2026北师大八年级数学下册一课一练：角平分线 课时练习卷（附答案）

1.5角平分线分层练习（学生版）

基础过关练

题型一利用角平分线的性质进行简单计算

1.如图，在/405内作一条射线0C,在0C上取一点P,过点P分别作P0_LO8于点。，PELOA

于点E,若PQ=PE,408=50。，则/49C的度数为（）

*

AEC

A.30PB.3C.2FD.卷

2.如图，乙40c=ZBOC,点、P在OCk,PD1Q4于点D,PELOB于点E.若PD=7cm,则用的长

为_________cm.

D^A

八6

3.如图，在"BC中，4cB=90。,BE平分/力BC,交力C于点E,DE工AB于点、D,如果力£=3,

AC=5,那么。E的长是.

C

一

A

4.如图，在△/收中，ZABC.4⑦的角平分线交于点尸,过点尸作。用|AC,

分别交加、AC于点D、E.若△/亚无的周长为10cm,比二6cm,则的

BC

周长是_________cm.

题型二角平分线的判定定理

1.将两个完全一样的三角板如图摆放，使三角板的一条直角边分别与A^5C的边帅，力C重合，它

们的顶点重合于点用，则点”一定在（）

B

A.的平分线上B.边4C的高线上

C.边区的垂直平分线上D.边加的中线上

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1.5角平分线分层练习（学生版）

2.已知，如图，在△/政1中，Q、E分别是边都、4C延长线上的点，加平分Z&4C,9平分NC8Q,

求证：CP平分4CE.

要求：在横线“”上填证明步骤，在括号“（）”中填证明依据

E

证明：过点尸分别作/F_L4）,PGVAE,PHLBC.

•••及平分出。（己知），且方JL4）,PGVAE,

・・・（角平分线上的点到角的两边的距离相等）.

;印平分NC8Q,且,

・•・PF=PH,

・•・（等量代换）.

又,：PG1AE,PH1BC,

・•・点尸在40?的平分线上（）

・,・b平分次E.

3.如图，△/因中，D,五分别是边出，NC延长线上的点，心平分/胡C,即平分NC4。，求

证：CP平分Z8CE.

4.如图，在A/15C中，点。在比边上，43=100。，乙打。的平分线交4c于点E,过点石作厮_L

垂足为尸，且N4EF=50。，连接。E.

（1）求的度数；

（2）求证：DE平分/4DC.

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1.5角平分线分层练习（学生版）

5.如图，在乙畋和小狂中，AB=AD,AC=AE,ZBAD=ZCAE,OE分别交比，NC于点2G,

连接

⑴求证：ZC=ZE；

（2）求证：AF平分/呐J

题型三角平分线（尺规作图）

1.用尺规作图作一个已知角的平分线如图所示，则下列结论中错误的是（）

A.说明的依据是SSSB.ON=OM

C.。。上任意一点到/力08两边的距离相等D.点及到OC的距离不相等

2.如图，在Rt△奶。中，ZC=90°,以点/为圆心，任意长度为半径画弧，交邓、AC于点D,E,

再分别以点。，石为圆心，大于goE为半径画弧.两弧在内相交于点尸，作射线“交边K

于点G,若CG=4,则点G到邓的距离（）

A.2B.4C.6D.8

3.如图，在长方形血D中，连接4C,以/为圆心适当长为半径画弧，DC

分别交力。，4c于点E,F,分别以E,b为圆心，大于;E厂的长为半径后

画弧，两弧在NZMC内交于点儿画射线力”交于点若ZACB=72。,

贝IJ4W的大小为（)AB

A.72°B.54°C.好D.22°

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1.5角平分线分层练习（学生版）

4.如图，在A45C中，AB=AC,ABAC=90°,以点〃为圆心，适当长为半径作弧，交囹于•点、M,

交反于点N.分别以点用，N为圆心，大于今川的长为半径作弧.两弧在的内部相交于

点乙作射线部交4C于点以点D为圆心，适当长为半径作弧，交反于点上和点尸.分别以点

瓦尸为圆心，大于;E月的长为半径作弧,两弧相交于点G.连接。G交K于点〃.若比=8,则

的周长为（）

5.在学习了三角形和四边形的相关知识后，小明发现:在对角互补的四边形屈N）中，4+乙叱=180。,

若/C平分则8C=。，请根据他的思路完成以下作图和推理填空：

（1）用尺规完成以下基本作图：过点C作圈的垂线，交加亍点石（不写作法，保留作图痕迹）；

⑵求证：BC=CD.

证明：过点C作CF1.M交/。延长线于点少

•：CE1AB,：.ZCEB=ZCFD=^P.

・・・力。平分/a4D,且CEJ.4B,CF1AD,

.

•・Z+"X?=180°,②,

・・・ZB=ZDCF.

—③—

在MET和ZWC中，,NCEB=NCFD

CE=CF

・・・ABEC。DFC（©）.

：.BC=CD.

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1.5角平分线分层练习（学生版）

能力提升练

题型一与角平分线有关的几何辅助线作法

1.如图，在△/收中，/。=90。,/。8的平分线交比于点。.若8c=5,8Q=3,则点。到期的距离

为（）

A.2B.3C.4D.5

2.如图，是“9c中的平分线，DEJ_AB交加于煎E,若S1皿=18,座=3,AC=5f则加

的长为（）

A.6B.7C.8D.9

3.如图，在△048和△(%/)中，0A=0B,OC=OD,0A>0C,ZAOB=/COD=AO。，连接力C,BD

交于点“，连接ON,则NCW=（）

O

DA

A.行B.C.川D.8CP

4.在四边形的9中，平分/ABC,ZBCD=90°,CD=2,且ZU8O的面积为2,贝lj48=________.

5.在直角三角形次中，ZC=90°,/C=8,BC1=6,比平分/4BC交4c于点、D,则比的长为

K

CB

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1.5角平分线分层练习（学生版）

6.如图，中，N5平分线8,和边加的垂直平分线0E交于点E,己知点比边距离为

2,48=8,那么点E和点力之间的距离为.

7.如图，点"为反的中点，AW平分NMC.

⑴若N8=NC=90。.

①求:正：■平分N胡Q.

②猜想线段6，加，4。之间的数量关系，并证明.

⑵若4=75。，请你思考“应该满足什么条件，能使得11）②中结论依然成立，并说明理由.

题型二与角平分线有关的面积计算问题

1.如图，3是△/超C的角平分线，于点E,DE=2,AB=4,则△48。的面积为（）

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1.5角平分线分层练习（学生版）

2.如图，已知田平分乙/C,座工忠于点E,连接。I,若DE=25,BC=6,则A5Q9的

面积是（）

3.如图，在锐角三角形加中，N胡C=60\BE,CD分别为八幽的角平分线.sc,也相交于点产，

FG平分/BFC,已知8Q=3,CE=2,△8EC的面积=25,求凶⑦的面积=.

4.如图，△/⑶中，点E在加边上，连接CE,/8EC的角平分线与28/C的角平分线交于点尸,

连接CF.若4C=8,CE=6,S△g=16,则S“CE=.

5.如图，已知在中，4=90。，AB=9,AC=\2,CD平分N4C5,”平分/45C,酢与Q］交

于点。，若过点。的直线平分A^C面积，那么8V+4W的长为.

6.如图，A45C中，点。在火边上，乙切。=100。，N48C的平分线交4c于点E,过点E作印_1_丝,

垂足为尸，且4M=5（）。，连接。£.

BDC

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1.5角平分线分层练习（学生版）

（1）求的度数；

（2）求证：DE平分/4DC；

（3）若/4=9,力。=8,CD=10,且SA“0=18,求庞•的面积.

题型三角平分线性质的实际应用

1.如图，直线4,%%表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的

距离相等，则可供选择的地址有（）.

A.1处B.2处C.3处D.4处

2.上海正建设一批精品口袋公园，如图所示，病C是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建

一座凉亭，，使该凉亭到公路金、AC.比的距离都相等，则凉亭〃是“为的（）

A.三条中线的交点B.三条高的交点

C.三条角平分线的交点D.三条边的垂直平分线的交点

3.一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等,

凉亭的位置应选在（）

A.三角形三条边的垂直平分线的交点B.三角形三条角平分线的交点

C.三角形三条高所在直线的交点D.三角形三条中线的交点

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1.5角平分线分层练习（学生版）

4.如图，点Z在点C的北偏西好的方向上，且/0=5km,,奶_LQ4,BHtOH.根据三知条件和图

上尺视作图的痕迹判断，下列说法不正确的是（）

A.点8在点C北偏东30P方向上B.点C在点W南偏西好方向上

C.8—8〃D.OS=10km

5.如图1,这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2

是其侧面结构示意图，现量得托板长他=12cm,支撑板顶端的C恰好是托板加的中点，托板加可

绕点C转动，支撑板6可绕点。转动.当CDtAB,且射线ZB恰好是NCOS的平分线时，此时点

B到直线QE的距离是（）

图1图2

A.4cmB.6cmC.8cmD.12cm

6.为发展经济，某地区加大交通运输建设，新修三条相互交叉的公路，我们把交叉处看作一个点,

则形成了一块三角形区域4T.为了方便过往车辆、行人体息，打算在三角形区域内修建一个服务

站P,且使服务站到三条公路的距离相等.

（1）请你用尺规作图选定位置J（保留作图痕迹，不写作法）

（2）若已知三角形区域的周长是2000米，面积是100000平方米，请你计算这个服务站。到三条公路

的距离.

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1.5角平分线分层练习（学生版）

7.如图，直线4、仄C表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的

距圉相等，可供选择的站址有几处？（不写作法，保留作图痕迹）

8.如图，在aABC中，AD是它的角平分线，求证S»BD：SMCD=AB:AC.

A

DHC

经过简单的整理，小海同学由这道题，得出一个结论：三角形一个内角平分线分对边得到的两线段

的比，等于这个角的两邻边的比.

过点。作£石立熊于点E,DF上4c于点、F,过点/作于点〃.

•.•加）平分N54C,且DEJ_AB点、E,"UAC于前F,

—xABxDE

“4BD_2

^△ACD-xACxDF

2

《—xBDxAH

•♦_2

•c1

LCDxAH

2x

.ABBD

ACCD

（1）请你补全小海同学的证明过程；

（2）如图2,小海同学又进行了深度思考，如果将“内角的平分线”换成“外角的角平分线“，是否仍成

立？请你根据提供的图形帮助小海同学完成该命题的证明！

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1.5角平分线分层练习(学生版)

拓展培优练

题型一角平分线性质与判定的综合运用

1.【初步感知】

(1)如图1,已知为等边三角形，点。是边反:上一动点(点。不与点8,点。重合)，以力。

为边向右侧作等边连接出.求证：/4||CE；

【类比探究】

(2)如图2,已知，在A/lfiC中，AB=AC,Zi%C=90。，点G为边4c上一点，过点C作CF垂直

射线3G于点尸，连接“，请求出/佃的度数；

【拓展应用】

(3)如图3,在四边形456中，ACt也是对角线，△/氏是等边三角形，Z4DC3,若4)=3,

BD=5,请求出6的长.

图1图2图3

2.如图，在四边形奴D中，4+〃=180。，BC=CD.

⑴求证：4c平分NBAD；

(2)E在加边上，连接。E,若ZAED=2ZACD,求证：BE=M；

(3)在(2)的条件下，44)=60°,DF，AC交CE于F,G在力。边上，DG=DFtGK〃BC交AC

于K,过产作户HJL8C于〃，若CF—KG=6,BH=9,求线段C4的长.

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1.5角平分线分层练习（解析版）

基础过关练

题型一利用角平分线的性质进行简单计算

1.如图，在/405内作一条射线0C,在0C上取一点P,过点P分别作P0_LO8于点。，PELOA

于点E,若PQ=PE,408=50。，则/49C的度数为（）

【答案】B

【分析】本题考查了角平分线的判定定理，运用角平分线的判定定理，即角的内部到角的两边距离

相等的点在角的平分线上，进而求出4。。的度数.

【详解】解：♦:PQ工OB,PE1AO,PQ=PE,

根据角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，

・・・oc是/＜方的角平分线，

ZAOC=-ZAOB=25°,

2

故选：B.

2.如图，ZAOC=ZBOC,点P在OC上,PDLO4于点D,PELOB于点、E.若PD=7cm,则用的长

【分析】本题主要考查角平分线的性质.此题由两角相等可以确定。。是角的平分线，利用角平分

线的性质即可得解.

【详解】解：VZAOC=ZBOC,

・・・OC是/405的平分线，

:,PE=PD,

IPD=7cn\,

PE=7cm,

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1.5角平分线分层练习（解析版）

故答案为：7.

3.如图，在A45C中，ZACB=舒,BE平分交AC于点E,麻工AB于点、D,如果力£=3,

AC=5,那么。E的长是.

【分析】本题考查角平分线的性质.先根据线段的和差求出CE，再由角平分线的性质即可求解.

【详解】解：・・・ZE=3,AC=5f

：.CE=AC-AE=5-3=2,

4c5=90°,

:.ACIBC,

・.•加平分，45C,DE_LAB,

・・・DE=CE=2.

故答案为：2.

4.如图，在“5。中，Z4BC、Z4⑵的角平分线交于点尸，过点尸作。初I8C,分别交加、ZC于

点。、E.若4江的周长为10cm,BC=6cm,则力。的周长是*.

【答案】16

【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，熟练掌握相关知识点是解题的

关键.

山角平分线与平行线的性质，证出NDFB=/DBF，得BD=DF,同理可证所=8,结合周长公式

可得出结果.

【详解】解：:用平分45C,

:・ZDBF=ZFBC,

•・,DE\\BC,

:・ZFBC=“FB,

:.ZDFB="F,

・•・BD=DF，

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1.5角平分线分层练习（解析版）

同理可证£F=FC,

,?A/CE的周长为10cm,

AD+DF+EF+AE=\0CIT\,

AD+BD+AE+EC=AB+AC=\Ocv（｝,

•・•BC=6cm,

的周长为/lB+/iC+8C=16cm,

故答案为：16.

题型二角平分线的判定定理

1.将两个完全一样的三角板如图摆放，使三角板的一条直角边分别与A^3C的边4?,4C重合，它

们的顶点重合于点A/,则点"一定在（）

B

A.的平分线上B.边4C的高线上

C.边山的垂直平分线上D.边序的中线上

【答案】A

【分析】本题考查的是角平分线的判定定理，掌握到角的两边的距离相等的点在角平分线上是解题

的关继.

作射线4必，根据角平分线的判定定理得到皿平分/8/C,得到答案.

【详解】解：作射线■，

由题意得，MG=MH,MG1AB,MillAC,

・・•/“平分/历iC,

故选：A.

2.已知，如图，在中，。、七分别是边都、4C延长线上的点，废平分NC,BP平分NCBD,

求证：CP平分4CE.

要求：在横线“”上填证明步骤，在括号“（）”中填证明依据

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1.5角平分线分层练习（解析版）

E

证明：过点P分别作用_LM,PGLAE,PHLBC.

・・・加平分®。（已知），且麻_L4D,PGLAE,

・・・（角平分线上的点到角的两边的距离相等）.

■:即平分NCBD,且,

:.PF=PH,

・,・（等量代换）.

又,：PG上AE,PH上BC,

・,•点。在次E的平分线上（）

•••CPT分次F.

【答案】答案见解析

【分析】本题考查角平分线的判定和性质，掌握角平分线的性质是解题关键.

根据珀平分线的性质和判定方法，进行作答即可.

【详解】证明：过点P分别作方1功，PGA.AE,PHLBC.

;加平分电C（已知D,且什L4D，PG1AE,

:・PF=PG（角平分线.上的点到角的两边的距离相等）.

•:即平分/CBD,且PhBD，PHtBC,

:.PF=PH，

:.PG=PH（等量代换）.

又,：PGLAE,PH1BC,

・♦.点〃在ZBCE的平分线上（角的内部到角的两边距离相等的点在角平分线上）

•••FF分4CE.

3.如图，△/彳此中，D,石分别是边加，/C延长线上的点，“平分/胡C,即平分NCBD,求

证：。平分ZBCE.

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1.5角平分线分层练习（解析版）

【答案】见解析

【分析】此题考查了角平分线的判定和性质，熟练掌握角平分线的判定和性质定理是解题的关键.过

点夕作朋_L4C于点G,过点尸作4_L/C于点/，过点P作用1出于点〃，根据角平分线的性

质得到PF=P〃,PG=PH,则所=PG,再根据角平分线的判定进行证明即可.

【详解】解：过点夕作PG_L3C于点G,过点P作用于点尸，过点。作出L出于点〃，

PF=PH,PG=PH,

:,PF=PG,

•・・PG上BC于点G,如1/C于点F

・・・。平分次丛

4.如图，在A/iiBC中，点。在皮.边上，乙%。=100。，。的平分线交4C于点上，过点E作印，加,

垂足为尸，且4斯=5（）。，连接QE.

（1）求NC/D的度数；

（2）求证：DE平分/ADC.

【答案】（1）/恒=40°

（2）见解析

【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、角平分线的性质定理等知识，熟练掌握角平分线的判

定与性质定理是解题关键.

（1）首先解得ZE亚的值，结合可。=100。，即可获得答案；

（2）过点上作EG1M于G,EH上BC于"，利用角平分线的性质定理证明EG二附，然后证明结

论即可.

【详解】（1）解：:所，恕，Z4£F=50°,

・•・Z^=90°-Z4£F=4（r,

加0=100。，

・•・ZC4Z）=180°-Zfi^/）-ZE4£，=1800-1000-400=4（）0；

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1.5角平分线分层练习(解析版)

(2)证明：过点E作£G_LM于G,，如下图,

VZFAE=ZCAD=4(r,EF1BF,EGLAD.

：.EF=EGt

・.・8£平分乙第C,所|肝，EH1BC,

:.EF=EH,

：.EG=EH,

•；EG上AD,EH1BC,

:・DE平分/ADC.

5.如图，在乙收和中，AB=AD，AC=AEtZBAD二NCAE,DE分别交直：，4C于点RG,

⑴求证：ZC=ZE；

(2)求证：”平分次E.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理；

(1)证明/^AC^DAE即可得到ZC=ZE，：

(2)过点4分别作如仙8(?于点〃，4VlDE1于点N,根据△胡8AZ^£得到,

利用三角形的面积公式得到4M=4V,再利用角平分线的判定定理即可证明"平分©E.

【详解】(1)证明：•.•乙皿=NC4E,

:.ZBAD+ZDAC=NCAE+ZDAC,

即ZBAC=ZDAE,

AB=AD,AC=AE,

.•.A^JC^ADJE(SAS),

:.ZC=ZE.

(2)证明：过点力分别作4WL5C于点A/,心CL居于点N,

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1.5角平分线分层练习(解析版)

由（1）得，ABAC^/XDAE,

'.BC=EXE,S^BAC=，

:,-BCAM=-DEAN,

22

:.AM=AN,

乂•••M_L8C,AN1DE,

•••仆平分ZBFE.

题型三角平分线(尺规作图)

1.用尺规作图作一个已知角的平分线如图所示，则下列结论中错误的是()

A.说明△QV0AQWC的依据是SSSB.ON=OM

C.。。上任意一点到N403两边的距离相等D.点N到OC的距离不相等

【答案】D

【分析】本题主要考查了角平分线的作图，角平分线性质的证明，三角形全等的判定和性质.根据

作图可得0N=0M,OV=CA/,证明AOCA&AOCM(SSS)即可判断A；根据作图即可判断B；点£为。。

上任意一点，过点E作GE1Q4于点G,EH10B于点、H,证明AOG*AOHE(AAS)即可判断c；过

点、N作NP10C于点、P,过点初作厅点0,证明A"N-OSW(AAS),即可判断D.

【详解】解：A、由作图可知：ON=OM,CN=CM,

又oc=oc,

/.(SSS),

・・・4OC=4OC,故A正确，穴符合题意；

B、由作图可得：ON=OM,故B正确，不符合题意；

C、点E为。。上任意一点，过点石作GE1Q4于点G,EHK)B于点H,

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1.5角平分线分层练习（解析版）

•:GEtOA,EH工OB,

：.^OGE=Z.OHE=90°,

Z.OGE=ZOHE,Z.AOC=NBOCQE=OE,

AOGE丝AOHE(AAS),

:・EG=EH,

・•・OC上任意一点到//Q5两边的距离相等，

故C正确，不符合题意；

D,过点N作AP_LOC于点P,过点W作物?I"于点。,

,:NPLOC,MQA.OC,

：./OPN=/OQM=90°,

•：ZAOC=ZBOC,NOPN=NOQM=90。,ON=0M

/.4OPNWAOQM（AAS）,

:・PN=QM,故D错误，符合题意；

故选：D.

2.如图，在Rt△伤C中，ZC=SO°,以点力为圆心，任意长度为半径画弧，交加、4C于点、D,E,

再分别以点。，为圆心，大于;。石为半径画弧.两弧在“胡。内相交于点/，

E作射线"交边比

于点G,若8=4,则点G到期的距离（）

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1.5角平分线分层练习（解析版）

【答案】B

【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的

关键.先根据尺规作图判断力G是@C的平分线，再利用角平分线的性质得出点G到泌的距离等

于CG的长度.

【详解】解：设点G到加的距离为近

由题意可得4G平分0C,

VZC=90°,即GC_L4C,点G到加的距离为〃,

:.h=CG,

\・CG=4,

；・〃=4,

故选：B.

3.如图，在长方形皿）中，连接4C,以4为圆心适当长为半径画弧，分别交Z。，/C于点E,

F,分别以E,产为圆心，大于;E厂的长为半径画弧，两弧在/D4C内交于点〃，画射线47交0c

于点若ZACB=M,则分M的大小为（）

A.72°B.评C.好D.22°

【答案】C

【分析】本题考查了矩形的性质和基本作图，熟练掌握5种基本作图是解题的关键.

先利用矩形的性质得到/8〃CD,则利用平行线的性质可计算出NG4Q=72。，再由作法得力〃平分

ZCAD,所以"4必二g/C4O=36。.

【详解】解：在长方形械D中，

VAB//CD,ZACB=72°,

：.ZCAD=ZACB=7r,

由作法得：AH平分NC4D,

ZDAM=L/CAD=3$.

2

故选：C.

4.如图，在A45C中，AB=ACf㈤C=90。，以点"为圆心，适当长为半径作弧，交R4于点、M,

交比于点N.分别以点A/,N为圆心，大于（也的长为半径作弧.两弧在右奶。的内部相交于

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1.5角平分线分层练习（解析版）

点乙作射线部交4。于点。.以点。为圆心，适当长为半径作弧，交比于点£和点分别以点

£/为圆心，大于;衣'的长为半径作弧,两弧相交于点G.连接QG交K于点〃.若皮'=8,则△W7C

的周长为（）

【答案】B

【分析】本题考查了作图一角平分线和垂线、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质和等腰直

角三角形的性质，理解题意是解决本题的关键.

由作图可得，图是的角平分线，miBC,则根据角平分线的性质"=。7,证明-HBD，

可得AB=BH,进而即可求解.

【详解】解：由作图可得，即是N/8C的角平分线，DH1BC,

•・•4=90。，

・•・D4=DH，

在A4BD和中,

ZABD=^HBD

,/BAD=/BHD=90。,

BD=BD

/.△48O/AH8。（AAS）,

:.AB=BH，

・•・^DHC的周长为ZW+//C+CD

=DA^-CD+HC

=AC^-HC.

又TAB=AC,且AB=BH，

:.AC=BH,

:.4C+HC

=BH+HC

=BC

=8.

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1.5角平分线分层练习（解析版）

故选:B.

5.在学习了三角形和四边形的相关知识后，小明发现:在对角互补的四边形中，4+4收=180。,

若4c平分/BAD,贝IJ3C=CD,请根据他的思路完成以下作图和推理填空：

（1）用尺规完成以下基本作图：过点。作*的垂线，交加于点E（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）求证:BC=CD.

证明：过点。作CF1•仍交力。延长线于点尸

•：CE1AB,:・NCEB=/CFD3.

・・・力。平分NB4。，且CEJ.AB,CF1AD,

・•・①.

\・4+Z4DC=180°,②，

：.ZB=ZDCF.

一③一

在AfiEC和ADR?中，＜NCEB=NCFD

CE=CF

：.ABEC^DFC（④）.

：.BC=CD.

【答案】（1）见解析

Q）CF二CE；ZADC^ZDCF=\W^ZB=ZDCFxAAS

【分析】本题考查了尺规作图之作高，角平分线的性质，平角的定义，三角形全等的判定与性质，

熟练掌握以上知识点是解题的关键.

（1）以点C为圆心，以超过C到45的距离为半径画弧，交伤卜M,N,再分别以",N为圆心，以大

于;MV为半径画弧，两弧相交于点。，连接02交加了点七则CE为所求；

（2）根据角平分线的性质，可得=二底，结合平角/〃Q+ZDCF=180°,可知4=ZZKF,接着

利用AAS证明△"£CGA6C（AAS）,从而得出结论.

【详解】（1）解：下图a即为所求：

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1.5角平分线分层练习(解析版)

*0

(2)证明：过点。作CF_L3交/。延长线于点凡

,：CE1AB,

；.4CEB=/CFD=兆.

•・,4C平分且CE工四，CF1AD,

：.CF=CE.

VZB+ZADC=\W,ZADC+ZDCF^^f,

：.ZB=ZDCF.

NB=NDCF

在AfiCC和△PHC中，YCEB=ZCFD,

CE=CF

；,ASEC^^DFC(AAS),

:.BC=CD.

能力提升练

题型一与角平分线有关的几何辅助线作法

1.如图，在/MZQ中，/。=90。/以5的平分线交友:于点。.若BC=5,BD=3,则点。到出的距离

为()

【答案】A

【分析】本题考查三角形中求线段长，涉及角平分线的性质，熟记角平分线性质是解决问题的关键.

先由题意求出OC,过点。作用1四于点七，如图所示，从而由角平分线的性质得到应=0C=2即

可确定答案.

［详解］解：:BC=5,BD=3,

:.DC=BC—BD=5—3=2,

过点D作DE/ABF点、E，如图所示：

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1.5角平分线分层练习（解析版）

・••在4品中,/。=90。,/。3的平分线交比、于点。，

，由角平分线的性质可知"=3=2,

则点。到阳的距离为2，

故诜:A.

2.如图，4。是Az畋中/8/C的平分线，座1加交加于点E,若S1丽.=18,尻=3,AC=5f则加

的长为（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键.

过点。作加由角平分线的性质可得，DF=DE=3,由题意知;+尸=18,计算

求解即可.

【详解】解：过点。作£中人4C,如图，

：.DF=DE=3f

4,,S"3C=+Sjco=18,

:.-ABDE+-ACDF=\S

22r

.\-x3/15+-x3x5=18

22

315

-J25+—=18

22

348-15=36

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1.5角平分线分层练习(解析版)

解得"=7.

故选：B.

3.如图，在△。力4和MX。中，OA=OB,OC=OD,OA>OC,ZAOB=NCOD=%0,连接力C,BD

交于点例，连接ON,则/CW=()

【答案】C

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理.

证明得至IJNCO=N6TO,/OAC=4)BD,S„AOC=5Ago/),AC=BD,则

4M5=408=40。，即4W=140。，作O/_L/C于点/,OLtBD于点、L,可知。=3,即点。在

N8因的平分线上，即可求出NC1Q的度数.

【详解】解：•.•4Q?=NC8,

;40B+ZAOD=NCOD+ZAOD,

^VZAOC=ZBODf

在A4OC和AZW中，

OA=OB

</AOC=/BOD,

OC=OD

/./ABOO(SAS),

:"OCA=/ODB,NOAC=NOBD>SGAQC-S&BOD,AC=BD,

•rZAMB+NOAC=ZAOB+4OBD,

:.ZAMB=ZAOB=%。,

.•.ZCV®=180°-Z4yV^=140°,

作O/_L4。于点/,OL1BD于点、L,则=；4C。/,S^^DBOL,

•q_q

•°4ACC~°ABOD'

:.OI=OL,

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1.5角平分线分层练习（解析版）

・・•点0在NCW的平分线上，

欣?平分NCA",

/.ZCAO=70°,

故选：C.

4.在四边形戒D中，BD平分NABC,48=90。，CD=2f且A4即的面积为2,则48=

【答案】2

【分析】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，利用角平分线的性质，得到QE=2是解题

的关键.过点。作座J_胡的延长线于点&利用角平分线的性质可得出庚=8=2,再利用三角

形的面积公式求解即可.

【详解】解：如图所示，过点。作/龙_LB4的延长线于点2

•.•BD平分NABC,48=90°,

:.DE=DC=2,

•・•A奶。的面积为2,

：.-ABDE=2BP-^i?x2=2,

2f2

故答案为：2.

5.在直角三角形依中，NC=9O°,力C=8,BC=6,比平分N'45C交力C于点。，则比的长为

【答案】3岳

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1.5角平分线分层练习（解析版）

【分析】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，过点。作座点E,利用勾股定理求

出啰的长，由角平分线的性质得到DC=DE，根据S®=Ss+Ss求出5的长，再利用勾股定理

即可求出比的长.

【详解】解：如图所示，过点、D作DE/AB于点、E,

故答案为：3x/5.

6.如图，MC中,平分线8”和边加的垂直平分线OE交于点后已知点£到皮边距离为

2MB=8,那么点£和点4之间的距离为.

【分析】本题考查垂直平分线的性质，加平分线的性质，勾股定理，过点E作EG,比，根据题意

得至1」/力。E二90。,反7=2,4）=4,由角平分线的性质可得。£=EG=2,利用勾股定理即可求出班.

【详解】解：过点£作刀

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1.5角平分线分层练习(解析版)

由题意得QE垂直平分加，

AD=BD==AB、ZADE=90。,

2

・.•48=8,

***AD=BD=4,

,:BH平分•4BC,ZEGi?=90°,£G=2,

:.DE=EG=2,

AE=JDE2+AD2=2^5»

・••点E和点力之间的距离为2的.

故答案为：2

7.如图，点M为比的中点，AW平分/4X7.

⑴若N8=NC=901

①求证：4M平分/BAD.

②猜想线段S,加，力。之间的数量关系，并证明.

(2)若4=75。，请你思考/C应该满足什么条件，能使得11)②中结论依然成立，并说明理由.

【答案】⑴①见解析；②AD=CD+AB,见解析

(2)4=105。,见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，角平分线的性质定理及判定定理等；添加恰当的辅

助线构建全等三角形是解题的关键.

(1)①过点"作立，题交于后由角平分线的性质得=再由角平分线的判定定理即可

得证:

②由HL可判定RuZ无加&Rt&V，由全等三角形的性质即可得证；

(2)在力。上截取止=QC,连接加/，过点〃作用交于“，作欣LL"交于G,由SAS判

定AMDF9MDC,结合全等三角形的性质，再由AAS判定△丽。欣阳、^AFM^ABM,由全等三

角形的性质即可得证.

【详蟀】(1)①证明：过点〃作交于£,

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1.5角平分线分层练习（解析版）

:.CM=EM,

;点V为比的中点，

•.CM=BM,

:.EM=BM,

♦.•4=90°,ME1AD,

•・•4W平分N1必O：

②AD=CD+AB,

证明：•:EM=CM,

RtADEM^RtAZXjVf(HJ,

:.ED=CD,

同理可证/E=AB,

:.AD=AE+ED

=CD+AB：

(2)解：ZC=105°,

理由如下：在力。上截取QF=ZT,连接过点乍M¥_LM交于〃,作欣;_L加交于G,

DC

平分N49C,

:.ZMDF;ZMDC,

vDM=DM,

:AMDF^MDC(SAS)，

:.MF=MC,FD=CD,

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1.5角平分线分层练习（解析版）

ZDFM=ZC=\05°1

.•.Z^V/=180°-l()5o=75o,

:.ZAFM=ZB，

,・•点M为比的中点，

CM=MB,

MF=MB,

(AAS),

:.MH=MG,

：,AM平分NBAD,

:.ZF.4M=ZBAM,

\'AM=AM，

：^AFM^ABM(AAS),

:.AF=AB^

:.AD=FD-vAF

=CD+AB.

故NC=105。时，能使得(1)②中结论依然成立.

题型二与角平分线有关的面积计算问题

1.如图，也是△/收的角平分线，座18。于点E,DE=2,AB=4,则△//£)的面积为()

【答案】B

【分析】本题主要考查了角平分线的性质.过点。作/中1法于点R根据角平分线的性质定理可

得"=ZF=2,再由三角形的面积公式计算即可.

【详解】解：如图，过点D作炉L4B于点E

;瓦是。C的角平分线，DEIBC,DE=2,

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1.5角平分线分层练习（解析版）

・•・DE=DF=2,

•・・亚=4，

：.S^D=^ABXDF=^4X2=4,

故选：B

2.如图，已知△/收中，/平分乙4BC,£旧1然于点&连接6,若DE=25、BC=6,则金。。的

面积是（）

【答案】B

【分析】木题重点考查角平分级的性质、三角形的面积公式等知识，作QFV/C于点?由也平分

/ABC,DEL4B于点、E，根据角平分线的性质得DF=座=2.5,而8C=6,则

S.D=；BC.DF=；x6x2.5=Z5,于是得到问题的答案•

【详解】解：作DF工AC于点、F,

•・•瓦平分-48C,DE_LAB于息E,

・•・DF=DE=2.5,

・・•BC=6,

：.SAchuCzyD=-2BCDF2=-x6x2.5=7.5,

故选：B.

3.如图，在锐角三角形MC中，ZBAC3，BE,6分别为4闵的角平分线.叱，S相交于点尸，

FG平分NBFC,已知8Q=3,CE=2,△3FC的面积=25,求△^CD的面积=.

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1.5角平分线分层练习(解析版)

【答案】4

【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练运用全等三角形的判定与性

质、三角形面积公式是解题的关键.

过点尸作E01熊于点过点/作欣于点N,根据角平分线性质定理