2026年高考数学终极冲刺：专题07 三角函数、解三角形中的重点公式（抢分专练9大热点题型）（原卷版）

4/4专题07三角函数、解三角形中的重点公式题型考情分析考向预测1．扇形的弧长和面积公式、三角函数定义 2025年全国一卷：第11题考查了和差化积公式2025年全国二卷：第5题考查了二倍角公式、同角三角函数的基本关系2024年新高考卷Ⅰ：第4题考查了两角和差的余弦公式、同角三角函数的基本关系三角恒等变换中的相关公式例如二倍角、降幂公式、辅助角公式的等，注意与三角函数的性质一起考查2．同角三角函数的关系（含知一求二、弦切齐次化等）3．诱导公式求值与化简4．二倍角、半角、降幂、辅助角公式5．给值求值、给值求角问题6．积化和差、和差化积公式7．三倍角公式8．射影定理9．正弦平方差公式题型1扇形的弧长和面积公式、三角函数定义1、弧长公式：.2、扇形面积公式：.（为圆的半径，扇形弧长为，圆心角为）3、三角函数定义2：设点（不与原点重合）为角终边上任意一点，点P与原点的距离为：，则：，，.1．（25-26高三上·山东德州·期末）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则其侧面展开图扇形的圆心角为（

）A． B． C． D．2．（2026·湖南衡阳·二模）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（

）A． B． C． D．33．（25-26高三上·河南·月考）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角4．（24-25高三上·贵州贵阳·月考）砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻､气韵生动､极富书卷气.一扇环形砖雕如图所示.若，且扇形的弧长为，则该扇环的面积为（

）A． B．4 C． D．5．（2026·河北邢台·二模）设，已知角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．6．甲、乙两个扇形的半径相等，圆心角之和为3弧度，扇形面积分别为和，周长分别为和.若，则（

）A． B． C． D．题型2同角三角函数的关系（含知一求二、弦切齐次化等）1、利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以实现角α的弦切互化．2、由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用”平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论.已知角α的正切值,求由sinα和cosα构成的代数式的值,构成的代数式通常是分式齐次式或整式齐次式.(1)形如asinα+bcosα(2)形如asin2α+bsinαcosα+ccos2α(a,b,c不全为0)的齐次式,可以将分母看作是1=sin2α+cos2α,转化为asin注意:涉及常数时,如sin2α+k,则将k转化为ksin2α+kcos2α后转化为(2)的形式,但涉及sinα3、已知sinα±cosα,sinαcosα求值问题,一般利用三角恒等式,采用整体代入的方法求解,涉及的三角恒等式有:(1)(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα;(2)(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα;(3)(sinα+cosα)2+(sinα-cosα)2=2;(4)(sinα-cosα)2=(sinα+cosα)2-4sinαcosα.上述三角恒等式告诉我们,若已知sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα中的任何一个,则另两个式子的值均可求出.1．（2026·贵州·模拟预测）已知，则（

）A． B． C． D．2．（2025高三·全国·专题练习）已知，则的值（

）A．2 B．-2 C．3 D．-33．（25-26高三上·山西长治·开学考试）已知，且是第二象限的角，则（

）A． B． C． D．4．（2026·四川达州·二模）已知为第四象限角，且，则的值为（

）A． B． C． D．5．（2026·广东茂名·二模）已知，则（

）A． B． C． D．6．若为第二象限角，且，则（

）A． B． C． D．7．（多选题）（25-26高三上·黑龙江·月考）已知，且，则（

）A． B．C． D．题型3诱导公式求值与化简利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了”．1．已知角的终边与单位圆的交点为，则（

）A． B．C． D．2．（

）A． B． C． D．3．（24-25高三上·安徽合肥·月考）与以下哪个值相同（

）A． B． C． D．4．（25-26高三上·天津·月考）已知角的终边经过点，则__________．5．（25-26高三上·上海·月考）函数在区间上的值域为_____.6．（25-26高三上·江苏无锡·月考）已知，则______．题型4二倍角、半角、降幂、辅助角公式1、二倍角的正弦（）：．2、二倍角的余弦（）：．3、二倍角的正切（）：．4、降幂公式：；；；．5、常见辅助角结论（1）；（2）；（3）；（4）．1．（2025·全国·模拟预测）若，则（

）A． B．0 C．1 D．2．（2025高三·全国·专题练习）已知角满足，则（

）A． B．或 C． D．3．（2026·四川泸州·模拟预测）已知，则（

）A． B． C． D．4．（2026·北京西城·一模）已知函数，则是（

）A．奇函数，且最小正周期为 B．奇函数，且最小正周期为C．偶函数，且最小正周期为 D．偶函数，且最小正周期为5．（2026·甘肃·二模）函数的最小值为（

）A．-1 B． C．-3 D．-56．（2026·青海西宁·二模）已知，且，则（

）A． B． C． D．7．（2026·陕西商洛·模拟预测）已知锐角满足，则（

）A． B．3 C．2 D．58．（2026·福建厦门·二模）已知函数，若，则（

）A．0 B． C．1 D．题型5给值求值、给值求角问题1、给值求值问题一般策略（1）关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．（2）常见的配角技巧：①；；②；③；④；⑤．2、三角函数给值求角问题一般策略实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角．遵照以下原则：（1）已知正切函数值，选正切函数；（2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好．1．（25-26高三下·浙江·开学考试）若，，则的值为（

）A． B．2 C． D．2．（25-26高三上·贵州黔西南·月考）已知，则（

）A． B． C． D．3．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知，则（

）A． B． C． D．4．（2026·新疆·模拟预测）已知，，则（

）A． B． C． D．5．（23-24高三上·贵州铜仁·月考）已知，且和均为钝角，则的值为（

）A． B． C．或 D．6．（23-24高三上·河北廊坊·期中）设，且，则（

）A． B．C． D．7．（25-26高三上·江西·期中）已知，则（

）A． B． C． D．8．（25-26高三上·江苏无锡·月考）已知，那么等于（

）A． B． C． D．9．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）若，，则（

）A． B． C． D．或10．（2026·湖北孝感·二模）已知、均为锐角，，，则（

）A． B． C． D．11．（24-25高三上·湖北荆州·月考）已知且，，则（

）A． B． C． D．12．已知，，，则（

）A． B． C． D．13．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）已知，，，，则（

）A． B． C． D．题型6积化和差、和差化积公式1、积化和差公式：；；；.口诀：积化和差得和差，余弦在后要相加；异名函数取正弦，正弦相乘取负号。证明：由两角和与差的正弦公式得两式相加可得，两式相减可得．同理，由两角和与差的余弦公式可得其他公式.2、和差化积公式:口诀：正弦＋正弦,正弦在前；正弦－正弦,正弦在后；余弦＋余弦,余弦并肩；余弦－余弦，余弦靠边。证明：由，，得.其他同理可证.1．下列各式中不正确的是（

）A． B．C． D．2．（25-26高三上·甘肃兰州·期中）设，则（

）A．1 B． C． D．3．（2025·云南·一模）在中，若，则（

）A． B． C． D．4．（2025高三·全国·专题练习）已知，那么______．5．（2025高三·全国·专题练习）若，则______．6．（25-26高三上·湖南·月考）设三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则角__________.7．（2026·湖北襄阳·一模）已知，若，且，则_______．8．（2026·湖南·三模）已知函数，则在上共有________个零点.题型7三倍角公式1、正弦三倍角公式：2、余弦三倍角公式：3、正切三倍角公式：推导过程：1.32.同理：3..1．（2025高三上·内蒙古包头·专题练习）已知函数．若有两个零点和，则___________．2．已知由，，可推得三倍角余弦公式，已知，结合三倍角余弦公式和二倍角正弦公式可得______________；如图，已知五角星是由边长为的正五边形和五个全等的等腰三角形组成的，则___________3．（2024·福建厦门·模拟预测）三角学于十七世纪传入中国，此后徐光启、薛风祚等数学家对此深入研究，对三角学的现代化发展作出了巨大贡献，三倍角公式就是三角学中的重要公式之一，类似二倍角的展开，三倍角可以通过拆写成二倍角和一倍角的和，再把二倍角拆写成两个一倍角的和来化简.(1)证明：；(2)若，，求的值.4．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为.三倍角公式是把形如等三角函数用单倍角三角函数表示的恒等式，广泛应用于数学､物理､天文等学科.(1)记，试写出此三倍角公式的具体内容，并证明；(2)若角满足，求的值；(3)试用三倍角公式并结合三角函数相关知识，求出黄金分割值.5．设次多项式，若其满足，则称这些多项式为切比雪夫多项式.例如：由可得切比雪夫多项式，由可得切比雪夫多项式.(1)由的表达式求；(2)由第（1）问结论求的值；(3)证明是方程的根，并求的值.题型8射影定理射影定理，，将关系式转化为射影定理的形式，整体代换直接利用公式解决问题；反用公式时注意能否正确应用.1．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示的面积，若，，则（

）A．30° B．90° C．45° D．60°2．在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足，则的大小为（

）A． B． C． D．3．在中，（，，分别为角，，的对边），则是（

）A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形4．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则tanA的最大值为___________.题型9正弦平方差公式正弦平方差公式证明：

1．（多选题）（2026·四川内江·二模）已知的面积为，角的对边分别是，，，则（

）A． B．C． D．边的中线长为2．（多选题）（25-26高三上·湖北咸宁·期末）在锐角中，角的对边分别为，若，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．的最小值为1．（2026·广东汕头·一模）圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（

）A． B． C． D．12．（25-26高三上·重庆·月考）设α为第一象限角，且，则（

）A． B． C． D．3．（25-26高三上·河北邯郸·期中）已知角以为始边，它的终边与单位圆相交于点，其中点在第一象限，且点的横坐标为，则的值是（

）A． B． C． D．4．（25-26高三上·河北邢台·期末）已知，则（

）A．2 B．3 C．4 D．55．（25-26高三下·青海西宁·月考）已知，且，则（

）A． B．C． D．6．（2025·广东·三模）函数的一条对称轴为（

）A． B． C． D．7．（25-26高三上·浙江金华·期末）若，则（

）A． B． C． D．8．（25-26高三上·重庆九龙坡·开学考试）已知，则（

）A． B． C． D．9．（2026·河南南阳·模拟预测）已知角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．10．（25-26高三下·河北·开学考试）函数的最小正周期为（

）A． B． C． D．11．若，，则（

）A． B． C． D．12．（2024高三·全国·专题练习）已知，则（

）A． B． C． D．13．（24-25高三上·山东聊城·月考）已知，，，则(

)A． B． C． D．14．（2026·广西河池·二模）已知某圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为的扇形，则（

）A． B． C． D．15．（25-26高三上·辽宁抚顺·期末）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件16．（2026·辽宁抚顺·一模）当时，函数取得最大值，则的最小值是（

）A． B．1 C．2 D．317．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知函数的图象关于直线轴对称，且，则的值为（

）A． B．1 C． D．218．（2026·青海西宁·二模）已知，且，则（

）A． B． C． D．19．（2026·广西南宁·一模）已知，则＝（

）A． B． C． D．20．（25-26高三下·河北衡水·期中）若，则（

）A． B． C． D．21．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）若，，则（

）A． B． C． D．或22．（2026·江苏·二模）已知锐角满足，则（

）A． B． C． D．23．（25-26高三下·北京海淀·月考）存在实数使得点在直线上，则实数k的取值范围是（

）A． B．C． D．24．（2026·四川南充·二模）已知角，满足，，则（

）A． B． C． D．225．已知，都是锐角，，，则的值为（

）A． B． C． D．26．（2026·湖南岳阳·一模）已知，则（

）A． B． C． D．或27．（24-25高三上·河北·期中）已知，则（

）A． B． C． D．28．（25-26高三上·黑龙江牡丹江·月考）已知，则（

）A． B． C． D．29．若，且，，则（

）A． B． C． D．30．（23-24高三上·黑龙江佳木斯·月考）若，，则（

）A． B． C． D．31．（25-26高三下·陕西西安·月考）已知函数，若在上恰有四个不同的实数根，，，，则（

）A． B． C． D．32．已知锐角满足，则的取值范围为（

）A． B． C． D．33．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且，，则（

）A． B． C．3 D．34．（25-26高三上·北京通州·期中）设函数，关于有下列四个结论：①的导函数为周期函数，且最小正周期为；②在上单调递增③的图象关于对称；④方程在上有唯一解，则