第3章 空间向量与立体几何 单元达标检测 高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

北师大版高中数学选修1第3章空间向量与立体几何A.√70B.3√2l与平面α所成的角为()BBA.EF至多与A₁D,AC之一垂直B.EF⊥A₁D,EF⊥AC弦值为()8.设动点P在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的对角线BD₁上，且当∠APC为锐角时，λ的取值范围是()B.直线l的一个方向向量是a=(1,-1,2),平面α的一个法向量是ü=(6,4,-1),则l1aD.直线l的一个方向向量是a=(0,3,0),平面α的一个法向量是ü=(0,-5,0),则L//α10.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，下列结论正确的是()B.AD₁与A₁B的夹角为60°11.正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，下列结论正确的有()A.AD与BC所成的角为30°B.AC与BD所成的角为90°C.BC与面ACD所成角的正弦值为D.平面ABC与平面BCD的夹角的正切值是√212.如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是等边三角形，侧棱AA₁⊥底面ABC,D为AB的中点，若AB=2,AA₁=√6,则()B.异面直线A₁D与AC₁所成角的正弦值为C.异面直线A₁D与AC₁所成角的余弦值为二、填空题13.已知空间中两点A(-3,-1,1),B(-2,2,3),在Oz轴上有一点C到A,B两点的距离相等，则14.在空间直角坐标系0-xyz中，四面体ABCD的顶点坐标分别是A(0,0,2),B(2,2,0),C(1,2,1),16.如图，在三棱锥S-ABC中，SA=SB=SC,且,M,N分别是AB和SC的中点，则异面直线SM与BN所成角的余弦值为,直线SM与平面SAC所三、解答题BC=AA₁=2.(2)求直线BC与平面AB₁D所成角的正弦值.(2)求二面角P-CD-B的余弦值；C22.如图，三棱锥P-ABC的侧棱PA=2,三角形ABC为正三角形，边长为2,顶点P在平面(3)线段PC上是否存在点E,使得PC⊥平面ABE?如果存在，求出1.【答案】A【解析】因为点M(-5,3,1)关于x轴的对称点为N,所以点N的坐标为(-5,-3,-1),故选A.2.【答案】A【解析】故向量a,n的夹角为60°,则直线l与平面α所成的角为90°-60°=30°.3.【答案】B【解析】连接ON,如图，由向量加法的平行四边形法则可得故选B.4.【答案】C【解析】因为b//c,所以y=-2,所以b=(1,-2,1),因为a⊥b,所以x=1,所以a=(1,1,1),故选D.系，设正方体棱长为1,则D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),A₁(1,0,1),B(1,1,0),D₁(0,0,1),由题意则,A₁D=(-1,0,-1),AC=(-1,1,0),BD₁= 则A(1,0,0),B(1,1,0),C( D₁B=(1,1,-1),D₁P=λD₁B=λ(1,1,-1)=(D₁A=(1,0,-1),D₁C=(0,1,-1).PC=D₁C-D₁P=(0,1,-1)-(λ,λ,—λ)=(-λ,1所以-2λ(1-λ)+(1-λ)²>0,即(λ-1)(3λ-1)>0,解得或λ>1,由题意知0≤λ≤1,对于B,直线l的一个方向向量是a=(1,-1,2),平面α的一个法向量是ü=(6,4,-1),则a·对于C,两个不同的平面α,β的一个法向量分别是ü=(2,2,-1),=(-3,4,2),则ü·v=2×平面α的一个法向量是ü=(0,-5,0),则ü=所以llα,故错误.故选AC.但是向量AD₁与A₁B的夹角为120°,故B错误；所以A₁C·D₁B₁=0,故D正确.【解析】取BD的中点0,连接A0,CO,所以BA=(0,1,1),AD=(0,1,-1),BC=(1,1,0),AC=(1,0所以ť=(1,1,1),则故C错误；设两个平面的夹角为α,则所以平面ABC与平面BCD的夹角的正切值是√2,故D正确.所以CD//平面AB₁C₁不成立，D不正确.因此√3²+1²+(t-1)²=√2²+(-2)²+(t-3)²,整理得2t-3=0,解得则A₁(0,0,1),E,D(0,1,0),所以y=2,z=2.则D(0,0,0),A₁(2,0,2),B(2,2,0),B₁(2,2,2)所以DA₁=(2,0,2),DB=(2,2,0),),BE=(a,√3a,a),BC=(2a,0,-a).又AF女平面BCE,所以平面BCE1平面CDE.则C(0,0,0),B(0,2,0),A(2,0,所以AB₁=(-2,2,2),B₁D=(1,-2,0),BC=(0,-2,0).所以n=(2,1,1).(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2).所以AP=(0,0,2),AC=(2,2,0)所以BD·AP=0,BD·AC=0,即BD⊥AP,BD⊥AC,又AP∩AC=A,所以BD1平面PAC.则即所以AP=(0,0,2)为平面BCD的一易知二面角P-CD-B为锐角，设为θ,依题意可得(1)由∠B=90°,D,E两点分别是线段AB,AC的中点，所以面ABE1面ADC.(图略),则B(1,0,0),