九年级数学平时作业05 比例线段与平行线分线段成比例（8大题型）（巩固培优）原卷版

限时练习：60min完成时间：—月—日天气:

作业05比例线段与平行线分线段成比例

积累运用

知识点一、成比例线段

在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。

知识点二、比例的性质

1、比例的重要性质：

基本性质：若则反之，也成立。和比性质：若囚=£,则包=四；

bdbdhd

更比性质：若州=£,则q=2；反比性质：若@=£,则2=2；

bdcdbdac

等比性质：右————1——(/?+(/++〃w0),则-------------——o

bdnb+d+…+几b

2、拓展：①比例式中，且=£或(a：b=cd)中，a>d叫外项，b、c叫内项，a、。叫前项，b、d

bd

叫后项，如果6=C,那么力叫做4、，/的比例中项。

②把线段4B分成两条线段AC和8C,使4c2=48-BC,叫做把线段黄金分割，。叫做线段的黄金

分割点。

知识点三、平行线分线段成比例

平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。

推论：平行于三角形一边的直线与其他两条直线相交，截得的对应线段成比例。

培优训练

三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型

1巩固提升练

题型一成比例线段

1.（25-26九年级上.山东临沂・月考）已知按顺序排列的四条线段久江。、“是成比例线段，其中〃=3cm,

b=2cm,c=6cm,则d=（）

A.3cmB.4cmC.6cmD.8cm

2.（25-26九年级上•广东深圳•月考）下列四条线段不成比例的是（）

Q

A.3,6,2,4B.-,8,5,15C.瓜23,近D.1,6■，上，瓜

3.（24-25九年级上•浙江衢州•期末）已知线段。=2,〃=8,若线段c是线段〃和b的比例中项，则线段c•的

长为.

4.（24-25九年级上•广东佛山・月考）在比例尺为1：1000（XXXX）的地图上，A、8两地的图上距离是0.15米，

那么A、8两地的实际距离是米（用科学记数法表示）.

5.（25-26九年级上•安徽六安•期口）已知线段〃、b,且满足?=

h5

⑴求陪的值；

b

（2）若线段c是线段〃、匕的比例中项，月/+力=18,求c的值.

题型二比例的性质

6.（25-26九年级上•河北张家口・月考）已知£=］，则下列结论不正确的是（）

2a+b_5a+\_4

A.b=—aB.2a-3bC.D.

3h2b+\3

b+2a11

7.（25-26九年级上•安徽淮南•月考）已知则上7的值为（)

aya-b

5533

A.-B.——c.D.

3322

a+b_a+c_b+c_

8.（25-26九年级上•四川成都•月考）已知2A,则A的值是_____.

cha

4ce4

9.（25-26九年级.匕山西太原•月考）己知7=厂厂3'若“"+”=24,且""…，则

345

10.（25-26九年级上•江苏泰州•月考）已知线段a、b、c,K-=7=-

abc

八、+2+cAJ+

⑴求一;—的值；

a+b-c

（2）若线段。、b、c满足a+〃+c=36,求a的值.

题型三黄金分割

11.（25-26九年级上•辽宁辽阳•期木）黄金分割是汉字结构遵循的基本美学规律，如图，汉字“十”端庄稳重、

舒展美观，横竖笔画交接处的点。恰好是线段AB的黄金分割点（3C>AC），若A8=6cm,则BC的长为（）

・一—一—一一—干一—————一，

L‘二

A.（9一3\/5卜01B.3cmC.（345-3kmD.4cm

12.（25-26九年级上•山西晋中•期末）2025年9月13日，第五届山西乐器产业博览会在太原市中国煤炭博

物馆盛大启幕，为山西演出行业与乐器产业的协同发展注入新活力.如图，乐器上的一根弦AB长为80cm,

两个端点48固定在乐器的板面上，支撑点。是靠近点B的黄金分割点（即丝=避二1）,则支点C到

AB2

端点B的距离为（）

A.（120-40石）cmB.（80-400）cmC.40辰mD.80辰m

13.（25-26九年级上•陕西西安・月考）黄金分割在生活中处处可见，即使是一片银杏叶，也蕴含着“黄金分

割”.如图，一片飘落的银杏叶主脉可看作线段48,〃是AB的黄金分割点若这片银杏叶主脉

A3的长度为10cm,则人尸的长为（结果保留根号）

14.（25-26九年级上.浙江杭州•月考）黄金分割被广泛应用在建筑、艺术等领域，我国早在战国时期就已知

道并能应用黄金分割.如图所示的五角星中，AD=BC,且C、。两点都是八8的黄金分割点，若AB=1,

则的长是.（请写准确数）

E

15.（2025九年级上•江苏连云港•专题练习）【例题呈现】化简：Wj.

思路点拨：将原式的分子、分母同乘一个代数式，使得分母不含根号，实现分母有理化.

叵+1

解：将分子、分母同乘虚+1，得

(0-1)(立+1)

【类比应用】

8

⑴化简：_____；

V5+1

（2）宽与长的比为与1的矩形叫做黄金矩形，如图，已知黄金矩形A6CD（A6<BC）的边4?=2,剪掉一个

以A8为边的正方形八3EF后，得到新的矩形

①求灰?的长；

②通过计算说明矩形CDFE是否为黄金矩形.

题型四由平行判断成比例的线段

16.（25-26九年级上•黑龙江哈尔滨•期末）如图，4〃/?〃4，AC.交于点。，则下列比例中成立的是

cABDE

B.-

BCDFBCDF

cABDE八OBOF

D.-----=-----

OCOF.

17.（25-26九年级上.河北衡水•期中）如图，/3,若47=10,48=6,力尸=15,则Q的值为（）

18.（25-26九年级上.山东日照・月考）如图，在正方形A3CO中，对角线AC,B。相交于点O,七是08的中

点，连接并延长交8c于点F,若正方形的面积为32,则四边形OEFC的面积为（）

19.（24-25九年级上•河南新乡・月考）如图，已知直线《〃4〃/；，直线4c分别与直线/144交于4B、

。三点，直线DF分别与直线交于三点，AC与OE交于点。，若AC=4ROE=3,则

20.（25-26九年级上•广东深圳•期中）如图，4〃右〃4,两条直线与这三条平行线分别交于4B,C和。,

4»2

E,F,若〒=：,DF=IO,则所的长是（）

BC2

A.2B.4C.6D.8

题型五由平行截线求相关线段的长或比值

21.（25-26九年级上•浙江杭州•月考）如图，在平行四边形A8CD中，E为CD上一点、,连接HE、BD,且

AE.BD交于点F,DE:EC=2:3,则工团：5△力以:S.-二（）

n

A.2:3:5B.4:6:25C.4:10:25D.4:6:9

22.（25-26九年级上•吉林长春・期末）如图，在VA8C中，已知AC=8,BC=12,点、D、E、尸分别在边上,

30=340,DE//AC,DF//BC.则四边形。EC”的周长为.

23.（24-25九年级上•上海宝山•月考）如图，已知在V/1BC中，点D、E分别是边A4、4c上的点，DE〃BC,

EF//AB,且AO:O8=3:4,则.

BFC

24.（25-26九年级上•广东河源・期中）如图，点尸分别在VAAC的边上，DE〃BC,EF//AB,已知

FN

黑4D=：1,M是E尸的中点，连接并延长交AC于点M则?=______.

BD3AC

BFC

25.（25-26九年级上•河南平顶山•期末M1）如图1,在V4BC中，ZXE分别在边AB、AC上，且满足DE//BC,

竺二，则丝=

BD5AC-------

An4F

（2）问题探究：如图2,DE//BC,连接。C,如果EO刚好平分/A0C,求证：黑=空；

DCCE

AR

（3）结论应用：如图3,已知V/t8C中，AO平分/B4C,并且24。=3。。，求二二的值.

EU

C

B--------------------CBBD~C

图I图2图3

题型六相似图形

26.（25-26九年级上•广东茂名•期中）下列两个图形：①两个等边三角形；②两个等腰直角三角形；③两

个正方形；④两个菱形；⑤两个正六边形，一定相似的有（）

A.4组B.3组C.2组D.5组

27.（25-26九年级上.江苏徐州•月考）某物质的分子结构如图所示，所有六边形都是正六边形，用放大镜观

察该分子结构，则保持不变的是（)

B.六边形ABCDEF的周长

C.六边形A3CD灯的面积D.NEC。的度数

28.（23-24九年级匕江苏宿迁•月考）圆的外切正四边形与内接正四边形的边长之比是

29.（20-21九年级上•江苏无锡・月考）下列四个结论：①两个正三角形相似；②两个等腰直角三角形相似;

③两个菱形相似；④两个矩形相似：⑤两个正方形相似，其中正确的结论是.

30.（25-26九年级上•仝国.期末）阅读理解:

我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似

体.

如图所示，甲、乙是两个大小不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比多.

b

设%,s乙分别表示这两个正方体的表面积，则员=黑；又设％,勿分别表示这两个正方体的

S乙6b-\b）

（1）下列几何体中，一定属于相似体的是（）

A.两个球体B,两个圆锥体C.两个圆柱体D.两个长方体

（2）请归纳出相似体的三条主要性质：①相似体的一切对应线段1或弧）的比等于」②相似体表面积的比等

于二③相似体体积的比等于一.

（3）假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一个人的身体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为

Llm,体重为18kg.到了九年级时，身高为1.65m,则他的体重是多少（不考虑不同时期人体平均密度的

变化）？

题型七相似多边形

31.（25-26九年级上川I东青岛•期中）下列图形一定相似的是（）

A.两个三角形B.两个矩形

C.两个菱形D.两个边数相等的正多边形

32.（24-25八年级下•山东威海•期末）如图，在锐角三角形、矩形、正六边形外加宽度一样的外框，外框边

与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的是（）

A.正六边形B.矩形和正六边形

C.三角形和矩形D.三角形和正六大形

33.（25-26九年级上•全国•阶段练习）下列各组多边形中，一定相似的是（填序号）.

①两个正方形：②两个菱形；③两个矩形；④两个正五边形；⑤两个等腰梯形.

34.（22-23九年级上•广东梅州•月考）如图，P是矩形A4CO内的任意一点，链接24,PB,PC,PD,得

到^PAB,PBC,△PC。，设它们的面积分别是S，S3，5，给出如下结论：

①$+52=3+54；

@S2+S4=S]+53；

③若S?=3sl,则S4=3s2；

④若S=s?,则2点在矩形的对角线上.

其中正确的结论的序号是.（把所有正确结论的序号都填在横线上）

35.（25-26九年级上•江西景德镇•期中）如图，矩形A8CO为一块绿地，长为32m,宽为24m,现计划在绿

地中央建一个矩形花圃EPG”.要使矩形花圃的面积是原矩形绿地面积的一半，且矩形花圃四周的绿地等

宽.

32m

Or

（1）求花画四周绿地的宽度；

（2）矩形A伙;“与矩形七卜GH相似吗？请说明理由.

题型八相似多边形的性质

36.（25-26九年级上•浙江嘉兴•期末）己知：在矩形A8CO中，AO=I.将该矩形按如图方式分成三个相同

的小矩形，若每个小矩形都和矩形ABC。相似，则的长为（）

37.（25-26九年级上•广西梧州•期中）我们手中拿着的试卷是一张8K纸，将它对折后得到一张16K的纸.你

知道吗？8K纸和16K纸是相似的矩形，动手试一试，由此你能得出一张16K纸的宽与长的比应该是（）

A.1：V2B.|：73C.1：2D.13

38.（25-26九年级上•福建厦门・期末）如图，在矩形488中，AQ=2,CD=L连接AC以对角线AC

为边.按逆时针方向作矩形人”。的相似矩形48CC.再连接AC-以对角线AG为边作矩形八的相似

矩形A&C2G按此规律继续下去，则矩形的面积为.

39.（25-26九年级匕山西大同•月考）如图，一张矩形A8CD绸布的长AO=〃，宽1按照图中方式将它

裁成相同的五面矩形彩旗.如果裁出的矩形A在矩形A38,则〃的值等于.

/1hh/4

4：；i；Q

nrs--i~~

耳：j:

B\\\\C

40.（2025•山东荷泽・三模）框中是小明对一道题目的解答以及老师的批注:

题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1,在温室内，沿

前面内墙保留3m宽的空地，其他三面内墙各保留1m宽的通道.当温室的长与宽各是多

少时，矩形蔬菜种植区域的面枳是288m2?

前

面

空蔬菜种植区域解：设矩形蔬菜种植区域的宽度为则长为Zvm.

地

根据题意，得x・2x=288

解这个方程，得为=-12（不合题意，舍去），X2=\2

所以温室的长为2x12+3+1=28（m）,宽为12+1+1=14（m）

答：当温室的长为28m,宽为14m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288n?.

老师批改时在他的解答中划了一条横线，并打了一个“？”

⑴清指出小明解答中存在的问题，并给出正确的解答过程.

（2）皿图，矩形AEC7T在矩形4BCD的内部，AB//ABrAQ〃AD,且AO:A8=2:1.设A8与49，

BC与BC,CD与CD,D4与Z）'A之间的距离分别为《仇。/,要使矩形A'B'CDs矩形ABC。，a,b,c,d

应满足什么条件？请说明理由.

2能力培优练

1.（2026•福建泉州•模拟预测）黄金分割点是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分

与较大部分的比值的分割点.已知线段至=2,点。是线段A8的黄金分割点，且AC〉BC,则AC的长是

)

「5/5—1D.亨

A.—1B.3-45

2

2.（25-26九年级上•辽宁辽阳•期末）如图，直线《〃6〃。，直线AC和被直线心&所截，A8=9,

BC=21,DE=5,则。尸的长为（）

C.25D.30

3.（25-26九年级上•浙江杭州•月考）如图，由顶点A射出两条射线A3、AC,过点E作线段。区EF,作OE

的平行线GC,作所的平行线BC.已知AE:EC=2:3,则。F:GB=（）

C.4：5D.3：4

4.（25-26九年级上•山东枣庄•期口）如图，在V4BC中，力。平分—84C,按如下步骤作图：第一步，分

别以点4,。为圆心，以大于;A。的长为半径作弧，两弧交于点M,N,、第二步，过M,N两点作直线

分别交A4,AC于点E,F；第三步，连接。£,DF.若8。=8,4尸=6,CD=4,则班的长是（）

12C.13D.18

5.（25-26九年级上.全国・期末）如图，矩形AB'C/y在矩形ABCD内，CD与C£>,AB与A夕之

间的距离都为1,AO与A77,8。与B'C之间的距离都为x,已知A8=30,8c=20,当x

6.（2025・四川成都•一-模）手机拍照构图，让照片从“随手拍”升级为“摄影作品”最直接、有效的方法,就是

利用手机自带的“网格线”功能，将画面中的重要元素放置在黄金分割点上.在拍照前开启手机相机的网格功

能，相机取景框会显示出两条水平线和两条垂直线，将画面分成九个部分，这四条线的四个交叉点，就是

大家所说的“黄金分割点”或“兴趣点”（黄金比为避二如图，点£F、G、H为矩形A3。。取景框内的

2

四个交叉点，将拍摄物主体的核心部分放在七、尸、G、”任意一个交叉点上，这样可以使拍摄物成为画面

的视觉焦点，若矩形A8CD取景框的画面约为120cm2,则矩形EFG”的面积为cm2.

7.（25-26九年级上•江苏宿迁•月考）已知?=£=;。。且a+8-勿=9,则。的值为______.

654

8.（25-26九年级上•四川成都・期口）在平行四边形A伙笫中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当

长为半径作弧，分别交BABC于点、M,N；②分别以M,N为圆心，以大于;MN的长为半径作弧，两弧

pp

在/ABC内交于点0；③作射线80,交AD于点、E,交C力延长线于点/，若CO=2,DE=l,则==_.

EF

9.（25-26九年级上•安徽六安•期口）已知线段〃，b,。满足〃:/?:c=2:3:5,且3〃+2。一。=14.

（1）求。，。C的值;

（2）若线段x是线段。，c的比例中项，求x的值.

10.（25-26九年级上•山西临汾•期中）黄金分割是几何学中的瑰宝之一，给人以震撼的美感.课本第56页

/?p4P

这样定义“黄金分割点”：如图I,点尸将线段相分成两部分心破若瓦=瓦，则称点P为线段

的黄金分割点，这个比值称为黄金比.

（2）某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，如图2,在VA3C中，点。是4C

SS

边上一点，A。将VA4c分割成两个三角形（5>5八e），当满足瞪8=则称A。为VA4C的

黄金分割线.

①求证：此时点是线段8C的黄金分割点;

②若VABC的面枳为4,请直接写出.A8的面枳.

11.（25-26九年级上•吉林长春・期末）【知识储备】如图①，在V44c中，点。是A3的中点，DE〃BC,

则AE与AC的数量关系为

【类比探究】小明同学在学习时遇到这样一个问题:

如图②，在V/仍C中，点。是边8C的中点，点石是边A8上一点，且跳：=2AE,AD.CE相交于点。.求

证：AO=DO.

小明同学发现：如图③，可以过点。作。匹〃CE,交边AB于点、F,从而可以得到△Af7）sA4EO,再利用

线段间的数量关系推出结论.下面是小明同学的部分证明过程:

证明：如图③，过点Q作Q广〃CK,交人8于点F.

•・,DF//CE，点D是边BC的中点,

，点尸是砥的中点,

/.BE=2EF.

请你补全余下的证明过程.

【拓展迁移】如图④，在VA8C中，点。是边8c的中点，点E是边延长线上一点，且8E=3AE,射线

D4与射线CE相交于点0,则线段A0和线段。。的数量关系是.

12.（24-25九年级上•河南郑州•期中）某巾准备在一块长为50m,宽为40m的矩形荒地上建造一个巾民休闲

广场，如图为广场设计图，阴影部分为宽度相同的甬道，甬道把广场分成ARC三个矩形的休闲区（其中

一边为am）.

⑴设甬道宽度为贝m（用含x的代数式表示）；

⑵若休闲区A8.C的总面积为1540m，求甬道的宽度；

（3）能否设计出符合题目要求，且矩形A的形状与原矩形荒地的形状相似的休闲区？若能，求出此时甬道的

宽；若不能，请说明理由.

3创新题型练

I.（25-26九年级上•浙江杭州•期口）黄金分割，乂称黄金比、中外比，是一个数学常数，它描述了一种特

殊的比例关系：将一条线段分割为两部分，使得较长部分与较短部分的比值，等于全长与较长部分的比值,

这个比值就是黄金分割比.自然界中就充满着黄金比，校园里一片小小的树叶，叶筋上一点，为恰好为A8

的黄金分割点如果AS的长度为10cm,那么4尸的长度为—cm.（用含石的代数式表示）

2.（25-26九年级上.四川眉山・期口）若欠=土也=生==与£（女工0）,则函数y=&+〃+3一定经过第一

cab

象限.

3.（25-26九年级上•山西运城・