江苏省海安某中学2025-2026学年高二年级下册3月练习数学试题（试卷+解析）

江苏省海安高级中学2025-2026学年高二下学期3月练习数学试题

(考试时间120分钟，总分150分)

注意事项：

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

L答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位

置，在其他位置作答一律无效

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1,设集合4={x-M3},8={#水1},则双=()

A.(2,3]B.[2,3]C.[1,4)D.(1,4)

2.已知实数ab,则“同>〃”是力2”的()

A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.若点P(2,l)在圆式2+)，2+4/-2y+A-l=0外，则实数k的取值范围为()

A.(-10,-Ko)B.(—10,6)C.(-co,—10)D.(6,+co)

4.已知命题：“记等差数列{q}的前〃项和为S“，若26+%-知=36,则Sg为定值”为真命题，则可

推出攵=()

A.IB.2C.3D.4

5.某产品的质量指标服从正态分布N(100，(72),cr>0,质量指标介于96至104之间的产品为良品,

为使这种产品的良品率达到99.73%,则需要较高的生产工艺，使得。不超过(备注：若

X〜N(〃，<T2),则P(|X—”<3b)a0.9973)()

6.己知a,P为锐角，若cosa-cos0=好，cos(a-/?)=-,则sina+sin4=

)

24

7.已知函数/（戈）=办2+法+lnx恰有两个极值点，且曲线），=/（力与X轴相切，则〃的取值范围为

（）

8.棱长为。正方体盒子中装有半径分别为I和2的两个铁球，则〃的取值范围为（）

A.a>3B.a>3+yf2C.+百D.a>6

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求,全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的有（）

A.数据2,3,5,7,11,13的第75百分位数为7,中位数为6

B.一组数据的标准差为0,则这组数据中的数值均相等

C.若随机变量满足〃=2>3，则E（"）=2E⑶—3,007）=4。⑷-3

D一个医疗队有男医生36人，女医生24人，分层抽样抽取了一个5人小分队，现将这5人分配去三个医

院指导工作，每个医生去一个医院且每个医院至少有•一名医生，女医生去同一个医院，共有36种分配方

式

10.设抛物线C:）於=4x焦点为凡过尸的直线与。交于A,B两点,若弦的中点为（科2）,则

（）

A.F的坐标为（1,0）B.直线AB的斜率为I

C.|A31=4夜D.\FA\\FB\=S

11.已知棱长为1的正四面体的四个顶点A、3、C、。均在球。的球面上，动点?、。分别在棱BC、

CD上（不包括端点），则（）

A.J.ABQ面积的最小值为也

彳

B.若恰有两个点P满足OP=m,则〃?的取值范围是（可

c.Q到平面ABC和到平面4BQ的距离之和为定值

D.若NPOQ=g,则△PCQ的周长不可能为加

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知复数2=々+砥的模长同=2,则|z+3+4i|的取值范围为.

13.在VA8C中，已知NR4C的角平分线交8c于Q,AB=AD,3DC=2AC,则cosNRAO=

14.已知A伐。是双曲线提=1（。力>0）上不同的三点，点AB关于坐标原点对称，且

AB+AD=BD,过点A作垂直于x轴的直线分别交双曲线。，直线8。于-M,N两点，若

AN=4AM»则双曲线。的离心率为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知4ABe的外接圆半径为2,.ABC的内角A,B,C的对边分别为。力,c,且a<ccos8.

（I）试判断一ABC的形状；

（2）若acos3+/?cosA=，求周长最大值.

16.记数列｛%｝的前n项和为S心已知3%=2s“+1.

（1）求｛q｝的通项公式：

（2）设4二（“二，：一），记数列也｝的前〃项和为人若V〃wN"Tn<t<Sn,求/的取值范

围.

17.如图，在三棱锥产一A8C中，,QA8与△P3C均为等边三角形，平面QACJ_平面A3C,D是PC

的中点，上是所上的动点.

(1)证明：ABA.BC,

（2）若直线A。与平面ACE所成角的正弦值为正，求平面ACE与平面ABC夹角的余弦值.

10

18.在百角坐标系xOv中•点尸（-1.0）.动点P在直线-5的左侧.日到直线丫=5的距离恒为

10-y/5\PF\,记尸的轨迹为C.

(1)求C的方程；

(2)设不经过尸的直线/的方程为y="+〃2(攵＞0),已知/交C于M,N两点，且

—+QN可—6丫的值与m的值无关.

(i)求女的值；

(ii)是否存在实数机，使得/FMN=2/FNM?若存在,求用的值；若不存在，请说明理由.

19.已知函数/(x)=lnx,g(£)=q,XG(0,+OO),且awO.

(1)讨论函数力(x)=f(x)-g(x)单调性;

(2)若曲线y=/(x)和)，=g(x)存在公切线，求〃的取值范围；

(3)若存在相异实数〃?，〃，使得/(m)=g(〃)，且/(〃)=g(m)，求。的取值范围.

江苏省海安高级中学2025-2026学年高二下学期3月练习数学试题

（考试时间120分钟，总分150分）

注意事项：

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

L答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位

置，在其他位置作答一律无效

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1,设集合4={x-M3},8={#水1},则双=（）

A.（2,3]B.[2,3]C.[1,4）D.（1,4）

【答案】C

【解析】

【分析】求出集合3,利用并集定义可求得集合AjB.

【详解】由上一3]<1得一lvx—3<l,解得2vxv4,

故8=卜卜-3|<1}2cx<4},

又因为A={x|lWxW3},所以AD8=[1,4）.

故选：C.

2.已知实数ab,则“同〉〃”是“/>〃，，的（）

A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】若对〉人，不妨取。=1,〃=一1,此时/=从，所以问>力不能推出从,

若力＞从等价于同＞"因为例》,所以同＞乩

即/＞后能推出时＞〃，

综上，“同力”是""＞庐，的必要且不充分条件，

故选：B

3.若点P(2,l)在圆/+),2+4丫-2)，+2—1=0外，则实数攵的取值范围为()

A.(-10,-bw)B.(—10,6)C.(-w,-10)D.(6,-HX＞)

【答案】B

【解析】

【分析】先找到圆心坐标及半径，然后根据点到圆心的距离大于半径时点在圆外计算即可.

【详解】点P(2』)在圆/+)2+4十一2丁+攵一1=0外，即点到圆心的距离大于半径.

将圆方程化为标准形式得a+2)2+(y—1)2=6—",圆心为(-2J),点。到圆心距离为4.

，42＞6-k-,

故有，，解得一10＜攵＜6;

6-k＞0

故选：B

4.已知命题：“记等差数列｛4｝的前〃项和为S”，若26+%-卬=36,则Sg为定值”为真命题，则可

推出上=()

A.IB.2C.3D.4

【答案】A

【解析】

【分析】设q=q+(〃-1"，月d,左表示S9即可

【详解】设=。|+(〃-1)4,则24+%+61=36可化为

2[q+(k-\)d]+(4+6d)+(q+1Od)=36,

整理得，4q+(2A+14)d=36,即2q+(A+7)"=18,q=9-0+7”

2

又S,)=9%=9(4+4d),代入q=9—也+7"得羽=9x(9+—t/)

1_k

若S9为定值，则=_=(),即攵=1

故选：A

5.某产品的质量指标服从正态分布N(100，o-2),o->0,质量指标介于96至104之间的产品为良品,

为使这种产品的良品率达到99.73%,则需要较高的生产工艺，使得。不超过(备注：若

X〜N(〃，则尸(|X—■卜0.9973)()

12八4

A.-B.-C.1D.一

333

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意结合正态分布的性质可得100-3。296,100+3bK104,从而得出。的最大值.

【详解】因为产品质量指标服从正态分布N(100,4),P(|X-A|<30-)=0.9973,

且质量指标介于96至104之间的产品为良品，良品率达到99.73%,

所以100-3bN96,l(X)+3cr<104,

4

解得。W；,

3

4

所以。不超过一，

3

故选：D

6.已知。，尸为锐角，若cosa-cos/3=*，cos(«-/?)=-1,贝iJsina+sin/7=()

A.1B,1JD一

45132

【答案】D

【解析】

【分析】设sina+sin4=1,将其与已知的cosa+cos4分别平方，把两个平方后的式子相加，求解

t2,结合仅为锐角的条件确定/的符号，得到最终结果.

【详解】设/二sina+sin/7,已知cosa+cos/二岑^

(sina+sinft)1=r=>sin2a+2sinasin/?+sin2ft=r(1)

7

55

(cosa+cosfly==—ncos~a+2cosacos/+cos/=—(2)

44

(sin2a+cos2cr)+(sin2p+cos2p)+2(cosacosp+sinasinp)=t2+—,

4

535

即：2+2cos(a-/?)=/+—,2+2x—=/2+—,

444

o3

因此：产=一,解得，=±一.

42

因为a,6为锐角，所以sina>0，sin/7>0,

故sina+sin/7>0,因此/=3.

2

故选：D

7.已知函数/(X)=G;2+以+Inx恰有两个极值点，且曲线y=/(x)与X轴相切，则a的取值范围为

()

A.

【答案】D

【解析】

【分析】求导可得，利用己知可得方程2办2+人工+1=0有两个相异正实数解，进而可得从>8a，且。〉0,

〃<0,又/(五)的极值中有一个为0,不妨设/(%)=叼一+如+m不=0,可得。=­

x\

,1一21nxi

b=--------L,进而计算可求得。的取值范围.

【详解】由题意得/'(x)=2ca+8+，=四二也上1

XX

则f(x)有两个极值点等价于关于X的方程26+加+1=()有两个相异正实数解,

△=/一8。>0

所以，可知从>8。，且。>()，b<0,

2a

—>0

曲线y=/(x)与入轴相切，则/(工)的极值中有一个为o,

不妨设/(药)=at：+历V[+InX]=0,易知2ar；+bx、+1=(),

Inx,-1,1-21nxi

所以a=-i—,b=-------L,

S>0

不

~l-21nx八

因为户>8。，4>0,〃<0,所以<-------L<0

X

(\-2\nxS80nx/1)

33

解得且In%，一,即%>e,且为工”，

2

2

令函数g(x)=I“、1，XEe©ue,+oo,则g，(x)=3231nx

/3\/3\

令g'（;v）=0,得工=1，则g（力在区间g”上单调递增，在区间/,+e上单调递减,

因为ge所以。£

综上所述，〃的取值范围为（0,£）.

故选：D.

8.棱长为〃的正方体盒子中装有半径分别为1和2的两个铁球，则。的取值范围为（）

A.a>3B,a>3+42C.^>3+73D.。之6

【答案】C

【解析】

【分析】当正方体内恰好装入的两个铁球刚好外切时，正方体的棱长〃取最小值,

作出对角线A。及球心。1，o?所在的截面，建立对角线A。与两个球的半径的等量关系式即可求解.

【详解】当正方体内恰好装入的两个铁球刚好外切时，正方体的棱长〃取最小值，

BC

设正方体为ABC。-A片CQ,球。1,。2的半径分别为4=1,与=2,

作出对角线4c及球心。1，。2所在的截面，如图所示，

丁正方体的棱长为〃，「.A。=go?=Ga，

在直角△ACA中，sinZACA=^A=-^=^,

AC03

sin^.ACA.——■——-----sinZ.ACA.———二----

co2co2aaAa

C02=2x/3,4«=近=",

T

•:\C=A。1+4+弓+CO2,

734/=5/3+1+2+273=373+3.解得a=3+V5，

即正方体的棱长。的最小值为3+百，

所以心3+百

故选：C.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的有()

A.数据2,3,5,7,11,13的第75百分位数为7,中位数为6

B.一组数据的标准差为()，则这组数据中的数值均相等

C.若随机变量,〃满足〃=2J—3,则£何)=2七(4)-3,。(〃)=4。(4)-3

D.一个医疗队有男医生36人，女医生24人，分层抽样抽取了一个5人小分队，现将这5人分配去三个医

院指导工作，每个医生去一个医院且每个医院至少有一名医生，女医生去同一个医院，共有36种分配方

式

【答案】BD

【解析】

【分析】由百分位数的定义即可得出A错误，由标准差定义判断B正确，利用数学期望与方差的性质计算

可判断C；利用分组分配法求得总的方法数判断D.

5+7

【详解】由6x75%=4.5,得第75百分位数为笫5个数，即II,中位数为=6,故A错误;

2

根据标准差定义，一组数据%,占，•，%的标准差

222

S=J—-X)+(x2-X)+---+(x„-X)=()时,

显然有为=工2==%=工，故B正确;

若随机变量4,"满足〃=2《-3,则£（〃）=E（2。-3）=2E⑷一3,Z）（〃）=Q（注-3）=4。⑷，故c错

误；

一个医疗队有男医生36人，女医生24人，分层抽样抽取了一个5人小分队，

3624

男医生5x=3人,女医生5x=2人,

36+2424+36

现将这5人分配去三个医院指导工作，每个医生去一个医院且每个医院至少有一名医生,

且女医生去同一个医院，三个医院人数可以为3,1,1,共有C；C；A；=18种分配方式；

三个医院人数可以为2,2/，共有C；C；A；=18种分配方式，

综上，共有36种分配方式，故D正确.

故选：BD.

10.设抛物线C：V=4x的焦点为R过户的直线与C交于4,8两点,若弦A8的中点为（叫2）,则

（）

A.F的坐标为（1,0）B.直线AB的斜率为1

C.|A8|=4四D.\FA\\FB\=S

【答案】ABD

【解析】

【分析】求出焦点坐标判断A；设出直线49的方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理求出,,结合抛物

线定义求解判断BCD.

【详解】对于A,抛物线C：V=4x的焦点2LO）,A正确；

对干B,设直线A8的方程为工=。+1，由产:“+1,得/一4）一4=0,设4不必）,8力,必），

17=4x

由弦A〃的中点为（九2）,得丝&=2=2,解得/=1,直线A3的斜率1=1,B正确；

2t

对于C,由选项B知，y+%=4,|人用=玉+1+9+1=()'1+1)+(%+1)+2=8,c错误:

对于D,由选项B知，y+%=4,)，跖二-4,lililtlFA||FB|=(x,+l)(x2+1)

=(凹+2)(必+2)=,必+2(y+%)+4=8,D正确.

故选：ABD

11.已知棱长为1的正四面体的四个顶点A、B、C、。均在球。的球面上，动点、P、。分别在棱8C、

CD±（不包括端点），则（）

A.-A3Q面积的最小值为也

4

B.若恰有两个点P满足OP=m,则〃?的取值范围是

C.Q到平面ABC和到平面的距离之和为定值

D.若/POQ=],则八。。。的周长不可能为J]

【答案】ACD

【解析】

【分析】将正四面体A8co补成正方体，以点。为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出点2到直线A8

距离的最小值，结合三角形的面积公式可判断A选项；求出球心到直线的距离以及。3、0C的长，结

合图形可判断B选项；利用等体积法可判断C选项；利用余弦定理结合基本不等式可判断D选项.

【详解】将正四面体ABC力补成正方体，以点。为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系,

则樽,。,孝

心领件H、。（0,0,0）,

争,。

设DQ=ADC=,其中0<4<]，则

人2=（冬-昌当’一用‘八卓昌’

所以点Q到直线AB的距离为d

=J肆-用+|洌+；-0=卜=124j4-当

I万

当且仅当a二—时，等号成立，即点Q到直线A8距离的最小值为注，

22

所以S”c=，A3•"之，xlx立二",A对；

△W2224

对于B选项，易知球心。为正方体体对角线力歹的中点，目

222

则球心。住字卦画杂印印外件等Y，

同理可知OC=",所以△06C为等腰直角三角形,

4

故怜有两个点〃满足OP=m,则4cm<0C,即〃?的取值范围是停用B错;

易知VA3C、△A3。都是边长为1的等边三角形,

设点Q到平面ABC、平面A33H勺距离分别为％、力2,

由^ABCD~%-A8C+VQ-ABD得=—XS.•%+—XS，,//=~xX(%+/),

=a[23.RC।3八B"〃D0434\iz/

解得九+九=—，C对;

-3

对于D选项，设CP=x,CQ=y,X、ye(0,1),

在中，cosZBCO=-^=—»

2OC3

所以在"CO中，由余弦定理，得。尸2=f+（手）一2》・乎•乎

8

3

同理，有0Q.=）"—y+—,

O

在ZXPCQ中，由余弦定理，得尸Q?=工2+），2-2m©0$方=工2+,，一孙,,

在直角△POQ中，PQ2=OP2^-OQ2,

,）,3,33

所以r+）广一孙=）广_y+京十广一x+§,即x+y=p+屋

__3

由基本不等式，得x+yN2j^,即+

令1=而,则解得，工！，或123（舍），

丫422

所以孙斗显然等号可以取得，

22223)

在Z\PCQ中，PQ=x+y-xy=(.v+y)-3xy=盯一3孙二

<4/4>

13

又盯工一，所以。。=——X），

44

3333

所以△PCQ周长为PQ+CP+CQ=w-封+工+）'=^一个+^+与'=一，

3

则也P。。的周长为定值5,不可能为虚，所以选项D正确，

故选：ACD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.己知复数z=a+矶。力wR）的模长回=2,则|z+3+4i|的取值范围为

【答案】[3,7]

【解析】

【分析】利用复数模的三角不等式可求得|z+3+4i|的取值范围.

【详解】因为复数2=。+矶O/GR）的模长忖=2,

由复数模的三角不等式可得|z+3+4i|〈|z|+|3+4i|=2+配不=7,

当且仅当z=5+gi时，等号成立；

|z-3+4i|>||z|-|3+4i||=|2-V32+42=3,

当且仅当2=——时，等号成立，

因此卜+3+4.的取值范围是[3,7].

故答案为：[3,7].

13.在V43c中，已知N8AC的角平分线交3c于。，AB=AD,3DC=2AC，则cos/8AO=

7

【答案】-

【解析】

【分析】设。。=2x,设A〃-4Q-y,由角平分线的性质可得8。=与，在中，由余弦定理可

求得cos/BAD.

【详解】因为NB4C的角平分线交8c于。，所以空=当，

DCAC

设DC=2x,又因为3OC=2AC,所以AC=3x,

又因AB=AD^设==则32=之，解得3。二区,

2x3x3

在△A3。中，由余弦定理可得AB2+AD2-BD27.

cosNBAD=

2ABAD9

故答案为：

A

14.已知4况。是双曲线力＞0）上不同的三点，点AB关于坐标原点对称，且

AB+AD=BD,过点A作垂直于其轴的直线分别交双曲线C,直线80于M,N两点，若

AN=4AM，则双曲线C的离心率为

【答案】2

【解析】

分析】由双曲线第三定义得3/）/切=/一］,分别找到直线AO,3。斜率计算即可

【详解】设以玉）,%）,Q（x，y）,由题意得仇一玉）,一为），M（/，一%），

—3y

21

因为AN=4AM，所以"（/，一彳%），kHD=kRN=—,

xo

又AB+AO=BO,即AB+AD=AD-AB,两边平方并整理得人8人/）=0，

即,心）=-1,所以kAD---=—,

KABNO

由双曲线第三定义得阳。"以）=$-1,

即［二^］［一2］=/一1,整理得/=4，

【不八y（J

解得e=2

故答案为：2

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知.ABC的外接圆半径为2,AABC的内角A,B,C的对边分别为。力,以且avccosB.

（1）试判断“WC的形状;

（2）若〃cosB+Z?cosA=2A/5，求一A8C周长的最大值.

【答案】（1）钝角三角形

⑵4+2石

【解析】

【分析】(1)根据余弦定理，可得/+从一。2<0,则8SC<O,故C为钝角，可得aABC为钝角三角

形.或使用正弦定理对条件进行边化角，由两角和的正弦公式可得cosC<0,从而得到△ABC为钝角三角

形；

(2)由正弦定理进行边角互化，可求得sinC,从而得。.由此可用A表示B,利用正弦定理将"表示

成,4的函数，根据正弦函数的最值，可求得〃+力的最大值，再求出c,即可得到二ABC周长的最大值.

【小问1详解】

221L

因为avccosB,由余弦定理得〃vex9■士...—,BP-c2<0.

2ac

了.h2-r2

故u0_c<0,所以cosC<（）,故。为钝角,

lab

所以△A8C为钝角三角形.

另解：因为a<ccos6,由正弦定理得sinAvsinCeos6,

因为A+4+C=7t,所以sinA=sin[n-（B+C）]=sin（B+C）<sinCeosB,

即sinBcosC+cosBsinC<sinCcosB,即sin5coscvO>

因为0<8<兀，所以sinB>0,

所以cosCvO,故。为钝角,

所以1A8c为钝角三角形.

【小问2详解】

的外接圆半径为R.

b

由题4cos8+/?cosA=2，由正弦定理=2R=4,

sinAsinBsinC

得4sin4cos8+4sinBcosA=26»即sin（A+B）=sinC=^^

由(1)知c为钝角，所以c=」.

又a+〃=4sin人+4sinB=4sinA+sinsinA+—cosA--sinA=4|-sinA+4sinlA+yI.

加H2222

因为所以工<4+巴<2,

3333

所以当4+色=色，即AJ时，sin(A+=]取得最大值1，4sinA+g取得最大值4,即a+〃的最

326I3Jk5)

大值为4.

又。=2RsinC=4x^-=2>/L

2

所以,ABC的周长a+8+。的最大值为4+.

16.记数列｛〃〃｝的前〃项和为S“已知3a“=2s”+1.

（1）求｛4｝的通项公式；

⑵设"”=（〃「露一），记数列｛〃｝的前〃项和为若Tn<t<Snf求，的取值范

围.

，,",

【答案】⑴cin=3

⑵加

【解析】

【分析】（1）利用a“,S”的关系，可求数列｛/｝的通项公式；

（2）由（1）可得a利用裂项相消法可求力,，利用等比数列的前〃项和公式可求

2—13—1）

得S”，可求/的取值范围.

【小问I详解】

因为3q=2S[+1=2q+1,所以q=1,

当〃N2时，3a“_]=2sl+1，所以3%—3《一=2an,即an=3a小，

则｛4｝是首项为1，公比为3的等比数列，

所以｛4｝的通项公式为%=3"，

【小问2详解】

由（1）可得仇=°”—1）（3'川—1）=/（3"一]一3向一J'

1X(13")=3〃L、3T

因

4=223M+,-1

所以/的取值范围为.

[4）

17.如图，在三棱锥P—A8C中，二PAB与△PBC均为等边三角形,平面PAC_L平面ABC,D是PC

的中点，E是08上的动点.

B

（1）证明：AB±BC；

（2）若直线入。与平面ACE所成角的正弦值为正，求平面八"与平面人AC夹角的余弦值.

10

【答案】（1）证明见解析

(2)也

2

【解析】

【分析】（1）取AC中点。，连接尸O,BO,由题意可得PO_L8O,进而计算AC=J^BC，利用勾股

定理可证A5J_8C；

（2）以。为原点，分别以。8,OC,OP所在直线为x轴，『轴，z轴建立空间直角坐标系，不妨设AC=4,

设=求得平面4CE的一个法向量与直线的方向向量，利用已知可求得义的值，

进而利用向量法可求得平面ACE与平面ABC夹角的余弦值.

【小问1详解】

・.与△P8C均为等边三角形，

：.PA=PB=AB=PC=BC,

取AC中点O,连接PO,BO,则有PO_LAC,BOA.AC,

••,平面B4C_L平面ABC,POu平面B4C,BOu平面ABC,

平面尸AC门平面ABC=AC,PO,BO=O,;.PO_LBO,

•44=84,PC=BC,AC=AC,:ZACdBAC，：.PO=BO,

在Rt£J'O3中，有尸0=30=也尸6,

2

在Rt^BCO中，有OC=dBC2-OB2=皿2_932="PB,

AC=2OC=>/2PB=>/2BC，

在V48C中，可得AC?=432+3。2,,\AB1BC.

由（I）可知PO_LAC,BO1AC,PO工BO,

・••如图所示，以O为原点，分别以06,OC,O尸所在直线为.1轴，y轴，Z轴建立空间直角坐标系，不

.•.4(0,-2,0),5(2,0,0),0(020),*0,0,2),£)(0,1,1),

则40=(0,3,1),48=(220),AC=(0,4,0),BP=(-20,2),

设跖=4BP(0W/lWl),.・.OE=OB+8E=08+480=(2—240,24),

\n}-AC=4y1=0,

设平面AC石的一个法向量为仆=(.y,zj,贝ij"'

[qOE=(2-2A)X]+24Z]=0,

令±二/l,则〃]=(40,/l—1),设直线AD与平面ACE的夹角为。，

AZ>川—|2-1|V5

贝ijsin«=cosAD,4

叫•匐Vio^22+(A-1)210

解得2=7,/.马,易得平面A3C的一个法向量为々=((),0,1%

2

x/2

设平面ACE与平面ABC的夹角为0,.'.cos。=cos%%

WMI2

二.平面ACE与平面A3C的夹角的余弦值为它.

2

18.在直角坐标系宜万中，点尸(-1,0),动点户在直线1=5的左侧，且到直线x=5的距离恒为

1()-^|PF|,记P的轨迹为C.

(1)求C的方程；

(2)设不经过尸的直线/的方程为>=代+机(4>0),已知/交C于M,N两点，且

(|A/F|-75)2+(|NF|一班y的值与m的值无关.

(i)求K的值；

3)是否存在实数小，使得NFMN=2/FNM?若存在,求〃，的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)工+目=1

54

(2)(i)k=^~(ii)不存在，理由见解析

5

【解析】

【分析】(1)设动点P(xy),根据题意列出距离等式，整理后平方化简得到椭圆标准方程；

(2)⑴用椭圆左焦半径公式简化|M/|加|,将目标式转化为4+E的形式;联立直线与椭圆方程，用韦

达定理表示x：+¥，令机的系数为0,结合k>0求解队

(ii)利用角度关系结合三角恒等变换、正弦定理，推导出与Nq的数量关系，结合韦达定理求出M,N

的坐标，验证直线是否经过凡判断是否存在符合条件的机

【小问1详解】

设P(x,)»(x<5),由已知，得5-小=10-Bj(x+1『+y2,

所以J(x+1『+V=浣,两边平方，化简得C的方程为弓+q=1.

【小问2详解】

（i）设A/（N，y）,刈孙％），由⑴可知"|=6+去，|N川=6+金,

所以/卜可+（|阳一司=：（1+引,

ry=kx+m,

2

由<寸y得（4+522）%2十］0kzlt+（5〃?2-2。）=。,

、〈+彳一，

所以△=100尸〃P一4x(4+542)(5/zz2-20)=80(5Z:2-/n2+4)>0,

10km5nr-20

且…2=一五灵‘卬"4+5产

(50公—40)/+40(4+5公)

因此#=(x+x)"-2xx

12t2(4+542/

因为X；+E的值与〃?无关，所以50k2—40=0,解得左=（（此时X：+¥=5）.

(ii)若存在实数机符合题设，KisinZFNM=sin(ZFMN-AFNM),

所以Sn/FNMZn4MFN=sE(/FMN-/FNM)sin(/FMN+/FNM),

因为sin(6Z+y^)sin(6r-/?)=sin2tzcos24一sin2尸cos2a=sin2<2-sin20,

所以sin4FNM-sin/MFN=sin2ZFMN-sin2NFNM，

在f.EWN中，由正弦定理，得的「=-阿肝=（加用一眼/D（|N/㈤MrD，

易知|NF|—|MF|>0,且|N尸|一阿尸|=^—小—石）,所以w-x>。，

2

所以|MN|=\J\+k|x)-x2|=^^-(x2-xj>

所以|M?V|=3(|N尸|一|MrI),所以3|MF|=|NF|+|MF|,即2M=|阴,

所以2(5+玉)=5+%，即5+2%=尢2，

由(1)可知x：+x；=5,所以N=-2,x2=1,

262A/5

故M-2-,N,从而/的方程为)，=x+，

5-----5

显然这与/不经过产(-1,0)矛盾，所以不存在符合题设的实数利

19.已知函数/(x)=lnx,g(x)=@,xe(0,+co),且4*0.

X

(1)讨论函数力(%)=/(同一g㈤的单调性;

(2)若曲线y=/(x)和)，=晨力存在公切线，求〃的取值范围；

(3)若存在相异实数〃?，〃，使得/(m)=g(〃)，且/(〃)=晨m)，求〃的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

⑵4°)

(3)(e,+oo)

【解析】

【分析】(1)通过求导，根据。的取值分类讨论导函数的符号，即得原函数的单调性;

(2)利用导数的几何意义分别求出曲线y=/("在点(A)/nx°)处的切线方程与曲线y=g(x)在点

1a

玉）玉

x„-处的切线方程，由题意得・消去为，得后(卜面-1)二-2。，利用求导求得

X

JI[n—11=—2a

王

尸(x)=6(lnx-l)的最小值一2,5，即得一

(3)依题意将问题转化成函数0(x)=e'(lna-lnx)-。至少有两个零点，利用导数判断函数的单调性,

结合零点存在定理分类讨论函数的零点情况即得参数范围.

【小问1详解】

因力(力=/(x)-^(x)=lnx--,XG(O,-HX)),

X

1ax+a

W=—