重庆市永川区2026届高三数学上学期一诊复习题四含解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一项是符合题目要求的.

1.记全集，集合，集合，则（）

A.B.

C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】先解二次不等式和对数不等式求得集合,再利用集合的混合运算求解.

【详解】，，

，

∴，

故选：C.

2.设为虚数单位，，“”是“复数是纯虚数”的（）条件

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】先化简，再根据纯虚数的定义求出的值，利用充分条件和必要条件得定义即可判断.

【详解】复数是纯虚数，

则，解得，

故“”是“复数是纯虚数”的充分不必要条件，

故选：A.

【点睛】对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看

作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注

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意把i的幂写成最简形式.

3.已知函数.若对于任意的等差数列，总有是等差数列，则称函数具有

“保等差性”.函数可能是（）

A.B.

C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用等差数列的定义依次验证选项即可.

【详解】是等差数列，则需要满足，

对于A，取等差数列，则,，,则

，故A不正确；

对于B，取等差数列，则,,，则

，故B不正确；

对于C，取等差数列，则,,,则

，故C不正确；

对于D,,,

所以，，

由于为等差数列，则，所以，故D正确；

故选：D

4.已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线于不同的两点

，设，其中，则的最小值是（）

A.4B.C.D.

【答案】C

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【解析】

【分析】利用向量的线性运算，再结合三点共线的性质，即可得，然后利用代换，结合基本

不等式即可求得最小值.

【详解】

由是边上靠近的三等分点，

可得：，

又因为，所以，

又因三点共线，所以

又因为，

所以，

当且仅当，即时取得等号，

所以的最小值为，

故选：C

5.已知双曲线的右顶点为，直线与的一条渐近线在第一

象限相交于点，若与轴垂直，则的离心率为（）

A.B.C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】利用与轴垂直得，与直线与渐近线方程，联立求解得到

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关系可得离心率.

【详解】依题意，联立得，即，所以，即，所以

.

故选：C

【点睛】本题考查求双曲线离心率.

求双曲线离心率的三种方法:

(1)直接求出来求解通过已知条件列方程组，解出的值．

(2)构造的齐次式，解出由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于离心率的一元二

次方程求解．

(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．

在解关于离心率的二次方程时，要注意利用双曲线的离心率)进行根的取舍，否则将产生增根．

6.设样本数据的平均数，中位数，众数和标准差分别为.当取得最小值

时，（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】令，将整理成二次函数的形式，然后根据二次函数的性质来求得正确

答案.

【详解】令，

是一个开口向上的关于的二次函数，故函数在对称轴处取得最小值，

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即.

故选：A.

7.已知，若点为曲线与曲线的交点，且两条曲线在点处的

切线重合，则实数的最大值为（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】设点的横坐标为，由导数几何意义得，进而求得，接着由切

点为两曲线公共点得，从而构造函数求出函数的最大

值即为解.

【详解】由可得，由得，

设点的横坐标为，则点处切线斜率，解得或（舍），

由点为曲线与曲线的交点，

所以与为同一点，

所以，即，

令，则，

令可得，由知，当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，故实数的最大值为.

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故选：B.

【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用导数几何意义和点为两曲线交点求得，进

而再构造函数利用导数即可求解.

8.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构

成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer），简

单地讲就是对于满足一定条件的连续函数存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不

动点函数”，给定函数，，已知函数，，在上均

存在唯一不动点，分别记为，则（）

A.B.

C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据新定义得到，，，得到三个具体的等式，构造函数，

通过研究函数的单调性可比较大小.

【详解】由已知可得，，即，所以，即.

由得.

由得.

令，，则恒成立，

所以在上单调递增，所以，所以.

所以，即.

令，，

因为函数在上单调递增，在上单调递减，且，

根据复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，

所以在上单调递减.

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又，，所以.

因为在上单调递减，，所以.

又，所以，即.

令，，则恒成立，

所以在上单调递减.

又，，

所以.

综上可得，.

故选：C.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数（，），满足，且函数在区间

上单调，下列说法正确的是（）

A.

B.若，则函数的最小正周期为

C.关于x的方程在上可以有4个不等实数解

D.若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为

【答案】ABD

【解析】

【分析】在一个单调区间内，由相反的函数值，得对称中心，判断A，由得对称轴，

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结合对称中心得周期，判断B，由题意得出周期的范围，在上至多有3个完整周期，而

在1个完整周期内只有1解判断C，由函数在区间上零点个数确定周期的范围从而得范围，结

合已知单调区间得出范围后判断D．

【详解】，所以，A正确；

由在区间上单调，，得，，

，则是对称轴方程，而是对称中心，

所以，，B正确；

由在区间上单调，，得，，

所以在上至多有3个完整周期，而在1个完整周期内只有1解，

故在上最多有3个实数解，因此C错误；

函数区间上恰有5个零点，

则，即，解得，

又，即，，

所以，D正确．

故选：ABD．

10.已知点为直线上的动点，向量，过点向圆作两

条切线，切点分别为点，则（）

A.若直线与圆相切，则

B.当时，直线截圆所得的弦长为

C.点到直线的距离恒为

D.若，则当取到最小值时，

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【答案】ABD

【解析】

【分析】根据直线与圆的性质，点到直线的距离公式，逐一分析判断选项即可.

【详解】A项：当与圆相切时，圆心到直线的距离为，所以，A项正确；

B项：时，圆心到直线的距离为，所以弦长为，B项正确；

C项：易知，直线一个法向量为，可知，C项错误；

D项：由知：点的轨迹为一条与平行的直线，不妨设为，当时，由于，易知与圆

无交点

由切线可知，则

因为，所以当取最小值时，有最小值此时

，即项正确.

故选：ABD.

11.平面中有个不同的点，且任意3点均不共线．从某点开始与其他点连线（连线均为线段），

笔不能离开纸面，也不能与任何一条线段重合（可以重复经过线段上的一个点），最后到达某个点结束，这

个图形为一个“通路”．在“通路”中，若起点和终点重合了，则这个图形为一个“回路”．对于下列三个图形，

结论正确的有（）

A.在图1中，可以绘制7个不同的“通路”

B.在图2中，可以绘制18个仅由3条线段组成的不同的“通路”

C.在图2中，可以绘制7个不同的“回路”

D.在图3中，可以绘制37个至多由5条线段组成的不同的“回路”

【答案】ACD

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【解析】

【分析】在图1中，一共可以组成条线段，分情况讨论“通路”：由1条线段组成，由2条线段组成，

由3条线段组成，可判断A；在图2中，4个点两两连接，最多有条线段，根据间接法求由3条线

段组成的不同的“通路”，可判断B；在图2中，分别求出两类：任意三点首尾相连，由4个端点4条线段组

成的不同的“回路”，即可判断C；在图3中，分类：任意三点首尾相连（3条线段）可以组成的“回路”,由4

个端点4条线段组成的不同的“回路”,由5个端点5条线段组成的“回路”，相加即可判断D．

【详解】在图1中，一共可以组成条线段，仅由1条线段组成的“通路”有个，

仅由2条线段组成的“通路”有个，由3条线段组成的“通路”有1个，

所以可以绘制个不同的“通路”，A正确．

在图2中，4个点两两连接，最多有条线段，

仅由3条线段组成的图形有个，

但三条线段共一个端点的图形不能组成“通路”，

所以仅由3条线段组成的不同的“通路”有个，B错误．

在图2中，任意三点首尾相连可以组成个“回路”；

由4个端点4条线段组成的不同的“回路”有如下3种，其他情况不能组成“回路”，

所以可以绘制个不同的“回路”，C正确．

在图3中，任意三点首尾相连（3条线段）可以组成个“回路”；

由4个端点4条线段组成的不同的“回路”有种（由C选项可知）；

如图4，任选一个点，该点最多在四条线段上，在这4条线段中任选两条线段，有种不同的选法，

如图5，在每一种选法上，将在线段上的点A，B与不在线段上的点C，D，2个为一组分别连接起来，

有种不同的选法，最后连接，

如图6、图7所示，由5个端点5条线段组成的“回路”有个．

故可以绘制个至多由5条线段组成的不同的“回路”，D正确．

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故选：ACD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知向量，向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______.

【答案】

【解析】

【分析】根据两向量夹角为锐角得向量数量积大于0且两向量不共线，列出不等式组，进而求出结果.

【详解】由题意得，则，解得；

当，则，此时，舍去.

综上，的取值范围是.

故答案为：.

13.已知空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为

．用以上知识解决下面问题：已知平面的方程为

，直线l是两个平面与的交线，则直线l与平面所成角的

余弦值为________．

【答案】

【解析】

【分析】由题意可得平面、平面及平面的法向量，根据已知可知直线与平面

及平面的法向量垂直，可设出直线的方向向量并计算得解，再利用向量的夹角

公式计算即可得直线与平面所成角的余弦值.

【详解】由题意可得平面的法向量可为，

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平面的法向量可为，

平面的法向量可为，

设直线的方向向量为，

则有，取，则有、，

则直线的方向向量可为，

则，

故直线l与平面所成角的余弦值为.

故答案为：.

14.函数在区间上存在零点，则的最小值为_________.

【答案】##

【解析】

【分析】设为在上的零点，可得，转化为点在直线上，

根据的几何意义，可得有解，利用导数求得函数的单调性和最值，即可得答案．

【详解】设为在上的零点，可得，

所以，即点在直线，

又表示点到原点距离的平方，

则有解，即有解，

令，可得，

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因为，，

所以恒成立，

可得在上为单调递增函数，

所以当时，，

所以，即的最小值为．

故答案为：.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在△中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）求A；

（2）线段上一点D满足，，求的长度．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简即可得解；

（2）根据角之间的关系及正弦定理求出，由同角三角函数间的基本关系求出即可

得解.

【小问1详解】

由结合正弦定理可得，

因为，所以，

所以，

即，

因为，所以，

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因为，所以；

【小问2详解】

如图，

由题设，令，

则，，，

在△中，

即，

所以，故，

所以，又，，

解得.

在等腰中，取中点，连接，则，

则.

16.已知椭圆的右焦点为，离心率为.

（1）求的方程；

（2）若直线与交于，两点，与轴交于点，且是的中点，求的值.

【答案】（1）

（2）

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【解析】

【分析】（1）根据焦点坐标，可得c值，根据离心率，可得a值，根据的关系，可得，即可得答

案.

（2）根据直线方程，可得P点坐标，将直线与椭圆联立，根据韦达定理，可得，表达式，根

据条件，可得，联立求解，可得m值.

【小问1详解】

因为右焦点为，所以，

因为离心率，所以，

则，所以的方程为.

【小问2详解】

由与轴交于点，令，解得，则，

联立直线与椭圆，得，

判别式，解得或，

设，则，

因为是的中点，所以，

解得，

则，解得符合题意，

所以的值为

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17.记为数列的前项和，已知，．

（1）判断是否为等比数列，并求出的通项公式；

（2）设递增的等差数列满足，且、、成等比数列．设

，证明：．

【答案】（1）不是等比数列，且

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）当时，求出的值，当时，由可得，两式作差可得

出，结合可得出结论，结合等比数列的通项公式可得出数列的通

项公式；

（2）设等差数列的公差为，由题意可知，根据题中条件可得出关于的方程，解出的值，

可得出数列的通项公式，放缩可得，结合裂项相消法可证得所证不等式成立.

【小问1详解】

因为，且对任意的，，

当时，，

当时，由可得，

上述两个等式作差得，即，所以，

又因为，

故数列不是等比数列，且该数列是从第项开始成公比为的等比数列，

当时，，即，

综上所述，.

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【小问2详解】

设等差数列的公差为，由题意可知，且，，

，，

所以，，，

因为、、成等比数列，所以，

整理得，解得或（舍去），

所以，

所以，

所以

，故原不等式得证.

18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为的正方形，面ABCD，若点M满足

，点E为PB中点，过EM的平面满足，且平面与棱PD，AD，AB分别交于点F，

G，H.

（1）求证：；

（2）试判断P，E，M，F，G，H六点能否在同一个球面上？若能，求该球的表面积；若不能，请说明理

由.

【答案】（1）证明见解析

（2）

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【解析】

【分析】（1）由利用线面平行的性质定理，得到，得到点为中点，再证明为

中点，可得，最后利用线面平行的判定定理证明；

（2）法一：以为原点建立空间直角坐标系，求出P，E，M，F，G，H六点坐标，利用球心到球面的距

离等于半径，列方程组，可得方程组有解，所以六点在同一个球面上，并求出半径，得到表面积；法二：

利用传统法：转化得，，，，的外接圆即矩形的外接圆，从而

求得

，再利用求得外接圆半径.

【小问1详解】

因为，平面,平面,所以;

因为点为中点，所以点为中点；

设，连接,

因为，平面，所以;

因为，所以;

因为三点共线，所以，所以为中点；

又因，，所以.

【小问2详解】

法一：由，平面,平面,所以

又因为为中点，所以为中点,

以为原点，方向为轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示

设，则；

若P，E，M，F，G，H六点在同一个球面上，假设球心，半径为，则

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所以当时，P，E，M，F，G，H六点在同一个球面上，

该球的表面积为.

法二：若，，，，，六点在同一个球面上，

则，，，，五点共圆，

记球的半径为，圆的半径为，

因为，面面面，

所以，所以，

因为，同理，所以，

所以四边形为平行四边形．

因为面，所以，所以，

所以四边形为矩形，

所以，，，，的外接圆即矩形的外接圆，

所以，所以．

设外接球的球心为，则面，

设，因为，所以．所以，

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所以，所以．

19.已知随机变量的取值为非负整数，其分布列为：

012…n

P…

其中，且．由生成的函数为，