48,乙0都不是直角，且

ZB+ZD=180°,则(1)中的结论是否还成立？并说明理由：

联想拓展：

(3)“创新”小组的同学提出了下面的问题：如图3,在A/IBC中，484c=90。，4B=4C,点七均在

边BC上，H/D4E=45。漪想BD,DE,CE满足的等量关系，并写出推理过程.

图1

23.(本小题14分)

在平面直角坐标系xQy中，抛物线G：y=/+/)无+c和人：'=/+hx+k与x轴的交点分别为人，C和

C,B,抛物线人，G的顶点分别用P，Q表示，其中点4，B，C的坐标分别为(一1,0)，(5,0),

(m,0)(-1<m<5).

(1)如图1,当血=2时，

①求抛物线5和42的解析式；

②求P，。两点间的距离.

(2)如图2,当小黄2时，直线%分别是抛物线刀和G的对称轴.

①直线A,%之间的距离是否为定值？若是，直接写出该定值；若不是，说明理由;

②N是直线。上一点，若APQN为等腰直角三角形，试写出所有符合条件的点N的坐标.

参考答案

一、选择题

\.B

2.D

3.0

4.C

5.D

6.A

7.C

8.B

9.D

10.5

二、填空题

11.6cm

12.y=(x-l)2-2

13.m<3且血*1

14.9

15.2022

三、解答题

16.辞：由原方程，得"一2%=-：,

等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得/-2x+1=最

配方，得(％-I)2=g，

直接开平方，得x-l=±T，

%1=1+—,x2=1--.

I7.W：(1)由题意可得：设二次函数的解析为y=a(x+2)2+4,

把C(0,3)代入解析式，

得3=Q(0+2)2+4,

解得Q=_],

所以，y=-i(x+2)2+4；

(2)令y=0,则0=-"(%+2/+4,

解得以1或％=-6,

:.AB=2-(-6)=8,

1

SM8c=]X8x3=12.

证明：•••直径4B弦C7),

•,•弧8c=弧8江

•••Z.A=乙BCD；

(2)连接OC,

•.•直径49，弦CD,

CE=ED.

•••直径4B=4,

•••CO=OB=2,

vBC=2,

•••△0C8是等边三角形,

LCOE=60°,

:.乙OCE=30°,

:.GE=OC=1,

在At△COE中，

CE=V22—I2=V3,

/.CD=2CE=2y13.

19.解：（1）依题意得力B=DC=x,EF=FG=1,

vAB+DC+BC+EF+FG=34,

:.2%+8C+2=34,

:.BC=32-2x；

故答案为：(32-2%)；

(2)依题意得：羊的活动范围的面积为S长方形ABCD一5芷勿怪CE尸G，

:.x(32-2x)-1=95,即产-I6x+48=0,

解得％1=12,x2=4,

48的长为12〃?或4加；

(3)羊的活动范围的面积不能为130/7?.理由如下，

依题意得:x(32-2x)-1=130,即2--32。+231=0,

••・d=(-32产一4x2x131=-24V0,

•••羊的活动范围的面积不能为1307n2.

20.解:(1)如图，△&&&即为所求.

(2)如图，△A282C2即为所求.

由图可得，4点坐标为(2,-1).

(3)取点。关于x轴的对称点C',连接BC',交x轴于点P,连接CP,

此时P8+PC=PB+PC'=BU,为最小值,

由勾股定理得，BC=V42+52=V7T，

・•.PB+PC的最小值为"L

21.辞：(1)设抛物线的解析式为：y=axz+bx+c,

根据题意，抛物线经过点(0,1)、(6,1)、6，今，

①

c=1②

代人解析式得：｛36a+6b+c③

81,9,,

—a+-b+c

42

设抛物线的解析式为：y=-：/+?x+l,

当x=-*=3时，y=2,

2a,

顶点坐标为(3,2).

答：抛物线的解析式为y=+1,顶点坐标为(3,2)；

(2)当％=1时，y=-ixl+|xl+l=^>1.5,

•••小明从甲持绳手的右侧距离甲用处进入游戏能否通过跳绳；

(3)绳子能顺利地甩过所有队员的头顶，方案如下：

有9位同学采取-•路纵队并排的方式同时起跳且人与人之间距离至少0.5米，

则首尾两位同学的距离是0.5%8=4(米)，

最理想状态是最高的同学站在对称轴的位置.，身高越高的同学越靠近对•称轴，按照1.50,1.68,1.70,

1.77,1.78,1.75,1.68,1.61,1.53的顺序排列,

此时首尾两位同学距离对称轴距离恰好是2米，

将x=3代入y=-i%2+|x+1得y=2>1.78,此时绳子能顺利的甩过头顶，

将x=%弋入y=一：/+9+1得y=2>1.77,此时绳子能顺利的甩过头顶，

将x=2代入y=_：/+9+1得y=^>1,7,此时绳子能顺利的甩过头顶，

将x=，代入y=-ix2+|x+1得y=：>1.68,此时绳子能顺利的甩过头顶，

将x=1代入y=_：/+,+1得y=卷>153,此时绳子能顺利的甩过头顶，

•••当按照1.50,1.68,1.70,1.77,1.78,1.75,1.68,1.61,1.53的顺序排列时，绳子能顺利的甩过所有队

员的头顶(答案不唯一).

22.解:(1)如图1,把△ABE绕点A逆时针旋转90。至△4DG,

vAB=AD,

.•・/8与AO重合，如图1,

图I

•••Z.ADC=乙8=90°,

:.Z.FDG=180°,

・•・点尸、D、G共线,

：•4DAG=乙BAE,AE=AG,BE=DG,/.FAG=Z-FAD+£.GAD=Z-FAD+4BAE=90°-45°=45°=

ZE.4F,

:.Z.EAF=乙FAG,

q△AFE(STIS),

:.EF=FG=DG+DF=BE+OF：

故答案为：SAS,A71FE：

(2)(1)中的结论还成立.

理由如下：

,:AB=AD,

.•・把△48E绕点4逆时针旋转90°至△力DG,可使A3与4D重合，如图2所示：

:.Z.BAE=Z.DAG,BE=DG,

vZ.BAD=90°,Z.EAF=45°,

•••N84E+，ZZ4F=45°,

•••LEAF=乙FAG,

V£ADC+ZB=180°,

.•.47)G=180°,点尸、D、G共线，

.•.△AF*A4FG(SHS),

:.EF=FG,

•••FG=DG+DF,

:.EF=BE+OF；

(3)猜想：。52=8/52+EC2.理由如下：

把ZMCE绕点A逆时针旋转90。到A48尸的位置，连接DF,如图3所示:

则NF4E=90°,

.••NF4B=NCAE,BF=CE,LABF=4C,

£FAE=LBAC=90°,

v£DAE=45°,

ZF24D=90°-45°=45°,

A/.FAD=Z.DAE=45°,

：.^ADF^^,ADE{SAS),

•••DF=DE,

v/.BAC=90°,AB=AC,

•••"BC=/C=45°,

“=乙ABF=45°,

:.乙DBF=乙ABF+乙ABC=90°,

.••△BOF是直角三角形,

BD2+BF2=OF2,

:，BD2+EC2=DE2.

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