【中考数学冲刺】查漏补缺：四边形 2026年【中考数学】 含答案

/【中考模拟题汇编】查漏补缺：四边形-2026年中考数学一．选择题（共8小题）1．（2025•中山区一模）若正多边形的一个内角是120°，则这个正多边形的边数为（）A．8 B．7 C．6 D．52．（2025•阜平县校级一模）如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E．若∠2＝130°，则∠1的度数为（）A．30° B．40° C．45° D．50°3．（2025•昭阳区校级模拟）如图，在▱ABCD中，∠ADC的平分线DE交BC于点E，若AB＝11，BE＝4，则AD的长为（）A．15 B．11 C．20 D．524．（2025•石狮市模拟）依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是（）A． B． C． D．5．（2025•重庆模拟）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝16，BC＝21，CD＝13，动点P从点B出发，沿射线BC以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（）秒．A．2或374 B．52 C．52或376．（2025•龙泉市二模）在正方形ABCD中，AB＝6，P是对角线AC上一动点，作PE⊥AD于点E，PF⊥CD于点F．若四边形PFDE的面积为6，则BP的长为（）A．4 B．25 C．26 7．（2025•九龙坡区校级二模）如图，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在AB、BC、CD上，连接AF、EG交于点H，连接CH，若CF＝CG，AE＝2DG，∠BAF＝α，则∠HCF的度数为（）A．45°+α B．45°﹣α C．2α D．α8．（2025•涪城区三模）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在边AB，AD上，且AE＝DF，连接BF，交DE于点G，连接GC．现有下列结论：①∠BGD＝120°；②GC平分∠BGD；③CG＝DG+BG；④S四边形DGBC=34CGA．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题（共6小题）9．（2025•南岸区模拟）如果一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，那么这个多边形的边数为．10．（2025•东莞市校级一模）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．已知图1是边长为4的大正方形，图2是小红同学将七巧板摆拼而成的“奔跑者”图案，则图2中阴影部分的面积为．11．（2025•安徽模拟）正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠CAB的平分线AE交BC于点E，OB于点F．（1）∠AFD的度数为；（2）ADBE的值为12．（2025•海南模拟）如图，已知菱形ABCD中，BD为对角线，AB＝10，BD＝12，点E是边AB的延长线上一点，连接DE交BC于点F，BG平分∠CBE交DE于点G．则∠DBG＝，若DG＝2GE，则tan∠BDG＝．13．（2025•福州模拟）图1是第九届华人数学家大会的会场背景图案，其中最具代表性的数学元素是“斐波那契螺旋线”，用以斐波那契数列“1，1，2，3，5，8，13，…（从第3个数开始，每个数是前面两个数的和）”为边的正方形拼成长方形，然后在正方形里面画90°的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线，图2是用“1，1，2，3，5”构造的斐波那契螺旋线，它的长度为．14．（2025•杭州模拟）如图，已知矩形ABCD中，点H是CD的中点，连结BD和AH交于点G，过A作BD的垂线交BD于点E，延长AE交BC于点F．若AB＝BG，在BD上取一点P（不与B和D重合），使得直线CP刚好经过四边形DEFH某一条边的中点，则BP：BD的值为．三．解答题（共7小题）15．（2025•镇平县模拟）如图，平行四边形ABCD中，点F在AD上．（1）请用无刻度的直尺和圆规作AE⊥BC于点E．（保留作图痕迹，不写作法）；（2）若DF＝BE，连接CF，求证：四边形AECF是矩形．16．（2025•沛县二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE延长线于点F，连接AF、CD．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）当ABAC=时，四边形17．（2025•道里区二模）四边形ABCD为正方形，点E，F分别在BC，CD上，连接BF，DE，∠ADE＝∠ABF．（1）如图1，求证：DE＝BF；（2）如图2，设BF与DE交于点G，∠ABF＝2∠CBF，在不添加任何辅助线的情况下，请写出图中所有等于AB−18．（2025•儋州模拟）已知正方形ABCD，一等腰直角三角形EFG的斜边EG经过其顶点B，直角边GF所在直线经过其顶点A（点B不与E，G重合，点A不与F，G重合），∠EFG＝90°，EF＝FG＝6，AB=25，连接（1）如图1，若点B为EG的中点，且边GF的延长线经过顶点A时，连接BF．求∠BGC的度数．（2）如图2，若顶点B不是EG中点，且顶点A在边FG上时，作CM⊥EG于点M，BE=22，BM①求∠BGC的度数；②连接AC，交BG于点P，求CP的长．19．（2025•泌阳县二模）在学习特殊四边形的过程中，我们对四边形有一些了解，并积累了一定的研究经验．定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究．（1）概念理解①在以下四种图形中，一定是邻等对补四边形的是；A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形②分别用含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有．（填序号）（2）概念应用如图2，∠BAD＝60°，且AB＝AD．请你用尺规作图在平面内找出动点C的轨迹，使得四边形ABCD总是邻等对补四边形．（保留作图痕迹，不写作法）（3）综合探究在（2）的基础上，连接AC，探究线段AC，BC，CD之间满足的数量关系．20．（2025•安州区三模）如图，在△ABC中，AC＝5，CD为AB边上的高，且CD＝BD，tan∠CAB=43，E，M为AC边上两个不重合的动点（点E在点M的上方，且均不与端点重合），EF∥AB，与边BC交于点F，四边形EMNF为平行四边形，连接（1）求AD，BD的长．（2）如图①，若四边形EMNF为菱形，点N在CD上，当tan∠ABN=1（3）如图②，若BF＝BN，则当EF长为多少时，平行四边形EMNF的面积取得最大值？求出最大值．21．（2025•姑苏区校级二模）实践探究：两位同学利用菱形纸片进行翻折问题的自主探究，已知纸片为菱形ABCD，其边长为4，一个内角∠A＝60°．（1）如图1，他们将△AMN沿直线MN翻折得到△EMN，使得点E正好落在边CD上，且EM⊥AB，两位同学发现了不同的解法来求出图中线段DN的长度，一位同学找到了图中的一个特殊的等腰三角形，另一位同学则利用轴对称图形对应边相等这一性质；请聪明的你利用提示来求出线段DN的长度；（2）如图2，两位同学又将△APQ沿直线PQ翻折得到△FPQ，使得点F正好是边CD的中点，那么此时线段DQ的长度是多少呢？（3）如图3，点G为BC边上一点，将△ABG沿直线AG翻折得到△AKG，BK，AK的延长线分别交CD于S，T两点，若BG=85

【中考模拟题汇编】查漏补缺：四边形-2025年中考数学答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案CBACCCBD一．选择题（共8小题）1．（2025•中山区一模）若正多边形的一个内角是120°，则这个正多边形的边数为（）A．8 B．7 C．6 D．5解：设所求正n边形边数为n，则120°n＝（n﹣2）•180°，解得n＝6，故选：C．2．（2025•阜平县校级一模）如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E．若∠2＝130°，则∠1的度数为（）A．30° B．40° C．45° D．50°解：∵BE⊥AB，∴∠ABE＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAE＝∠1，∵∠2＝∠BAE+∠ABE，∴∠2＝∠1+∠ABE，∴∠1+90°＝130°，∴∠1＝130°﹣90°＝40°，故选：B．3．（2025•昭阳区校级模拟）如图，在▱ABCD中，∠ADC的平分线DE交BC于点E，若AB＝11，BE＝4，则AD的长为（）A．15 B．11 C．20 D．52解：∵∠ADC的平分线DE交BC于点E，∴∠ADE＝∠CDE，∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝11，∴CD＝AB＝11，AD∥BC，∴∠ADE＝∠CED，∴∠CDE＝∠CED，∴CE＝CD＝11，∵BE＝4，∴AD＝CB＝CE+BE＝11+4＝15，故选：A．4．（2025•石狮市模拟）依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是（）A． B． C． D．解：A、32+42＝52，由勾股定理的逆定理推出四边形的对角线互相垂直，四边形的对角线又互相平分，判定是四边形是菱形，故A不符合题意；B、四边形的四条边相等，判定四边形是菱形，故B不符合题意；C、四边形的对角线互相平分，只能判定四边形是平行四边形，不能判定四边形是菱形，故C符合题意；D、由同旁内角互补，得到四边形的两组对边平行，而四边形的邻边又相等，判定四边形是菱形，故D不符合题意．故选：C．5．（2025•重庆模拟）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝16，BC＝21，CD＝13，动点P从点B出发，沿射线BC以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（）秒．A．2或374 B．52 C．52或37解：∵四边形PQDC是平行四边形，∴DQ＝CP，当P从B运动到C时，且P在BC上，∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，CP＝21﹣3t，∴16﹣t＝21﹣3t，解得t=5∴当t=52秒时，四边形当点P在BC延长线上时，∴16﹣t＝3t﹣21，解得t=37∴t=52秒或374秒时，P、Q、D故选：C．6．（2025•龙泉市二模）在正方形ABCD中，AB＝6，P是对角线AC上一动点，作PE⊥AD于点E，PF⊥CD于点F．若四边形PFDE的面积为6，则BP的长为（）A．4 B．25 C．26 解：∵点P是对角线AC上一动点，∴有以下两种情况：①当点P靠近点A时，延长EP交BC于点H，如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，且AB＝6，∴AB＝BC＝6，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，∠DCA＝45°，AD∥BC，∴EH⊥BC，∵PE⊥AD，PF⊥CD，∴四边形ABHE，四边形PHCF，四边形PEDF都是矩形，∴EH＝AB＝6，∵∠DCA＝45°，PF⊥CD，∴△PCF是等腰直角三角形，∴PF＝CF，∴矩形PFCF是正方形，设PF＝PH＝CH＝a，∴PE＝EH﹣PH＝6﹣a，BH＝BC﹣CH＝6﹣a，∵四边形PFDE的面积为6，∴PF•PE＝a•（6﹣a）＝6，在Rt△PBH中，由勾股定理得：BP=P②当点P靠近点C时，延长EP交BC于点H，如图2所示：同（1）得：EH＝AB＝AC＝6，四边形PHCF是正方形，设PH＝PF＝CH＝a，则BH＝BC﹣CH＝6﹣a，∵四边形PFDE的面积为6，∴PF•PE＝a•（6﹣a）＝6，在Rt△PBH中，由勾股定理得：BP=P综上所述：BP的长为26故选：C．7．（2025•九龙坡区校级二模）如图，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在AB、BC、CD上，连接AF、EG交于点H，连接CH，若CF＝CG，AE＝2DG，∠BAF＝α，则∠HCF的度数为（）A．45°+α B．45°﹣α C．2α D．α解：过点D作DH∥GE交AB于点H，连接AG，FG，作△CFG的外接圆，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DA＝BC＝DC，∠DAB＝∠B＝∠BCD＝∠CDA＝90°，AB∥CD，∴四边形DHEG是平行四边形，∴DE＝HE，DH＝GE，∴AE＝AH+HE＝AH+DE，∵AE＝2DG，∴AH+DE＝2DG，∴AH＝DG，在△AHD和△DGA中，AH=∴△AHD≌△DGA（SAS），∴∠BAF＝∠GAD＝α，DH＝AG，∴∠FAG＝∠DAB﹣（∠BAF+∠GAD）＝90°﹣2α，∵BC＝DC，CF＝CG，∴BC﹣CF＝DC﹣CG，∴BF＝DG，又∵AH＝DG，∴BF＝AH，在△ABF和△DAH中，AB=∴△ABF≌△DAH（SAS），∴∠BAF＝∠ADH＝α，AF＝DH，∵∠BAF+∠FAG＝∠DAB＝90°，∴∠ADH+∠FAG＝90°，∴AF⊥DH，∵DH∥GE，∴AF⊥GE，∴∠AGE＝90°﹣∠FAG＝90°﹣（90°﹣2α）＝2α，∵DH＝AG，AF＝DH，∴AF＝AG，∴∠AGF＝∠AFG=12（180°﹣∠FAG）=12×∴∠FGE＝∠AGF﹣∠AGE＝45°+α﹣2α＝45°﹣α，∵∠BCD＝90°，∴FG是△CFG外接圆的直径，∵AF⊥GE，∴∠FHG＝90°，∴点H在△CFG的外接圆上，根据圆周角定理得：∠HCF＝∠FGE＝45°﹣α．故选：B．8．（2025•涪城区三模）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在边AB，AD上，且AE＝DF，连接BF，交DE于点G，连接GC．现有下列结论：①∠BGD＝120°；②GC平分∠BGD；③CG＝DG+BG；④S四边形DGBC=34CGA．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝BC＝CD，∠A＝∠BCD，∵∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠A＝∠ADB＝60°，AD＝BD，在△AED和△DFB中，AD=∴△AED≌△DFB（SAS），∴∠ADE＝∠DBF，∴∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠ADE＝∠ADB＝60°，∴∠BGD＝180°﹣∠BGE＝120°；故①符合题意；过C作CM⊥BG于M，CN⊥ED交ED延长线于N，则∠CNG＝∠CMG＝90°，∵∠BGN＝180°﹣∠BGE＝120°，∴∠MCN＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，∵∠BCD＝∠A＝60°，∴∠DCN＝∠BCM＝60°﹣∠MCD，在△DCN和△BCM中，∠CNG∴△DCN≌△BCM（AAS），∴CN＝CM，DN＝BM又∠CNG＝∠CMG＝90°，CG＝CG，∴Rt△CNG≌Rt△CMG（HL），∴∠CGN＝∠CGM，即GC平分∠BGD，故②符合题意；∵GC平分∠BGD，且∠BGD＝120°，∴∠NGC＝∠BGC＝60°则∠GCN＝∠GCM＝90°﹣60°＝30°，∴GN=12∵DN＝BM，则GD+GB＝GD+GM+MB＝GD+GM+DN＝GN+GM，即GD+故③符合题意；∴GN=12∵△DCN≌△BCM（AAS），∴S△DCN＝S△BCM，∴S四边形BCDG＝S四边形MCNG＝2S△CNG，∴S四边形故④符合题意；故选：D．二．填空题（共6小题）9．（2025•南岸区模拟）如果一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，那么这个多边形的边数为10．解：这个多边形的内角和为360°×4＝1440°，设这个多边形的边数为n，则（n﹣2）×180°＝1440°，解得：n＝10．这个多边形的边数是10．故10．10．（2025•东莞市校级一模）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．已知图1是边长为4的大正方形，图2是小红同学将七巧板摆拼而成的“奔跑者”图案，则图2中阴影部分的面积为6．解：如图1，由题意可知，四边形ABCD和四边形HKIF都是正方形，且正方形ABCD的边长为4，∴S正方形ABCD＝4×4＝16，∴S△ABD＝S△CBD=12S∵△ABI和△ADI都是等腰直角三角形，∴S△ABI=12S△∵△BHK、△EFI、△CHL都是等腰直角三角形，四边形HKIF是正方形，∴IK＝BK＝HK＝HF＝LF＝FI＝EI＝ED，∴平行四边形EFLD、正方形HKIF、△CHL面积相等，△BHK与△EFI面积的和等于△CHL的面积，∴S平行四边形EFLD=14S△∵图2中的阴影部分由图1中的△ABI和平行四边形EFLD组成，∴S阴影＝4+2＝6，故6．11．（2025•安徽模拟）正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠CAB的平分线AE交BC于点E，OB于点F．（1）∠AFD的度数为67.5°；（2）ADBE的值为2+1解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝∠DAC＝∠ADB＝45°，∵AE是∠CAB的平分线，∴∠CAE=12∠∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝45°+22.5°＝67.5°，在△ADF中，∠AFD＝180°﹣（∠DAE+∠ADB）＝180°﹣（67.5°+45°）＝67.5°，故67.5°；（2）过点F作FH⊥AB于点F，如图所示：设FH＝a，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，AD∥BC，AC⊥BD，OA＝OB，∠ABD＝45°，∵AE是∠CAB的平分线，FH⊥AB，OF⊥AC，∴FO＝FH＝a，∵∠ABD＝45°，FH⊥AB，∴△HFB是等腰直角三角形，∴FH＝BH＝a，由勾股定理得：BF=F∴OB＝FO+BF=a∴OA＝OB=a在Rt△AFH和Rt△AFO中，FH=∴Rt△AFH≌Rt△AFO（HL），∴HA＝OA=a∴AD＝AB＝HA+BH=2a由（1）可知：∠DAE＝67.5°，∠AFD＝67.5°，∴∠BFE＝∠AFD＝67.5°，又∵AD∥BC，∴∠BEF＝∠DAE＝67.5°，∴∠BFE＝∠BEF＝67.5°，∴BE＝BF=2∴ADBE故2+112．（2025•海南模拟）如图，已知菱形ABCD中，BD为对角线，AB＝10，BD＝12，点E是边AB的延长线上一点，连接DE交BC于点F，BG平分∠CBE交DE于点G．则∠DBG＝90°，若DG＝2GE，则tan∠BDG＝49解：在菱形ABCD中，BD为对角线，点E是边AB延长线上的任意一点，BG平分∠CBE交DE于点G．∴∠CBD＝∠ABD=12∠ABC，∠GBF＝∠GBE=1∴∠DBG＝∠CBD+∠CBG=12（∠ABC+∠EBC）连接AC交BD于点K，交DE于点L，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，CK＝AK，CD∥AB，∴∠AKB＝90°，在直角三角形ABK中，由勾股定理得：AK=A∴CK＝AK＝8，∴AC＝16，∵AC⊥BD，∴∠DKL＝∠DBG＝90°，∴AC∥BG，∴DLGL∴DL＝GL=12∵DG＝2GE，∴GE=12∴DL＝GL＝GE，∵CD∥AB，∴CLAL∴CL=13AC∴KL＝8−∴tan∠BDE=KL故90°，4913．（2025•福州模拟）图1是第九届华人数学家大会的会场背景图案，其中最具代表性的数学元素是“斐波那契螺旋线”，用以斐波那契数列“1，1，2，3，5，8，13，…（从第3个数开始，每个数是前面两个数的和）”为边的正方形拼成长方形，然后在正方形里面画90°的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线，图2是用“1，1，2，3，5”构造的斐波那契螺旋线，它的长度为11π2解：如图所示：∵四边形ABCD是正方形，且边长为1，∴AB＝BC＝CD＝AD＝1，∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，∵点C是弧DF所在圆的圆心，半径CF＝1，∠DCF＝90°，∴弧DF的长度为：90π∵点B是弧FG所在圆的圆心，半径BG＝2，∠FBG＝90°，∴弧FG的长度为：90π×2∵点A是弧GH所在圆的圆心，半径AH＝3，∠GAH＝90°，∴弧GH的长度为：90π∵点E是弧HK所在圆的圆心，半径EK＝5，∠HEK＝90°，∴弧HK的长度为：90π∴图中斐波那契螺旋线长度为：π2故11π14．（2025•杭州模拟）如图，已知矩形ABCD中，点H是CD的中点，连结BD和AH交于点G，过A作BD的垂线交BD于点E，延长AE交BC于点F．若AB＝BG，在BD上取一点P（不与B和D重合），使得直线CP刚好经过四边形DEFH某一条边的中点，则BP：BD的值为1318或57或10解：设CH＝a，∵H为CD中点，∴12∵四边形ABCD是矩形，AB＝BG，∴AD∥BC，AB∥DC，AD＝BC，BG＝AB＝CD＝2a，∠BCD＝∠BAD＝90°，∠BAG＝∠BGA，∵AB∥DC，∠BGA＝∠DGH，∴∠DHA＝∠BAH，即∠DHG＝∠BAG，∴∠DGH＝∠DHG，∴DG＝DH＝a，∴BD＝BG+DG＝2a+a＝3a，∵∠BAD＝90°，AE⊥BD，∴BC=AD=又∵S△∴AE=∴BE=∴DE=∵AD∥BC，∴∠BFE＝∠DAE，∠FBE＝∠ADE，∴△EFB∽△EAD，∴BFDA=BE∴BF=45∴CF＝BC﹣BF=5a−455①如图，当P为DE中点时，即CP平分ED，∴DP=∴BP=∴BPBD②如图，当CP平分EF时，设EF中点为O，过F作FN∥BD交CP于N，∴∠PEO＝∠NFO，∠EPO＝∠FNO，EO＝OF，∴△OEP∽△OFN，∴PENF∴PE＝NF，∵FN∥BP，∴∠CNF＝∠CPB，∠CFN＝∠CBP，∴△CFN∽△CBP，∴FNBP∴BP＝5FN＝5PE，∴BP=∴BPBD③如图，当CP平分FH时，设FH的中点为I，过P作从PN⊥BC于N，∴∠PNC＝∠BNP＝∠BCD＝90°，∵∠PBN＝∠DBC，∴△BPN∽△BDC，∴PNDC=BN∴PN=25∵为EH中点，∠FCH＝90°，∴CI=∴∠IFC＝∠ICF，∴tan∠在Rt△PNC中，PNNC∴PN=∴255BN=∴2BN＝5CN，又∵BN+∴BN=55∴PN=∴BP=∴BPBD综上所述，BP：BD的值为1318故1318三．解答题（共7小题）15．（2025•镇平县模拟）如图，平行四边形ABCD中，点F在AD上．（1）请用无刻度的直尺和圆规作AE⊥BC于点E．（保留作图痕迹，不写作法）；（2）若DF＝BE，连接CF，求证：四边形AECF是矩形．（1）解：如图，AE即为所作；（2）证明：由作图得∠AEC＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD，∠B＝∠D，∴∠EAD+∠AEC＝180°，∴∠EAD＝90°，在△CDF和△ABE中，CD=∴△CDF≌△ABE（SAS），∴∠CFD＝∠AEB＝90°，∴∠EAD＝∠CFD＝∠AEB＝90°，∴四边形AECF是矩形．16．（2025•沛县二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE延长线于点F，连接AF、CD．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）当ABAC=2时，四边形（1）证明：∵D、E分别是AB、AC中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，又∵CF∥AB，∴四边形DBCF是平行四边形，∴CF＝BD，∵D是AB的中点，∴AD＝BD，∴CF＝AD，又∵CF∥AB，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠ACB＝90°，D是AB中点，∴CD=∴CD＝AD．又∵四边形ADCF是平行四边形，∴四边形ADCF是菱形；（2）解：当ABAC=2∵∠ACB＝90°，∴设AB=2k，AC＝k∴BC=AB∴AC＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵D是AB的中点，∴CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，由（1）知，四边形ADCF是菱形，∴四边形ADCF是正方形．故2．17．（2025•道里区二模）四边形ABCD为正方形，点E，F分别在BC，CD上，连接BF，DE，∠ADE＝∠ABF．（1）如图1，求证：DE＝BF；（2）如图2，设BF与DE交于点G，∠ABF＝2∠CBF，在不添加任何辅助线的情况下，请写出图中所有等于AB−（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝DC＝BC，∠ADC＝∠ABC＝∠C＝90°，∵∠ADE＝∠ABF，∴∠ADC﹣∠ADE＝∠ABC﹣∠ABF，∴∠CDE＝∠CBF，在△CDE和△CBF中，∠CDE∴△CDE≌△CBF（ASA），∴DE＝BF；（2）图中等于AB−12DE的线段有：BE，GE，GF，∵∠ABF＝2∠CBF，又∵∠ABC＝∠ABF+∠CBF＝90°，∴2∠CBF+∠CBF＝90°，∴∠CBF＝30°，∴∠ABF＝2∠CBF＝60°，∵∠ADE＝∠ABF，∴∠CDE＝∠CBF＝30°，在Rt△DEC中，∠DEC＝90°﹣∠CDE＝60°，∵∠DEC是△EBG的外角，∴∠DEC＝∠CBF+∠EGB，∴60°＝30°+∠EGB，∴∠EGB＝∠CBF＝30°，∴BE＝GE，同理：GF＝DF，由（1）可知：△CDE≌△CBF，∴CE＝CF，∵BC＝DC，∴BC﹣CE＝DC﹣CF，∴BE＝DF，∴BE＝GE＝GF＝DF，设CF＝a，∴CE＝CF＝a，在Rt△CBF中，∠CBF＝30°，∴BF＝2CF＝2a，由（1）可知：DE＝BF＝2a，由勾股定理得：BC=B∴AB＝BC=3a，BE＝BC﹣CE∵AB−12DE∴AB−12DE＝∴线段BE，GE，GF，DF的长都等于AB−1218．（2025•儋州模拟）已知正方形ABCD，一等腰直角三角形EFG的斜边EG经过其顶点B，直角边GF所在直线经过其顶点A（点B不与E，G重合，点A不与F，G重合），∠EFG＝90°，EF＝FG＝6，AB=25，连接（1）如图1，若点B为EG的中点，且边GF的延长线经过顶点A时，连接BF．求∠BGC的度数．（2）如图2，若顶点B不是EG中点，且顶点A在边FG上时，作CM⊥EG于点M，BE=22，BM①求∠BGC的度数；②连接AC，交BG于点P，求CP的长．解：（1）∵∠EFG＝90°，FE＝FG，B为EG的中点，∴BF＝BG，∠FBG＝90°，∠BFG＝45°，∴∠AFB＝135°，∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC＝90°，BA＝BC，∴∠ABC﹣∠FBC＝∠FBG﹣∠FBC，即∠ABF＝∠CBG．在△ABF和△CBG中，BA=∴△ABF≌△CBG（SAS）．∴∠BGC＝∠AFB＝135°．（2）①∵∠EFG＝90°，FE＝FG＝6，∴EG＝62．∵BE＝22，BM=∴ME=∴MG=∵CM⊥EG，∠BMC＝∠GMC＝90°．∵BC=AB=25∴CM=BC2∴CM＝MG，∠MGC＝45°，即∠BGC＝45°；②如图：∵∠BGC＝45°，∠BGA＝45°，∠BAC＝45°，∴∠CPG＝∠AGP+∠PAG＝45°+∠PAG，∠BAG＝∠BAC+∠PAG＝45°+∠PAG，∴∠BAG＝∠CPG．又∵∠AGB＝∠PGC，∴△AGB∽△PGC，∴ABCP∵EG=6∴BG=∵CM=MG=32，∴CG=∴25∴CP=19．（2025•泌阳县二模）在学习特殊四边形的过程中，我们对四边形有一些了解，并积累了一定的研究经验．定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究．（1）概念理解①在以下四种图形中，一定是邻等对补四边形的是D；A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形②分别用含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有②④．（填序号）（2）概念应用如图2，∠BAD＝60°，且AB＝AD．请你用尺规作图在平面内找出动点C的轨迹，使得四边形ABCD总是邻等对补四边形．（保留作图痕迹，不写作法）（3）综合探究在（2）的基础上，连接AC，探究线段AC，BC，CD之间满足的数量关系．解：（1）根据“邻等对补四边形”的定义，正方形一定是“邻等对补四边形”．故D．②“邻等对补四边形”是②④．故②④；（2）如图，点C在BD上移动（不与B，D重合）时，四边形ABCD总是邻等对补四边形．（3）AC＝CD+BC．理由如下：如图，延长BC至点E，使得CE＝CD，连接ED，DB．∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形．∴BD＝AD，∠BDA＝60°，∵四边形ABCD是邻等对补四边形，∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝120°．∴∠ECD＝60°，∴△ECD是等边三角形．∴ED＝CD，∠EDC＝60°，∴∠EDC+∠CDB＝∠CDB+∠BDA．∴∠EDB＝∠CDA．∴△EBD≌△CAD（SAS）．∴AC＝EB＝EC+CB＝CD+BC．20．（2025•安州区三模）如图，在△ABC中，AC＝5，CD为AB边上的高，且CD＝BD，tan∠CAB=43，E，M为AC边上两个不重合的动点（点E在点M的上方，且均不与端点重合），EF∥AB，与边BC交于点F，四边形EMNF为平行四边形，连接（1）求AD，BD的长．（2）如图①，若四边形EMNF为菱形，点N在CD上，当tan∠ABN=1（3）如图②，若BF＝BN，则当EF长为多少时，平行四边形EMNF的面积取得最大值？求出最大值．解：（1）∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵tan∠CAB=CD∴设CD＝4x，AD＝3x，∴AC=CD2∴x＝1，∴AD＝3，CD＝4，∴BD＝CD＝4；（2）如图，过点E作EH⊥MN于点H，设EF与CD交于点R，过点M作MG⊥AB于点G，过点N作NK⊥AB于点K．∵EF∥AB，四边形EMNF为菱形，CD＝BD，∴tan∠CAD＝tan∠CER，∴CRER=CD设RF＝x，则ER=∴EF=∵四边形EMNF为菱形，∴EM=在Rt△EMH中，sin∠∴EHEM∴EH7∴EH=∴MG=∴NK=∵tan∠∴BK＝2NK.AG=∴BK=∵BK＝2KN，∴4+x解得x=∴EF=∴当tan∠ABN=12（3）如图，过点B作BP⊥AC于点P，