2026年高考数学终极冲刺：秘籍07立体几何的折叠与新定义问题（原卷版）

4/4秘籍07立体几何的折叠与新定义问题题型考情分析考向预测1.空间几何体折叠后线面、面面垂直证明2025年新高考Ⅰ卷第17题2025年新高考Ⅱ卷第17题2024年新高考Ⅰ卷第17题2024年新高考Ⅱ卷第17题2023年新高考Ⅰ卷第18题2023年新高考Ⅱ卷第17题命题趋向综合化，折叠问题将与截面、轨迹、存在性问题融合，展开问题会结合函数最值分析，跨考点联动增强。动态化考查成为热点，会涉及翻折过程中角度、线段长度的取值范围，或展开图中动点路径的最值变化。应用性有所提升，可能结合包装盒设计、表面巡检路径等实际场景，但核心仍是平面与空间的转化。对空间想象能力要求提高，减少直观图依赖，需通过文字描述还原图形转化过程。2.空间几何体折叠角度问题3.空间几何体折叠距离问题4.空间几何体折叠外接球问题5.空间几何体折叠存在性问题6.折叠中的最值问题（线段长度、体积、角度最值）7.空间几何体创新综合问题8.空间几何体新定义问题题型1空间几何体折叠后线面、面面垂直证明先明确折叠前后不变的垂直关系（如等腰三角形底边上的中线、正方形的对角线垂直），再利用面面垂直的性质定理（折叠后若两平面垂直，一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一平面），结合线面垂直判定定理完成证明；关键是锁定“交线”和“不变的垂直线段”。【例1】已知梯形中，，为上的一点且，，，将沿翻折使得二面角的平面角为，连接、，为棱的中点.(1)求证：平面；(2)当时，求直线和平面所成角的正弦值.【变式1-1】如图，等腰直角三角形ABC中，，点E是边AC的中点，点D是边BC上一点（不与C重合），将三角形DCE沿DE逆时针翻折，点C的对应点是，连接，设为二面角大小，．在翻折过程中，下列说法当中不正确的是（

）A．存在点D和，使得 B．存在点D和，使得C．存在点D和，使得 D．存在点D和，使得题型2空间几何体折叠角度问题画图对比：画出折叠前后的图形，标出折痕。确定不变量：找出与问题相关的不变的边长、平面角等。选择方法：若涉及斜线与平面内直线的夹角，优先考虑折叠角公式。若涉及线线垂直的判断，尝试使用三垂线定理。若以上方法不适用，则建立空间直角坐标系，使用向量法进行计算。通过综合运用这些技巧，可以更高效、准确地解决空间几何折叠中的角度问题【例2】如图①所示，矩形中，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，得到图②的四棱锥为中点．(1)求证：平面；(2)若平面平面，求直线与平面所成角的大小；(3)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值．【变式2-1】如图所示，在等腰直角中，，点､分别为的中点，将沿翻折到位置.(1)证明：平面(2)若，，求平面与平面夹角的余弦值.【变式2-2】如图，在矩形中，，，，分别是，的中点，点，分别是对角线，上的动点（不包括端点），且，将四边形沿翻折，使平面平面.(1)求证：平面；(2)求线段的长（用表示）；(3)当线段的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值.题型3空间几何体折叠距离问题技巧一点到点距离：通常是求某条线段的长度。利用折叠前后线段长度不变，在折叠后的图形中直接计算或通过解三角形求解。点到线距离：如果点和线在折叠后仍在同一平面内（如同在底面），则距离不变，可在原平面图中求解。点到面距离：这是难点。折叠后，若点不在面上，则需通过几何法或向量法求解。技巧二：几何法——等体积法（间接法）利用三棱锥的体积公式。同一个三棱锥，选择不同的面作为底面，其体积是不变的。技巧三：向量法——坐标运算（通法）当几何关系复杂或不易找到垂足时，建立空间直角坐标系是解决距离问题的“万能钥匙”。建系：根据折叠后的几何体特征，寻找三条两两垂直的直线作为坐标轴，建立空间直角坐标系。点到点距离：直接利用空间两点间距离公式。点到直线距离：利用向量在直线方向向量上的投影，结合勾股定理求解。点到平面距离：设平面的法向量为n，平面上一点为A，所求点为B，则距离技巧四：展开法——化折为直（针对最短路径）当问题涉及几何体表面上两点间的最短路径（如蚂蚁爬行问题）时，需将空间问题平面化。核心思想：将几何体（如圆柱、圆锥、棱柱等）的表面按一定规则展开成平面图形。【例3】如图1，在中，，，为的中点，现将及其内部以边为轴进行旋转，得到如图2所示的新的几何体，点为点在旋转过程中形成的圆的圆心，点为圆上任意一点.(1)求新的几何体的体积；(2)记与底面所成角为，求的取值范围；(3)当时，求点到平面的距离.【变式3-1】如图，在平行四边形ABCD中，，，E为CD的中点，沿AE将翻折至的位置得到四棱锥，且.若F为棱PB的中点，则点F到平面PCE的距离为（

）A． B． C． D．【变式3-2】如图，四边形中，，，为中点，点在上，，.将四边形沿翻折至四边形.

(1)证明：平面平面；(2)若，求点到平面的距离.题型4空间几何体折叠外接球问题折叠问题抓不变棱长、垂直关系，折叠前后边长、角度不变。找外接球核心定球心、半径：棱锥有两两垂直棱，补成长方体，体对角线为外接球直径；直角三角形斜边中点是外心，棱锥顶点投影底面外心，垂线交点即球心。等腰、正棱柱直接找上下底面中心垂线。球面距离、表面积体积依托半径计算，牢记共球点到球心距离相等，折叠后垂直结构优先补形，快速求解外接球半径。先确定折叠后几何体的外接球球心（通常在过底面外接圆圆心且垂直于底面的直线上）；利用折叠前后不变的外接圆半径、二面角大小计算球心到各顶点的距离（即球半径）；若折叠后出现两两垂直的线段，可将几何体补成长方体，长方体的外接球即为几何体的外接球。【例4】(多选题)如图，在矩形中，为中点，现分别沿将，翻折，使点重合，记为点，翻折后得到三棱锥，则（

）A．B．三棱锥的体积为C．二面角的余弦值为D．三棱锥外接球的半径为【变式4-1】如图，矩形中，分别为的中点．现将沿翻折，得到三棱锥，则在翻折的过程中，下列说法正确的是（

）

A．三棱锥体积的最大值为8B．存在某个位置使C．三棱锥外接球半径为3D．直线被三棱锥外接球截得的线段长的取值范围为【变式4-2】如图，平面四边形中，点是线段上一点，，，沿着将折叠得到四棱锥．(1)求证：平面平面．(2)若，且，，折叠后．①求平面与平面夹角的余弦值的最大值．②若三棱锥的四个顶点均在以为球心的球上，试问三棱锥的外接球的体积是否存在最小值？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由．题型5空间几何体折叠存在性问题空间折叠问题的存在性问题，核心是判断空间几何体经过折叠后能否形成符合特定条件的立体图形，其本质是分析折叠前后点、线、面的位置关系变化。以下是解决这类问题的关键技巧，结合几何性质和逻辑推理展开：一、核心原理：折叠前后的不变量与变量解决空间折叠问题的基础是明确折叠过程中哪些几何关系保持不变，哪些会发生改变：不变量折叠前位于同一平面内的线段长度不变（如原平面图形中两点间的距离）。折叠前共线的点折叠后仍共线（如折痕上的点位置不变）。折叠前垂直或平行的线段，若折叠后仍在同一平面内，则垂直/平行关系不变。变量折叠后不同平面内的线段夹角会改变（如原平面中相交的两条线段，折叠后可能异面）。折叠后点到平面的距离会变化（如原平面图形中某点到折痕的距离可能成为立体图形的高）。二、存在性问题的常见类型与技巧1.折叠后点共面/共线的判断技巧：利用“三点共面”或“线面垂直”性质2.折叠后线面垂直/平行的判断技巧：转化为“线线垂直/平行”的验证线面垂直：若折叠后某直线与平面内两条相交直线都垂直，则线面垂直（如折叠后某线段垂直于折痕，且垂直于平面内另一条线段）。线面平行：若折叠后某直线与平面内一条直线平行，且直线不在平面内，则线面平行（如原平面中平行于折痕的线段，折叠后仍平行于折痕所在平面）。3.折叠后几何体体积/表面积的最值判断技巧：利用“高的最大值”或“角度范围”4.折叠后异面直线夹角的判断技巧：通过“平移法”或“向量法”计算夹角范围三、通用解题步骤画示意图：将原平面图形和折叠后的立体图形分别画出，标注关键点（如折痕、固定点）。列不变量：列出折叠前后长度、角度不变的线段或关系（如折痕长度不变，原平面中垂直的线段若在同一平面则仍垂直）。假设存在：假设问题中的条件成立（如“存在某点使得线面垂直”），推导所需满足的等式或不等式。验证条件：判断推导结果是否与几何性质矛盾（如是否满足三角形三边关系、角度范围等）。得出结论：若推导无矛盾，则存在；否则不存在。四、易错点提醒忽略折叠后点的位置范围：如折叠后某点不能超出几何体的边界（如正方形折叠后顶点不能穿过对面）。混淆“折叠方向”：折叠可沿折痕向不同方向进行（如向上或向下），需考虑两种情况。忘记“折痕是对称轴”：折叠后折痕两侧的图形关于折痕对称，可利用对称性简化计算。【例5】如图①所示，四边形是直角梯形，，，且，为线段的中点.现沿着将折起，使点到达点，如图②所示；连接、，其中为线段的中点.(1)求证：；(2)若二面角的大小为，则在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正切值为？若存在，求三棱锥的体积；若不存在，请说明理由.【变式5-1】如图，等边三角形ABC的边长为，，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角．(1)求直线与平面所成角的正弦值；(2)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由．【变式5-2】已知等腰梯形如图1所示，其中，，点在线段上，且，现沿进行翻折，使得平面平面，点在线段上（含端点位置），是线段上的动点，所得图形如图2所示．(1)若，求的值；(2)在（1）的条件下，点、、、均在球的球面上，是否存在点使得在平面上，若存在求出的值，若不存在，说明理由．题型6空间几何体折叠中的最值问题（线段长度、体积、角度最值）空间折叠紧抓线段长度、垂直关系不变，平面位置发生旋转变化。线段最值：利用两点之间线段最短、点到直线距离垂线段最短，把翻折线段归为圆轨迹模型，动点绕定轴旋转，转化平面几何求解。体积最值：底面积固定时，高越大体积越大；找准点到面距离最值，依靠面面垂直、点面距离公式分析。线线、线面角最值：翻折后角度随二面角变化，二面角取0°或180°临界位置。通用思路：定轴定长、轨迹圆化，二面角临界分析，立体转平面，抓垂直、边长不变量求解极值。最值化为函数最值，结合函数性质求解。【例6】如图1，在等腰直角三角形中，，、、分别在线段、、上，且，．已知，，沿将折起，使得平面平面，如图2．(1)求证：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)点在线段上，设直线与直线所成角为，求的最大值．【变式6-1】(多选题)如图，矩形中，分别为的中点．现将沿翻折，得到三棱锥，则在翻折的过程中，下列说法正确的是（

）

A．三棱锥体积的最大值为8B．存在某个位置使C．三棱锥外接球半径为3D．直线被三棱锥外接球截得的线段长的取值范围为【变式6-2】(多选题)如图1所示，在四边形中，，，.如图2所示，把沿边折起，使点不在平面内，连接.则下列选项正确的是（

）A．当平面平面时，点到平面的距离为B．异面直线与所成角的取值范围为C．、分别为、的中点，在翻折的过程中，存在某个位置，使得D．三棱锥的外接球的表面积的最小值为题型7空间几何体创新综合题型高考立体几何创新综合题解题核心策略：先抓几何特征，建系与几何法双管齐下。审题先定位线面、面面位置关系，挖掘垂直、平行等隐含条件。几何法优先用判定定理、性质定理推导，善用中位线、勾股定理简化推理；建系法快速建立空间直角坐标系，精准计算法向量、夹角与距离。注重转化思想，将空间角、距离问题转化为向量运算或平面几何问题。规范步骤，定理依据清晰，计算精准，避开易错点。遇到复杂设问，拆解为基础模型，分步突破，确保逻辑闭环、结果准确。【例7】已知四面体，，，，，为的三等分点（靠近），为的中点，过点的动平面交射线，，于，，．

(1)如图，当时，①求的长；②空间中一动点，定义．当四面体的体积最小时，是否存在点，使得？并说明理由；(2)当时，记四面体内切球的半径为，求的最大值．【变式7-1】已知正方体的棱长为，对角线的中点为，动点在平面内，且点到平面的距离等于.(1)求四棱锥体积的最小值；(2)记点的轨迹为曲线，点，，是曲线上不同三点.（i）若平面与轨迹相交于两点，求线段的长；（ii）若点在点上方，且，，与平面所成角相等，平面过且与平行，判断平面与平面的夹角是否为定值，若是定值，求出这个夹角的余弦值；若不是定值，请说明理由.【变式7-2】已知平面，垂足为，直线，是内的动点，且始终在的两侧．(1)若，证明：是锐角三角形；(2)若，是线段上靠近的三等分点，．（i）证明：二面角为锐角；（ii）直线与所成的角分别为，记．若平面，且不是任何一个长方体的截面，求的最小值．题型8空间几何体中新定义问题精准理解新定义拆解定义内涵：将新定义中的关键词（如“垂棱四面体”“球面三角形总曲率”）转化为几何条件，明确其与已知概念的联系。文档中“球面三角形面积公式”需结合二面角与球半径理解标注关键公式：对新定义中涉及的公式（如混合积、球面曲率公式），需先确认参数含义（如法向量、二面角）转化为熟悉模型类比迁移：将新定义问题与学过的几何体（如长方体、正四面体）对比，寻找共性。例如，“垂棱四面体”可补形为长方体，利用长方体性质简化计算建系量化：对涉及空间位置关系的新定义（如“内棱垂直”），通过建立空间直角坐标系，用向量法表示位置关系和度量关系推理与验证逻辑推导：根据新定义列出数学表达式，结合几何公理（如线面垂直判定定理）推导结论。例如，用混合积判断异面直线时，需计算三阶行列式验证结果是否为零特例验证：对抽象新定义，可代入特殊值（如正三棱锥、单位球）验证结论正确性，排除错误理解【例8】球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图1，球O的半径为R，A，B，C为球面上三点，曲面ABC（阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角C-OA-B，A-OB-C，B-OC-A分别为，，，则球面三角形ABC的面积为.

(1)若平面OAB，平面OAC，平面OBC两两垂直，求球面三角形ABC的面积；(2)将图1中四面体OABC截出得到图2，若平面三角形ABC为直角三角形，，延长AO与球O交于点D，连接BD，CD.（ⅰ）证明：；（ⅱ）若直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为，，且，，S为AC的中点，T为BC的中点，设平面OBC与平面EST的夹角为，求的最小值.【变式8-1】高斯-博内公式是大范围微分几何学的一个经典的公式，是关于曲面的图形（由曲率表征）和拓扑（由欧拉示性数表征）间联系的一项重要表述，建立了空间的局部性质和整体性质之间的联系.其特例是球面三角形总曲率与球面三角形内角和满足：，其中为常数，如图，把球面上的三个点用三个大圆（以球心为半径的圆）的圆弧联结起来，所围成的图形叫做球面三角形，每个大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一个角.球面三角形的总曲率等于，为球面三角形面积，为球的半径.(1)若单位球面有一个球面三角形，三条边长均为，求此球面三角形内角和；(2)求的值；(3)把多面体的任何一个面伸展成平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多面体.设凸多面体顶点数为，棱数为，面数为，试证明凸多面体欧拉示性数为定值，并求出.【变式8-2】我们规定：在四面体中，取其异面的两条棱的中点连线称为的一条“内棱”，三条内棱两两垂直的四面体称为“垂棱四面体”.

(1)如左图，在四面体中，分别为所在棱的中点，证明：的三条内棱交于一点.(2)同左图，若为垂棱四面体，，求直线与平面所成角的正弦值.(3)如右图，在空间直角坐标系中，平面内有椭圆，为其下焦点，经过的直线与交于两点，为平面下方一点，若为垂棱四面体，则其外接球表面积是的函数，求的定义域与最小值.1.（甘肃省2026届高三第一次模拟考试）如图（1），正方形ABCD的边长为4,E,F分别是边AB,BC的中点，将△ADE，△EBF,△DCF分别沿DE,EF,FD折起，使得A,B,C三点重合于点O'得到图（2）.(1)证明：O'(2)三棱锥O'−DEF的外接球的球心为O，求平面ODE与平面2.（湖北宜昌市2026届高三下学期3月调研）如图1，在边长为2的正方形ABCD中，E、F分别为线段BC、AD的中点，现将四边形CDFE折起至MNFE，得到三棱柱AFN−BEM，如图2所示，记二面角M−EF−A的平面角为θ．(1)若θ=π2时，求三棱柱(2)若P为线段EF上一点，满足AP⊥BP，求直线AP与平面NBE所成角的正弦值的取值范围．3.（河南省郑州市2026届高三上学期第一次质量预测）如图，在矩形中，，，，分别是，的中点，点，分别是对角线，上的动点（不包括端点），且，将四边形沿翻折，使平面平面.(1)求证：平面；(2)求线段的长（用表示）；(3)当线段的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值.4.（湖南名校大联盟2026届高三月考卷）在直角梯形中，，，，如图（1）．把沿翻折，使得平面平面．

(1)求证：；(2)在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．5.（安徽江南十校2026届高三3月联考）已知梯形，现沿对角线翻折，如图，分别为线段的中点.(1)证明：；(2)当折成直二面角时，求线段的长度；(3)当时，求平面与平面夹角的余弦值.6.（湖北省部分市州2026届高三上学期1月联考）如图，在平面四边形中，，，将沿翻折至，其中P为动点.

(1)证明：；(2)求二面角余弦值的最小值.7．（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，在三棱锥中，，，，，，，点，分别是棱，上的点，且直线平面.(1)求的长；(2)求三棱锥的体积；(3)求直线与平面所成角的正弦值.8．（2026·四川绵阳·二模）如图1，直三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，且.图2所示的多面体，可视为将图1中的在其平面内绕其中心逆时针旋转后，记为，并重新连接，，，，，得到.(1)如图2，证明：，，，四点共