2025-2026学年福建省厦门市海沧实验中学高二下册质检数学试题【附答案】

/2025-2026学年福建省厦门市海沧实验中学高二（下）质检数学试卷（3月）一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.设随机变量X的概率分布列为X1234Pa则P（2≤X≤3）=（）A. B. C. D.2.用5种不同的颜色对如图所示的A，B，C区域进行着色，要求相邻的区域不能使用同一种颜色，则共有（）种不同的着色方法.A.60 B.64 C.80 D.1253.函数f（x）=ex-ex的单调递减区间为（）A.（1，+∞） B.（0，+∞） C.（-∞，0） D.（-∞，1）4.两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是()A. B. C. D.5.若函数f（x）=x3+x2+ax-1在（-∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围（）A. B. C. D.6.的展开式中x5y2的系数为（）A.-91 B.-21 C.14 D.497.6位学生在游乐场游玩A，B，C三个项目，每个人都只游玩一个项目，每个项目都有人游玩，若A项目必须有偶数人游玩，则不同的游玩方式有（）A.180种 B.210种 C.240种 D.360种8.若函数f（x）=xex-ax恰有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知f′（x）是函数f（x）的导函数，f′（x）的图象如图，则下列关于函数f（x）的说法正确的是（）A.在（-∞，1）上单调递减

B.在x=1处取得极小值

C.f′（-1）=0

D.f（x）在x=2处取得极小值

10.已知的二项式系数和为64，则（）A.n=6 B.常数项是第3项

C.二项式系数最大值为20 D.所有项系数之和等于111.设a＞1，b＞0，且lna=2-b,则下列关系式可能成立的是（）A.a=b B.b-a=e C.a=2024b D.ab＞e三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知随机变量X服从两点分布，且P（X=1）=0.6，设ξ=5X-3，那么E（ξ）=

.13.若直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的切线，则a=______.14.A，B，C，D，E五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加，甲选到A的概率为

；已知乙选了A活动，他再选择B活动的概率为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=3，S5=25．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列{bn}的前n项和Tn．16.(本小题15分)

甲、乙、丙为完全相同的三个不透明盒子，盒内均装有除颜色外完全相同的球.甲盒装有4个白球，8个黑球，乙盒装有1个白球，5个黑球，丙盒装有3个白球，3个黑球.

（1）随机抽取一个盒子，再从该盒子中随机摸出1个球，求摸出的球是黑球的概率；

（2）已知（1）中摸出的球是黑球，求此球属于乙箱子的概率.17.(本小题15分)

如图，已知△ABC是等边三角形，AB=BD=2CE=2，CE∥BD，BD⊥平面ABC，点F为AD的中点.

（1）证明：EF⊥平面ABD；

（2）求直线AC与平面ADE夹角的正弦值.

​​​​​​​18.(本小题17分)

已知函数f（x）=lnx-ax-a3，a∈R.

（1）当a=-1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（2）讨论f（x）的单调性；

（3）若f（x）有极大值，且极大值大于-2，求a的取值范围.19.(本小题17分)

已知A（2，0）和为椭圆C：上两点.

（1）求椭圆C的离心率；

（2）过点（-1，0）的直线l与椭圆C交于D，E两点（D，E不在x轴上）.

（i）若△ADE的面积为，求直线l的方程；

（ii）直线AD和AE分别与y轴交于M，N两点，求证：以MN为直径的圆被x轴截得的弦长为定值.

1.【正确答案】B

2.【正确答案】C

3.【正确答案】A

4.【正确答案】D

5.【正确答案】A

6.【正确答案】D

7.【正确答案】C

8.【正确答案】C

9.【正确答案】ACD

10.【正确答案】ACD

11.【正确答案】AC

12.【正确答案】0

13.【正确答案】4

14.【正确答案】

15.【正确答案】解：（Ⅰ）设等差数列{an}公差为d，首项为a1，

则有，解得，

所以an=a1+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1，

即数列{an}的通项公式an=2n-1；

（Ⅱ）bn=an+2n-1=（2n-1）+2n-1，

所以Tn=+=n2+2n-1．

16.【正确答案】解：（1）记取到甲盒子为事件A1，取到乙盒子为事件为A2，取到丙盒子为事件A3，取到黑球为事件B，

由全概率公式得摸出黑球的概率为：

P（B）=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）

=+=．

（2）摸出的球是黑球，则由条件概率得此球属于乙箱子的概率为：

P（A2|B）===．

17.【正确答案】解：（1）证明：取AB的中点O，连接OF，OC，

∵BD⊥平面ABC，BD⊂平面ABD，

∴平面ABC⊥平面ABD，

∵△ABC为等边三角形，∴CO⊥AB，

又平面ABC∩平面ABD=AB，CO⊂平面ABC，

∴CO⊥平面ABD．

∵CE∥BD，点F为AD中点，

∴OF∥BD，且，

又，∴OF∥CE，OF=CE，

∴四边形OFEC是平行四边形，∴CO∥EF，

∴EF⊥平面ABD．

（2）由（1）可知CO⊥平面ABD，而OF⊂平面ABD，AB⊂平面ABD，故CO⊥OF，CO⊥AB，

OF⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，故OF⊥AB，

∴OF，AB，OC两两垂直，

故以O为坐标原点，OA、OC、OF所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则O（0，0，0），A（1，0，0），B（-1，0，0），，，D（-1，0，2）．

∴，，．

设平面ADE的法向量，

则，则即

令z=1，则x=1，y=0，∴．

设直线AC与平面ADE的夹角为θ，

则，

∴直线AC与平面ADE夹角的正弦值为．

18.【正确答案】解：（1）∵f（x）=lnx-ax-a3（x＞0），

∴，

当a=-1时，f（1）=2，

∴f′（1）=2．

∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程y-2=2（x-1），即y=2x.

（2）由（1）知，，

①当a≤0时，f′（x）＞0，

∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，无递减区间，

②当a＞0时，，

∴f（x）在上单调递增，在上单调递减，

综上：当a≤0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，无递减区间，

当a＞0，f（x）在上单调递增，在上单调递减．

（3）因为f（x）有极大值，且极大值大于-2，

故a＞0，且f（x）在处取极大值，

∴，即lna-1+a3＜0，

令g（x）=lnx-1+x3（x＞0），

∴恒成立，

∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，

又g（1）=0，

∴g（x）＜0当且仅当0＜x＜1时成立，

故，当且仅当0＜a＜1时成立，

因此a的取值范围是（0，1）．

19.【正确答案】解：（1）由题可得：，解得：，

所以椭圆C的离心率为；

（2）（i）由（1）可知椭圆C的方程为，

由图可知，直线l的斜率不等于0，

设过点（-1，0）的直线l为x=my-1，D（x1，y1），E（x2，y2），

联立，化简得：（m2+4）y2-2my