2022年高考数学一轮复习单元质检3 导数及其应用（人教A版）含解析

单元质检三导数及其应用

(时间：100分钟满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分)

1.如果一个物体的运动方程为其中s的单位是米，t的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬

时速度是()

A.7米邓B.6米邓C.5米邓D.8米邓

答案:C

解析:根据瞬时速度的意义,可得3秒末的瞬时速度是片s'晨=(T+2力心心

2.设曲线y噌在点(3,2)处的切线与直线垂直，则〃等于()

A.2B.-2C.-D.4

22

答案:B

解析：因为y三三的导数为/缶,所以曲线在点(3,2)处的切线斜率公3

A1'A1/4

又因为直线的斜率为-a,

所以-a,解得a=-2.

3.若函数y*'9r有极值，则实数力的取值范围是()

A.n凶B.m<0C.mAD.m<\

答案:B

解析：求导得y'三由于e,M,若片e'+mx有极值，则必须使y'的值有正有负，故加6.

4.已知函数Ax)在R上是减函数，则实数a的取值范围是()

A.(-骰-V3]u[V3,+2B.[-V3,V3]

C.(-8,心u(V3,+8)D.(-V3,V3)

答案:B

解析:由题意,知f(x)=-3f在R上恒成立,故4-；2a)Mx(-3)X(-l)WO,

解得

1

5.函数f(x)与以Tn*的零点的个数是()

A.OB.1C.2I).3

答案:A

解析：由f(x)得X4或x=T(舍去).当08《时，F'(x)。f(x)单调递减；

xx22

当月时，/⑷泡/,(*)单调递增.则/")的最小值为/Q)=/h2却,所以无零点.

6.设函数f(x)=x，(a-l)若f(x)为奇函数,则曲线y=f^在点(0,0)处的切线方程为()

A.y=-2xB.y=~xC.y=2xD.y=x

答案:D

解析：因为fix)为奇函数，所以f(~x)=-f［x},即-x，(aT)/七户-#'-3-1)f-ax,解得a=l,则

f(x)4+x.

由rU)3V+l,得在(0,0)处的切线斜率k=F(0)=1.故切线方程为y=x.

7.已知当》£卜2］时,aW?+lnx恒成立，则a的最大值为()

A.0B.1C.2D.3

答案:A

解析:令f(x)±%lnx,则f'(z)且二.

Xr

当*£L，1)时，/J)"；

当x£(l,2］时，F'(x)X).

・・・f(x)在区间”，1)内单调递减,在区间(1,2］上单调递增，

・••在彳£曲，2］上，f(x).=£(1)3,

・・・aW0,即a的最大值为().

8.已知函数/U)=ln"tan。(()＜。＜三)的导函数为/*'(立若方程f'(x)=f(x)的根/。小于1,则

。的取值范围为()

R(6T)(7*T)n-(0>T)

2

答案:A

解析：fix)气。

V=lnxanX

令f[x}=fr(AT)>得Inx+lana士

X

即tana工-lnx.

X

设g(x),Tnx,显然g(x)在区间(0,+8)内单调递减,而当k0时,g(x)f，8,

X

故要使满足f'(x)=f(x)的根a<1,只需tan。>g(l)=1.

又0〈“令.•・。£(彳,I).

9.己知f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当A<0时,F'(x)g(x)”(x)g'(x)X,且

g(3)内,则不等式f(x)g(x)<0的解集是()

A.(-3,0)U(3,+8)B.(-3,0)U(0,3)

C.(-8,-3)U(3,—D.(-8,-3)U(0,3)

答案:D

解析:,:当x<0时，F解g(x)+f(x)/解zX),即"(x)g(x)]'为，

.・.当*<0时，f(*)6(x)为增函数，又鼠方)是偶函数,且夕⑶""(-3)丸

/(-3)g(-3)O.故当x<-3时，F(x)g(x)<0;

•・・F(x)g(x)是奇函数，

:.当xX)时，f(x)g(x)为增函数,且F⑶g(3)=0,故当00<3时，f(x)g(x)<0.故选D.

10.己知函数f(x)="¥近4的最大值为F®,则a等于()

I刎1折

A—R—C-D—

16氏4JU-8

答案:B

解析：・・"'(x)=R9•点-2x,

・•・「(i)=3r'(i)-2,

J

3

解得r(i)W，・・・F(X)5Y,rw

令f⑺电解得x”,令r(.Y)<0,解得x片，

故f(x)在区间(0,与内递增，在区间件+8)内递减，

故f(x)的最大值是

11.若函数/(X)3一32也刊在区间Q,3)内有极值点，则实数a的取值范围是()

A©])|[2,1)eg?邛,学

答案:C

解析:若/(%)=--yxMl在区间Q,3)内有极值点，

则f'〈GN-ax+l在区间Q,3)内有零点，且零点不是f'(x)的图象顶点的横坐标.

由iC-ax+\=0,得a=x+.因为/£G，3),尸x*的值域是〔2,

当a=2时,f'(>)才—廿,不合题意.

所以实数a的取值范围是(2,日),故选C.

12.(2021全国/,文⑵设*0,若x=a为函数f(x)=a(x-a)“x-份的极大值点，则()

A.a<bB.a>bC.ab<^D.ab滑

答案：【)

解析：因为八x)=a(x-a)2(xV),

所以f'(x)=2a[x~a)+a{x-a)~=a[x~a)[(2x-2Z?)+{x-a)]

=a{x~ci)[3x-(a+26)]3a(x-a)(x-

由6(x)=0,解得x=a或x音子.

*5

若&<0,则由x=a为函数f{x}的极大值点,可得化简得b<a.

4

此时在区间(-8,嘤)和Q,S)内，/⑺o函数f(x)单调递减;在区间(手,a)内，6(x)3,函数

f(x)单调递增.

此时a(a-b)<0,即a'<ab.

若aX),则由为函数的极大值点可得a午,化简得a<b.

此时在区间(-8,4)和(嘤，+8)内，rU)X),函数f(x)单调递增；在区间(a,嘤)内，f'(x)<0,函数

外力单调递减.

此时a(a-b)<0,即才<ab.

综上可得d<ab.故选D.

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分)

13.已知八x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且Ax)-g(x)m'以2川，则函数

力(x)-g(x)在点(0"(0))处的切线方程是.

答案：x-y掰R

解析:'・"(>)-g{x}."(x)+g(x)=e”+金+1.

・・・/U)更十出,g⑺咛，

・••力(x)=2f(x)-g(x)k坨、2f+2^^=*We”+2/+2.

・・・力'(力争即A70)=|-1=l,

又力(0)W,・・・所求的切线方程是x-yHR.

14.已知函数+3*-内在区间(-8*8)内是减函数,则实数a的取值范围

是.

答案：(-8,-3]

解析：由题意可知F'(x)书af西XTW0在R上恒成立，

贝W…Q…解得&W-3.

(d=6-+4X3aW0,

5

15.函数/'(x)e,函数g(x)=lnx-x+a,若Bx”题使得广(幻(局)成立,则a的取值范围

是.

答案：(2/8)

解析：由题意,若3%,&使得f(M)<g(x)成立,可转化为/■(»*«(*)川成立，

由函数/'(>)=e1,根据指数函数的图象与性质可知，

当x=\时,函数f(x)=e*'取得最小值,此时最小值为AD=1.

又由g(x)=lnx-x+a,贝ljg'(x)1-14(x>0),

XX

当(0,1)时,g'(x)为,则函数以M单调递增;

当xG(1,+8)时,屋(x)<0,则函数以力单调递减.

所以当x=l时，函数有最大值，此时最大值为g(l)=&T,

令a-l>l,解得a>2,即实数a的取值范围是⑵+㈤.

16.已知函数f(x)=xlnx*。,及是函数f(x)的极值点,给出以下几个命题：

①0《人d;②氏义③F(陶)&<0;④

ee

其中真命题是.(填出所有真命题的序号)

答案:①③

解析：由已知得F'(x)=lnx+"l(x；O),不妨令g(x)=ln户x+l(x；0),由g'(x)一刊，当(0,…)时，

有丁⑺的总成立,所以g(x)在区间(0*8)内单调递增，.且庶):那，又为是函数/V)的极值点，

所以rU)=g(x°)4即盼鼠公,所以04*,即命题①成立,则命题②错；

因为In的5)+ia所以f(x«)%="Jn天匚考女广为。!!”//*)9考=3,<0,故③正确，而④错，所以填

①③.

三、解答题(木大题共6小题，共70分)

17.(1()分)设函数f3)心赛(a②大粒ax.

⑴若f(x)的两个极值点为几上且51,求实数a的值;

6

(2)是否存在实数a,使得/(r)是区间(-、*8)内的单调函数?若存在，求出5的值;若不存在，说明

理由.

解：(1)由题意知「(x)=18/"(a*2)x+2a.

因为鸟是是Ax)的两个极值点,所以ra)=『3=o.

所以内而卷=1,所以aZ

lo

⑵因为4=36(a⑼z_4xi8X2a=36(a2⑷X),

所以F'(x)却有两个不相等的实数根.

所以不存在实数名使得FJ)是在区间(-%士8)内的单调函数.

18.(12分)已知久力=x-^x-2x-^.

(1)求F(x)的单调区间；

(2)过点(0,a)可作片f(x)的三条切线,求a的取值范围.

解：(1)f'(x)=3炉-才-2=(3*+2)(xT),

故Ax)在区间(1,+8)内单调递增,在区间(-彳，1)内单调递减.

⑵设切点为(的八局))，则切线的方程为尸八%)，'&)(彳-及)，

即厂(片-g%-2/⑸=(3考-*-2)(x-%).

乂点(0,a)在切线上，

故-就-2刖+5)=(34-m-2)(0-&),

即a=-2^^片电

令g(x)=-2f*/巧，

由已知得y=a的图象与g(x)=-2/+系巧的图象有三个交点,g'(x)--6/+x,

令g'(x)=0,得跖=0,%,今冬)巧,令而)就，

故a的取值范围为(5,5/).

7

19.(12分)已知函数f[x}^-ax{a为常数)的图象与y轴交亍点4曲线片/〃)在点A处的切线斜

率为T.

⑴求a的值及函数/tv)的极值；

⑵证明：当心X)时,

xx

答案：(】)解由fix)=e-axy得/''(x)=e-a.

因为f'(O)=l-a=T,所以ad

xr

所以f\x)=e-2xff\x)=e-2.

令fr(x)=0,得x-ln2.

当x<ln2时，f'(x)<0,f(x)单调递减；当x〉ln2时，f'(>)泡/(*)单调递增,

所以当x=ln2时，八彳)取得极小值，极小值为"ln2)N-21n23Tn4,/*(/)无极大值.

⑵证明令g(¥)=ex~^,则g'(外和'-2x.

由(1),得g'(x)=八x)2A1n2)之Tn4加，

故g(x)在R上单调递增.

因为g(0)=1电所以当D,g(x)%(0)因即y<ex.

20.(12分)已知函数Ax)-Inx-x.

(1)判断函数〃>)的单调性；

(2)函数g(x)=f(x)以当-加有两个零点X,x”且X、<x2.求证:才产*2>1.

答案：(1)解函数F(x)的定义域为(0,3(力--1q

XX

令/•'(力令解得oa<i；令f'(x)<o,解得x>\.

故函数f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1.f8).

(2)证明根据题意得g{x)=\nx&R(x刈.

因为月,&是函数g(x)=山+加的两个零点，

所以lnx£-PF(),lnx，V--mR.

2即2/2

两式相减,可得=4-5，

X22X2，苟

8

即噂二芸故

1IT

因此内，，%专3•

令哼其中。<9

则“5鼎*卷

构造函数力(力r—VlnMOa。)，则力’(力上萨

因为0C<1,所以力'⑺的恒成立,故力⑺<7?⑴,

即£，-21n£6,可知:工)1,故用以2)1.

t21nf

21.(12分)已知函数f(x)=(ez-e)e'+aV,a£R.

(1)讨论F(x)的单调性;

(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.

解：(1)由题意得F'(力=x(e*2a),

①当心0时,e"'+2aX),若0),则F'(x)=x(e*"+2a)<0,函数F(x)单调递减,若(0,+哈,

则f'(x)=x(e~2&)Y,函数/(X)单调递增；

②当?Q<0时，若.*(-8,ln(-2a)-1),

则f'("=x(e%2a)为，函数Ax)单调递增，若xG(ln(-2a)-l,0),则f'(x)=x(e',2?)<0,函数f(x)

单调递减,若(0,+2,则/(x)=x(e'”+2a)X),函数f(x)单调递增;

③当a、时，/(x)=>(尸2,)20恒成立，函数f(x)单调递增；

④当“5时，若xR(-8,0),

则尸(力三心叫2a)X,函数f(x)单调递增,

若xG(0,In(-2s)T),则F'(力=x(e*”，2a)<0,函数F(x)单调递减,

若xG(ln(-2a)-I,—),则£(x)=x(e、2a)双函数f(x)单调递增.

⑵当a=0时，F(x)=(ex~e)e'有唯一零点x=\,不符合题意；

由⑴知，当a3时，若xe(-『0),则函数f(x)单调递减,若xe(0,+8),则函数f(x)单调递增，当

xf-8时，f(x)-*+8；当X—+8时，f(x)f+8,/(O)=-e<0必有两个零点；

9

当时,若(-8,in(-2a)T),则函数f(x)单调递增,若(In(-2a)-1,0),则函数f(x)单

调递减,若xQ(0,+8),则函数/V)单调递增,/'(In(-2a)-l)=-2a(ln(-2a)T)为(ln(-2a)-

1尸《),f(0)=飞<0,函数F(x)至多有一个零点;

当时，函数F(x)单调递增,函数f(x)至多有一个零点；

当吐若xe(-8,0),则函数f(x)单调递增，若AG(0,ln(-2a)-1),则函数F(x)单调递减,若x

£(ln(-2a)T,+8),则函数f(x)单调递增,r(o)="e<o,函数/(*)至多有一个零点.

综上所述，当aX)时，函数/'(M有两个零点.

22.(12分)已知1，在2,函数/'(*)m、-*-8其中63.71828,••是自然对数的底数.

(1)证明：函数片广⑺在(0,+8)上有唯一零点；

(2)记为为函数在(0,+8)上的零点，证明：

①Ya-」WxoWj2(wl);

②M/Xe"。)Xe-1)(a-l)a.

答案：证明⑴因为f(0)=1-&。八2)=e2-2-a^e-4X),所以产/'(/)在(0,*=)上存在零点.

因为f'Cr)m'T,所以当储0时，/''(X)刀,故函数F(x)在［0,+8)上单调递增，所以函数片