平行四边形的判定与性质（专项训练）-北京版八年级数学下册

专题02平行四边形的判定与性质专训（专项训练）数学新教材

北京版八年级下册

一、单选题

1.如图，在平行四边形48co中，点E是QC边上一点，连接力E、BE.已知4?是NO/"

的平分线，即是/C创的平分线，若力E=4,BE=3,则平行四边形48C。的面积为（）

A.6B.8C.12D.24

2.如图，在口44co中，/比I。的平分线交CO于点E,N/4。的平分线交CQ于点产.若

/IB=11,EF=3,则口ABC。的周长是（）

A.32B.34C.36D.38

二、填空题

3.如图，在口力8CO中，CQ=4,NB=60。，分别以点力，8为圆心、大于;48的长为半

径作弧，两弧交点的连线交48于点/，交BC于点、E,则△48E的面积.

三、解答题

4.如下图，在oABC。中，对角线4C与4。相交于点E,/AEB=45。,80=2.将由48。

沿力C所在直线翻折180。到其原来所在的同一平面内，点8的对应点为点8',力。交6C于

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点R连接

(I)求证：AF=CF.

(2)求8力的长.

5.如图，在平行四边形HBC'。中，AE人BD交BD于E.

(1)尺规作图：过点。作CF18。交8。十/(保留作图痕迹，不写作法)：

(2)在(1)的条件下，求证：AE=CF.

6.如图，口48。的对角线相交于点O,E,尸在直线3。上，旦BE=DF.

(1)四边形4ECr是否是中心对称图形？请说明理由；

(2)四边形AECF的对称中心是什么？

7.如图，在四边形中，AD〃BC,M为边的中点,连接。.”，CM,分别延长

CM,DA,交于点N,DN=2AD.

(1)试判断四边形力3c。的形状，并说明理由.

(2)若力8=2/0,试探究DM与CM的位置关系，并说明理由.

8.在学习了平行四边形的性质后，小红进行了拓展性探究.她发现在平行四边形中，连接

一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点到垂足之间的两条垂

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线段有一定的数量和位置关系.她的解题思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得

出结论.请根据她的思路完成以下作图与填空：

DA

(1)用直尺和圆规，过点力作对角线8。的垂线，垂足为点£(只保留作图痕迹，不写作法)

(2)已知：如图，在平行四边形力8c。中，连接3。，AE1BD千点E,CF工BD于点、F.求

证：AE=CE且花II。7.

证明：

•・•四边形片8CQ为平行四边形，

：・AB=CD,AB//CD.

工①.

AE1BD

,②.

同理可得，NCFD=90°.

:.乙4EB=Z.CFD,

在A/1“石和&CZ）产中，

ZEB=/CFD

<Z.ABF=ZCDF

AB=CD

・•・^ABE^CDF(AAS)

J@.

又丁AEA.BD,

/.ZJFF=90°,同理可得，ZCFE=90°.

:.④.

・•・AE^CF.

请你根据该探究过程完成下面命题：在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶

点作这条对角线的垂线，则这两个顶点到垂足之间的垂线段⑤.

9.如图，四边形月伙是平行四边形，N比1。和/戊力的平分线4&。厂分别交0c6力的

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延长线于点及E,交边BC,AD于点、H,G.求证：四边形4m/是平行四边形.

10.如图，在dM8C中，点D,E分别是AC,AB的中点，连接。后并延长到点FJ页DF=BC,

⑴求证：四功形88户是平行四功形:

(2)连接8Q,FA,若BD=6,求线段E4的长.

BE〃DF.

(1)求证：四边形厂是平行四边形.

(2)若力。=6后，BC=8,^ACB=30°,求平行四边形力8C。的面积.

12.如图，在四边形力8CD中，AB=CD,对角线/C与8。相交于点。，4ELBD于氨E,

CF^LBD于点F,AE=CF.

(1)求证：△ABEHCDF；

(2)求证：四边形力5c力是平行四边形.

四、单选题

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13.如图，若力4〃CO,则添加下列选项后不能判定四边形是平行四边形的是（）

A.AD//BCB.AB=CDC.AD=BCD.NACB=NCAD

14.如图，在CM6c中，M,N分别是边力£AC上的点，延长MN至点尸，连接PC,

ZP+Z5CP=180°,要使四边形M5cp为平行四边形，甲、乙、丙三位同学给出三种不同

的方案：

甲：添加*，W=PC；

乙：添加〃必〃PC；

丙：添加=

则止确的方案（）

A.只有甲、乙才对B.只有乙、丙才对

C.只有甲、丙才对D.甲、乙、丙都对

五、填空题

15.如图，aABCD^,E,尸分别是边8C,力。上的点，有下列条件：①AE〃CF；

②BE=FD；（3）Z1=Z2：®AE=CF.若要添加其中一个条件，使四边形力一定是平

行四边形，则添加的条件可以是—

U

六、解答题

16.如图，在四边形48CQ中，E产是对角线4c上的两点.

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(1)若/Q=4C,请添加一个条件：,使得四边形48CZ)为平行四边形.

⑵在(1)的条件下，若AE=CF,求证：四边形EO总是平行四边形.

七、填空题

17.在平面直角坐标系中.已知以力，8,C,。四个点为顶点的四边形是平行四边形，其

中力(0,0),B(2,0),C(3,l),则点。的坐标为.

18.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1,点力、8、C在网格中的位置如

图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点4、B、C的坐标分别为(1,1)、(4,3)、(6,・2),

在平面直角坐标系中找一点力，使以力、8、C、。四点为顶点的四边形是平行四边形，请

写出所有符合条件的点。的坐标：

八、解答题

19.在平面直角坐标系工0)，中，一次函数的图像经过点41，-3)和"(2,0).

4

3

2

-4-3-2・1。234x

-1

-2

-3

(1)求这个一次函数的解析式并画出它的图像;

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(2)若以。，4B,。为顶点的四边形为平行四边形，则点。的坐标为_(直接写出答案).

20.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=-2.r+6的图像分别交X轴，＞轴于4,B两

点，过点力的直线交N轴正半轴于点且用W=2MO.在平面直角坐标系内存在点C,使

得以力，4,M,。为顶点的四边形是平行四边形，请你画出图形，确定点。的坐标.

21.如下图，四边形Z8C0中，AB//CD,AD//BC,把△8CN沿CN折置，使8C落在。C

边上，"是点8的对应点，过点。作CM_LCN.

(1)求证：AD//NB1.

(2)若N8=64。，求N8CM的度数.

22.如图，在出/I。石与&8c/中，点力，BC。在同一条直线上，连接C£,DF,且4E=BF,

N/=NB,CE/JDF.

(I)求证：dsACE^^BDF；

(2)若OE=2,求CE的长.

23.如图，Rt△川?C与RtAO/犷中，ZABC=ZDEF=90°,BC=EF,线段/1C与线段

在一条直线上，且4F=CD,连接EC,M,BE,BE与力。相交于点G.

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A

⑴求证："BF@ADEC；

(2)若CE=C。时，出力8c的面积为24,求ABCE的面积.

24.如图，在四边形力8c力中，AD〃BC,AD=\2cm,8C=16cm.点尸从点。出发，

以lcm/s的速度向点力运动，同时点。从点4出发，沿着射线8c以女m/s的速度向右运动,

当动点P到达端点A时另一个动点Q也随之停止运动.设运动时间为用.

(1)在点P,0运动过程中，AP=cm,BQ=cm；(用含，的代数式表示)

(2)连接80，AQ,若8。与4。互相平分，求此时/的值；

(3)在点P,。运动过程中，是否存在以点P,Q,C,。为顶点的四边形是平行四边形.若

存在，求出此时的运动时诃/；若不存在，请说明理由.

九、单选题

25.如图，已知易出。与AC"关于点。成中心对称，过点。任作直线MN分别交力。，BC

于点N,下列结论：

(1)点时和点M点8和点。是关于点。的两对对称点；

(2)直线必经过点0；

(3)四边形/iBCO是中心对称图形；

(4)四边形0MOC和四边形8NQ4的面枳相等；

(5)"OM和△CON关于点O成中心对称.

其中，正确的有()

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AMD

A.2个B.3个C.4个D.5个

26.如图，在平行四边形48CQ中，过对角线8。上一点P,作E尸〃BC,HG//AB,若四边

形力EP"和四边形CFPG的面积分别为S和$2,则号与S2的大小关系为（）

A.S\=S】B.5,>5,C.S1<S2D.不能确定

十、填空题

27.如图，是一种光电转换接收器的基本原理图，光束发射器从点夕处始终以一定角度。向

液面4发射一束细光，光束在液面4的«处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接

收，记为点当液面上升至时，入射点就沿着入射光线的方向平移至Q处，反射光线

也跟着向左平移至。邑处，交4于点。，在q处的法线交于6点N,o?处的法线为

若SQ?=4.6cm,a=45。，则液面从'上升至4的高度为cm.

十一、解答题

28.如图，正方形网格中每个小正方形边长均为1,每个小正方形的顶点叫格点，以格点为

顶点按下列要求画图：

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(I)请你在图I中画一个以格点为顶点的直角三角形，满足它是轴对称图形；

(2)请你在图2中画一个以格点为顶点，石为直角边的直角三角形，且它不是轴对称仔形；

(3)若点4的坐标为(0』)，清你在图3中建立平面直角坐标系，找出格点0,使以4B、C、D

四个点为顶点的四边形为平行四边形，则满足条件的。点的坐标是：.

29.如图，在梯形中，AD//BC,JD=9cm,5C=24cm,E是的中点.动点

尸从点彳出发沿向终点。运动，动点P平均每秒运动1cm；同时动点。从点C出发沿

向终点8运动，动点0平均每秒运动2cm,当动点〃停止运动时，动点0也随之停止

(2)当动点。运动f秒时，

①若0<f<6,则£。=；(用含/的代数式直接表示)

②若6</<9,则£。=;(用含/的代数式直接表示)

(3)当运动时间f为多少秒时，以点P,Q,。，E为顶点的四边形是平行四边形？

30.如图，口力BCD中,"=4cm,8C=8cm,动点乂从点。出发，按折线方向

以2c〃//s的速度运动，动点N从点。出发，按折线。力成力方向以lc7〃/s的速度运动，两点

均运动到点。停止.

(1)若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇?

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(2)在相遇前，是否存在过点M和N的直线将口45CO的面积平分？若存在，请求出所需时

间：若不存在，请说明理由.

(3)若点£在线段8C上，BE=2cm,动点V、N同时出发且相遇时均停止运动，那么点M

运动到第几秒钟时，与点力、£N恰好能组成平行四边形？

31.如图，在中，AB=5,BC=9,的面积为36,动点P从4点出发，

以1个单位长度的速度沿线段力。向终点。运动，同时动点。从点〃出发以3个单位长度

的速度在间往返运动，当点尸到达点。时，动点尸、。同时停止运动，连结段.设运

动时间为/秒.

⑴则AD和BC之间的距离为：

⑵当也平分口力8C。的面积时，则/=.

32.如图，在四边形力8c。中，AB//CD,AADC=90°,JZ)=8cm,48=15cm,CD=2.cm,

动点?从点力出发，以lcm/s的速度向终点8运动，同时动点。从点8出发，以2cni/s的

速度沿折线〃-C-Q向终点。运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运

(2)当，为何值时，直线尸0把四边形力8C。分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？

33.如图，在平面直角坐标系中，直线)，=-x+8分别交x轴，V轴于点X,点8,直线

44

y=交直线于点C,交X轴于点。.在坐标平面内是否存在点尸，使以4,c,D,

产为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

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34.如图，一次函数)，="+方与X轴相交于点力(-2,0),与y轴相交于点见0,4).

(1)求一次函数的解析式;

⑵请在平面内标注点C(l,l),平面内是否存在一点。，使4民。,。四点构成平行四边形？

若存在，直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

35.如图，在出48C中，Z5JC=90°,ZB=45°,8c=10cm,过点/作/1Q〃8C,且点

力在点力的右侧.点夕从点4出发沿射线/力方向以每秒1cm的速度运动，同时点。从点C

出发沿射线C8方向以每秒2cm的速度运动,在线段。。上取点E，使得QE=2cm,连接正，

(1)①CE=_(用含/的式子表示);

②若PE_L8C,求8。的长；

(2)请问是否存在，的值，使以儿B,E,。为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出/

的值；若不存在，请说明理由.

36.如图，在四边形力8。□中，AD〃BC,N8=90°,,4Q=12cm,8c=18cm,点P从点

力出发，在射线力。上以2cm/s的速度向右运动；点0从点C同时出发，化线段上以

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Icm/s的速度向点B运动.当点Q到达端点B时，点P也停止运动.设点P,Q运动的时

间为，秒.

(1)力尸=cm,BQ=cm；

(2)在点P,0运动过程中，是否存在，值，使得以点尸，。，C,。为顶点的四边形是平行四

边形？若存在，请求出/值；若不存在，请说明理由.

37.类比平行四边形的定义，给出平行六边形的定义：三组对边分别平行的凸六边形叫做平

行六边形.数学兴趣小组的同学对其性质进行了探究.如图1,在平行六边形488"'中，

AB\\DE,BC〃EF、AF//CD.

(1)①猜想/力与的数量关系，并证明你的结论；

②由①可得NE,NCZF(填或“<”)；

(2)如图2,已知平行六边形48coM满足=CO.求证：AB=DE；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接4C,CE,AE,直接写出：5平行六边形业印的值.

38.类比于等腰三角形的定义，我们定义：有组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”.

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(1)如图1,四边形的顶点4、3、C在网格格点上，请你在5x7的正方形网格中分别

画出3个不同形状的等邻边四边形力〃。。，要求顶点。在网格格点上；

(2)如图2,在平行四边形/8CO中，七是上一点，F是4E上一点、，AD=AE,/DFE=NC,

请说明四边形。CE/是“等邻边四边形”；

(3)如图3,在平行四边形48co中，ZC=60%4E平分ND48,交BC于点、E,<B=4,

CE=2,/是线段XE上一点，当四边形DCa是"等邻边四边形”时，请求出力尸的长度.

39.【定义新知】

定义：一条直线既平分一个图形的面积，又平分这个图形的周长，我们把这条直线叫做这个

图形的公正线.

性质：若一条直线是一个图形的公正线，那么这条直线既平分这个图形的面积，也平分这个

图形的周长.

【特例感知】

例如图1,已知自出C,AB=AC,直线力。/8。于点D.求证：直线力。是金”。的公正

证明：•/ADVBC,

：.NADB=ZADC=90°

在RtZ\45£>和RtZS/lCQ中，

.AB=AC,AD=AD,

RtAJ5Z)^RtA^CD(HL)

/.BD=CD,△力以)的面积等于A/CO的面积,

/.AB4-BD=AC+CD,

・•・直线/。是自18C的公正线.

问题：

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（1）填空：

①如图2,已知dMBC,若直线花是dMAC的公正线，则与力。相等（填“一定”

或“不一定”）.

②已知，在平面直角坐标系中，口川?C。的顶点力（-1,3）,8（-2,0）,。（3』），直线广质+6是

043co的公正线，且与直线30交于点P,则点。的坐标是.

【学以致用】

问题（2）如图3,已知包48C,直线"'与8C交于点凡BF=GF,NBAF=/CAF.求证：

宜线AF是也ABC的公正线.

【迁移探究】

问题（3）如图4,已知四边形力BC'Q,NB=/C=9G,AB=7,BC=39,CD=20.息E,煎

尸分别是边〃C，边力。上的点，直线EF是a/1OE的公正线，则而。E的周长=.

40.定义：对角线相等的凸四边形称为对美四边形.

（2）如图1,在仍。中，N〃=90。，4B=4,BC=3,。为线段43的垂直平分线上一点（点

。位于上方），若以点4B，C,。为顶点的四边形是对美四边形，求这个对美四边形的

面积.

（3）如图2,。为等腰出/18C底边力4上的一点，连接CO,过C作。尸〃力8,以8为顶点作

NCBE=NACD交CF于点E,求证：四边形CQ8E为对美四边形.

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十二、单选题

41.能判定四边形力8c力为平行四边形的条件是（）

A.AB=AD,CB=CDB./力=NB,=

C.AB=CD,AD=BCD.AB//CD,AD=BC

42.在下面的网格图中有4B,。三个点，其中点力和点。在网格线的交点处，点8在网

格线上.请在本网格图中找出点C,使得以4B,C,。为顶点的四边形是平行四边形，符

合要求的点。有（）

■——r——一L一―—•―—一▼一一—

IIIIIIII

IIIIIIII

L-------------1---------1_____■----------L---------------------1_____

III1III1II

/:1::

r~""r—~nr.■「■■、■■■广■■•

IIIIIIII

।।।।।।।।

。-一二厂丁丁「

…+…,

：8，：!

A.0个B.1个C.2个D.3个

43.如图，在平行四边形48CQ中，/48c=120。,48=24C,QE平分/力。C,对角线4C,

〃。相交于点O,连接OE,卜列结论中正确的有（）

①/8OC=30。②DE=BC；③OD=AD；④S平行四边山叱。=力。4。

A.1个B.2个C.3个D.4个

44.如图，在出力6c中，BC=3,B。平分NABC交4C于点。,DE〃BC交AB千点、E,

EF〃/1C交BC于点F,有以下结论：

①四边形EFCD一定是平行四边形：

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②保持/ABC的大小不变，改变AB的长度可使BF=产（:成立;

③保持AB的长度不变，改变ZABC的大小可使BF=R7成立.

其中所有的正确结论的序号是（）

A.①②B.①③C.®®D.①②③

十三、馍空题

45.已知平行四边形的一边长为5,一条对角线长为6,则另一条对角线的取值范围是

46.如图，四边形力班?。是平行四边形，BE平分/ABC,交4D边于E,若BC=9,CD=5,

47.如图，在口力〃C。中，BF：力于点F,于点£若/力=60。，/产=3cm,CE=2cm,

则口ABCD的周长为cm.

人.图①是小蒲周末学做的小蛋糕，每一块小蛋糕的.上表面可看作是四边形/"