2026版高三数学讲义第十章　10.8　概率统计的综合问题

10．8概率统计的综合问题

会综合利用概率统计知识，解决频率分布直方图、回归模型、独立性检验与分布列的综

合问题．

考点1频率分布直方图与分布列的综合

【例1】为提高学生的环保意识，某大学举办了一次环保知识竞赛，并从所有参赛大

学生中随机抽取了100人，统计发现他们的竞赛分数均分布在[450，950]内，根据调查的结

果绘制了竞赛分数的频率分布直方图，如图所示．分数不低于850分的学生被称为“特优选

手”．

(1)求a的值，并估计该校学生竞赛分数的第70百分位数和平均数（同一组中的数据用

该组区间的中点值作代表）；

(2)现采用比例分配的分层随机抽样的方式从分数在[750，850），[850，950]内的两组学

生中共抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记被抽取的4名学生中“特优选手”的人

数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．

【解】(1)由频率分布直方图知(0.0015×2＋a＋0.0025＋0.0010)×100＝1a＝0.0035.

设第百分位数为，前两组所占频率为＋×＝，

70m(0.00150.0035)1000.5⇒

前三组所占频率为(0.0015＋0.0035＋0.0025)×100＝0.75，则m位于第三组数据中，

m－650750－m

所以＝m＝730，即第70百分位数的估计值为730.

70%－50%75%－70%

⇒

平均数x＝(500×0.0015＋600×0.0035＋700×0.0025＋800×0.0015＋900×0.0010)

×100＝670，

即该校学生竞赛成绩的平均数的估计值为670.

(2)由(1)知分数在[750，850），[850，950]内的两组学生分别有100×0.0015×100＝15（人），

100×0.0010×100＝10（人），

1510

所以各自抽取的人数分别为10×＝6，10×＝4，

15＋1015＋10

显然“特优选手”有4人，

43122

C61C6C48C6C4

故X可取0，1，2，3，4，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝

444

C1014C1021C10

134

3C6C44C41

，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，

44

7C1035C10210

所以X的分布列为

X01234

18341

P

1421735210

183418

E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.

高考中常将频率分布直方图与分布列等交汇在一起进行考查，解题时要正确理解频率分

布直方图，能利用频率分布直方图正确计算出各组数据．概率问题以计算为主，往往和实际

问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来．

【对点训练1】某甜品店为了解某款甜品的销售情况，进而改变制作工艺，根据以往

的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示.假设每天的销售量相互独立，

用频率估计概率．

(1)估计某一天此款甜品销售量不超过60个的概率．

(2)用X表示在未来3天里，此款甜品日销售量超过60个的天数，求随机变量X的分布

列和数学期望．

(3)该店改变了制作工艺以后，抽取了连续30天的销售记录，发现这其中有20天的销售

量都超过70个，根据抽查结果，能否认为改变工艺后，此款甜品的销售情况发生了变化？请

说明理由．

解：(1)设事件A为“某一天此款甜品销售量不超过60个”，

所以P(A)＝(0.01＋0.03)×10＝0.4.

(2)根据题意得X～B(3，0.6)，则

P(X＝0)＝0.43＝0.064，

12

P(X＝1)＝C3×0.6×0.4＝0.288，

22

P(X＝2)＝C3×0.6×0.4＝0.432，

P(X＝3)＝0.63＝0.216，

所以X的分布列为

X0123

P0.0640.2880.4320.216

所以E(X)＝0×0.064＋1×0.288＋2×0.432＋3×0.216＝1.8.

(3)可以认为改变制作工艺后，此款甜品的销售情况发生了变化．理由如下：

改变制作工艺前，设事件C表示“日销售量超过70个”，用Y表示30天内日销售量超

过70个的天数，

由频率分布直方图可得P(C)＝0.2，则Y～B(30，0.2)，

所以E(Y)＝30×0.2＝6<20，

所以可以认为改变制作工艺后，此款甜品的销售情况发生了变化．

考点2回归模型与分布列的综合

【例2】（2025·山东淄博二模）汽车尾气排放超标是导致全球变暖、海平面上升的重

要因素．我国近几年着重强调可持续发展，加大新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽

车产业迅速发展．某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统

计表：

年份t20202021202220232024

年份代码x12345

销量y/万辆1012172026

(1)计算销量y关于年份代码x的样本相关系数r，并判断是否可以认为y与x有较强的

线性相关关系（若|r|≥0.75，则认为有较强的线性相关关系）.若是，求出y关于x的经验回

归方程；若不是，请说明理由．

(2)为了解购车车主的购车种类（分为新能源汽车与传统燃油汽车）的情况，该企业调查

了该地区4位购买新能源汽车车主和4位购买传统燃油汽车车主，现从这8位购车车主中随

机抽取3位，用X表示抽取的3位购车车主中购买新能源汽车的人数，求随机变量X的分布

列与均值．

附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，变量x，y的样本相关系数r＝

^^^^

错误!＝；经验回归方程y＝bx＋a中，b＝错误!＝

^^

，a＝y－bx.

1

【解】(1)由题意得x＝×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，

5

122

y＝×(10＋12＋17＋20＋26)＝17，错误!iyi＝295，错误!i＝55，错误!i＝1609，

5

295－5×3×174040

r＝错误!＝＝>≈0.976>0.75，

55－5×32×1609－5×1724141

因此，销量y与年份代码x有较强的线性相关关系．

^295－5×3×17

b＝错误!＝＝4，

55－45

^^

a＝y－bx＝17－4×3＝5，

^

故y关于x的经验回归方程为y＝4x＋5.

(2)由题意可得，X的可能取值为0，1，2，3，

03

C4C41

则P(X＝0)＝＝，

3

C814

12

C4C43

P(X＝1)＝＝，

3

C87

21

＝＝C4C4＝3，

P(X2)3

C87

30

C4C41

P(X＝3)＝＝，

3

C814

所以X的分布列为

X0123

1331

P

147714

13313

所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

1477142

高考中常将回归模型与分布列等交汇在一起进行考查，求经验回归方程时要充分利用已

知数据，合理利用公式减少运算．求解概率问题时要注意概率模型的应用，明确所求问题所

属的事件类型是关键．

【对点训练2】（2024·山东日照二模）某公司为考核员工，采用某方案对员工进行业

务技能测试，并统计分析测试成绩以确定员工绩效等级．

(1)已知该公司甲部门有3名负责人，乙部门有4名负责人，该公司从甲、乙两部门中随

机选取3名负责人做测试分析，记负责人来自甲部门的人数为随机变量X，求X的最有可能

的取值．

(2)该公司统计了七个部门测试的平均成绩x（满分100分，成绩为整数）与绩效等级优

秀率y，如下表所示：

x32415468748092

y0.280.340.440.580.660.740.94

根据数据绘制散点图，初步判断，选用y＝λecx作为回归方程．令z＝lny，经计算得z≈

－0.642，错误!≈0.02.

(ⅰ)已知某部门测试的平均成绩为60分，估计其绩效等级优秀率；

(ⅱ)根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩x～N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均

数x，σ2近似为样本方差s2，经计算s≈20，求某个部门绩效等级优秀率不低于0.78的概率．

参考公式与数据：①ln0.15≈－1.9，e1.2≈3.32，ln5.2≈1.65.

^^^^^^

②经验回归方程y＝bx＋a中，b＝，a＝y－bx.

③若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0.6826，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≈0.9544，

P(μ－3σ<X<μ＋3σ)≈0.9974.

解：(1)依题意，随机变量X服从超几何分布，且X的可能取值为0，1，2，3，则P(X

0312

C3·C44C3·C418

＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，

33

C735C735

21

C3·C412

P(X＝2)＝＝，

3

C735

30

＝＝C3·C4＝1

P(X3)3.

C735

18

由此可得P(X＝1)＝最大，即X＝1的可能性最大，故X最有可能的取值为1.

35

(2)(ⅰ)依题意，y＝λecx两边取对数，得lny＝cx＋lnλ，即z＝cx＋lnλ，其中x＝

32＋41＋54＋68＋74＋80＋92

＝63，

7

由提供的参考数据，可知c≈0.02，

又－0.642＝0.02×63＋lnλ，故lnλ≈－1.9，所以λ≈e-1.9，

由提供的参考数据，可得λ≈0.15，故y^＝0.15×e0.02x.

当x＝60时，y^＝0.15×e0.02×60≈0.498，即估计其绩效等级优秀率为0.498.

(ⅱ)由(ⅰ)及提供的参考数据可知，μ≈x＝63，σ≈s≈20，

ln5.2

又y^≥0.78，即0.15×e0.02x≥0.78，可得0.02x≥ln5.2，即x≥≈83.

0.02

又μ＋σ＝83，且P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0.6826，

11

由正态分布的性质，得P(x≥83)＝[1－P(μ－σ<x<μ＋σ)]≈×(1－0.6826)＝0.1587，

22

记“绩效等级优秀率不低于0.78”为事件A，则P(A)＝P(x≥83)＝0.1587，

所以绩效等级优秀率不低于0.78的概率等于0.1587.

考点3独立性检验与分布列的综合

【例3】（2024·山东青岛三模）为了研究高三年级学生的性别和身高是否低于170cm

的关联性，随机调查了某中学部分高三年级的学生，整理得到如下列联表：

身高

性别合计

低于170cm不低于170cm

女生14519

男生81018

合计221537

(1)依据小概率值α＝0.1的独立性检验，能否认为该中学高三年级学生的性别与身高有关

联？

(2)从身高不低于170cm的15名学生中随机抽取三名学生，设抽取的三名学生中女生人

数为X，求X的分布列及期望E(X).

2

(3)若低于170cm的8名男生身高数据的平均数为x＝166.5cm，方差为s1＝9，不低于

2

170cm的10名男生身高数据的平均数为y＝180cm，方差为s2＝18.请估计该中学男生身高

数据的平均数和方差．

n(ad－bc)2

附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.

(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)

α0.10.050.010.0050.001

xα2.7063.8416.6357.87910.828

【解】(1)零假设：该中学高三年级学生的性别与身高无关联．

根据列联表中的数据，经计算得

××－×2

237(141058)

χ＝≈3.278>2.706＝x0.1，

19×18×22×15

由此可知根据小概率值α＝0.1的独立性检验，零假设不成立，可以认为性别与身高有关

联．

3

由题意，可得随机变量的可能取值为，，，，则＝＝C10＝24，＝

(2)X0123P(X0)3P(X1)

C1591

12213

C5C1045C5C1020C52

＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，

333

C1591C1591C1591

所以随机变量X的分布列为

X0123

2445202

P

91919191

2445202

所以期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.

91919191

(3)由题意知，18名男生身高数据的平均数

45

z＝×166.5＋×180＝174(cm)，

99

18名男生身高数据的方差

2112

s＝＝[（xi－x＋x－z）＋错误!（yi

1818

21222

－y＋y－z）]＝[错误!（xi－x）＋8（x－z）＋错误!（yi－y）＋10（y－z）

18

2422522

]＝×[s1＋（x－z）]＋×[s2＋（y－z）]＝59，

99

所以估计该中学男生身高数据的平均数为174cm，方差为59.

高考中常将独立性检验与分布列等交汇在一起进行考查，解决独立性检验问题，要注意

过好“三关”：假设关、公式关、对比关．解决概率问题要准确地把握题中所涉及的事件，

明确所求问题所属的事件类型．

【对点训练3】（2024·山东临沂二模）“赶大集”出圈彰显了传统民俗的独特魅力．为

了解年轻人对“赶大集”的态度（态度分为非常喜欢和感觉一般），随机调查了200位年轻人，

得到的统计数据如下面的不完整的2×2列联表所示．

对“赶大集”的态度

性别合计

非常喜欢感觉一般

男性3t100

女性t

合计60

(1)求t的值，试根据小概率值α＝0.01的独立性检验，判断能否认为年轻人对“赶大集”

的态度与性别有关．

(2)从样本中筛选出5名男性和3名女性共8人作为代表，这8名代表中有2名男性和2

名女性非常喜欢“赶大集”．现从这8名代表中任选3名男性和2名女性进一步交流，记X

为这5人中非常喜欢“赶大集”的人数，求X的分布列及数学期望E(X).

n(ad－bc)2

参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.

(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)

α0.10.050.01

xα2.7063.8416.635

解：(1)由题意可知3t＋(60－t)＝100，解得t＝20，

零假设：年轻人对“赶大集”的态度与性别无关，2×2列联表如下：

对“赶大集”的态度

性别合计

非常喜欢感觉一般

男性6040100

女性8020100

合计14060200

200×(60×20－40×80)2200×20002

χ2＝＝≈9.524>6.635.

100×100×140×60140×60×100×100

根据小概率值α＝0.01的独立性检验，零假设不成立，可以认为年轻人对“赶大集”的

态度与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.

(2)设进一步交流的男性中非常喜欢“赶大集”的人数为m，女性中非常喜欢“赶大集”

的人数为n，则X＝m＋n，且X的所有可能取值为1，2，3，4.

311

C3C2C121

P(X＝1)＝P(m＝0，n＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝P(m＝1，n＝1)＋P(m＝0，n＝2)

32

C5C33015

1211322111122

C2C3C2C1C3C213C2C3C2C1C2C3C212

＝＋＝，P(X＝3)＝P(m＝2，n＝1)＋P(m＝1，n＝2)＝＋＝

32323232

C5C3C5C330C5C3C5C330

212

2C2C3C231

＝，P(X＝4)＝P(m＝2，n＝2)＝＝＝.

32

5C5C33010

所以X的分布列为

X1234

11321

P

1530510

21312338

所以E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.

3030303015

课时作业75

1．（13分）（2025·北京东城区一模）某中学为了解高二年级学生阅读水平现状，从该年

级学生中随机抽取100人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字

数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到频率分布直方图：

(1)若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分及以上的人数；

(2)用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字

/分及以上的人数为X，求X的分布列与数学期望E(X)；

(3)若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度的数据如下：506，516，553，592，

617，632，667，693，723，776，从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到

540字/分及以上的人数为Y，试判断数学期望E(Y)与(2)中的E(X)的大小，并说明理由．

解：(1)1500×(0.00375＋0.00100＋0.00025)×80＝600，

故可估计阅读速度达到620字/分及以上的人数为600.

(2)从中随机抽取一人，其阅读速度达到540字/分及以上的概率为(0.00500＋0.00375＋

0.00100＋0.00025)×80＝0.8，

X的可能取值为0，1，2，3，

03

P(X＝0)＝C3×0.2＝0.008，

12

P(X＝1)＝C3×0.8×0.2＝0.096，

22

P(X＝2)＝C3×0.8×0.2＝0.384，

33

P(X＝3)＝C3×0.8＝0.512，

则X的分布列为

X0123

P0.0080.0960.3840.512

期望为E(X)＝3×0.8＝2.4.

(3)E(X)＝E(Y)，理由如下：这10名学生中，阅读速度达到540字/分及以上的人数为8，

则Y的可能取值为1，2，3，

12

C8C281

P(Y＝1)＝＝＝，

3

C1012015

21

C8C2567

P(Y＝2)＝＝＝，

3

C1012015

30

C8C2567

P(Y＝3)＝＝＝，

3

C1012015

177

则E(Y)＝1×＋2×＋3×＝2.4，故E(X)＝E(Y).

151515

2．（13分）（2024·江西鹰潭三模）某校体育锻炼时间准备提供三项体育活动供学生选择．为

了解该校学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度，随机调查了200名学生，数

据如下：

性别

态度合计

男生女生

同意7050120

不同意305080

合计100100200

(1)能否有99%的把握认为学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度与性别

有关？

(2)现有足球、篮球、跳绳供学生选择．

①若甲、乙两名学生从这三项运动中随机选一种，且他们的选择互不影响．记事件A为

“甲学生选择足球”，事件B为“甲、乙两名学生的选择不同”，判断事件A，B是否独立，

并说明理由．

②若该校所有学生每分钟跳绳个数X～N(185，169).根据往年经验，该校学生经过训练后，

跳绳个数都有明显增加．假设经过训练后每人每分钟跳绳个数比开始时个数增加10，该校有

1000名学生，预估经过训练后该校学生每分钟跳182个以上的人数（结果四舍五入到整数）.

n(ad－bc)2

附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.

(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)

α0.0250.0100.005

xα5.0246.6357.879

若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|<σ)≈0.6827，P(|X－μ|<2σ)≈0.9545，P(|X－μ|<3σ)≈0.9973.

解：(1)由题设列联表，有

200×(70×50－50×30)225

χ2＝＝≈8.33>6.635，

120×80×100×1003

故有99%的把握认为学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度与性别有关．

(2)①事件A，B独立，理由如下：

111

1C3·C22C22

P(A)＝，P(B)＝＝，P(AB)＝＝，则P(AB)＝P(A)·P(B)，故事件A，B独立．

1111

3C3·C33C3·C39

1P(μ－σ<X<μ＋σ)

②训练后X～N(195，132)，P(X>182)＝P(X>μ－σ)＝＋

22

1＋0.6827

≈＝0.84135，

2

故预估经过训练后该校学生每分钟跳182个以上的人数为0.84135×1000≈841.

3．（17分）（2024·江苏南通模拟）某高校统计的连续5天入校参观的人数（单位：千人）

如下：

第x天12345

参观人数y/千人2.42.74.16.47.9

2

并计算得错误!iyi＝85.2，错误!i＝55，x＝3，y＝4.7.

(1)求y关于x的经验回归方程，并预测第10天入校参观的人数．

(2)已知该校开放1号、2号门供参观者进出，参观者从两门进校的概率相同，且从进校

12

处的门离校的概率为，从另一处门离校的概率为.假设甲、乙两名参观者进出该校互不影响，

33

已知甲、乙两名参观者从1号门离校，求他们从不同门进校的概率．

^^^^^

附：经验回归方程为y＝bx＋a，其中b^＝错误!，a＝y－bx.

^85.2－5×3×4.7

解：(1)依题意，b＝错误!＝错误!＝＝1.47，

55－5×32

^^^^

a＝y－bx＝0.29，所以y＝1.47x＋0.29.当x＝10时，y＝14.99，

故第10天入校参观的人数约为14.99千人．

(2)记“两名参观者从不同门进校”为事件A，“两名参观者都从1号门离校”为事件B，即

求P(A∣B).

1112

11111212×××1

P(B)＝×××＋×××＋2323×2＝，

232323234

11121

P(AB)＝××××2＝，

23239

P(AB)4

所以P(A∣B)＝＝.

P(B)9

4

故他们从不同门进校的概率为.

9

4．（17分）（2024·河北沧州模拟）“南澳牡蛎”是我国地理标志产品，产量高、肉质肥、

营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉.2024年某基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投

入增量x（单位：人）与年收益增量y（单位：万元）的数据如下：

人工投入增量x/人234681013

年收益增量y/万元13223142505658

该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量，建立了y关于x的两个回归模型．