广西邕衡教育名校联盟2025-2026学年高二上学期12月联合测试数学（北师大版）

广西壮族自治区邕衡教育·名校联盟高二上学期12月联合测试数学试题（北师大版）一、单选题1．直线的倾斜角是（

）A． B．C． D．2．在空间直角坐标系中，点与N关于面对称，则N坐标为（

）A． B．C． D．3．抛物线的焦点F的坐标为（

）A． B．C． D．4．圆D：和圆E：位置关系是（

）A．外切 B．相交C．外离 D．内含5．若直线与直线互相平行，则实数（

）A． B．或C． D．6．若方程表示的图形是双曲线，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．，7．某小组的成员由四位男生和三位女生组成，七位同学要站成一排照相，要求任意两男生及任意两女生均不能相邻的站法总数是（

）A． B．C． D．8．抛物线的标准方程为，直线与抛物线交于，两点，取线段的中点为，过作直线的垂线，垂足为，则下列结论中正确的个数为（

）①若直线过抛物线的焦点，则；②若，，则；③若以为直径的圆过原点，则面积的最小值为.A．0 B．1 C．2 D．3二、多选题9．下列各式正确的是（

）A． B．C． D．10．下列说法正确的是（

）A．直线l：与圆相交B．过点且与圆相切的直线的方程为和C．圆与圆相交，且相交弦所在直线方程为D．过点作圆的切线，切点为A，B，则直线AB的方程为11．在正方体中，，分别为，的中点，点在棱上，且，则（

）A．B．面C．异面直线所成角正切值为D．在四边形内（含边界）存在唯一的点，使得平面三、填空题12．抛掷一枚均匀的骰子，掷出点数是偶数记为事件A，掷出点数为4记为事件B，则.13．椭圆的焦距为2，则.14．已知函数的图象可由某双曲线绕原点逆时针旋转得到，则曲线C：的离心率为.四、解答题15．已知二项式展开式.(1)和的值；(2)求的值.16．在平面直角坐标系中，，，直线过原点O，且与直线平行，圆C是的外接圆.(1)求直线l的方程和圆C的方程；(2)P是圆C上的动点，求P到直线距离的最大值.17．一个抽奖箱有10张奖票，其中5张写有“谢谢”，2张写有“再抽一次”，2张写有“2元”，1张写有“5元”.抽奖规则：参与抽奖活动者，每次只能抽奖票一张；如果抽到“谢谢”的奖票，则没有奖金；如果抽到“再抽一次”的奖票，就从抽奖箱剩下的奖票中再抽一张；如果抽到“2元”或“5元”的奖票，即可按金额兑奖.(1)小李同学参与了抽奖活动，求他抽奖获得5元的概率；(2)已知小李抽奖时获得了奖金，求他获得2元的概率；(3)记小李获奖金额为随机变量为X，求X的分布列，均值及方差.18．在四棱台中，平面平面，底面为正方形，，、E，F，G分别是，，的中点，M是线段上的一点.(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求锐二面角余弦值的最小值.19．已知：，，，以原点为端点的射线OP分别与圆及圆交于R、S.过点R作x轴的垂线为l，过点S作x轴的平行线为m，设直线l与直线m的交点为T.(1)当，求的面积；(2)求动点T的轨迹C的方程；(3)若过的动直线与轨迹C交于异于，的P、Q两点，直线与直线交于M，问动点M是否在一条直线上?如果不在一条直线上，请说明理由；如果在一条直线上，请求出此直线的方程.

参考答案1．B【详解】设其倾斜角为，则，因为，则.故选：B.2．B【详解】依题意知，横坐标，纵坐标不变，竖坐标变为原来相反数，则点N坐标为.故选：B.3．C【详解】因为抛物线变形得.易知，所以，抛物线开口向上，所以焦点坐标为.故选：C.4．A【详解】两圆的圆心分别为，，，，.故选：A.5．B【详解】因为直线与直线互相平行，则，解得或，故选：B.6．C【详解】依题有，所以，解得或故选：C.7．D【详解】先排好3位女生，有种排法，此时产生4个空位，再将4位男生排入这4个空位，有种排法，根据分步乘法计数原理，共有种站法.故选：D.8．C【详解】如图，过点分别作轴，轴，垂足分别为，由抛物线的定义可知，且在梯形中，∴，①正确；当直线斜率不存在时，因为直线不过定点，∴没有定值，②错误；依题设，，由AB是直径可知，，∴，∴，∵∴，∵，即，即，∴，当且仅当时等号成立，③正确.故下列结论中正确的个数为：2.故选：C.9．AC【详解】对A选项，，A正确；对B选项，左边=，B错误；对C选项，方法一：，方法二：，C正确；对D选项，，故D错误.故选：AC.10．ABD【详解】对于A，圆心到直线的距离，A正确；对于B，过的斜率不存在的直线的方程为，则圆心到直线的距离，此时与圆相切；当切线斜率存在时，设切线方程为，即，则圆心到直线的距离，∴，即，∴，即，B正确；对于C，两圆心为，，半径为，，两圆心距离，两个圆内含，C错误；对于D，由切点弦方程得得，D正确；故选：ABD.11．ACD【详解】，所以选项A正确；在正方体中，平面，平面，∴，同理，，且平面，平面，∴平面，根据过空间一点作直线的垂面有且只有一个可知，∴不与面重合的面不能垂直于，故选项B错误；连接因分别为的中点，故，所以是异面直线与所成角或其补角.∵平面，∴平面，所以，设正方体棱长为6，则，，所以，易知，∴，所以选项C正确；连接，则易知，在上取点，连接，使，，平面与平面重合，平面，设过且平行于平面的平面，与平面交于直线，则平行于，显然与四边形有且只有一个交点为，故D正确.对D选项的解法二以为原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为6，则，，，，则设，，，且，，，面的一个法向量为，则，令，解得面的一个法向量为，∵面，∴，∴，∴，∵，，∴，∴只有一组解为，即坐标具有唯一性为，D正确.故选：ACD.12．【详解】掷出点数是偶数记为事件，有3种情况：2，4，6，所以，由于掷出点数为4记为事件，所以掷出点数是偶数且掷出点数为4的事件为，所以，所以.故答案为：.13．2或4【详解】椭圆的半焦距，当椭圆焦点在轴上时，，解得，当椭圆焦点在轴上时，，解得，所以或.故答案为：2或414．【详解】∵，∴，所以曲线C的图像是对勾函数的图像，当x为正数且趋向于正无穷大时，图象不断接近于直线，所以曲线C的两条渐近线为y轴和直线，曲线焦点所在直线与渐近线夹角为，∴，∴，∴，∴.故答案为：.15．(1)，(2)【详解】（1），.（2）令，得，令，得，.16．(1)，(2)【详解】（1）易知，依题知，直线的方程为.是直角三角形，圆C是的外接圆，所以为圆C的直径，∴圆心C为，半径为，∴圆C的方程为.（2）由（1）知直线l的方程为∴圆心C到直线l的距离，∴P到直线l距离的最大值为.17．(1)(2)(3)分布列见解析，，【详解】（1）小李抽奖获得5元有三种情况：第一次抽到“5元”；第一次抽到“再抽一次”，第二次抽到“5元”；第一、二次都抽到“再抽一次”，第三次抽到“5元”；则所求概率为.（2）记事件A=“小李获奖”，B=“小李获得2元奖”，，，由条件概率得，即已知小李抽奖时获了奖，获得2元的概率为.（3）依题意得X的所有取值为0，2，5...X分布列：X025P，.18．(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）证明：取中点O，连接，∵，∴易知四边形为等腰梯形∵G，O为上下两底中点，∴，∵F为正方形的边中点，∵与相交于点O，∴平面，∴（2）由（1）知，∵平面平面于，∴平面，两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系在等腰梯形中，，，如图作，易知，∴，，，，∴，，∴设平面的一个法向量，∴由有，令，则，，∴，∴设直线BC与平面所成角为，则.（3）设M为，∴，∴设平面的一个法向量，∴由有，令，则，∴∵，∴设锐二面角的大小为，令令，因为，所以，而在内单调递减，所以当时，取最大值，最大值为.此时取最小值为