2026年高考数学终极冲刺：培优专题02 数列及其应用 4大重难题型（大题专练）（原卷版）

6/18培优专题02数列及其应用4大重难题型💎💎题型01数列的通项公式问题命题方向一定义法求数列的通项公式命题方向二退位法求数列的通项公式命题方向三累加法求数列的通项公式命题方向四累乘法求数列的通项公式命题方向五构造求数列的通项公式💎题型02数列的前n项和问题命题方向一分组求和法求数列的前项和命题方向二裂项相消法求数列的前项和命题方向三错位相减法求数列的前项和💎题型03数列与不等式的综合应用命题方向一数列与不等式的证明命题方向二数列与不等式的恒成立或能成立问题💎题型04数列与其他模块知识的创新交汇问题命题方向一数列与集合的融合创新命题方向二数列与复数的交汇问题命题方向三数列与三角的交汇问题命题方向四数列与概率统计交汇问题命题方向五数列与函数、导数的交汇问题题型01数列的通项公式问题抓关键·破难点一、退位相减法：◎适用于递推关系中含有与的形式（1）退位：仿照写出.（2）相减求：将与的表达式代入中化简计算，得到.（3）验证：验证时的情况，若符合，则通项公式成立；若不符合，则要将通项公式写成分段形式.二、构造法◎适用于形如的递推公式求通项.=1\*GB3①若为常函数：可构造为待定系数）.=2\*GB3②若为一次函数，可构造为待定系数）.=3\*GB3③若为=1\*GB3①=2\*GB3②外的其他函数类型，可将等式两边同时除以，转化为，令，，原式转化为，结合累加法求出，进而求得.三、不动点法◎适用于形如为参数，的递推公式求通项.=1\*GB3①求不动点：，，令，即，令此关于的一元二次方程的两个根分别为.=2\*GB3②构造特殊数列：若，则有为参数），构造等差数列；若，则有为参数），构造等比数列.=3\*GB3③求通项：利用公式法求新构造数列的通项公式，进而得到.刷经典·通方法🎯命题方向一定义法求数列的通项公式1．（2021·新高考Ⅱ卷）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若，.（1）求数列的通项公式；（2）求使成立的n的最小值.2．（2023·新课标Ⅰ卷）设等差数列的公差为，且，令，记，分别为数列，的前项和.（1）若，，求的通项公式；（2）若为等差数列，且，求d.3．（2026·安徽合肥模拟预测）已知是等差数列，是等比数列，且，，．（1）求和的通项公式；（2）求数列的前项和．🎯命题方向二退位法求数列的通项公式4．（2026·甘肃陇南·二模）记数列的前n项和为，已知．（1）证明：为等比数列；（2）设，求数列的前n项和．5．（2026·河北保定模拟·预测）记数列的前项和为，已知.（1）证明：数列为等差数列；（2）求数列的前项和.🎯命题方向三累加法求数列的通项公式6.（2026·山东滨州检测训练）在数列中，.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和的最大值.7．（2026·四川德阳模拟·预测）已知数列和首项为2的等比数列的各项均为正数，若，，且.（1）求和的通项公式和的前n项和；（2）若数列的通项公式满足，设为的前n项和，求证:.🎯命题方向四累乘法求数列的通项公式8．（2022·新高考Ⅱ卷）记为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列.

（1）求的通项公式；

（2）证明：.9．（2026·江西福州阶段检测）已知数列的首项，且.（1）求数列的通项公式：（2）若数列的前项和为，证明：.10．（2026·河北沧州质量检测）在数列中，是公差为1的等差数列.（1）求的通项公式；（2）设为数列的前项和，若对任意，总有，求的取值范围.🎯命题方向五构造求数列的通项公式11．（2026·石家庄第一中学·一模）已知数列满足，且．（1）若，证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和．12．（2026·河北秦皇岛阶段检测）在数列中，已知，且满足．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．13.（2025·高考综合改革适应性·演练）已知数列中，（1）证明：数列为等比数列；（2）求的通项公式；（3）令，证明:．题型02数列的前n项和问题抓关键·破难点◎高分技法一、分组求和法=1\*GB3①适用范围：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论．=2\*GB3②常见类型：分组转化法：若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列：奇偶并项求和：通项公式为an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(bn，n为奇数，,cn，n为偶数))的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列．◎高分技法二、裂项相消法①识别：观察待求和式子是否满足分式型、指数型、根式型等结构.②裂项：利用裂项技巧裂项，检验裂项后的式子是否需要“配凑”系数才能保证裂项前、后的式子等价.③相消：明确正、负相消时，是从哪一项开始消去的，消去多少项，留下了多少项，一般前面留下了几项，后面相应留下几项。考场必备的5大裂项技巧◎高分技法三、错位相减法=1\*GB3①识别：数列各项由公差为的等差数列和公比为的等比数列对应项之积构成.=2\*GB3②展开：=1\*GB3①=3\*GB3③乘公比：=2\*GB3②=4\*GB3④错位相减：得.=5\*GB3⑤求和：.刷经典·通方法🎯命题方向一分组求和法求数列的前项和1.（2021·新高考Ⅰ卷）已知数列满足，

（1）记，写出，，并求数列的通项公式；

（2）求的前20项和.2．（2026·湖南邵阳第二次联考）已知数列是等差数列，且，，数列满足，.（1）求的通项公式，并证明数列是等比数列；（2）若数列满足，求的前项和.3.（2026·内蒙古包头市·一模）数列的前n项和，数列满足，．（1）求数列，的通项公式；（2）将数列和数列各取前100项，按从小到大排成一个新的数列，其中重复的数只取一次，求数列的前100项和．🎯命题方向二裂项相消法求数列的前项和4.（2026·黑龙江哈尔滨第三中学·一模）已知数列的前项和为.（1）求的通项公式；（2）令，求数列的前项和.5.（2026·广东深圳市第一次调研）已知数列是等比数列，，，数列满足：.（1）求，的通项公式；（2）求数列的前项和.6.（2026·河北唐县第一中学·一模）已知数列的前n项和为，且，.（1）求；（2）若，求数列的前n项和.7.（2026·辽宁抚顺·一模）已知数列满足，且对任意的正整数，当时，都有．（1）证明：数列是等差数列；（2）设，求数列的前项和．8.（2026·辽宁名校联盟·二模）已知数列的前n项和为，，且．（1）证明：数列为等差数列；（2）记，求数列的前项和．9.（2026·安徽江南十校检测）已知等差数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2））若，求数列的前项和.10.（2026·山东聊城·一模）已知数列满足.（1）求的前n项和；（2）记数列的前n项和为，若．（i）证明数列为等差数列，并求出的通项公式；（ii）求数列的前n项和．🎯命题方向三错位相减法求数列的前项和11．（2025·全国高考一卷）已知数列中，，.（1）证明：数列为等差数列；（2）给定正整数m，设函数，求.12．（2026·四川成都石室中学二模））已知正项数列的前n项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．13．（2026·河南九师联盟模拟预测））已知数列的前n项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，求数列的前n项和．14.（2026·陕西榆林一模）已知数列的前n项和，等比数列满足，．（1）求和的通项公式；（2）求数列的前n项和．题型03数列与不等式的综合应用抓关键·破难点高考对数列解答题的考查偏重于综合性，其中数列不等式的证明是数列模块中的难点。当数列结构复杂时，不能直接求和，要对通项进行预放缩后才能利用求和公式，进而证明不等式.因此，放缩的思想就是通过放缩将不能求和的数列变成可以求和的数列.高考对数列解答题的考查偏重于综合性，其中数列不等式的证明是数列模块中的难点。当数列结构复杂时，不能直接求和，要对通项进行预放缩后才能利用求和公式，进而证明不等式.因此，放缩的思想就是通过放缩将不能求和的数列变成可以求和的数列.一、数列不等式放缩法的类型序号放缩法类型具体操作①分式放缩对于“分式”型不等式，将代数式中的分母或分子“扩大”或“缩小”，放缩成等比数列的形式，再利用等比数列求和公式化简，进而得以证明②不等式放缩利用基本不等式或其他重要不等式对“和”“积”“倒数和”“平方和”等放缩。③添项或去项放缩在不等式的两边同时“加上”或“减去”某一项实现放缩④拆项放缩对一些比较复杂的代数式“拆开”再重新组合，可以消去一些项，从而简化运算（如裂项相消）二、数列不等式的6大放缩实例①②，③④=5\*GB3⑤=6\*GB3⑥，刷经典·通方法🎯命题方向一数列与不等式的证明1．（2023·新课标Ⅱ卷）已知为等差数列，.记，分别为数列，的前n项和，若，.（1）求的通项公式；（2）证明：当时，.2．（2026·锡林郭勒盟检测）记为正项数列的前项和，已知.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，，求证：.3.（2026·重庆名校联盟第一次·联考）已知数列的前项和为，若，且．（1）证明：为等差数列，并求．（2）若，数列的前项和，求证：．4.（2026·湖北武汉3月·调研）在数列中，，，，且是等差数列.（1）求；（2）证明：🎯命题方向二数列与不等式的恒成立或能成立问题5．（2026·贵州黔东南模拟·预测）已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，，，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）求使成立的n的最小值.6．（2026·湖北孝感·二模）已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．数列满足，其前项和为．（1）求数列的通项公式；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围．7.(2026·福建名校联盟·开学考试)记数列的前n项和为，已知．（1）求的通项公式；（2）设，记数列的前n项和为，若，，求t的取值范围．题型04数列与其他模块知识的创新交汇问题抓关键·破难点数列是以正整数为自变量的一类特殊函数，因此数列创新问题常与解析几何、函数、概率等模块交汇考查。与解析几何交汇，能依托数的本质属性与形的几何特征；与函数交汇，能放大数列的函数特征；与概率交汇，能彰显数列工具的妙用。这些问题以数列为核心，常出现在解答题中，明确问题属于哪个知识主体、运用相应主体模块是解题关键。创新交汇1：交汇函数定位主体：需要分析切线、单调性、极值时，主体为函数，要充分运用导数工具；根据函数图象上的点列建立坐标之间的递推关系时，主体为数列。创新交汇2：交汇概率定位主体：需要求概率值、分布列、期望时，主体为概率；根据实际情境分析出各个情况下概率的递推关系后，需要求具体期望值时，主体为数列。刷经典·通方法🎯命题方向一数列与集合的融合创新1.（2026·广东东莞3月质量·检测）已知数列的前n项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设集合，，等差数列的任一项，其中是中的最小元素，，求数列的前n项和.🎯命题方向二数列与复数的交汇问题2．（2026·山东青岛3月·调研）设为复数数列，，，记的实部为，虚部为．（1）求数列的通项公式；（2）证明：数列为等比数列；（3）求．🎯命题方向三数列与三角的交汇问题3.（2026·湖北随州·二模）已知数列和，为数列的前n项和，，且，．（1）求；（2）求数列的通项公式；（3）求证：．🎯命题方向四数列与概率统计交汇问题4．（2026·广东茂名第一次·综合测试）已知甲､乙两个盒子均装有1个白球和1个黑球，现进行如下操作：从这两个盒子中各取1个球放入对方的盒子中.重复这样的操作，第次操作后甲盒中白球的个数记为.（1）求；（2证明：是等比数列；（3）求的数学期望.🎯命题方向五数列与函数、导数的交汇问题5.（2026·江苏南京师范大学附属中学G4·联考）数列中，，，.（1）证明：是等差数