面面平行课件2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

线面平行的性质定理：若直线a与平面α平行，且过直线a的平面β与平面α的交线为直线b，则直线b与直线a平行.abα符号：线面平行判定定理：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.线线平行

线面平行符号：线面平行

线线平行1.面面平行的定义：两个平面无公共点.一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行.思考1：平面α内的一条直线平行于平面β，则一定有α//β吗？思考2：平面α内的两条平行直线都平行于平面β，则一定有α//β吗？思考3：平面α内的两条相交直线都平行于平面β，则一定有α//β吗？2.面面平行的判定：一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行.②本质：线面平行

面面平行①符号：Key：找2次线面平行③传递性：平行于同一个平面的两个平面平行。[例1](P140)如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，求证：面AB1D1//面BC1D.[练习1]如图，在四棱锥P­ABCD中，点E为PA的中点，点F为BC的中点，底面ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O.求证：平面EFO∥平面PCD.证：在△BCD中，点O、F分别是BD、BC的中点∴OF∥CD.又∵OF⊄面PCD，CD⊂面PCD，∴OF∥面PCD同理，OE∥平面PCD又OE⊂面EFO，OF⊂面EFO，且OE∩OF＝O，∴面EFO∥面PCD.[练习2](P142-3)如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M,N,E,F分别是棱A1B1,A1D1,B1C1,C1D1的中点.(1)证明：E，F，B，D四点共面； (2)证明：平面AMN//平面DBEF.ABCA1C1D1DEFMNB1证：(1)连接B1D1.在△B1C1D1中,E,F分别是边B1C1,C1D1的中点，∴EF∥B1D1.又BD∥B1D1，∴BD∥EF.∴E，F，B，D四点共面[练习2](P142-3)如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M,N,E,F分别是棱A1B1,A1D1,B1C1,C1D1的中点. (2)证明：平面AMN//平面DBEF.ABCA1C1D1DEFMNB1[练习1]如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别是A1B1、A1D1的中点，过直线BD的平面α//平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为__________.[练习2]如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，E，F，G，H分别是棱AB,AC,

A1B1,A1V1的中点，求证：平面EFA1//平面BCHG.[练习3]四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点．求证：平面PAB∥平面EFG.[练习4]正方体ABCD—A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，

SC的中点．求证：平面EFG//平面BB1D1D.[思考]两个平面平行，它具有什么性质？性质1：两个平面平行，其中一个平面内的任意直线必平行于另一个平面.符号：面面平行

线面平行(1)若α//β，则α内的所有直线与平面β的位置关系是怎样的呢？[思考]两个平面平行，它具有什么性质？(2)若α//β，则α内的所有直线与β内的所有直线的位置关系是怎样的呢?若面α//面β，则α与β内的直线的位置关系是平行或异面.ABCDD1A1C1B1(3)若α//β，则两个平面内的两条直线什么时候平行？则两条平行直线a和b可确定一个平面γ,设面α内的直线a与面β内的直线b平行，即a//b.当另一个平面γ分别与平面α，平面β相交时，两条交线互相平行.则面α∩面γ=a，面β∩面γ=b.性质2：若两个平行平面同时和第三个平面相交,则它们的交线平行.②本质：面面平行

线线平行①符号：Key：找两条交线③推论：夹在两个平行平面间的平行线段相等.(P142-例5)[例2]正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，过点B，E，D1的平面与棱CC1交于点F.求证：四边形BFD1E为平行四边形；证：∵平面AB1∥平面DC1

面BFD1E∩面AB1＝BE

面BFD1E∩面DC1＝FD1∴BE∥FD1，同理：BF∥D1E，∴四边形BFD1E为平行四边形.[方法技巧]应用平面与平面平行的性质定理的基本步骤[练习3]三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.证明：∵D，E分别是PA，PB的中点，∴DE∥AB.又DE⊂面ABC，AB⊂面ABC，∴DE∥面ABC，同理EF∥面ABC又DE∩EF＝E，DE,EF⊂面DEF，∴平面DEF∥平面ABC.又面PCM∩面DEF＝NF，

面PCM∩面ABC＝CM，∴NF∥CM.[练习1]已知α，β是两个不重合的平面，在下列条件下，可判定α∥β

的是(

)A．α，β都平行于直线l，mB．α内有三个不共线的点到β的距离相等C．l，m是α内的两条直线且l∥β，m∥βD．l，m是异面直线且l∥α，m∥α，l∥β，m∥βD[练习2]如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′.若PA′∶AA′＝2∶5，则△A′B′C′与△ABC的面积比为(

)A．2∶5

B．2∶7

C．4∶49

D．9∶25解析：∵面α∥面ABC，面α∩面AB′=A′B′，面ABC∩面AB′=AB, ∴A′B′∥AB.∴A′B′∶AB＝PA′∶PA. 又PA′∶AA′＝2∶5，∴A′B′∶AB＝2∶7. 同理B′C′∶BC＝2∶7，A′C′∶AC＝2∶7. ∴△A′B′C′∽△ABC，∴S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶49.故选C.C[练习3]如图，在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点．(1)求证：PQ∥面DCC1D1；

(2)求PQ的长；

(3)求证：EF∥面BB1D1D.[解](1)证明：如图，连接AC，CD1.∵四边形ABCD是正方形，且Q是BD的中点∴Q是AC的中点．又P是AD1的中点，∴PQ∥CD1.又PQ⊄面DCC1D1，CD1⊂面DCC1D1，∴PQ∥面DCC1D1.(3)证明：法一：取B1D1的中点O1，连接FO1，BO1，则有FO1∥B1C1且FO1＝2(1)B1C1.又BE∥B1C1且BE＝2(1)B1C1，∴BE∥FO1，且BE＝FO1.∴四边形BEFO1为平行四边形．∴EF∥BO1.又EF⊄平面BB1D1D，BO1⊂面BB1D1D∴EF∥平面BB1D1D.[练习3]如图，在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点．

(3)求证：EF∥面BB1D1D.(3)证明：法二：取B1C1的中点E1，连接EE1，FE1，则有FE1∥B1D1，EE1∥BB1.又FE1∩EE1＝E1，FE1⊂面EE1F，EE1⊂面EE1FB1D1