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机器人静力学与静刚度分析主讲教师：于靖军刚性机器人机构的静刚度建模刚性机器人机构的静刚度建模|公式

刚性机器人机构的静刚度映射是指机构驱动系统与传动系统等输入刚度（关节空间静刚度）与机器人末端（或并联机构的动平台）输出刚度（亦称为笛卡儿静刚度）之间的映射关系在刚性机器人的笛卡儿静刚度分析中，仍然假设机器人的各杆件完全刚性，只有驱动及传动系统是机器人中唯一的柔性变形源串联机器人的静刚度映射将驱动与传动系统的刚度合在一起看作是线弹性系统，关节i的变形与传递力矩（或力）的关系矩阵形式关节力矩各关节的变形弹簧系数2刚性机器人机构的静刚度建模|公式

串联机器人的静刚度映射由速度雅可比矩阵（m×n阶）及静力雅可比矩阵的定义可得机器人末端的变形机器人末端的等效力旋量定义C即为机器人的柔度矩阵（m×m阶）而C的逆即为机器人的静刚度矩阵串联机器人的笛卡儿柔度矩阵和静刚度矩阵都是对称阵，其结果与机构的驱动刚度和雅可比矩阵有关，也与机器人的位形参数包括参考坐标系的选择有关3刚性机器人机构的静刚度建模|实例

【实例1】

计算平面2R机器人的笛卡儿柔度矩阵解：速度雅可比矩阵假设机器人末端的变形该机器人的笛卡儿柔度矩阵输出平衡力4刚性机器人机构的静刚度建模|公式

并联机器人的静刚度映射对于并联机器人，其静刚度是指动平台处的输出刚度具体过程与串联机器人的刚度矩阵建立过程类似并联机构的速度雅可比矩阵求解并联机器人的静刚度问题实质上是建立驱动传动系统的输入刚度与动平台输出刚度之间的映射关系各分支中驱动副处的驱动力旋量为等效弹簧常数用微分形式表示5刚性机器人机构的静刚度建模|公式

并联机器人的静刚度映射定义机器人的静刚度矩阵并联机器人的笛卡儿柔度矩阵和静刚度矩阵都是对称阵，其结果与机构的驱动刚度和雅可比矩阵有关，也与机器人的位形参数包括参考坐标系的选择有关根据静力雅可比矩阵的定义如果各个分支完全一样，则各分支的等效弹簧系数完全相同，上式可作进一步简化6刚性机器人机构的静刚度建模|实例

【实例2】

计算Stewart平台的静刚度矩阵解：速度雅可比矩阵假设每个分支的等效弹簧系数完全相同，因此该机器人的笛卡儿静刚度矩阵该机器人的笛卡儿柔度矩阵7根据可操作度椭球和力椭球为一对称半正定矩阵，其特征向量相互正交单位变形下所需要的最大力和最小力柔度矩阵与力椭球在几何上，这种变换可用超椭球来表示，各主轴方向与的

特征向量相一致。并且，主轴长度为

特征值的平方根8【实例3】讨论一下平面2R机器人的力椭圆，设杆长为该机器人的笛卡儿柔度矩阵当两个关节角分别选取可得：柔度矩阵与力椭球9由此可给出相应的力椭圆及其主轴示意图，如图所示：的两个特征值分别为。将

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