2026年高考数学解答题核心考点预测：解三角形（解析版）

第3讲解三角形

高考预测一：三角形中的求值问题

类型一：三角恒等变换

1.在A/WC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知8sA-2cosc=在二g

cos3b

（1）求包工的值；

sinA

（2）若cos8=,，0=2,求AA8C的面积.

4

rA-g,,xcosA-2cosc2c-a2sinC-sinA

［脩析］解：（I）*/------------=------=------------

cos4bsinB

/.oosAsinB-2sin^cosC=2cosBsinC-sinAcosB,

/.sinAcosB+cos/AsinB=2sin4cosC+2cosAsinC，

.♦.sin（A+3）=2sin（8+C）,

.\sinC=2sinA，

sinC.

...------=2；

sinA

（2）由（1）可得c=勿，

由余弦定理可得〃2=/+c2-2〃ccosB,

4=/+4a2-a2，

解得a=1,则c、=2,

c1

,/cosn=—,

4

..R_V15

・・sino------，

4

.a1.I..x/15>/15

..S=-acsinDB=-x1x2x-----=------.

2244

2.在AABC中，内角A、B、。所对的边分别为a、b、c,已知a^h，

cos2A-cos2sinAcosA-\f3sin13cosB.

（I）求角C的大小；

（II）若c=G，siniA=,求AAAC的面积.

2

【解析】（本题满分为12分）

解：（I）,/cos24-cos2B=\/3siny4cosA-\/3sinBcosB.

1+cos2Al+cos2fi_>/3G•EC八

..------------------——sin2A----sin2B,..2yj*

2222

可得：cos2A-cos2B=y/3sin2A-y/3sinIB,可得：sin(2A--)=sin(2^--),...4分

66

•.•A43c中，a*b,可得AwA，

:.2A--+2B--=;r,

66

...A+8=女，可得：C=匹…6分

33

(H)由(I)可得，A+8=年，

vsinA=—,可得：A=-,R=—,…8分

2412

7兀.产兀、瓜+0|八八

..sin——=sin(—+—)=-------,…10分

12434

•：c=&，由正弦定理r-=H，可得：〃=应，…11分

sinAsinC

S“8c=gacsinB=…12分

（注：解法较多，酌情给分，直接sin卫=sin75。=''废的乜给分）

124

3.A45。的内角A,B,C的对边分别为a,h,c.i§(sin7^-sinC)2=sin?A-sinBsinC.

(1)求A；

(2)若y/2a+b=2c,求sinC.

【解析】解：(1)AAAC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c.

(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.

.*.sin2B+shvC-2sinBsinC=sin2A-sinfisinC,

.,.白正弦定理得:tr+c2-a2=bc,

.b2+c2-a2be1

8sA=----------=---=—,

2bc2bc2

•「OvAv/r，A.

3

(2),/41a+b=2c»A=—>

3

白正弦定理得应sinA+sin8=2sinC,

+sin(半-C)=2sinC

解得sin(C--)=,/.C--=—>C=—+—»

626446

.厂.,冗亢、.冗冗乃.乃夜G及1R+C

：.sinC=sm(—+—)=sin—cos—+COS—sin—=——x——+——x—=-----------.

46464622224

4.在①(sin8—sin。)？=siifA—sin8sinC,②〃sin^^=asinB,③asin4=〃cos(A-¥)这三个条件中任

26

选一个，补充在下面问题中并作答.

问题：的内角4,B,。的对边分别为〃，b,c,若拒a+h=2c,—.求A和C.

【解析】解：若选①，(sin«-sinC)2=sin2-sin^sinC,由正弦定理可得g-cf=/一反，

则从+c2-a2=be,

由余弦定理可得8"=勺”=签毛

又0vA〈乃，

A=一兀

3

>/2sinA+sinB=2sinC,

/.V2sin—+sin(—C)=2sinC»

33

.，万•「1

・・—sinC-cosC=—,

222

.­兀、_五

..sin(C----)=----9

62

64

:.C=—.

12

若选②，〃sinB+C=asin3，由正弦定理可得sinHsin(四-4)=sinAsin4,

222

,.,sin4w()»

Ar.AA

.'.cos—=zsin—cos—，

222

vcos-^0.

2

A1

.'.sin-=—

22

八A用

0<—<—

22

7T

...4—>

3

•/42a+b=2c,

V2sinA+sinB=2sinC，

V2sin—+sin(--C)=2sinC>

33

,_1_V2

..——sine-cose=——，

222

7x/2

二.sin(C----)=—,

62

C--=-

64

若选③asinA=/?cos(A-M),由正弦定理可得sin人sinB=sinBcos(A-2),

66

•「sinBwO,

/.sinA=cos(A--^)>

：,A+A--=-^-+A=A--,

6226

7T

A=一»

3

•/42a+b=2c,

VisinA+sinB=2sinC,

/.>/2sin—+sin(--C)=2sinC，

33

x/2

—sinC--cosC=

22

sin(C--)=—,

62

c兀="

64

类型二：几何图形

5.在AABC中，NB=X,A8=15,点。在边8c上，8=1，cosZ4DC=—

326

(1)求sinNHAD；

（2）求AAHC的面积.

D

【解析】解：(I)由cosZADC=-!-,可得sin/AOC=

26

则sinNBAD=sin(NAOC--)=sinZ.ADCcos--cosZ.ADCsin—=""x■!"——x.

33326226226

BDABBD15

（2）在中，由正弦定理可得--------=---------，即Hn一=—产解得6£>=7,

sinZ.BADsinZ.ADB7\/315V3

2626

所以8C=7+1=8,

所以AA8C的面积S=LABBC.£inN4BO=Lxl5x8xsin¥=30>/L

223

6.如图，在A/WC中，ZB=-,A8=86,点。在边上，且6=2,cosZADC=-.

67

(1)求sinNRAD;

(2)求BD,AC的长.

【解析】解：（1）在A4ZX?中，因为cosa4DC=4，

7

所以sin/4OC=迪，

7

所以sin/BAD=sin(ZADC-ZB)

=sinZADCcosB-cosZADCsin6

45/3x/31I

=---X------X—

7272

11

=--•

14

(2)在△钻。中，由正弦定理得8。=也她上"竺=吧*=11,

sinZADB4V3

在AAgC中，由余弦定理得：AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB=(8x/3)2+132-2x8^xl3x^=49.

2

所以AC=7.

7.如图，在ZV1BC中，AB=2,cosA=L点。在线段8c上.

4

（1）若NADC=—乃,求4）的长；

4

⑵若BD=2DC,AACD的面积为士夜，求包刍竺的值.

3sinZCAD

【解析】解：（1）•「△ABC中，cosB=J,..sin8=..

33

<NADC=二冗，:.NADB=巴.

44

△4瓦）中，由正弦定理可得当=马，//。二号；

32

（2）设”=则比）=为，

4厂

♦.BD=2DC，AAC£>的面积为一J2,

3

Ayfl=—x2xx,

23

.'.a=2

AC=^4+36-2x2x6x-^=4a,

42

由正弦定理可得--------=---------,.•.sinNK4D=2sinNAOB.

s\nZBADsinZADB

24夜

,/.sinZCAD=—sinZADC,

s\nZ.CADsinZADC4

sinZA£>6=sinZAPC,

短翳4及

8.如图，在平面四边形WBS中，4）=1,8=2,AC=币.

（1）求cosZCAD的值：

（2）cos/.BAD=--,sinZ.CBA=,求8c的长.

146

D

【解析】解:AD=1>CD=2*AC=>11

(1)在ZWX7中，由余弦定理，得COSNCAD_AC+A0-CD

2AC^AD

25/7

，cosZCAD=----；

7

(2)设Zft4C=a，则&=^^4^一/(24£>,

,/8sNCAD=、CGS/BAD=一也

14

sinZCAD=^^

7

/i35

sin/BAD=-------

14

..G

..sina=——

2

BCAC

在AA4C中，由正弦定理,

sintzsinZ.CBA

解得：BC=3.

即BC的长为3.

9.如图，在平面四边形A8CZ）中，NA=45。，ZAZX7=9O°,/小=2,BD=5.

(1)求sinZADB；

(2)若。C=2夜,求BC.

【解析】解：(1)A4HD中，NA=45。，AB=2,BD=5,

由正弦,理得..=尊,

sinZADBsinA

25

即

sinZADBsin45°

解得sinZADB=—；

5

(2)由ZADC=90。，所以cosNBOC=sinZ4O8二孝，

在Me。中，由余弦定理得:

BC2=BD1+DC2-WDDC-cosZ.BDC=52+(2\/2)2-2x5x2^2x^=25,

解得4C=5.

10.在平面四边形中，AB_LBC,AB=2,BO=后,/BCO=2NAB2A48。的面积为2.

（1）求4）的长;

（2）求△CBD的面积.

【解析】解：(I)由已知SMm=‘A8・8D*sinZA8O=Lx2x&»sinZz4B£>=2,

所以sin乙460=3叵，又NA8/)e(U,2),所以cos乙450=正，

525

在MBZ?1P，由余弦定理得：ALT=AB2+BD1-2・A&BOvos〃43O=5，

所以AO=石.

2)由ABLBC得/ABD+/CBD=Z，所以sinZCBD=cosZABD=

2T'又

4

/BCD=2N4gsin/BCD=2sinZAB6cosZABD=-

ZBDC=^-ZCBD-ZBCD=7r-(--ZABD)-2ZABD=--ZABD=ZCBD,

22

CD

所以△C6D为等腰三角形，即C4=8,在ACM中，由正弦定理得：——

sinABCDsinZCBD

5

所以CD=BD：嘘:D=25=|,SgD=-CB-CD.sinZBCD=-x-x-x-=

224458

5

A

11.如图，在平面四边形A6C£＞口，AB=2,BC=6,AD=CD=4.

（1）当四边形A3C£＞内接于圆O时，求四边形A48的面枳S;

（2）当四边形A8CZ）的面积最大时，求对角线8。的长.

【解析】（本题满分为14分）

解：（1）连接应），由余弦定理可得:

BD2=AB2+AD2-2ABAD*cosA=2?+4?—2x2x4xcos4,

HD2=BC2CD22BC*CDBQSC=42l622x4x6xcosC,

可得：20—16cosA=52-48cosC，…2分

又四边形AACO内接于圆O,则又A+C=乃,

所以：20-16cosA=52-48cosS•-4),化简可得：cos/^=--.

2

又Ae（0,乃），

所以北与’"..4分

=—x2x4xsin—+—x4x6xsin—=85/3,…6分

所以S=S+S阪［)

M8D2323

（2）设四边形A8CO的面积为S,则5=50m+5.0=14&4。/访/1+4历。£。3116',

22

可得：I3D2=AB2+AD2-2A13.AD.cosA=BC2+CD2-2BC-CDcosC,…8分

5=-x2x4sinA+—x4x6sinC

可得:22,可得：44一'，平方后相加，可得:

22+42-2x2x4cos4=4?+62-2x4x6cosC2=3cosC-cos/4

——+4=10+6sin4sinC-6coSi4cosC，

16

S2

即：一=6-6cos(A+C),…10分

16

又A+Ce(0,2幻，行A+C=;r时，二有最大值，即S有最大值.

此时，A=7r-C»代入2=3cosC-cosA,可得：cosC=—,

乂。£(0,乃)，可得：。=工，…12分

3

在中，可得：BD2=BC2+CD2-2BC.CDCOSC=42+62-2X4X6XCOS-=28,^^BD=2>/1....14

3

分

12.如图所示，已知圆内接四边形45CD,记T=tan4+tang+tanC+tan9.

2222

(1)求证：7=—+—；

sinAsinB

(2)若AB=6,BC=3,CD=4,A£>=5,求T的值及四边形A3CZ)的面积S.

解：()

A,BB

sin-cos—sin—cos—

B九一An-BAABB22

+(an—+tai)-------+tantan—+cot—+tail—+cot—=TT—1+—I------+-------

222222B.BsinAsinH

cos—sin—cos—sin—

2222

(2)由于：A6=6，BC=3,CD=4,AD=5,

由题知：cosNBAD+cos/BCD=0,

AB2+AD--BD2BC2+CD2-BD-八…247

可得：---------------+----------------=0=8Z>=——

2AB.AD2BC.CD7

则cos4=2,sinA=2,

77

则S=-(AD.AB+CD.BC)sinA=6M,

2

则S=A®8C+AO・CO)sinNABC=6x/10=sin/ABC=,

.22224710

sinAsin82>/106V103

719

13.如图，角A,B,C,。为平面四边形八48的四个内角，AB=6,BC=3,CD=4.

(1)若N=60。，NAAC=30°,求sin。；

(2)若NaA£)+N4cD=18()。，AD=5,求cosN班。.

32+62-AC21

【解析】解：（I）在AA3c中，cosB

2x3x6-~2

：.AC2=32+62-3X6=27,

AC=3\/3,

，—士十武士gsinNDACsinD

AAC。中，由正弦定理---------=-----,

CDAC

/.sinD—-sinOAC—36•sin30°-3上.

CD48

+£2-or\2

(2)在中，cosZBAD=-————，

2x5x6

3242-RD2

在ABCT>中，cos/BCD=二--+--------，

2x3x4

N8AD+/BCD=\80°，

c八八八'八52+62-BD232+42-BD2八

/.cosZBAD+cosZ.BCD=0»------------------1------------------=0n

2x5x62x3x4

2(25+36—5)+5(9+16-心)八

------------------------------------------=U,

120

可得：2X61-2BD2+5X25-5BD2=0,

可得78》=247,

则8。二栏

25+36--二

,2回夕+6二帅__________7_3

2x5x6~60"7

14.某市欲建一个圆形公园，规划设立A,B,C,。四个出入口（在圆周上），并以直路顺次连通，其中

A,B,。的位置己确定，AB=2,BC=6（单位：百米），记NABC=O,且已知圆的内接四边形对角互

补，如图，请你为规划部门解决以下问题.

（1）如果/）C=D4=4,求四边形AAS的区域面积;

⑵如果圆形公园的面积为结万平方米.求cos。的值.

3

【解析】解：（1）连结皮），可得四边形八8CZ）的面积为:

SBD+S\CBD・，

S=SZVI""AC/>/7=-2AB4OsinA+-2BC*CDsinC

•.•四边形WAS内接于圆,

.•.A+C=180°,可得sinW=sinC.

S=-A8・AOsinA+-BC-CDsinC

22

=\(AB>ADiBC»CD)sinA

2

=；(2x4+6x4)sinA

=16sinA....(*)

在MB/)中，由余弦定理可得：

BD2=AB2+AD1-2AB.A£>cosA=22+42-2x2x4cosA=20-16cosA,

同理可得：在△CDB中，BD2=CB1+CD2-2CB.CDcosC=62+42-2x6x4cosC=52-48cosC,

/.20—16cosA=52-48cosC，

结合85。=35（1800-4）=一（：054,得64cosA=-32,解得cosA=-g,

•/AG（0°,180°）,

...4=120。，

代入(*)式，可得四边形ABCD面积S=16sin120°=873.

(2)

设圆形公园的半径为则面积为等万平方米'可得:等"总可得:R=等,

段二「十金谢A。CD4X/^7—yzM.八AC3AC

由正弦定理----=2R=-----,可得：sine=—==—=,

sinB34V2I4V2I

3

•.•由余弦定理可得：AC=V22+62-2X2X6XCOS6>=>/40-24cos6>,

3V4（）Cs6>2

/.sin0==~?-°.两边平方，整理可得：14sin<9=15-9cos^,

4V214V21

vsin20+cos20=\,

：.―—^COS^+COS2=1,整理可得：14cos2夕-9cos28+1=0,

14

•••解得：cos^=-,或L.

72

类型三：向量问题

15.锐角AA5c的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量加=(凡回)与H=(cosAsin与平行.

(1)求角A：

(2)若〃=后，求AABC周长的取值范围.

【解析】解：(1)因为：丽//万，

所以：6/sinB-\/3Z?cosA=0,

由正弦定理,得：sinAsin3-Gsin8cosA=0,

又因为：sinAwO，

从而可得：ianA=6,

由干：OvAvi,

所以：A=-.

3

(2)因为：由正弦定理知‘_=，=，_=噂=亚，

sinBsinCsinAV33

~T

?[7

可得：三角形周长/=〃+/?+c=0+—^―(sinB+sinC),

又因为：C-B,

3

所以：sinB+sinC=sinB+sin(--B)=x/3sin(B+—)>

36

因为：AABC为锐角三角形，

所以：/?+-e(-,—),sin^+sinCe(-,x/3],

626332

所以：/s(^/6+72,372],

在中，内角的对边分别为且。,已知・。==」

16.A4ACA,B,Ca,h,c,c.8482,cosB?b=3.求:

(1)。和c的值；

(2)8s(3-C)的值.

【解析】解：(1)BA・B(j=2,COSB=-,b=3,

3

“丁得cacosb=2,即为ac=6：

b2=a2+C1-2accosB,

即为6?+c?=13,

解得a=2，。=3或々=3,c=2»

由”>c,可得a=3,c=2；

（2）由余弦定理可得

「a2+b2-c29+9-47

COSC=--------------=-----------=—

lab2x3x39

.「I494衣

sinC=.I-----=------>

V819

.Rr-T2x/2

V93

则cos(B-C)=cosBcosC+sin5sinC=-x—+=—

393927

17.AABC中，a、b、c分别是三内角A、B、。的对边，若4月・4己=.解答下列问题:

(1)求证：A=B；

(2)求c的值；

(3)若|Ag+ACj=«,求AABC的面积.

【解析】证明：（1）因AAA?=,故bccosA=ac'cos区，即Z?cosA=acos5.

由正弦定理，得sinAcosA=sinAcos4,故sin（A-3）=0,

因为一万<A—13<7rf

故A-3=0,故A=8....（4分）

（2）因A月・A（?=1,故/MCOSA=1,由余弦定理得bc・"-----=I,

2bc

即/+/—/=2：又由（1〉得a=Z?,

故d=2,故。=血.…（10分）

（3）由|人4+VS得|入行『+|高『+2\AB.AC\=6,

即c?+6+2=6,

故(?2+〃2=4,因/=2,故〃=\2»

故AA3C是正三角形，

故面积S&wc=*x(>/2)2=等.…(16分)

高考预测二：三角形中的取值范围或最值

类型一：化为角的关系

18.设AA8C是锐知三角形，a，b,c分别是内角4,B,C所对边长，a=2/?sinA.

(1)求角2的大小;

(2)求cosA+sinC的取值范围.

【解析】解：(I)由止弦定理得：a=2/?sinA<=>sinA=2sin^sinA)

•.•A为锐角，故sinAwO,

「.sin8=-，而8为锐角,

2

二嗯.

⑵•••8=工

6

65用

A+C=—>

6

/.oosA+sinC=

.,5乃..

cosA+sin（—一A）

.5乃.54.

=cosA+sin—cosA-cos——sinA

66

=-cosA+—sinA

22

=sin（AH—）.

3

•.•A44c是锐角三角形，A+C=—,

6

0<C=------Av—»

62

/.-<sin（A+—）<—.

232

—<6sin（4+-）<—.

232

19.在AA6C中，角A、B、。的对边分别为〃、/）、c,A、0、C成等差数列.

4

（1）若〃=J13,a=3,求c的值；

（2）设7=sinzlsinC,求，的最大值.

【解析】解：（1）TA、2、C成等差数列，

4

.•.2x£=A+C=I80。-4，

4

.,.8=120。，

b=\/\3,a=3,

.*.B=9+r2-6ccos120°,

1.c2+3c-4=0.

/.c=1；

（2）r=sinAsinC=sinAsin（60°-A）=^sinAcosA--|sin2A=一;+；sin（2A+30。）,

•,-00<A<60°，

o

.•.30°<2/A+30<150°t

.♦.2A+3（r=90。，/的最大值是L

4

20.在AABC中，角4,B,C所对的边分别为“，〃，c,角A,B,。依次成等差数列.

(1)若sin，8=sinAsinC,试判断AA8C的形状；

(2)若AAKC为钝角三角形，且试求sin2C+6sin4cos4一的取值范围.

2222

【解析】解:(I)sin2B=sinAsinC>/.b2=ac.

■「A,B,C依次成等差数列，.•.24=A+C=4-6,B=-.

3

由余弦定理从=。2+/-2^CCOS5,a2+c2-ac=ac»:.a=c.

.♦.AA8C为正三角形.

由十1VlTN.、C/T.AA11-cosCV3..1

(2)要求的人于sm—一+\/3sin—cos-------=-------------+——smA——

2222222

=—sinA--cos(--A)=—sinA+-cos/\-—sinA

223244

=—sinA+-cos4=-sin(A+-).

4426

?兀,457r

——<A+—<——

366

1./4乃、>J3..11.71、石

/.一<sin(AH—)<—,小乂-v-sin(zA4H—)<—.

2624264

代数式sin2-+^sin-cos-+-的取值范围是

22224

类型二：周长或边长的范围

21.在AABC中，角4,B,C所对的边分别是a,〃，c,且4,B,。依次成等差数列.

（1）求角8的大小；

（2）若。=百，求AA8C周长的取值范围.

【解析】解：（I）TA,B，C成等差数列,

:,A+C=2B.

义A+4+C=;r,B=—;

3

(2)在ASC中，由正弦定理，-=—=—=^-=2,

sinAsinCsin4八.冗

sin—

3

的周长/=a+Z?+c=2sinA+6+2sinC

=2sinA++2sin(--A)=2>/3sin(/l+—)+\/3.

36

又・.・4€（0,3），.・.%（2"36].

3

.•.A48C周长的取值范围（26，361.

22.在AA5c中，角A,B,C所对的边分别为a,b»c,已知cosC+（cosA-GsinA）cos8=0.

（1）求角8的大小；

（2）若〃+「=1,求〃的取信范闱.

【解析】解：（I）由已知得：一cos（A+8）+cosAcosB-JJsinAcos8=0,

即sinAsinB->/3sinAcosB=0,

•.,sinAHO,sin-\/3cos=0,UPtanB=\f3,

又8为三角形的内角，

则8=工；

3

（2）,/a+c=1>即c=1-a,cosB--»

2

/.由余弦定理得：b2=a2+c2-2aoeosB,即b2=a2+c2—ac=（a+c）2—3ac=1—3a（1—a）=3（a—^）2+；,

•.•（）<a<1,/.Z?2<1,

4

则

2

23.在AA3c中，角A,B,C所对的边分别为〃，b,c,且sin?A+sin?C-sinAsinC=siif4.

（1）求角4的大小：

（2）若MAC为锐角三角形，其外接圆的半径为经，求AABC的周长的取值范围.

3

【解析】解：（1）AABC中，由sin'A+sin2c-sinAsinC=sin?3,

^a2+c2-ac=b2,BPa-+c2-b'=ac；

所以COS8='+C2-"=&=4；

laclac2

又3c（0,乃），所以8=工；

3

（2）由（1）知8=巳，且外接圆的半径为多8,

33

由正弦定理得‘一=2R,b=2x正速=5：

si•n—432

3

=2心座

由正弦定理得一色

sinAsinC3

所以a+c=~~(sinA+sinC)；

A+C=—

3

f-r-f.l10\/5.....1.71A、1

/疗以a+c=----[sinA+sin(----A)]

33

=幽心强+生。SA）

322

=IOsin(A+^)；

又&48C为锐角三角形，则0<A<工且0<Cv巳，

22

又。=四一A,则乙<Av工，所以工<A+2（女:

362363

所以—vsin（A+—）„1：

26

所以5G<a+g10,即AA5C周长的取值范围是（5+56,15].

类型三：面积的范围

24.在AA8C中，角A,B,C的对边分别为“，b,c,且满足至必cos4

8s4

（1）求角A的大小;

（2）若a=2逐，求AABC面积的最大值.

【解析】解・：（1）竺心=竺夕

cosA

(2c-/?)*cosA=«<cosB,

由正弦定理，得：(2sinC-sin8)*cosA=sinA«cos3.

，整理得2sinC«cosA—sinB«cosA=sinAcosB.

二.2sinC*cosA=sin(/A+B)=sinC

在AABC中，sinCw0.

.I..71

/.cosA=—,ZA=—.

23

(2)由余弦定理cosA="a=2后.

2bc2

:.b2+C1-20