重庆市綦江区2025-2026学年高二数学下学期第一次诊断考试试题【含答案】

注意事项1.答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考号填写在答题卡指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡指定位置上.写在本试题上无效.3.考试结束后，将本试题和答题卡一并收回.一、单项选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列求导运算中，不正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】结合导数的基本运算直接判断即可.【详解】选项A：，故A正确；选项B：，故B错误；选项C：，故C正确；选项D：，故D正确.2.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有A.144个 B.120个 C.96个 D.72个【答案】B【解析】【详解】试题分析：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；进而对首位数字分2种情况讨论，①首位数字为5时，②首位数字为4时，每种情况下分析首位、末位数字的情况，再安排剩余的三个位置，由分步计数原理可得其情况数目，进而由分类加法原理，计算可得答案．解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；分两种情况讨论：①首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有3×24=72个，②首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有2×24=48个，共有72+48=120个．故选B考点：排列、组合及简单计数问题．3.已知函数，则的值为（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先对函数求导，再求，进而可得所求函数值.【详解】函数，所以，，解得，，所以.4.一个三口之家和一对夫妇共计5人前往电影院观看电影,核心观影区现在还剩余一排7个相连的座位.要求同一家庭的座位必须相连，且两个家庭中间至少间隔一个座位，则符合要求的排座方式一共有（）A.48种 B.72种 C.144种 D.216种【答案】B【解析】【详解】三口之家三人全排列有种不同的排法，一对夫妇有种不同的排法，若两个家庭之间有1个空位的排法有；若两个家庭之间有2个空位的排法有；所以符合要求的排座方式一共有种.5.函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】确定函数定义域，判断函数奇偶性，即可判断B；当时，，利用导数判断此时函数的单调性，即可判断A，C，D，即得答案．【详解】函数的定义域为，设，则，故为偶函数，其图象关于轴对称，则B中图象错误；又当时，，由，得，由，得，故在上单调递减，在上单调递增，故A、C错误，故选D.6.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天员开展实验，设事件“有4名航天员在天和核心舱”，事件“甲乙二人在天和核心舱”，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由条件概率公式、古典概型概率公式求解即可.【详解】.7.展开式中的系数为（）A.68 B.－80 C.－68 D.80【答案】C【解析】【详解】表示5个相乘，每个在相乘时均有三种选择，选或或．设选的有个，选的有个，那么选的有个，则有，解得或或，即选5个；或者选1个、3个、1个；或者选2个、1个、2个；因此含项的系数为.8.设函数的定义域为，其导函数为，且满足，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】构造函数，利用导数判断出的单调性，由此求得不等式的解集.【详解】设，，即，，在上单调递减，又，不等式，即，，原不等式的解集为.故选：D【点睛】有关函数及其导数有关的不等式问题，求解方法是通过构造函数法，利用导数研究所构造函数的单调性、极值和最值等进行研究，由此对问题进行求解.二、多项选择题.本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分.9.将7个小球放入3个盒子中，下列说法正确的有（）A.若小球相同、盒子不同，每个盒子至少1个球，放法为15B.若小球相同、盒子不同，允许空盒，放法为21C.若小球不同、盒子相同，每个盒子至少1个球，放法为301D.若小球相同、盒子不同，恰1盒2球其余至少1球，放法为15【答案】AC【解析】【分析】根据题意，利用隔板法，可判定A正确；根据分类计数原理，可判定B错误；根据先分组，后放入的方法，可判定C正确；先分组，再分盒子的方法，可判断D错误.【详解】对于A，将7个小球分为3组，由隔板法可得不同的放法有种，所以A正确；对于B，若有两个空盒子，即把7个球放入一个盒子中，有种放法；若有一个空盒子，即把7个小球放入两个盒子中，有C32若没有空盒子，即把7个小球放入三个盒子中，有种放法，由分类计数原理，共有3+18+15=36种不同的放法，所以B错误；对于C，把7个小球分为3组，其中分法有：，，，，因为盒子相同，共有种放法，所以C正确；对于D，若小球相同、盒子不同，恰1盒2球其余至少1球，（即只有1个盒子为2球），其余两个盒子至少1个球且不能为2个球，先选放2个球的盒子，有选法，剩余的两个盒子共5个球，均不为2的放法有，有2种方法，由分类计数原理，共有种放法，所以D错误.10.已知，则下列结论正确的有（）A.B.C.D.中，与最大【答案】ACD【解析】【分析】令可得，根据二项式定理确定展开式中的表达式，根据二项式系数的性质逐项判断即可得结论.【详解】对于A，令可得，故A正确；对于B，令可得，所以，设展开式的通项为，取，可得，所以，故B错误；对于C，令可得①，令可得②，由①②可得，故C正确；对于D，由选项B可知，，若最大，则所以，，解得，则，故或，又，所以中，与最大，故D正确.故选：ACD.11.已知三次函数，，，下列结论正确的有（）A.当时，B.当时，的单调递增区间为C.当，时，存在实数使得点是曲线的对称中心D.当时，恒成立，则的取值范围为【答案】ACD【解析】【分析】根据导数的定义及求导公式计算可判断A，利用导数求函数的单调区间判断B，根据对称中心满足的定义求判断C，转化为恒成立问题，利用导数求最值判断D.【详解】对于选项A，当时，，根据导数的定义，又，代入得，故A正确；对于选项B，当时，．令，解得或，即单调递增区间为和，而是单调递减区间，故B错误；对于选项C，当，时，，若点是曲线的对称中心，则，即恒成立，所以，解得，即存在实数满足条件，故C正确；对于选项D，当时，，需对恒成立，即对恒成立，设，求导得．令得，即．当时，，单调递增；当时，，单调递减．故的最大值为，因此，即的取值范围为，故D正确．三、填空题.本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知展开式所有二项式系数和为256，则第4项系数为________________.【答案】【解析】【分析】根据题意，令，求得，结合展开式的通项，即可求解.【详解】因为展开式所有二项式系数和为256，可得，可得，则二项式展开式的第4项为，所以第4项的系数为.13.用4种颜色为“爱国、敬业、诚信、友善”涂色，相邻不同色，共有______种.【答案】【解析】【分析】根据题意，可分四种颜色、三种颜色和两种颜色，分类讨论，结合组合数公式和计数原理，即可求解.【详解】根据题意，若用四种颜色时，有种涂法；若用三种颜色时，则“爱国，诚信”或“爱国，友善”或“敬业，友善”中有一个时同色，先选三种颜色种选法，再从上述中选一个同色的有，根据分步计数原理，有种涂法；若用两种颜色时，则“爱国，诚信”同色，“敬业，友善”同色，先选两种颜色种选法，有种涂法，由分类计数原理，共有种不同的涂法.14.已知，，存在使，则a的范围是________.【答案】【解析】【分析】求得，得到函数的单调性，分和，两种情况讨论，求得函数的最小值，列出不等式，即可求解.【详解】由函数，其定义域为，且，当时，，单调递减；当时，，单调递增，若，则函数在上单调递减，所以，因为存在使，即，即，可得，又因为，可得，所以原不等式无解；若，则函数在上单调递减，在上单调递增，所以，因为存在使，即，可得，又因为，可得，解得，综上可得，实数的取值范围为.四、解答题.本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的极值.【答案】（1）（2）函数的极小值为，无极大值.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义可求得曲线在点处的斜率，从而求得该处的切线方程；（2）利用导数研究函数的单调性，得到极值点，求得极值.【小问1详解】的定义域为，，所以.所以曲线在点处的切线方程为，即【小问2详解】函数的定义域为，.当时，；当时，.所以函数在上单调递减，在上单调递增.所以函数在处取得极小值，极小值为.所以函数的极小值为，无极大值.16.中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程．（1）若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的所有排法种数；（2）现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙仅有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数；（3）计划安排A、B、C三名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，求所有课程安排的种数．【答案】（1）480（2）360（3）540【解析】【分析】（1）采用插空法，先排其余四科，再插空；（2）特殊的先排，再用分步乘法；（3）先分组后分配.【小问1详解】第一步，先将另外四门课排好，有种情况；第二步，将“京剧”和“剪纸”课程分别插入5个空隙中，有种情况；所以“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的排法有种；【小问2详解】第一步，先将甲和乙的不同课程排好，有种情况；第二步，将甲和乙的相同课程排好，有种情况；第三步，因为丙和甲、乙的课程都不同，所以丙的排法种情况；因此，所有选课种数为.【小问3详解】①将6个科目分成1、1、4三组，然后分给三名教师：种情况；②将6个科目分成1、2、3三组，然后分给三名教师：种情况；③将6个科目分成2、2、2三组，然后分给三名教师：种情况；综上，所有的课程安排共有种情况.17.已知展开式共有11项.（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值.【答案】（1）0（2）（3）0【解析】【分析】（1）令得到所有项系数和，再令得到的值，两者作差即可得到值；（2）先分析原二项式展开式系数的正负性，再通过赋值法，将原二项式中的负号转化为正号后令，从而得到值；（3）利用赋值法，令取特定值，代入原二项式展开式直接得到值.【小问1详解】二项式展开式的项数为，由题知展开式共11项，因此，得，令，得，即，令，代入等式得：，因此；【小问2详解】展开式中，系数的符号由决定，即对应将原式中换为后的系数，等价于令代入原式：计算得，因此结果为；【小问3详解】令，代入等式得，左边等于，因此结果为.18.已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直．（1）求b；（2）讨论函数的单调性；（3）若函数在上单调递减，求a的取值范围．【答案】（1）（2）答案见解析（3）【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，结合直线垂直斜率之积为求解即可；（2）求导分与的大小关系讨论即可；（3）由题意在上恒成立，再根据函数的性质求解即可.【小问1详解】，故，又斜率为1，故，解得.【小问2详解】因为，故，则，当时，，故在上，，单调递增；在上，，单调递减；当时，令有，，且，故在上，，单调递减；在上，，单调递增；在上，，单调递减.当时，，在单调递减；当时，在上，，单调递减；在上，，单调递增；在上，，单调递减.【小问3详解】，由题意在上恒成立，即在上恒成立，因为，故，即.所以a的取值范围为.19.已知函数，．（1）当时，求在区间上的最大值与最小值；（2）讨论的零点个数；（3）若函数有三个不同的极值点，，，且满足，求的取值范围．【答案】（1）最大值为，最小值为1（2）当时，无零点，当或时，有1个零点，当时，有2个零点.（3）【解析】【分析】（1）根据导数求出的单调性，再结合单调性求最值即可；（2）根据将其转化为，令，通过导函数研究图象性质，即可根据与图象的交点个数确定的零点个数；（3）根据分情况讨论，由解得，或，由题意，结合的图象求出a的取值范围，分析得出，，据此将题中的转化为a的函数，再结合导数求解单调性即可求出a的范围．【小问1详解】当时，，，当时，，所以在上单调递增，所以，．【小问2详解】令，得，即，令，则的零点个数等价于直线与函数的图象的交点个数，，令，得，当时，，则，所以在上单调递增；当时，，则，所以在上单调递减，所以，又当时，