2024-2025学年广东深圳实验学校初中部九年级下学期一模数学试题含答案

初中初中广东省深圳实验学校初中部2024-2025学年下学期九年级3月测试数学试卷（一模）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．萌萌将如图所示的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，所拼成的多边形中为中心对称图形的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断．【详解】A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、是中心对称图形，故本选项符合题意；C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意.故选：B．【点睛】此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分能够完全重合．2．下列各数中，最小的数是（

）A．−5 B．3 C．0 D．−【答案】A【分析】本题主要考查了实数比较大小，正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大其值越小，据此求解即可．【详解】解：∵−5=5>∴−5<−π<0<3∴四个数中最小的数为−5，故选：A．3．下列运算正确的是（）A．（m+2）2＝m2+4 B．m5﹣m3＝m2C．（﹣m2n）3＝﹣m6n3 D．﹣2m（2m3﹣m）＝﹣4m4﹣2m2【答案】C【分析】根据完全平方公式可判断A，根据合并同类项可判断B，根据积的乘方运算可判断C，根据单项式乘以多项式可判断D，从而可得答案.【详解】解：(m+2)2m5（﹣m2n）3＝﹣m6n3，故C符合题意；﹣2m（2m3﹣m）＝﹣4m4+2m2，故D不符合题意；故选C【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，合并同类项，积的乘方运算，单项式乘以多项式，掌握以上基础运算是解本题的关键.4．一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放（厚度忽略不计），若∠α=20°，则∠β的度数为（

）A．45° B．40° C．25° D．20°【答案】C【分析】本题考查平行线的知识，解题的关键是掌握平行线的性质，等腰三角形的性质，即可．【详解】∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°=∠1+∠β，∵EH∥FG，∴∠1=∠α=20°，∴∠β=45°−∠1=45°−20°=25°．故选：C．5．在一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球4个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.5，那么可以估算出m的值为（

）A．8 B．12 C．15 D．20【答案】A【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，根据红球的个数除以总数等于频率，求解即可．【详解】解：∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.5，∴任意摸出一个球，摸到红球的概率为0.5，∴4m∴m=8．经检验，m=8是方程的解，且符合题意．故选：A．6．如图，△ABC中，AB=AC，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点M，交AB于点N．分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点P．射线BP与AC相交于点D．若∠A=40°，则∠BDC的度数是（

A．75° B．80° C．105° D．110°【答案】A【分析】本题考查了作角平分线，三角形内角和定理的应用，等腰三角形的性质与判定．利用等腰三角形底角相等求得∠ABC=70°，由作法得BD平分∠ABC，再根据三角形的外角性质即可求解．【详解】解：∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠C=1由作法得BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=1∴∠BDC=∠A+∠ABD=40°+35°=75°．故选：A．7．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到800里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求慢马的速度．若设慢马的速度为x里／天，则可列方程为（

）A．800x+1=800C．800x+1×2=800【答案】D【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程．设慢马的速度为x里/天，则快马的速度为2x里/天，根据规定时间相等可得方程．【详解】解：设慢马的速度为x里/天，则快马的速度为2x里/天，根据题意，得800x故选：D．8．如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆上，CD=DB，连接OC，CA，OD，过点B作EB⊥AB，交OD的延长线于点E．设△AOC的面积为S1，△OBE的面积为S2，若S1A．2 B．223 C．75【答案】A【分析】连接BC，如图，利用圆周角定理的推论得到∠ACB=90°，根据垂径定理的推论得到OD⊥BC，则可判断OD∥AC，从而得到∠BOE=∠A，再利用三角形面积公式得到S△ABCS2=43，接着证明△ABC∽△OEB，利用相似三角形的性质得到【详解】解：连接BC，如图，∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB=90°，∵CD∴OD⊥BC，∴OD∥∴∠BOE=∠A，∵OA=OB，∴S∵S∴S∵EB⊥AB，∴∠OBE=90°，∵∠ACB=∠OBE,∠A=∠BOE，∴△ABC∽∴S∴AC∴AC设AC=t，则AB=3在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC=∴tan故选：A．【点睛】本题考查了圆周角定理的应用、垂径定理、平行线的判定及性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理的应用、求角的正切值，作出合适的辅助线构建直角三角形是解答本题的关键．二、填空题9．已知实数a，b，满足a+b=6，ab=7，则a2b+ab【答案】42【分析】首先提取公因式，将已知整体代入求出即可．【详解】a=ab=7×6=42．故答案为：42．【点睛】此题考查了求代数式的值，提公因式法因式分解，整体思想的应用，解题的关键是掌握以上知识点．10．已知m是方程x2−x−2=0的一个根，则代数式m2【答案】2027【分析】本题考查了一元二次方程根的概念，解决此题的关键是要熟练掌握整体代入求值．把m代入原方程，再整体代入m2【详解】解：∵m是方程x2∴m2∴m2∴m2故答案为：2027．11．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=42．以A为圆心，AD为半径作弧交BC于点E，则图中阴影部分的面积为

【答案】16【分析】可得AE=AD=42，可求BE=4，由S【详解】解：由题意得：AE=AD=42∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠BAD=90°，∵AB=4，∴BE=A∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠BAE=45°，∴∠DAE=45°，∴S矩形S扇形S△ABE∴=162故答案为：162【点睛】本题考查了矩形的性质，扇形的面积，勾股定理等，掌握相关的性质是解题的关键．12．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，∠ACB=90°，∠CAB=30°，点A的坐标为(1,0)，将△ABC绕着点B旋转60°得到△DBE，若反比例函数y=kx的图象经过点D和点E，则k【答案】63【分析】本题考查了反比例函数的性质、旋转的性质、勾股定理及直角三角形30°角所对直角边等于斜边一半，先设出B点坐标，表示出D，E点坐标代入反比例函数即可得到答案；【详解】解：设B(a,0)，∵点A的坐标为(1,0)，∴AB=a−1，∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴BC=a−1∴AC=(a−1)，∵△ABC绕着点B旋转60°得到△DBE，∴DF=AC=32(a−1)，BC=BE=BF=∴∠BEG=90°−60°=30°，∴BG=12BE=∴D(a+12,∵反比例函数y=kx的图象经过点D和点∴34(a−1)=k解得：k=63故答案为：6313．在等腰△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，过点D作DE⊥AD交AC延长线于点E，若tan∠BAC=247，BDAB=【答案】13【分析】过点A作AP⊥BC于点P，过点B作BH⊥AC于点H，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，由正切函数得tan∠BAC=BHAH=247，设BH=24a，AH=7a，利用勾股定理分别求出AB=AC=25a，CH=18a，BC=30a，则BP=CP=15a，再求出BD=10a，则CD=20a，DP=5a，AP=20a，进而得tan∠ACP=APPC=43，tan∠ECF=EFCF，根据∠ACP=∠ECF【详解】解：过点A作AP⊥BC于点P，过点B作BH⊥AC于点H，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，如图所示：∴AP∥EF在Rt△ABH中，tan∴设BH=24a，AH=7a，AB===25a，∴AB=AC=25a，∴CH=AC−AH=25a−7a=18a，∴BC===30a，∵AP⊥BC，∴BP=CP=15a，∵BD∴BD=2∴CD=BC−BD=30a−10a=20a，DP=BP−BD=15a−10a=5a，∴AP===20a，∴tantan∠ECH=∵∠ACP=∠ECF，∴EFCF设EF=4k，CF=3k，CF===5k，∴DF=CD+CF=20a+3k，在Rt△APD中，tan在Rt△DEF中，∠EDF=∵DE⊥AD，AP⊥BC，∴∠EDF+∠ADP=90°，∠DAP+∠ADP=90°，∴∠EDF=∠DAP，∴4k20a+3k解得：k=20a∴CE=5k=100a∴ACCE故答案为：134【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，正切函数，勾股定理，掌握似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，能构建相似三角形，并能熟练利用正切函数和勾股定理进行求解是解题的关键．三、解答题14．计算：(−1)2025【答案】4−【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函值是解答本题的关键．先根据乘方、零指数幂、负整数指数幂的意义，实数的性质，特殊角的三角函值化简，再算加减即可．【详解】解：(−1)=−1+1+2+2−2×=−1+1+2+2−=4−315．先化简，再求值：(1−1a−1)÷a(a−2)a2−1【答案】a+1a；【分析】本题考查分式的化简求值．熟练掌握分式的混合运算是截图的关键，根据分式的运算法则化简，再把a=3代入计算即可．【详解】解：原式=a−2=a+1a∵a−1≠0；a≠0；a−2≠0∴a≠0，1，2，当a=3时，原式=3+1316．在实验教育集团“学习总理精神，担当时代责任”主题演讲比赛中，A、B两所学校各有10名学生进入决赛，现对他们的成绩（满分100分）进行整理分析，得到如图表信息：平均数众数中位数A学校85.580nB学校85.5m86根据以上信息，回答下列问题：(1)填空：m=________，n=________；(2)A、B两所学校决赛成绩的方差分别记为S12、S22，请判断S12_______S2(3)本次比赛的前4名分别来自A、B两所学校，该区决定从这4位学生（A校3位，B校1位）中随机选取2位学生参加市级竞赛，求选中的两位学生恰好在同一学校的概率．【答案】(1)85；87(2)>(3)1【分析】本题考查列表法与树状图法、中位数、众数、方差，熟练掌握列表法与树状图法、中位数、众数、方差的定义是解答本题的关键．（1）根据众数和中位数的定义可得答案．（2）根据方差的定义可得答案．（3）列表可得出所有等可能的结果数以及选中的两位学生恰好在同一学校的结果数，再利用概率公式可得出答案．【详解】（1）解：（1）由折线统计图可得，m=85，将A学校的10名学生的成绩按照从小到大的顺序排列，排在第5名和第6名的成绩为86分，88分，∴n=(86+88)÷2=87．故答案为：85；87．（2）由折线统计图可知，A校学生成绩的波动幅度明显大于B校学生成绩的波动幅度，∴故答案为：>．（3）将A校3位学生分别记为甲，乙，丙，将B校1位学生记为丁，列表如下：甲乙丙丁甲（甲，乙）（甲，丙）（甲，丁）乙（乙，甲）（乙，丙）（乙，丁）丙（丙，甲）（丙，乙）（丙，丁）丁（丁，甲）（丁，乙）（丁，丙）共有12种等可能的结果，其中选中的两位学生恰好在同一学校的结果有：（甲，乙），（甲，丙），（乙，甲），（乙，丙），（丙，甲），（丙，乙），共6种，∴选中的两位学生恰好在同一学校的概率为612故答案为：1217．某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．

(1)如图2，在P点观察所测物体最高点C，当量角器零刻度线上A，B两点均在视线PC上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为α，设仰角为β，请直接用含α的代数式示(2)如图3，为了测量广场上空气球A离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点B，C分别测得气球A的仰角∠ABD为37°，∠ACD为45°，地面上点B，C，D在同一水平直线上，BC=20m，求气球A【答案】(1)β=90°−α(2)AD=60【分析】（1）如图所示，铅垂线与水平线相互垂直，从而利用直角三角形中两锐角互余即可得到答案；（2）根据题意，AD⊥BD，在Rt△ACD中，∠ACD=45°，由等腰直角三角形性质得到CD=AD；在Rt△ABD中，∠ABD=37°，由【详解】（1）解：如图所示：

由题意知OD⊥PD，在Rt△POD中，∠D=90°，则∠P+∠POD=90°，即α+β=90°∴β=90°−α；（2）解：如图所示：

∴AD⊥BD，在Rt△ACD中，∠ACD=45°，由等腰直角三角形性质得到CD=AD在Rt△ABD中，∠ABD=37°由tan∠ABD=即0.75=AD解得AD=60m∴气球A离地面的高度AD=60m【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，涉及直角三角形性质、等腰直角三角形性质和正切函数测高等，熟练掌握解直角三角形的方法及相关知识点是解决问题的关键．18．“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒的利润率不低于50%，且每盒售价不得高于80元．根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒．设每盒售价为x元，日销售量为p(1)当x=60时，p=________；(2)当每盒售价定为多少元时，日销售额y（元）最大？最大日销售额是多少元？【答案】(1)400(2)当每盒售价定为60元时，日销售额y（元）最大，最大日销售额是24000元【分析】本题考查了二次函数的应用，列出函数解析式是解题的关键．（1）根据“每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒”列式求解；（2）根据“销售额=销售量×销售价”列出函数解析式，再根据函数的性质求解．【详解】（1）解：p=500−10×60−50故答案为：400；（2）解：y=x500−10∵−10<0，∴当x>50时，y随x的增大而减小，∵60≤x≤80，∴当x=60时，y有最大值，为24000元，答：当每盒售价定为60元时，日销售额y（元）最大，最大日销售额是24000元．19．【问题背景】人们从城市中的一点到另一点时，通常只能沿着城市中的街道行走．因此，人们发现，用19世纪数学家闵可夫斯基提出的曼哈顿距离来计算城市内街道上两点之间的距离更符合生活现实．曼哈顿距离（简称为“曼距”)的定义如下：坐标平面内的两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)之间的距离为【初步理解】（1）在一座理想的棋盘式布局的城市内，“110”的调度员收到信息，有一个突发事故发生在X=(−1,4)处．而在该地区附近有两辆警车，A车位于(2,1)处，B车位于(−1,−1)处，那么以“曼距”大小衡量，按“就近优先出警”的原则，应该派车（填A或B)前去处理事故．（2）如图1，正方形ABCD的中心位于坐标原点O，四个顶点均位于坐标轴上，且OA=4．则下列说法：①若点P是正方形ABCD一边上的一点，则dop=4；②若点P是正方形ABCD内的一点，则③若点P是正方形ABCD外的一点，则dop>4；④若点P是正方形ABCD内的一点，则其中不正确的是（填序号）．【探究应用】（3）如图2，某消防支队位于坐标原点O，x轴是一条城市主干道，“月牙湖”位于城市边陲，其西、南岸可近似看作一段圆弧．已知圆弧形湖岸经过A(11,8)，B(13,2)，C(17,2)三点．今该消防支队要在湖岸边，建一个训练基地（记为点D)，为使该消防支队官兵，平时前往基地参训时的“曼距”最短，需探究：点D的位置应选在何处？请作答以下问题：①圆弧所在的圆的圆心P的坐标为，该圆的半径大小为；②请利用网格格点，在图2中，画出使dOD最小时点D③dOD的最小值为【答案】（1）B；（2）④；（3）①15，6，2【分析】（1）分别计算出两辆警车到事故发生点的“曼距”然后进行比较即可；（2）因为正方形是轴对称图形，又是中心对称图形，所以只研究P在第一象限的情况即可，得出CD的直线方程，即可判断①，过P作x轴垂线，交CD于点Q，根据坐标关系即可得出②③，令P在OA上，即可判断④的正误；（3）①根据垂径定理作BC和AC的垂直平分线，交点即为P，根据勾股定理求出PB即为半径；②③因为dOP为定值，DP也为定值，所以D需要在O，P之间，且d本题主要考查了圆与坐标系的综合，一次函数的图象性质，垂径定理，勾股定理，正确理解新定义的几何意义是本题解题的关键．【详解】解：（1）dAX=|2+1|+|1−4|=6，∴d∴应该派B前去处理事故，故答案为：B；（2）∵OA=OC=OD=4，设CD所在直线方程为y=kx+b把D0，得4=b解得k=−1∴CD所在直线方程为：y=4−x，当P在第一象限内，当P在CD上时，dOP当P在正方形内时，过P作PQ⊥x交CD于Q，此时，yP∴d同理，当P在正方形外，yP∴d∵正方形为轴对称图形，也是中心对称图形，∴当P在其他象限时，①②③同样成立；取P为OA上一点(x,0)，x<0，∴d故答案为：④；（3）①②如图：∴P(15,6)，∴r=(15−13)故答案为：(15,6)，25③过D作y轴垂线，过P作x轴垂线，两线相交于E，∴△PDE为等腰直角三角形，∴PE=DE=10∴D(15−10，6−∴d故答案为：21−220．【问题提出】在旋转专题复习课中，王老师引导同学们积极探究以下问题：将一大一小两个等腰直角三角板如图1放置，∠BAC=∠AFD=90°，点F在△ABC内，连接BF并延长到点E，使EF=BF，连接BD，CD，DE．探究线段DE与CD的关系．【思路探究】“勤学小组”的解题思路：将线段DE借助平行线进行平移，如图2，过点B作BG平行DE交DF的延长线于点G，这样可以将证明DE和CD的关系转化为BG和CD的关系；“善思小组”的解题思路：结合F为BE的中点构造三角形的中位线，如图3，过点B作BH平行DF交ED延长线于点H，从而借助三角形中位线性质，将DE和CD的关系转化为DH和CD的关系．（1）请你写出线段DE与CD的数量关系________，位置关系________，并证明线段DE与CD的数量关系（写出一种方法即可）；【思维训练】王老师为了进一步让学生体会平行线在图形证明中的作用，又出示了下列问题：（2）如图4，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D为AB上一点，将CD绕点C逆时针旋转60°得到CE，连接BE，DE，O为DE中点，连接BO并延长交CD的延长线于点F，若∠EBO=2∠BCE，探究OF，OB，BE之间的数量关系__________，并说明理由；【能力提升】（3）“创新小组”的同学在【问题提出】的基础上对该问题又进一步拓展：连接CE，若F为平面内一点，AD∥CE，CD=2，AC=3，其他条件不变，请直接写出AD的值（参考图5、图6）．【答案】（1）证明过程详见解答；（2）OF=OB+BE；（3）AD=7【分析】（1）勤学小组的解法：将线段DE借助平行线进行平移，过点B作BG平行DE交DF的延长线于点G，这样可以将证明DE和CD的关系转化为BG和CD的关系，即可得证；“善思小组”的解法：结合F为BE的中点构造三角形的中位线，过点B作BH平行DF交ED延长线于点H，从而借助三角形中位线性质，将DE和CD的关系转化为DH和CD的关系，即可得证．（2）延长OB至G，使OG=OF，可证得C、B、E、D共圆，从而∠BDE=∠BCE，∠CEB=∠CDB，可证得∠GEB=∠G，从而BG=BE，进一步得出结果；（3）当点F在△ABC内部时，可证得C、D、F共线，根据AF2+CF2=AC【详解】解：（1）方法一，如图1，DE=CD，DE⊥CD，理由如下：连接AG，延长CD，交BG的延长线于点H，交AB于点O，∵BG∥DE，∴∠BGF=∠EDF∠GBF=∠DEF∵EF=BF∴△BGF≌△EDF∴BG=ED，GF=DF，由旋转可得AF=DF，∠AFD=90°，∴AG=AD，∠ADF=∠DAF=45°，∴∠GAD=2∠DAF=90°，∵∠BAC=90°∴∠BAC−∠BAD=∠GAD−∠BAD∴∠GBA=∠DAC，∵AB=AC，∴△AGB≅△ADC(SAS∴GB=D