2026高考数学二轮复习-专项突破（三）空间角与空间距离

第2讲空间角与空间距离

探究真题明确方向•

1.(2025•全国H卷,T17)如图,在四边形ABCD中,AB//CD.ZDAB=90°,F为C5的中点,点E在AB上,

EF//AD,AI3=3AD,CD=2AD,将四边形E/DA沿翻折至四边形EbO'A',使得面后万。“'与面E/CB所

成的二面角为60。.

(1)证明：AB〃平面CO'R

(2)求面BCD与面EF。勾所成的二面角的正弦值.

2.(2025•北京，T17)四棱锥RA8CZ)中，△ACO与△ABC为等腰直角三角形，NADO90。，/R4O90。，E

为BC的中点.

(1)F为尸。的中点，G为PE的中点，证明：/G〃面PA&

⑵若PA_LfSA8CQ,PA=AC,求A3与面PC。所成角的正弦值.

命题热度：

本讲是历年高考命题必考的内容，属于中档题目，主要以解答题的形式进行考查，分值约为15~17分.

考查方向：

一是考查利用空间向量求线线角、线面角、二面角；二是考查利用空间向量解决距离问题；三是考查利用

空间向量解决探索性问题，这类问题利用向量法往往容易上手，具有操作方便的优势.

1.(1)证明因为A8/7CO,所以AE〃。凡所以〃。下，

因为D'Rz平面CD'E,A'EQ平面CD户，所以A'E〃平面CD户，

因为FC//EB,/Cu平面CDF,EBQ平面CDF,所以EB〃平面CDF,

XEBDA'E=E,EB,AEu平面AEB,所以平面A'EB〃平面

又A5u平面AE8,所以〃平面CQE

⑵解方法一因为NDA8=90。，所以又因为A8〃广C,EF//AD,所以EF_LFC,

以“为原点，re,R7以及垂直于平面的直线分别为x,y,Z轴，建立空间直角坐标系.

因为D7<LE凡CFYEF,面EFO'A'与面上FC3所成的二面角为60。，所以ND'R>60。.

设心1,则8（1,2,0）,C（0,1,0）,。（0,y）,E（l,0,0）,尸（0,0,0）,

所以就=（-1,-1,0）,而二（0,一彳，y）,F?=（l,0,0）,而二（0,y）.

设平面8czy的法向量为〃=（x,y,z）,则

BC・n=0,4,-x-y=0,

一所以iV3令产遮，则z=l,x=-V3,贝百，1）为平面6c。的一个法

CD,-n=0,--y+—z=0,

2Z2

向量.

设平面£77)4'的法向量为机=3，yi,zi),

理•m=0,所也Xi=+0,%=。，

则

前,m=0,

令)『75,则z『l,X1=O,所以机=(0,V5,-1)为平面EWA'的一个法向量.

所以际⑺,QI喘土品除

所以面sc。与面以力山所成的二面角的正弦值为=手.

方法二由EFLA'E且EFLEB,

可知NAE8即为面EFD'A'与而EFC8所成二面角的平面角，为6()。,

不妨设A£>=1,在平面AE3内，出点4作的垂线，垂足为。,

可知AO_L平面EFC3,EO=,05=：,以。为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则E（0,-1,0）,F（-l,-p0）,A（0,0,?）,8（0,0）,C（-l,p0）,O（-l,0,y）,

FF=（1,0,0）,F7=（0,J,y）,

C5=（l,I,0）,D^=（l,I，-y）,

设平面EFQ7r的法向量为〃1=3，yi,zi）,

FF•%==0,

则有

前•%=%+fZi=°*

取yi=-V5,则〃尸(0,-K,1)；

设平面AC。'的法向量为〃2=(X2,只，Z2),

CCB-n2=x2^y2=0，

则有_.3陋

(D'B-n2=x2+-yz—~^2=0，

取J2=V5,则"2=(-6,X/3,1),

设面BCD'与面EFD'A'所成的二面角为仇则有|cos9|=|cos〈小，小〉14d=g,故sin叙孚.

方法三由CQ=2A。，/为CO的中点，得。QA。二”C又A8〃C。，EF//AD,所以四边形EFD4为平行

四边形，又NDA8=90°,OGA。，所以四边形E/DA为正方形，贝u£/口_。。，即D'FLEF,FCLEF.所

以NOFC是面EFDK与面E/C8所成二面角的平面角，

因为面EHT4与面ER78所成的二面角为6()。，所以N。尸C=60。，又D'F=FC,所以△C。下为正三角形.

由。FC±EF,D'FC\FC=F,DR尸Cu平面CD下，得石凡L平面CDF因为ERz平面EFCB,所

以平面CD'/_L平面EFCB.

取R7的中点。，连接。'0,则O'0_LR?,

又平而产I平而EFCB,平面。。'尸。平而EFCB=FCtD'Ou平面CDF,所以DOL平面EFCR.

过。作OM〃E凡交BE于M,则以O为坐标原点，分别以OM,OC,O。，所在直线为x,j,z轴建立如

图所示的空间直角坐标系.

设FC=2,则F(0,-1,0),EQ,-1,0),C(0,1,0),BQ,3,0),。(0,0,W),

则方:(2,2,0),6^=(0,-1,6)，而二(2,0,0),前二(0,1,V3).

cw0

(nl二即'俨+2%=0,

1l-yi+V5zi=o,

nY-CD=0,

令Zi=1,得X产-yi=x/3,则平面8c。，的一个法向量为〃尸(-J5,W,1).

n-FF=0,

设平面EFD'A'的法向量为小二。2,丁2,Z2),则2

n2-FZF=U,

令Z2=l,得以=-百，X2=0,则平面EFQ'A'的一个法向量为〃2=(0,-V5,1).

设面BCD，与面EF。q所成的二面角为仇

则18s例=ICOS〈川，〃2〉|=晶=焉=?，

所以sin6=71-cos2〉Jl-gj=乎，则面BCD'与面EFD4所成的二面角的正弦值为半.

2.(1)证明取PA的中点N,P8的中点M,连接FN,MN,GM,

:△4CO与△ABC为等腰直角三角形，ZADC=ZBAC=9Q\

不妨设AD=CD=2,：.AC=AB=2>/2,

.•・8C=4,

VE,尸分别为8C,尸。的中点，：.FN=^AD=\tBE=2,

：・GM=LBE=\=FN,

2

VZDAC=45°,Z4CB=45°,

:,AD〃BC,

：.FN//GM,

，四边形f*GMN为平行四边形，

:.FG〃MN、

•：FG?平面PAB,MNu平面PAB,

・・・FG〃平面PAB.

⑵解;以，平面ABC。，

・••以A为坐标原点，ACAB,AP所在直线分别为x,），，z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

设AD=CD=2,则4(0,0,0),8(0,272,0),。(2/，0,0),。(或，-V2,0),P(0,0,2近),

・••而=(0,2V2,0),DC=(V2,V2,0),而二(-2企，0,2位)，

设平面PCO的法向量为〃=(x,)，，z),

­n=0,

•n=0,

.(V2x+V2y=0,

*1-272x4-2722=0,

取x=l,,z=l,w=(1,-I,I),

设AB与平面PC。所成的角为仇

则sin6|cos〈而，加仁萼券

J0X1-2V2X(-1)4-0X1]_2，^3

2V2X712+(-1)2+123，

即AB与平面PC。所成角的正弦值为g.

考点一空间角

例1（2025・嘉兴模拟）如图，在边长为2的正三角形48C中，E,尸分别为AC,BC的中点，将尸

沿E卜翻折至△尸上尸，使得〃上二4匕

BA.4B

(1)证明：平面P3E_L平面A3厂E；

(2)求直线PB与平面。石r所成角的正弦值.

(1)证明•・•△ABC为等边三角形，E为AC中点，:・BE上AE,

又・・・PE_LAE,且PE,BEu平面PBE,PEQBE=E,.,.AE_L平面尸BE,

又AEu平面ABFE,J平面尸8石_1_平面ABFE.

(2)解方法一

(等体积法)

过点P作PHLBE,垂足为从

平面PBEL平面ABFE,且平面PBEC平面ABFE=BE,：.PH1平面ABFE,

又・・•£,尸分别为AC,8c的中点,

・••翻折后，PE=1,24=5+12fz

由对称性可知PB=a,

又止V5,/.ZEPB=90°,

则PH=陪喑4,

DD733

设直线P8和平面PE尸所成角为"点8到平面PEE的距离为瓦

由V三倭怆BPEF=V三怆代PBEF得gS4PE广h=gSa8E广PH，

又5^8以=；5&人8(=；X：X2X2Xsin60°=',

4424

S△户所；S»

44

:.h=PH咚sin日加除

3PB3

故直线PB与平面户£产所成角的正弦值为手.

方法二(几何法)

分别取E凡48的中点M,N,连接PM,PN,MN,过点N作NGJ_PM,

•.•△人BC为等边三角形，E,尸分别为AC,BC的中点、,

:・PM上EF,MNLEF,且PMCIM/仁M,PM,MNu平面PMN,则E/_L平面PMN,

,?EFu平面PEF,：.平面PMNL平面PEF,

V平面PEFC\平面PMN=PM,又NG±PM,NGu平面PMN,/.NGJ■平面PEF,

・：AB〃EF,ABC平面PEF,E/u平面PEF,

二•A3"平面PEF,

・••点B到平面PE/的距离即为NG的长度，

翻折后，PE=1,PA=V12+12=V2,

由对称性可知PB=企，

又A3=2,可知NAP8=90。，:,PN=\,

在△PMN中，PM吟MN专

故PN边上的高为二冬

1XT瓜

2

设直线和平面PE厂所成角为仇

••心GV3

••s,n^7i=T*

故直线PB与平面PE尸所成角的正弦值为年.

方法三（坐标法）

过点P作丹人LAE,垂足为“，

平面PBEL平面ABFE,且平面PBEC平面ABFE=BE,：.PHI平面ABFE,

又・；E,尸分别为AC,8C的中点,

・••翻折后，PE=1,PAW/+m,

由对称性可知P8二企,

又BE二百，；・NEPB=90。,

则尸〃二甯二瞽二半，

因此以E为坐标原点，EA.E8分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系，如图,

则风0,0,0),8(0,V3,0),F(-i,白，0),

尸（。，"纵"唳-纵

前=（心，f,0）,EP=（0,冬纵

设平面PEF的法向量为n=（x,ytz）,

n-FF=--X+-y=0,

则22J

ri•前=4y+"z=0,

3J3

不妨令z=-l,则法向量〃=(6，VI,-1),

|。+的闿

设直线PB和平面PE/7所成角为则singeos(n,丽〉|二

V6+2+1X耳1

故直线P8与平面PE/所成角的正弦值为日.

［规律方法］(1)用向量法求空间角的一般步骤

①建立空间直角坐标系.

②用坐标表示直线的方向向量和平面的法向量.

③利用向量的夹角公式求出向量夹角或角的三角函数值.

(2)注意两异面直线所成角的范围是(0,外；线面角。与直线的方向向量a和平面的法向量〃所成的角

〈明〃〉的关系是〈4,〃〉+仇］或〈4,〃〉-^=~：两平面的夹角与其对应的两法向量的夹角不一定相等,

22

而是相等或互补.

跟踪演练1(2025•浙江Z20名校联盟联考)如图，四棱锥P-/WC。中，底面ABC。是平行四边形，Z

BAD=60%AB=4,AD=2,PB=PD=2®且AO_LP8.

(1)证明：8C_L平面尸80；

(2)求二面角C-PA-D的余弦值.

(I)证明*：ZBAD=60°,48=4,4D=2,

:,BD=2G且NAO8=90°,

又AD_LP&PBCBD=B,PB,BDu平面PBD,

・・・4O_L平面?以)，又四边形ABC。是平行四边形，：,BC//\D,・・.8C_L平面出〃).

(2)解设AC与80的交点为。，则。为8。中点，

*：PB=PD=2瓜：.POLBD,

•：BCL平面PBD,POu平面P8。，：,BC±PO,

又BDCBC=B,BD,8Cu平面BQ),

••・PO_L平面BCD.

方法一(坐标法)

以Q为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,

・・・。(0,0,0),4(2,0,0),C(-2,2技0),P(0,V3,3),

：,AC=(-4,2A/3,0),

M=(2,-V3,-3),而=(-2,0,0),

设平面PAC的法向量为次=(x,y,z),

则，m-一PA=0,即，f2x—V3:y-3z=0

,m-AC=0,1-4x+2V3y=0,

取户V5,得m=(H,2,o),

设平面PA。的法向量为〃=(a,b,c),

,(n-PA=0,f2a-V3b-3c=0,

则一即rln

tn•AD=0,I—2a=0,

取〃得〃=(O,-8,1),

设二面角C-04。的平面角为仇

・・・cos伊Icos（孙加仁嗡二”,

・•・二面角C-PA-Q的余弦值为年.

方法二（几何法）

•••AO_L平面PBD,

二平百PAD_L平面尸8，作OH_LP£>,易知O〃_L平面PAO,作O£_L?A,连接（图略）,

：.40EH=6即为所求角,

易知。0后=乎,

24

.\EZ/=—,

4

.A_EHVH

..COS(7=-=,

0E7

・•・二面角C-PA-O的余弦值为学.

考点二空间距离

例2（2025・汉中模拟）如图，在四棱锥E-A8CO中，/为边AD的中点，AB//CD,A3_L平面4力£

CD=AD=2AB=2DE=4,ZADE=6G°.

(1)求证：AE.LCE；

(2)求平面A6E与平面CE厂所成角的余弦值；

(3)设G为边AD上的点，满足8G二代，求点G到平面CEf的距离.

(1)证明在AAOE中，AD=4,DE=2,ZADE=60°t

：.AE^AI^+DEr-lADDEcosZADE=12,：.AE2+DE2=AD\：.AELDE.

•・・A8J_平面ADE,AB//CD,

・・・COJ"平面AOE,又AEu平面40E,：.CDLAEt又CDClDE;D,CD,DEu平面CDE,

・・・4E_L平面COE,又CEu平面CDE,：.AELCE.

⑵解过E作直线/〃48,

•・・A8_L平面ADE,，/_L平面ADE,

又由(1)知AEJ_OE,以E为坐标原点，直线EO,EA,/分别为x轴，)，轴，z轴，建立如图所示的空间直

角坐标系，则E(0,0,0),C(2,0,4),。(2,0,0),A(0,2原,0),

.*.F(1,V3,0),

，丽:(2,0,4),EF=(1,V3,0)：

设平面CEF的法向量为m=(A,y,z),

(.m-EC-0,12%+4z=0,

令x=6,则7%(6,-2V3,-3).

易知平面ABE的一个法向量为〃=(1,0,0),

•/\m-n62\[S7

..cos\m,n)=,,,=~E=—=——.

|m||n|v57xl19

・•・平面48E与平面CEF所成角的余弦值为蜉.

(3)解＜人“_1_平面人。E,人Gu平面人£)£

•••48L4G,又BGS,AB=2,・*AG=1,

又易知NE4G=30。，

・••点G的坐标为6，手，0),

，砥&娱o).

・•・点G到平面CEF的距离]二誓1=朋二0%L甯.

\m\V5719

[规律方法](1)求点到平面的距离有两种方法，一是利用空间向量点到平面的距离公式，二是利用等体积

法.

(2)求直线到平面的距离的前提是直线与平面平行.求直线到平面的距离可转化成直线上任一点到平面的距

离.

跟踪演练2(2025•泰州模拟)如图，在直三棱柱A8C-4囱G中，AB]=BCi=CA]fBCyVCAy.

⑴证明：三棱柱A8C八山iG是正三棱柱；

(2)证明：ABilCAi；

(3)设4Eu平面a,3G〃平面a，若直线8G与平面a的距离为百，求三棱柱4BC-4SG外接球的表

面积.

⑴证明在直三棱柱A8C-A山iG中，

尸CG=44,N/W%=N8CC尸/C44=90。，又因为/W产8G=C4,

所以△A881g△8CG空△C4A।,

所以48=8C=C4,

所以三棱柱ABC481G为正三棱柱.

(2)证明取AC,4cl的中点O,。I，连接BD,DDi,则BOJ_AC,AA}//DDy.因为AA」平面ABC,

所以DG_L平面ABC,

以08,DC,所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所云的空间直角坐标系，不妨设AC=2a,

AAi=b,则

A(0,-a,0),0,0),C(0,a,0),A1(0,-a,b),G(0,a,b),0,/?),

所以BC；=(-V5ma,8)，C/17=(0,-2a,b),4B；=(V5a,a,b),

因为BG_LCAi,所以西JL鬲，

所以布•帚=-2/+/=0,所以"鱼a,

所以AA；=-2〃2+"2=0,

所以福_L京，即A8i_LC4i.

⑶解因为ABC平面a,3G〃平面a,

又因为8G_LC4i,A8]J_C4,

所以不妨取平面a的一个法向量

w=C/4i=(0,-2a,\[2a)y

因为直线BG与平面a的距离为百，

所以点8到平面a的距离为百，

因为西二(0,0,a〃)，

所以点B到平面a的距离仁等;工皋+增，

所以"二斗，b=y/2a=3,

所以正三角形A8c的外接圆半径

2V3

T

所以正三棱柱ABC-A^Ci的外接球的半径

公卜+(空)2号，

所以三棱柱A8C-41।G外接球的表面积S=4兀心=33兀.

考点三空间中的探索性问题

例3(2025・南宁模拟)等腰梯形A8C。中，BC//AD,BC=^AD,A=6()。，点石为AO中点(如图1).将公

48E沿8七折起到△48E的位置，点O,尸分别为BE,。石的中点(如图2).

4

图1图2

⑴求证:平面BCDE_L平面AQC；

(2)如果8c=2,平面平面8CDE,那么侧棱4c上是否存在点尸，使得平面40尸？若存

在，求平面P8E与平面A。尸夹角的余弦值；若不存在，请说明理由.

⑴证明连接CE(图略)，因为8c1〃AO且8C=/。，点E为A0中点，所以8CJ=AE,BC^DE,故四边

形BCDE,BCE4是平行四边形，则8斤。。，又四边形ABC。为等腰梯形，所以A8=C£>,则48=%：,又

A=60。，可得△ABE是等边三角形，

故四边形8CE4为菱形，△ACE是等边三角形，

△4出E是等边三角形，因为。为BE的中点，所以A0J_8E,COLBE,

又AiOnCO=。，且A。，COu平面40C,所以8七_1_平面40。，又BEu平面BCDE,所以平面8CQE_L

平面A\OC.

(2)解存在点P,使得8P〃平面AQF,

因为平面Ai8E_L平面BCDE,平面48石D平面BCDE=BE,

AiOlBE,AQu平面A山E,所以AQ_L平面8CDE,

又C0J_4M建立以。为原点，OB,0C,。4所在直线为x,v,z轴的空间直角坐标系，如图所示,

则0。，0,0),8(1,0,0),C(0,百，0),4(0,0,8)，E(-l,0,0),F(-|,y,0),

砧=。x/3,-V3),^0=(0,0,-V3),OF=(-|,y,0),

设初二/不二(0,V3r,-V3r),0WW1,

则/(0,V3r,V3-V3/),BP=(-1,圆V3-V3/),

设平面A。尸的法向量7〃=(x,y,z),

m-OF=0,+—y=0,

则，―,即22y

Hi-&O=0,(-V3z=0,

令x=l,则产V5,z=0,

所以血=(1,V3,0),

要使BP〃平面4。凡贝乔•/〃=0,

即-l+3/=0,解得/=：,

故在例棱4c上存在点P,使得8P〃平面4OR

此时，P(0,亨，苧)，屁=(・2,0,0),

巩T,今甯，

设平面以也的法向量〃=(4,b,C),

..,fn-5E=0,日上2a=。，

则‘一»即V3,2V3

n-BP=0,—aH---bH----c=0,

v33

令c=l,则/?=-2,a=0,即〃=(0,-2,1),

设平面P8E与平面AQ/的夹角为仇

所以cosQ黑二笠二"，故平面P8E与平面A。尸的夹角的余弦值为

|n||7n|2V555

［规律方法］解决立体几何中探索性问题的基本方法

(I)通常假设问题中的数学对象存在或结论成立，再在这个前提下进行推理，如果能推出与条件吻合的数据

或事实，说明假设成立，并可进一步证明，否则假设不成立.

(2)探索线段上是否存在满足条件的点时，一定注意三点共线的条件的应用.

跟踪演练3(2025・黄冈模拟)如图，在三棱锥P-A8C的平面展开图中，AC=1,AB=AD=>/3,AB±AC,

AB1AD,ZCAE=30°.

D(P)

(1)求/bC8的余弦值；

(2)在三棱锥P-A3C的棱AP上是否存在点。，使得平面AAP和平面4CQ夹角的余弦值为半？若存

在，求出点。的位置；若不存在，说明理由.

解(1)在△A3。中，因为A8_LAZ),AB=AD=V3,

所以BD=\石，所以f8=8£。后，

在△4CE中，因为AE=4O=V5,AC=1,NC4E=30°,

所以C£=](遍)2+12—2乂8乂1乂8530。=1,所以。'=。£=1,

又因为BC£AC2”B2=+(逐)2=2,

在△WB中，由余弦定理得gsNFCB二空等/二胃噜]

(2)存在点Q,使得平面48P和平面ACQ夹角的余弦值为零.如图，在三棱锥P-43C中，因为

即A8_LAP,AB±AC,ACCIAP=A,AC,APu平面ACP,

所以48_L平面ACP,在平面ACP内作Ay_LAP,以A为原点，APt而，荏的方向为x,)，，z轴正方向,

建立空间直角坐标系，

则P(6，0,0),8(0,0,V3),偿,0),

设。(小()，0)(0WcW®

故的二(。，0,-V3),5C=(y,一百)，

设平面8CQ的法向量〃2=(x,)，，z),

m^BQ=ax-V3z=0,

则广

m•前=-%+-y—V5z=0,

22，

取z=〃，则帆=(V5,2y/3a-3,a),

易得平面A8P的一个法向量为〃=(0,1,0),

|26a-3|V15

设平面A8P和平面。C。的夹角为仇则cos族|cos</H,/l>|=-：

Js+(2V3a-3)2+a

解得或

故当4Q=8或时，平面A8P和平面8CQ夹角的余弦值为誓.

专题强化练

［分值：60分］

1.（13分）（2025•宁波模拟）如图，在直三棱柱A8C-A山£中，ZBAC=90°,A8=AC=2,A4i=2&.N是8Q的

中点，户是BG与8C的交点.

（1）若。是4N的中点，证明：PQ〃平面48C；（7分）

（2）求4尸与平面ABC所成角的正弦值.（6分）

（1）证明由题意，以A为坐标原点，AC,AB,A4所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如

图所示，

所以4|(0,0,2V2),8(0,2,0),Q2,0,0),囱(0,2,2伪,Ci(2,0,2夜),N(1,1,272),P(l,

I,V2),Q&I，2V2),

所以布二(0,2,-2V2),BC=(2f-2,0),PQ=(-1,V2),

设平面A]8C的法向量为〃=(x,y,z),

叫卜•布=2y-2\f2z=0,

(n-fiC=2x-2y=0,

令z=l,JNn=(V2,V2,1),

故〃•而=0,又PQQ平面Ai8C,则QQ〃平面A18C

⑵解由⑴得布二(1,1,-&),

设直线4P与平面AiBC所成角为仇

所以sin归cos5,研|瑞普:盛噜

2.(15分)(2025•天津)正方体A8CDA8CD的棱长为4,E,2分别为AB,G8的中点，CG=3GCi，

I)C.

(1)求证：G凡L平面/BE；(4分)

(2)求平面与平面EBG夹角的余弦值；(5分)

(3)求三棱锥D-FBE的体积.(6分)

(1)证明方法一连接GF(图略)，在正方形8CG8中,

由条件易知tanNG/G=经三二詈

C1F2BB]

=tanZBiBF,

所以/G”G=N8出凡

则NBFB+NB山F=T=NBIFB+NCIFG,

故ZBFG=it-(/BiFB+NCiFG)q,

即GF-LBF,

在正方体中，易知。GJ_平面8CG8，且E/〃。iG,所以£/_1_平面8CG81,

又G『u平面8CG囱，所以E/口_G/,

因为E/TIBG凡EF,BFu平面FBE,

所以G凡L平面FBE.

方法二如图，连接GF,以。为坐标原点，DA,DC,所在直线分别为X，y,z轴，建立空间直角坐

标系，

则8(4,4,0),E(2,0,4),F(2,4,4),G(0,4,3),

所以而=(0,4,0),丽=(2,4,-4),FG=(-2,0,-1),

设平面广8E的法向量为/n=(a,b,c),

•丽=4b=0,

•丽=2Q+4匕-4c=0,

令0=2,则斤0,c=l,所以帆二(2,0,1),

易知而二_切，则同也是平面厂8E的一个法向量，所以GF_L平面尸BE.

(2)解同卜方法二建立的空间直角坐标系，

则》=(-2,4,-1),前=(40,3),

由(1)知前二(-2,0,-1)是平面五8七的一个法向量，设平面E8G的法向量为〃=(x,y,z),

”,(n^EG=-2x+4y—z=0,

所以！一

(n•BG=-4x+3z=0,

令x=6,则z=8,y=5,即〃=(6,5,8),

设平面FBE与平面EBG的夹角为图

则8so=|cos质,，力噜％鼻W，即平面ME与平面E8G夹角的余弦值为士

|FG||n|V5XV12555

(3)解因为E/LL平面8CC山1,FBu平面BCGBi,所以EF1.EB,

易知S^H^EFFB=-X4XV42+22=4V5,

又。(0,(),0),则丽二(2,0,4),故点、D到平面FBE的距.离为d=〃要=匕

\PG\V5

由棱锥的体积公式知

V三校他D-FBE=SAFBEXd=gX4A/5X白=芋

33v53

3.(15分)(2025•河南豫东名校模拟)如图I,在边长为4的菱形A8CO中，ND4B=60。，点M,N分别是边

BC,CO的中点，ACDBD=OnACnMN=G.沿MN将△CMN翻折到△PMN的位置，连接PA,PB,PD,

得到如图2所示的五棱锥P-ABMND.

⑴在翻折过程中是否总有平面P8D_L平面PAG?证明你的结论；(5分)

(2)若平面PMNJ_平面MNQ8,线段PA上是否存在一点。(异于点A),使得平面。。N与平面PMN夹角的

余弦值为唱？若存在，试确定点。的位置；若不存在，请说明理由.(10分)

解(1)是.证明如下：

折叠前，因为四边形A8CD是菱形，所以AC_L8。，由于M,N分别是边8C,CO的中点，

所以MN//BD,所以MALLAC,

折叠过程中，MNLGP,MN_LGA,GPDGA=G,GP,GAu平面PAG,

所以,WN_L平面PAG,所以3。J_平面PAG,

由于BOu平面PA。，所以平面PBO_L平面P4G.

(2)存在,理由如下：

当平面PMN_L平面MNO8时，由于平面尸MNCI平面MNO8=MMGPu平面PMN,GP工MN,

所以GPJ_平面MNDB,

以G为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，依题意可知G(0,0,0),P(0,0,V3),D(百，-2,

0),B(V3,2,0),MO，-1，0),A(3①，0,0),GP-(0,0,V3),PF-(V3,2,-V3),

M=(3V3,0,-V3),

设而=2方(OW/1<1),贝1J的二正+所二加+2万二(0,0,百)+(3每，0,-V32)=(3x/3A,0,V3-V3A),则

。(3■，0,V3-V3/),

易得平面PMN的一个法向量为〃尸(1,(),0),

DQ=(3V32-V3,2,V3-V3A),DN=(-V3,1,0),

设平面QON的法向量为〃2=(x,y,z),

则(九2•丽=(3V3A-V3)x+2y+(百一V3A)z=0,

(n2•DN=-V3x4-y=0,

取〃2=(11,V3A-V3,32+1),

设平面QON与平面PMN的夹角为8,

由于平面QON与平面PMN夹角的余弦值为

JLO

|nrn|________6Tl

所以cosO=|cos</«1,〃2〉1=■2

|nil|nzlJ(A-1)2+(V3A-V3)2+(3A+1)213

解得［三，

所以当Q是24上靠近点P的三等分点时，平面QON与平面PMN夹角的余弦值为鲁.

ID思维创新

(共17分)

4.(17分)(2025・包头模拟)如图，在四棱锥S-48CO中，AD_L平面SCO,AB//CD,