2026年中考数学二轮复习 高频考点04 方程(组)和不等式(组)含参问题专练14大题型

高频考点 方程（组）和不等式（组）含参问题专命题探源·考向解密（3年中考考向与命题特征根基夯实·知识整合（核心知识必备、常用结论与技巧等考点一二元一次方程（组）考点二一元一次不等式（组）1234123已知不等式有（无）45考点三分式方程含参数问题12123每个考点中考预测题3好题速递·分层闯关（6道最新名校模拟试题+6道中考闯关题（组4~104~12常结合数轴、整数解、方程（组）另一不等式），含参数不等式（组）4~14（韦达定理、不等式（组）、函数等知识点综合命题，侧重代数运算与逻辑推理；略二次项系数不为0的隐含条件。考点一二元一次方程（组）x,y𝑥𝑓(𝑚)𝑦=步骤3：结合条件，列方程/不等式求解（下面是常见题型）步骤4：双重检验，规范作答命题点01【典例】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若2𝑚=4𝑛+1，27𝑛=3𝑚+1，则𝑚−𝑛的值为（ 【答案】【答案】的乘方运算法则，将2𝑚=4𝑛+1，27𝑛=3𝑚+1分别变形为2𝑚=22𝑛+2，33𝑛=3𝑚+1𝑚=2𝑛2m、n∵2𝑚=4𝑛+1，27𝑛=3𝑛=𝑚+∴∴2𝑚=(22)𝑛+1=22𝑛+2，(33)𝑛=33𝑛=3𝑛=𝑚+∴𝑚=2𝑛+2𝑚=解得：𝑛=3𝑚−𝑛=8−3=5．为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算．例如：𝑇(0,1)=𝑎×0×1+𝑏×0−4=−4，若𝑇(3,1)=11，𝑇(−1,3)=−13，则下列结论错误的是（A．𝑎=2，𝑏= 𝑦=C．若𝑇(𝑚,𝑛)=0，则𝑚、𝑛有且仅有2D．若𝑇(𝑘𝑥,𝑦)=𝑇(𝑘𝑦,𝑥)对任意有理数𝑥、𝑦都成立，则𝑘=【答案】【答案】【详解】解：A−3𝑎−𝑏−4=−133𝑎+3𝑏−4=𝑏=3AB、𝑇(𝑘𝑥,𝑦)=2𝑘𝑥𝑦3𝑘𝑥−4=𝑘𝑥(2𝑦𝑎=若𝑇(𝑘𝑥,𝑦)始终不变，则有2①2𝑦3=0，则𝑦=②𝑥=0，𝐵BC．∵𝑇(𝑚,𝑛)=∴2𝑚𝑛+3𝑚−4=∴𝑚=当𝑚为整数时，2𝑛3=±1±2±当2𝑛3=−1DD．当𝑇(𝑘𝑥,𝑦)=𝑇(𝑘𝑦,𝑥)时，则2𝑘𝑥𝑦+3𝑘𝑥−4=2𝑘𝑥𝑦∴2𝑘𝑥𝑦+3𝑘𝑥−4−2𝑘𝑥𝑦−3𝑘𝑦+4=3𝑘𝑥−3𝑘𝑦0，即3𝑘(𝑥−𝑦)=𝑇(𝑘𝑥,𝑦)=𝑇(𝑘𝑦,𝑥)对任意有理数𝑥，𝑦𝑘0D正确．解得：𝑛=2解得：𝑛=−2当2𝑛3=4解得：𝑛=−2当2𝑛3=−4解得：𝑛=−2当2𝑛3=2当2𝑛3=−2=4∴𝑚当2𝑛3=1解得：𝑛==−4∴𝑚解得：𝑛=2】（2025·河北邯郸·一模）已知𝑥，𝑦都是实数，观察表中的运算，则𝑎的值为（𝑥+𝑥2+ 【答案】【答案】【分析】本题考查解二元一次方程组，已知字母的值求代数式的值．根据题意先得出𝑥=2，𝑦=−5代入代入𝑥2+𝑥𝑦−2𝑦2【详解】解：∵𝑥−𝑦=7，𝑥+𝑦=∴𝑥=2，𝑦=∴将𝑥=2，𝑦=−5代入𝑥2+𝑥𝑦−2𝑦2得𝑎=−56，【答案】【分析】本题考查代数式求值，解方程组，当𝑥=1时，得到𝑎+𝑏+𝑐+𝑑+𝑒=1①，当𝑥=−1𝑎−𝑏𝑐−𝑑𝑒=31②，然后①−②【详解】解：当𝑥=1时，0=【答案】【分析】本题考查代数式求值，解方程组，当𝑥=1时，得到𝑎+𝑏+𝑐+𝑑+𝑒=1①，当𝑥=−1𝑎−𝑏𝑐−𝑑𝑒=31②，然后①−②【详解】解：当𝑥=1时，0=𝑎+𝑏+𝑐+𝑑+𝑒+∵𝑓=∴𝑎+𝑏+𝑐+𝑑+𝑒=当𝑥=−1时，−32=−𝑎+𝑏−𝑐∴𝑎−𝑏+𝑐−𝑑+𝑒=①−②，得：2𝑏2𝑑=∴𝑏+𝑑=−15．命题点02xy

3𝑥+2𝑦=2𝑥+3𝑦=3𝑘的解满足𝑥+𝑦=3则k的值 【答案】【答案】【分析】将两个方程相加，可得5𝑥5𝑦=5𝑘−5，结合𝑥𝑦=3k3𝑥+2𝑦=【详解】解：2𝑥+3𝑦=②得，5𝑥+5𝑦=∴𝑥+𝑦=∵𝑥+𝑦=∴𝑘−1=∴∴𝑘=𝑥+𝑦==范围 【答案】【答案】−1<𝑚<【分析】先解二元一次方程组，得出𝑥2−2𝑚，𝑦1+𝑚，根据方程组的解都为正数，得出关于𝑚的不等𝑥+𝑦=𝑥−𝑦=②得：2𝑥=4−4𝑚𝑥=①−②得：2𝑦=2+2𝑚𝑦=1+因为𝑥、𝑦都为正数，所以：2−2𝑚>1+𝑚>解得：−1<𝑚<【答案】𝑎=先通过代入消元法解已知方程组，得到𝑥、𝑦的值，再将其代入方程𝑥−𝑎𝑦=【答案】𝑎=先通过代入消元法解已知方程组，得到𝑥、𝑦的值，再将其代入方程𝑥−𝑎𝑦=5，进而求出𝑎3𝑥+2𝑦=【详解】解：𝑥−𝑦=−1②由②得𝑥=𝑦−1代入①，得3(𝑦−1)2𝑦=7，解得𝑦=2．把𝑦=2代入②，得𝑥=代入方程𝑥−𝑎𝑦=5，得1−2𝑎=5，解得𝑎=

3𝑥+2𝑦=𝑥−𝑦=−1的解也是关于𝑥,𝑦的方程𝑥−𝑎𝑦=5命题点03

𝑥=

𝑦=（2025·贵州铜仁·三模x，y𝑚𝑥𝑛𝑦=1𝑛𝑥𝑚𝑦=−7𝑚的值为（ 【答案】【答案】【分析】本题考查的知识点是已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法，解题关键是熟练掌握加减消元法．由于两个方程组有相同的解，可知它们的解为【分析】本题考查的知识点是已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法，解题关键是熟练掌握加减消元法．由于两个方程组有相同的解，可知它们的解为𝑥=2和𝑦=1方程，得到关于𝑚和𝑛的方程组，通过加减消元法直接求解𝑚+𝑛的值．𝑥=𝑦=1将𝑥=2,𝑦=1代入第一个方程组的𝑚𝑥+𝑛𝑦=1，得：2𝑚+𝑛=1①，代入第二个方程组的𝑛𝑥+𝑚𝑦=−7，得：2𝑛+𝑚=−7②，将①和②相加：(2𝑚𝑛)(2𝑛𝑚)=1+(−7)，整理得：3𝑚+3𝑛=−6，则𝑚𝑛=4𝑥+𝑦= 2𝑥=5+1】（2024·广东·模拟预测）若关于𝑥，𝑦𝑎𝑥−3𝑦=−12𝑥+1=𝑏𝑦(1)求𝑎+𝑏 =2×5−3×4=−2，求|𝑎+ 𝑥|

4【答案】【答案】（1）先求出两个方程组的公共解，再将公共解代入含𝑎、𝑏的方程，求出𝑎、𝑏的值，进而计算𝑎+（2）根据二阶行列式的运算法则，将𝑎𝑏、𝑥、𝑎、2𝑦【详解】（1）解：∵关于𝑥，𝑦𝑎𝑥−3𝑦=−12𝑥1=𝑏𝑦4𝑥+𝑦=∴2𝑥=5+3𝑦𝑥=𝑦=−1∴𝑎+3=−1，2+1=4𝑥+𝑦= 2𝑥=5+解得：𝑎=−4，𝑏=∴𝑎+𝑏=−4+(−3)=（2）解：将𝑥=1，𝑦=−1，𝑎=−4，𝑏=−3𝑎+𝑎+|2𝑥−𝑦= 𝑥−𝑦=2】（2024·湖南长沙·一模）𝑥+𝑦=𝑎3𝑥+𝑦=8有相同的解，求𝑎，𝑏【答案】【答案】𝑎=2，𝑏=2𝑥−𝑦=3𝑥𝑦=8得到𝑥、𝑦的值，再把𝑥、𝑦2𝑥−𝑦=3𝑥+𝑦=8②②5𝑥=15，解得𝑥=3，𝑥=3把代入①，可得2×3−𝑦=7，解得𝑦=−1，𝑥=∴𝑦=−1∵𝑥+𝑦=𝑎3𝑥+𝑦=8∴𝑎=3+(−1)=2，𝑏=3−(−1)=2𝑥−𝑦=𝑥−𝑦=5𝑥−2𝑦= 𝑥−4𝑦=3】（2024·广东江门·一模）𝑚𝑥+5𝑦=45𝑥+𝑛𝑦=1mn【答案】(1)𝑚=𝑛=(2)𝑆△𝐴𝐵𝐶=m、n的值．（【答案】(1)𝑚=𝑛=(2)𝑆△𝐴𝐵𝐶=m、n的值．（1）𝑥−4𝑦=−3𝑦=1，根据同解方程组，得出方程组5𝑥𝑛𝑦=1𝑦=1m、n5𝑥−2𝑦= 𝑥=𝑚𝑥+5𝑦=𝑥=（2）把𝑛=−4代入𝑥2|𝑚|−7𝑥−3𝑛=0得出𝑥2−7𝑥+12=0，解一元二次方程得出△𝐴𝐵𝐶3，4，根据勾股定理逆定理得出𝐴𝐵𝐶𝑚=【详解】（1）𝑥−4𝑦=−3𝑦=15𝑥−2𝑦=𝑥=5𝑥−2𝑦5𝑥−2𝑦= 𝑥−4𝑦=∵𝑚𝑥5𝑦=45𝑥𝑛𝑦=1∴方程组5𝑥+𝑛𝑦=1𝑦=1𝑚+5=∴5+𝑛=1𝑚=解得：𝑛=−4𝑚𝑥+5𝑦=𝑥=（2）解：把𝑛=−4x的一元二次方程𝑥2|𝑚|−7𝑥−3𝑛=0得：𝑥2−7𝑥+12=解得：𝑥1=3，𝑥2=𝑚=又∵32+42=52，𝐴𝐵𝐶∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=2×3×4=命题点04𝑥=【典例】（2025·广东广州·二模）𝑦=2x，y的二元一次方程𝑥−𝑎𝑦=4a（ 【答案】【答案】𝑥=𝑦=2代入𝑥−𝑎𝑦=4𝑥=𝑦=2代入𝑥−𝑎𝑦=42−2𝑎=解得：𝑎−1．1】（2025·安徽淮南·模拟预测）

𝑥=𝑦=1是方程2𝑎𝑥+𝑦=5的解，则𝑎的值为（ 【答案】【答案】𝑥=【详解】解：将𝑦=1代入2𝑎𝑥+𝑦=2𝑎(−2)+1=5，解得：𝑎=−1，故选B𝑥=2】（2025·云南临沧·模拟预测）𝑦=3是关于𝑥，𝑦的二元一次方程𝑎𝑥−𝑏𝑦=57+8𝑎−6𝑏的值是 【答案】【答案】𝑥=𝑦=3代入方程𝑎𝑥−𝑏𝑦=得：4𝑎−3𝑏=8𝑎−6𝑏=2×（4𝑎−3𝑏）=2×5=7+8𝑎−6𝑏=17．中考预测题𝑥+2𝑦=𝑚+1x、y2𝑥+𝑦=2𝑚+5，若𝑥𝑦=4m的值为（ D．【答案】【答案】【分析】本题考查解含参数的二元一次方程组．把两个方程相加，得𝑥𝑦=𝑚2，结合𝑥𝑦=4，即可【详解】解：方程组的两个方程相加，得3𝑥3𝑦=3𝑚+∴𝑥+𝑦=𝑚+∵𝑥+𝑦=∴𝑚+2=∴𝑚=2．2．已知满足𝑥−2𝑦=𝑚−4和3𝑥+2𝑦=3𝑚的x，y也满足𝑥+4𝑦=2𝑚+3，那么𝑚= 【答案】【答案】3𝑥2𝑦3𝑚②mxx代入方程①myx、y的值代入方程𝑥4𝑦=2𝑚+3𝑥−2𝑦=𝑥−2𝑦=3𝑥+2𝑦=3𝑚②②得：4𝑥=∴𝑥=把𝑥=𝑚−1代入①得：𝑚−1−2𝑦=解得：𝑦=把𝑥=𝑚−1和𝑦=2代入𝑥4𝑦=2𝑚+3𝑚−1+6=2𝑚+解得𝑚=𝑦+𝑧=3．已知𝑥=𝑚是关于𝑥的方程|𝑥1|+|𝑥−3|=8的一个解，且关于𝑦，𝑧2𝑦−𝑧=2𝑚的解为整数，则𝑚的值 【答案】【答案】【分析】根据方程|𝑥1|+|𝑥−3|=8，对𝑥的取值范围进行分类讨论，求解出可能的𝑚𝑦+𝑧=2𝑦−𝑧=2𝑚+1，得出𝑦=，将𝑚的值代入，取使𝑦为整数所对应的𝑚【详解】解：∵𝑥=𝑚是关于𝑥的方程|𝑥1|+|𝑥−3|=|𝑥1|+|𝑥−3|=8表示的是𝑥所代表的数到−1和3的距离为8，当𝑥<−1时，得−(𝑥+1)−(𝑥−3)=8，解得𝑥=−3，即𝑚=当−1≤𝑥<3时，此时|𝑥1|+|𝑥−3|=4，故不存在对应的𝑚值；当3≤𝑥时，得(𝑥+1)+(𝑥−3)=8，解得𝑥=5，即𝑚=𝑦+𝑧=2𝑚2𝑦−𝑧=2𝑚+1，上下相加得3𝑦=4𝑚+即𝑦 𝑦+𝑧=∵2𝑦−𝑧=2𝑚1当𝑚=−3时，𝑦=4×(−3)+1=−当𝑚=5时，𝑦=4×5+1=7故𝑚的值为考点二一元一次不等式（组）步骤1通读题目，圈画核心关键词(如“解集为𝑥>𝑎、有解/无解、整数解个数、所有解满足某不等式”等),明确参步骤2①解不等式/一元一次不等式组：分别解出每个不等式的解集(用参数表示)②标注隐含条件：若涉及分母、根号，需标注参数的取值限制(0、被开方数非负步骤34命题点01𝑥+𝑎<【典例】（2026·黑龙江·一模）若关于𝑥的不等式组1−2𝑥≤5有4个整数解，则a的取值范围 【答案】≤𝑎<4−2𝑥【答案】≤𝑎<4−2𝑥≥1𝑥−𝑎>03个整数解，即可得到关于𝑎【详解】解：由4−2𝑥≥0，得：𝑥≤由2𝑥−𝑎>0，得：𝑥>4−2𝑥≥∵不等式组1𝑥−𝑎>03∴3∴−1≤2𝑎<

4−2𝑥≥【答案】−1≤𝑎<4个整数解，得到关于𝑎的不等式组，进行求解即可𝑥+【答案】−1≤𝑎<4个整数解，得到关于𝑎的不等式组，进行求解即可𝑥+𝑎<1−2𝑥≤5𝑥<𝑥≥−2∵关于𝑥1−2𝑥≤54∴不等式组的解集为−2≤𝑥<1−𝑎，整数解为𝑥+𝑎<∴1<1−𝑎≤∴−1≤𝑎<解得解得≤𝑎<≤𝑎<𝑎的取值范围

2𝑥+3>𝑥−2𝑎≤02【答案】【答案】3≤𝑎<整数解得出关于a的不等式组是解答此题的关键．【详解】解：∵2𝑥+3>𝑥−2𝑎≤∴解2𝑥3>12得：𝑥>解𝑥−2𝑎≤0得：𝑥≤2𝑎≥∴2𝑎<7解得：3≤𝑎<故答案为：3≤𝑎<4𝑥−1<2𝑥+3】（2025·四川绵阳·三模）x2(𝑥−1)≥−𝑥+𝑎4a围 【答案】【答案】−11<𝑎≤a的范围即可．4𝑥−1<2𝑥+2(𝑥−1)≥−𝑥+解不等式①得𝑥<解不等式②得𝑥≥3≤𝑥<∴−3 ≤−2，解得−11<𝑎≤故答案为：−11<𝑎≤−命题点02【答案】𝑥≤6/6≥根据题意判断出𝑎<0,𝑏=1，然后把其代入到𝑎(𝑥−5)−𝑏≥【答案】𝑥≤6/6≥根据题意判断出𝑎<0,𝑏=1，然后把其代入到𝑎(𝑥−5)−𝑏≥0，即可求出𝑎(𝑥−5)−𝑏≥0【详解】解：∵不等式𝑎𝑥<𝑏的解集为𝑥>∴𝑎<0,=∵𝑎(𝑥−5)−𝑏≥∴𝑥−5≤∴𝑥≤故答案为：𝑥≤𝑥≤【变式1】（2025·山东威海·二模）若不等式组3𝑥−2<𝑥的解集为𝑥<1，则a的取值范围 【答案】【答案】𝑎≥𝑥≤3𝑥−2<𝑥②由①得：𝑥≤𝑎，由②∴𝑎≥故答案为：𝑎≥𝑥−𝑚>2】（2025·河南周口·三模）关于𝑥3𝑥−4>2的解为𝑥>𝑚，则𝑚 【答案】【答案】𝑚≥【详解】解：由3𝑥−4>2，得到3𝑥>6，即𝑥>2，已知不等式组的解集为𝑥>𝑚，则第一个不等式𝑥>𝑚的解集必须包含第二个不等式𝑥>2的解集，因此𝑚的取值范围应满足𝑚≥2．故答案为：𝑚≥3（2025·宁夏吴忠·一模关于𝑥

𝑥+5>𝑥−𝑚>1的解是𝑥>−5，则实数𝑚的取值范围 【答案】【答案】𝑚≤不等式组的解集得到关于m的不等式，解之即可得到答案．𝑥+5>𝑥−𝑚>解不等式①得：𝑥>−5，解不等式②得：𝑥>𝑚+𝑥+5>∵关于𝑥的不等式组𝑥−𝑚>1的解是𝑥>∴𝑚+1≤∴𝑚≤故答案为：𝑚≤−4】（2025·广东韶关·一模）若关于𝑥

2(𝑥−1)>3𝑥>2𝑥2𝑎的解集为𝑥>1，则𝑎【答案】【答案】𝑎≤【详解】解：【详解】解：3𝑥>2𝑥+解不等式①得：𝑥>2(𝑥−1)>解不等式②得：𝑥>∵关于𝑥的不等式组3𝑥>2𝑥+2𝑎的解集为𝑥>∴2𝑎≤2(𝑥−1)>∴𝑎≤故答案为：𝑎≤命题点03已知不等式有（无）【典例】（2025·黑龙江大庆·一模）

−2𝑥+3≥【答案】𝑘≥−2𝑥+3≥【答案】𝑘≥−2𝑥+3≥【详解】解：−𝑘𝑥−2<4②由①得𝑥≤−由②得−𝑘𝑥<−2𝑥+3≥∵不等式组−𝑘𝑥−2<4当𝑘<0时，−𝑘>0，解③得𝑥<−𝑘当𝑘=0时，0×𝑥=0<6，解③得𝑥当𝑘>0时，−𝑘<0，解③得𝑥>−𝑘，则−3≤−𝑘，解得𝑘≥综上所述，𝑘的取值范围为𝑘≥故答案为：𝑘≥【答案】𝑎≥【答案】𝑎≥

2𝑥−1≥𝑥+𝑎<5无解，则𝑎【变式【变式2𝑥−1≥𝑥≤【详解】解：由2𝑥−1≥3得：𝑥≥2，由𝑥+𝑎<5得：𝑥<5−𝑎，2𝑥−1≥∵𝑥𝑎<5∴5−𝑎≤2，解得𝑎≥故答案为：𝑎≥的和 【答案】【答案】2𝑥−1≥3𝑥+1𝑥≤解不等式①得，𝑥≥2𝑥−1≥∵𝑥≤∴𝑎<∴所有满足条件的正整数𝑎的和为1+2=3；3】（2026·四川宜宾·一模）

2𝑥−𝑎<𝑥+2>3无解,则a的取值范围 【答案】【答案】𝑎≤2𝑥−𝑎<𝑥2>3②解不等式①得：𝑥<2解不等式解不等式②得：𝑥>∵𝑥2>3无解2𝑥−𝑎<∴𝑎+1≤∴𝑎≤命题点04【答案】𝑘<2𝑥+𝑦=【答案】𝑘<2𝑥+𝑦=【分析】根据𝑥、𝑦是二元一次方程组𝑥−𝑦=8𝑘的解可知𝑥、𝑦2𝑥+𝑦=【详解】解：∵𝑥、𝑦是二元一次方程组𝑥−𝑦=8𝑘𝑥=∴𝑦=−5𝑘2𝑥+𝑦=∵关于𝑥、𝑦的二元一次方程组𝑥−𝑦=8𝑘的解满足𝑥2𝑦>∴3𝑘+(−10)𝑘>∴解得：𝑘<−2，故答案为𝑘−2．

2𝑥+𝑦=𝑥−𝑦=8𝑘的解满足𝑥2𝑦>14，则𝑘2𝑥+5𝑦=1】（2025·广东广州·二模）x、y𝑥−3𝑦=2+𝑚的解满足3𝑥+2𝑦>7的最小值为（ 【答案】【答案】的解法是解题关键．将方程组中的两个方程相加可得3𝑥2𝑦4𝑚2，再根据方程组解的情况得到关于𝑚2𝑥+5𝑦=𝑥−3𝑦=2+𝑚②由②得：3𝑥+2𝑦=4𝑚+方程组的解满足3𝑥+2𝑦>∴4𝑚+2>解得：𝑚>2】（2025·四川广元·三模）若关于𝑥，𝑦8𝑥5𝑦>−3𝑦−10，则𝑎的取值范围是（

3𝑥+𝑦=1+𝑥+3𝑦= A．𝑎> B．𝑎< C．𝑎< D．𝑎>【答案】【答案】3𝑥+𝑦=1+𝑥+3𝑦=②，得：4𝑥+4𝑦=4+不等式整理可得：8𝑥8𝑦>∴2(4+𝑎)>−10，8+2𝑎>−10，解得：𝑎>−9．故选：A命题点05

2𝑥+3≥4𝑥−6>

式方 =1的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为 【答案】【答案】4<𝑥≤6程可得𝑦=2𝑥≤【详解】解：不等式组整理得：𝑥>𝑎+2解得：解得：4<𝑥≤由不等式组有且只有两个奇数解，得到1≤𝑎+2<解得：2≤𝑎<即整数𝑎=2，3，4，5，6，7，8，9，分式方程去分母得：3𝑦𝑎−10𝑦−2，解得：𝑦=2得到𝑎2，6，8

=𝑎−2x𝑥−4≤

2𝑥−3≥𝑎a的值之和是（ ∴∴𝑎−1>𝑥−4≤∵2𝑥−3≥𝑎𝑥−4≤2𝑥−3≥𝑎𝑥≥𝑥≤∴𝑎≠∴𝑎−1≠∴𝑎>【答案】方程，得到解的条件为𝑎>1且𝑎≠3；再解不等式组，得到𝑎≤5．综合条件得𝑎的取值范围为1<𝑎≤5𝑎≠3两边同乘(𝑥−1)得：3=𝑎−2(𝑥−1)，整理得𝑥=2∴∴𝑎+3≤∴𝑎≤综上：1<𝑎≤5且𝑎≠∴整数𝑎为2,4,5，2+4+5=11；故选C𝑥≥−2】（2025·四川德阳·模拟预测）若整数𝑎使得关于𝑥𝑥<𝑎+82关于

的分式方程方

=−1有整数解，则满足条件的整数𝑎之和为（ ∴𝑎≠∵𝑎>∴𝑎=0或𝑎=−2或𝑎=1或𝑎=∴满足条件的整数𝑎之和为0+(−2)+1+3=2，∵𝑦 ≠∴𝑎+1=±1或𝑎+1=±2或𝑎+1=±解得：𝑎=0或𝑎=−2或𝑎=1或𝑎=−3或𝑎=3或𝑎=∵关于𝑦的分式方程方程𝑦−2 =−1有整数解解分式方程可得：𝑦=解得：𝑎>∴𝑎+8>𝑥≥−52𝑥<出𝑎>−5，解分式方程可得𝑦=𝑎+1，结合题意确定出𝑎3>1【答案】若关于𝑥

2𝑥+3<𝑥< 的解集是𝑥<6，则𝑃(3−𝑚,𝑚+1)在（第一象 B．第二象 C．第三象 【答案】【答案】2𝑥+3<𝑥<的解集是𝑥<6，可知𝑚≥6，进而可得𝑚+1≥7>3−𝑚≤−3<02𝑥+3<𝑥<解不等式①，可得𝑥<由不等式②，可知𝑥<∵该不等式组的解集为𝑥<∴𝑚≥∴𝑚+1≥7>0，−𝑚≤∴3−𝑚≤−3<∴点𝑃(3−𝑚,𝑚1)x，y，z满足𝑥𝑦𝑧=0，2𝑥+3𝑦4𝑧<3，则下列结论中一定正确的是（𝑥−𝑧> B．2𝑥−𝑦+2𝑧<C．𝑦+2𝑧< D．3𝑥+2𝑦+3𝑧>【答案】【答案】【分析】利用已知等式𝑥𝑦𝑧=0【详解】解：∵非零实数𝑥,𝑦,𝑧满足𝑥𝑦𝑧=∴𝑥=将𝑥=−𝑦−𝑧代入2𝑥3𝑦4𝑧<3得：2(−𝑦−𝑧)+3𝑦+4𝑧<3，化简得𝑦2𝑧<3CA、𝑥−𝑧=−(𝑦2𝑧)，由𝑦2𝑧<3只能推出𝑥−𝑧>−3，无法得到𝑥−𝑧>1，AB、2𝑥−𝑦2𝑧=2(𝑥𝑧)−𝑦=−3𝑦，无法由已知推出−3𝑦<3，举反例：𝑥=3,𝑦=−2,𝑧=−1满足条件，此时2𝑥−𝑦+2𝑧=6>3，B错误。D、3𝑥2𝑦3𝑧=3(𝑥𝑧)+2𝑦=−𝑦，无法推出−𝑦>0，举反例：𝑥=−1,𝑦=2,𝑧=−13𝑥3𝑥2𝑦3𝑧=−2<0，D𝑥−1<

=25𝑥−2≥𝑥+负数，则符合条件的所有整数𝑎的和

【答案】4≤𝑥<5数解，即𝑥1,2,3,4，从而得到−2𝑎2；再解分式方程，得到𝑦2−𝑎，要求解为非负数且𝑦1，从而得到𝑎≤2且𝑎≠1；综合两者，整数𝑎为−1,0,2，求和即可． 2<36得：3(𝑥−1)<2(1+化简得：𝑥<第二个不等式5𝑥−2≥𝑥化简得：𝑥≥

44≤𝑥<要求不等式组有且只有四个整数解，即𝑥=1,2,3,4，需满足0<𝑎+2≤解得：−2<𝑎≤解分式方程𝑦+𝑎+2𝑎= 方程化为𝑦+𝑎2𝑎=𝑦−1即𝑦−1=解得：𝑦=2−𝑎（其中𝑦≠1，故𝑎≠要求解为非负数，即2−𝑎≥0，故𝑎≤综合不等式组和分式方程的条件得：−2<𝑎≤2且𝑎≠整数𝑎为则和为：−10+2=考点三分式方程的含参问题1数(m、k)x的关系，梳理出题目对解的限制条件，判断属于哪类含参模型(解的正负性、无解/增根、整数解等),0的隐含限制。20c的取值(即增根的可能值),x≠增根的限制。3：结合条件，列方程/不等式求解（常考题型）4：双重检验，规范作答x0命题点01【典例】（2025·黑龙江·模拟预测）已知关于𝑥的方程3𝑥−6=1，解为负数，则𝑚的取值范围是（A．𝑚< B．𝑚>C．𝑚<3且𝑚≠ D．𝑚>3且𝑚≠【答案】【答案】【详解】解：∵方程3𝑥−6=∴分母3𝑥−6≠0，即𝑥≠方程两边乘3𝑥−6得：𝑚𝑥3𝑥−6，移项得：𝑥(𝑚−3)=−6．当𝑚≠3时，𝑥=解为负数，即𝑥<∴−6<∵分子−6<∴分母𝑚−3>0，即𝑚>当𝑚=3又∵𝑥≠2，即𝑚−3≠∴𝑚≠综上，当𝑚>3 1】（2025·江苏南通·模拟预测）已知关于𝑥的分式方程𝑥−1=2+1−𝑥的解为非负数，则𝑚 【答案】𝑚≥−2且𝑚≠【答案】𝑚≥−2且𝑚≠【详解】解 =2+ ==𝑚+𝑚+𝑥=𝑚+𝑥=𝑥=𝑚+∵分式方程分母不能为0，即𝑥−1≠0，𝑥≠∴𝑚+2≠1，𝑚≠−1．∴𝑥=𝑚+2≥0，𝑚≥−2．综上，𝑚≥−2且𝑚≠−1．故答案为：𝑚≥−2且𝑚≠−1 【变式2】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知关于x的方

a𝑥−1+𝑥= 【答案】【答案】𝑎<−2且𝑎≠0是解题的关键．先求0．【详解】解：去分母得：𝑥2𝑥−2=𝑥解得：𝑥=2∴𝑎+2< ≠ ≠解得：𝑎<−2且𝑎≠∴a的取值范围是𝑎<−2且𝑎≠0，故答案为：𝑎<−2且𝑎≠0． 【变式3（2026·湖北·模拟预测若关于𝑥的方程𝑥−3−2=𝑥−3的解为非负数则𝑚的取值范围 【答案】【答案】𝑚≤6且𝑚≠解分式方程得到𝑥=6−𝑚，根据解为非负数且分母不为零的条件，列出不等式求解𝑚【详解】解：解方程𝑥−3−2=两边同乘𝑥−3，得𝑥−2(𝑥−3)=∴𝑥−2𝑥+6=∴−𝑥∴−𝑥+6=∴𝑥=由于原方程中分母𝑥−3≠∴𝑥≠∴6−𝑚≠3，解得𝑚≠∴𝑥≥∴6−𝑚≥0，解得𝑚≤因此，𝑚的取值范围是𝑚≤6且𝑚≠故答案为：𝑚≤6且𝑚≠命题点02【典例】（2025·湖北黄石·一模）若分式方 −𝑚=6有增根，则它的增根 (𝑥+1)(𝑥−1)【答案】【答案】𝑥=0的未知【详解】解：方程去分母，得：6−𝑚(𝑥1)=6𝑥2−6，当(𝑥+1)(𝑥−1)=0时，则：𝑥=−1或𝑥=1，当𝑥=−1时，6−𝑚(−11)=6×(−1)2−6，即：6=0，整式方程不成立；故𝑥=−1不是整式方程的解，故𝑥=−1当𝑥=1时，6−𝑚(1+1)=6−6=0，解得：𝑚=∵方程有增根，故𝑚=3，𝑥=1是原方程的增根；故答案为：𝑥=11】（2025·广东揭阳·三模）若关于𝑥的分式方程

+

=4无解，则𝑎【答案】【答案】=【详解】解 = 去分母，得：𝑎−2=整理，得：𝑥=4∵方式方程无解，当分式方程有增根时，则：𝑥−2=0，解得𝑥=把𝑥=2，代入𝑎−2=4(𝑥−2)，得：𝑎−2=解得：𝑎=2；2】（2025·四川南充·一模）关于

=5无解，则𝑚的值 的方程

【答案】【答案】𝑥=2𝑥−2+2−𝑥=2𝑥−2−2𝑚=−3𝑥=系数化为1，得𝑥 ∵该方程无解，则𝑥=∴8−2𝑚=2，解得𝑚=【变式3】（2023·甘肃天水·一模）关于x的分式方程2−𝑚=1有增根，则m的值 𝑥−1【答案】【答案】【详解】解：根据题意得：2+𝑚=∵分式方程 =1有增根∴最简公分母𝑥−1=解得，解得，𝑥=将𝑥=1代入2+𝑚=𝑥−1，得2+𝑚=1−1=∴𝑚=如果关于𝑥的分式方程

=1的解是正数，那么实数𝑚的取值范围是A．𝑚<1且𝑚≠ B．𝑚>C．𝑚>−5且𝑚≠ D．𝑚>−2且𝑚≠【答案】【答案】xm =变形得𝑥−2−𝑥−2=去分母得，𝑚−(2𝑥−3)=解得：𝑥=3∴𝑥≠2，即3≠2，解得𝑚≠∴𝑥>0，即3>0，解得𝑚>m的取值范围是𝑚>−5且𝑚≠x的分式方程5+

=2−𝑥m的值为（ D．2或【答案】【答案】=整式方程；最后把增根𝑥=2代入整式方程，计算得出𝑚【详解】解：分式方程5的分母为𝑥−2和2−𝑥=令分母为零，得增根令分母为零，得增根𝑥=方程两边同乘𝑥−2去分母，得：5(𝑥−2)𝑥=−𝑚．将增根𝑥=2代入整式方程：5×(2−2)+2=−𝑚，即0+2=−𝑚，解得𝑚=−2． ．若分式方程𝑥−3=𝑥−3+2的解为正数，则𝑚的取值范围 【答案】【答案】𝑚<4且𝑚≠【分析】先解分式方程，根据解为正数且分母不为0【详解】解：𝑥−3=𝑥−3去分母得，𝑥−2=𝑚+解得：𝑥=依题意，4−𝑚>0，且4−𝑚≠∴𝑚<4且𝑚≠考点四步骤1与系数关系、整数根等),0的隐含限制。步骤2：规范分析，用参数表示根/①优先标注隐含条件：若方程为一元二次方程，先明确二次项系数②用判别式分析根的存在性：计算Δ=b2−4ac，根据根的情况(有实根/无实根/等根)列不等式/③ ，x +12=④若需直接表示根：用求根公式写出x=−b±Δ步骤3：结合条件，列方程/①若已知根的存在性(有/无实根、等根)：根据Δ>0(两不等实根)、Δ=0(两相等实根)、Δ<0(无实根)、Δ≥0(实根)列不等式，结合二次项系数a≠0,②若已知根的正负性/特定范围：结合韦达定理列不等式组(x1+x2>0)4命题点01【典例】（2025·四川遂宁·中考真题）已知关于𝑥的一元二次方程𝑥2−3𝑥𝑚+1=0有实数根，则实数𝑚取值范围是（A．𝑚<

B．𝑚≥

C．𝑚>

D．𝑚≤【答案】【答案】根据一元二次方程有实数根的条件，判别式非负，代入方程系数计算判别式，解不等式即可确定m的取值方程有实数根需满足Δ≥0，即：5−4𝑚≥解得𝑚≤1】（2025·四川·中考真题）若关于𝑥的方程𝑥2−2𝑥𝑚=0有两个相等的实数根，则实数𝑚 【答案】【答案】【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥𝑐=0(𝑎≠0)的根与Δ=𝑏2−4𝑎𝑐Δ>Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．利用判别式的意义得到Δ=(−2)2−4𝑚=0，然后解关于𝑚的方程即可．【详解】根据题意得，Δ=(−2)2−4𝑚=0，解得𝑚=1，个不相等的实数根，得到Δ>00，进行求解即可．【详解】解：∵x的一元二次方程𝑘𝑥2−2𝑥+1=0∴Δ=个不相等的实数根，得到Δ>00，进行求解即可．【详解】解：∵x的一元二次方程𝑘𝑥2−2𝑥+1=0∴Δ=(−2)2−4𝑘>0且𝑘≠∴𝑘<1且𝑘≠∴k的值可以为−1（答案不唯一）；3】（2025·山东东营·中考真题）若关于𝑥的方程(𝑘2−1)𝑥2+(𝑘+围

𝑥+4=

无实根，则𝑘【答案】【答案】𝑘≤−1/−1≥分两种情况讨论：当𝑘2−1=0时，方程为一元一次方程；当𝑘2−1≠0时，方程是一元二次方程，分别求【详解】解：当𝑘2−1=0且𝑘+1≠0时，即𝑘=1时，原方程化为2𝑥+1=0当𝑘2−1=0且𝑘+1=0时，即𝑘=时，原方程化为4=0当𝑘2−1≠0，即𝑘≠±1时，原方程(𝑘2−1)𝑥2+(𝑘+1)𝑥+1=0△=(𝑘1)2−4(𝑘2−1)×1<0△=2𝑘2<解得：𝑘<综上，𝑘的取值范围是𝑘≤−【答案】2【答案】2或【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，利用根与系数的关系得𝑥1+=2𝑚，𝑥1∙𝑥2=𝑚2−4𝑚−1，再代入(𝑥1+2)(𝑥2+2)−2𝑥1𝑥2=17得𝑚−8𝑚+12=0即可，解题的关键是熟悉：一元二次方程的两个根为𝑥1,𝑥2，则𝑥1+𝑥2=−𝑎，𝑥1∙𝑥2=【详解】解：∵𝑥1,𝑥2是方程𝑥−2𝑚𝑥+𝑚2−4𝑚−1=0∴𝑥1+𝑥2=2𝑚，𝑥1∙𝑥2=∵(𝑥1+2)(𝑥2+2)−2𝑥1𝑥2=即−𝑥1𝑥2+2(𝑥1+𝑥2)+4=故答案为：𝑘≤−命题点02 【答案】【答案】构造出一元二次方程．根据𝑎+𝑏+𝑐=𝑎𝑏𝑐=𝑎3，得到𝑏+𝑐=𝑎3−𝑎，𝑏𝑐=𝑎2b，c为两个根a的一元二次方程，根据方程有两个根，得到Δ0a的取值范围，【详解】解：∵a，b，c均为正实数，且𝑎+𝑏+𝑐=𝑎𝑏𝑐=∴𝑏+𝑐=𝑎3−𝑎，𝑏𝑐=∴b，c是方程𝑥2−(𝑏+𝑐)𝑥+𝑏𝑐=0∵方程𝑥2−(𝑎3−𝑎)𝑥+𝑎2=0∴Δ=(𝑎3−𝑎)2−4𝑎2≥0，即𝑎6−2𝑎4−3𝑎2≥∵𝑎2≠∴𝑎4−2𝑎2−3≥0，即(𝑎2−3)(𝑎2+1)≥∵(𝑎2+1)>∴𝑎2−3≥0，即𝑎2≥3a的最小值为3．故答案为：3．【变式1】（2024·广东·模拟预测）若关于x的一元二次方程𝑥2−2𝑚𝑥+𝑚2−4𝑚−1=0有两个实数根𝑥1,𝑥2，且(𝑥1+2)(𝑥2+2)−2𝑥1𝑥2=17则𝑚= 把把𝑥1+𝑥2=2𝑚，𝑥1∙𝑥2=𝑚2−4𝑚−1，代入整理得𝑚−8𝑚+12=解得𝑚1=2,𝑚2=∵方程𝑥2−2𝑚𝑥+𝑚2−4𝑚−1=0∴𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐≥𝛥=(−2𝑚)2−4×1×=4𝑚2−4𝑚2+16𝑚+=16𝑚+∴16𝑚+4≥解得：𝑚≥−∵𝑚1=2,𝑚2=6都满足𝑚≥−∴𝑚1=2,𝑚2=所以𝑚=经检验，𝑚=2解得𝑚=所以𝑚=经检验，𝑚=2解得𝑚==2𝑚+𝑚−6=(2𝑚−3)(𝑚+2)=2𝑚−3= 𝑥+【详解】因为(𝑚+2)𝑥2−(2𝑚2+𝑚−6)𝑥−2𝑚−1=0的两根互为相反数，所以𝑚+2≠0，由题可得𝑚+2≠0，𝑥1+𝑥2=2𝑚+𝑚−6=01【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系𝑥+𝑥=−𝑏,𝑥𝑥=𝑐【答案】3】（2025·江苏南通·一模）设𝑥1、𝑥2是方程𝑥2+𝑚𝑥+4=0的两个根，且𝑥1+𝑥2−𝑥1𝑥2=2𝑚= 【答案】【答案】【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．掌握一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0)系：𝑥1+𝑥2=−𝑎和𝑥1⋅𝑥2=𝑎是解题关键．根据一元二次方程根与系数的关系可知𝑥1+𝑥2==4【详解】解：∵𝑥1、𝑥2是方程𝑥2+𝑚𝑥+4=0∴𝑥1+𝑥2=−1=−𝑚，𝑥1𝑥2=1=∵𝑥1+𝑥2−𝑥1𝑥2=∴−𝑚−4=解得：𝑚−6．【答案】4≤𝑚<【分析】本题考查了解不等式，一元二次方程的判别式，根与系数的关系，结合题意，得出𝑥1𝑥2>≥0x的一元二次方程𝑥2+3𝑥−𝑚+4=0【答案】4≤𝑚<【分析】本题考查了解不等式，一元二次方程的判别式，根与系数的关系，结合题意，得出𝑥1𝑥2>≥0x的一元二次方程𝑥2+3𝑥−𝑚+4=0的两个实数根分别为∵x的一元二次方程𝑥2+3𝑥−𝑚+4=0∴𝑥1𝑥2=−𝑚+4>0,Δ=9−41×(−𝑚+4)≥0，即𝑚<4，4𝑚≥16−9，∴7≤𝑚<故答案为：4≤𝑚<命题点03【典例】（2026·四川南充·一模）x的一元二次方程𝑥2−𝑏𝑥−1=m，n满足𝑚2−𝑚𝑏=1，4𝑛2−2𝑛𝑏=1，且𝑚≠2𝑛，求𝑚𝑛【答案】【答案】(1)(2)𝑚𝑛=【分析】（【分析】（1）求出Δ=𝑏2+4（2）m和2𝑛是方程𝑥2−𝑏𝑥−1=0的两个根，且𝑚≠2𝑛【详解】（1）证明：由题意可得：Δ=(−𝑏)2−4×1×(−1)=𝑏2∵𝑏2≥∴𝑏2+4>0，即Δ>（2）解：由𝑚2−𝑚𝑏=1得𝑚2−𝑚𝑏−1=0，由4𝑛2−2𝑛𝑏=1得，(2𝑛)2−𝑏⋅(2𝑛)−1=0．∴m和2𝑛是方程𝑥2−𝑏𝑥−1=0的两个根，且𝑚≠由根与系数的关系得𝑚(2𝑛)=∴𝑚𝑛=1】（2026·江西九江·一模）若𝑥1,𝑥2是关于𝑥的一元二次方程𝑥2−4𝑥+𝑘−2=0(1)求出实数𝑘(2)若方程的两个实数根满足𝑥1+𝑥2−𝑥1⋅𝑥2=1，求𝑘【答案】【答案】(1)𝑘≤(2)𝑘=【分析】（1）（2）利用一元二次方程根与系数的关系可得𝑥1+𝑥2=4,𝑥1⋅𝑥2=𝑘−2【详解】（1）解：由题意得，Δ==16−4𝑘+=24−4𝑘≥0，解得𝑘≤6；（2）解：由题意得，𝑥1+𝑥2=4,𝑥1⋅𝑥2=∵𝑥1+𝑥2−𝑥1⋅𝑥2=∴4−(𝑘−2)=解得𝑘=5<62】（2026·湖北黄石·一模）已知一元二次方程𝑥2−2𝑥+𝑚=0有两个实数根(1)求𝑚(2)m的值，使得𝑥1+𝑥2−𝑥1𝑥2=3m【答案】【答案】(1)𝑚≤(2)存在，𝑚=（2）利用一元二次方程根与系数的关系可得𝑥1+𝑥2=2，𝑥1𝑥2=𝑚，再由𝑥1+𝑥2−𝑥1𝑥2=3【详解】（1）解：∵一元二次方程𝑥2−2𝑥+𝑚=0有两个实数根𝑥1、∴𝛥≥∴(−2)2−4𝑚≥∴𝑚≤∵一元二次方程𝑥2−2𝑥+𝑚=0有两个根∴𝑥1+𝑥2=2，𝑥1𝑥2=∵𝑥1+𝑥2−𝑥1𝑥2=∴2−𝑚=3，解得𝑚−1，∵𝑚≤∴𝑚=3】（2026·湖北襄阳·二模）x的一元二次方程𝑥2−(2𝑘+1)𝑥+𝑘2+𝑘=若方程的两根分别为𝑥1、𝑥2，且𝑥2+𝑥2=11k 【答案】【答案】(1)(2)𝑘=−1±（1）证明：∵x的一元二次方程𝑥2−(2𝑘1)𝑥𝑘2+𝑘0中𝑎=1，𝑏=−(2𝑘1)，𝑐=𝑘2∴Δ∴Δ=−(2𝑘+1)−4×1×(𝑘2+𝑘)=4𝑘2+4𝑘+1−4𝑘2−4𝑘=1>∴𝑥1+𝑥2=2𝑘+1,𝑥1𝑥2=𝑘2∴𝑥2+𝑥2=(𝑥1+ =(2𝑘+1)2−2(𝑘2+=4𝑘2+4𝑘+=2𝑘2+2𝑘+∵𝑥2+𝑥2= ∴2𝑘2+2𝑘+1=解得：𝑘=−1±中考预测题𝑥关于𝑥的方程𝑥2−𝑘𝑥+𝑘−1=0（𝑘为常数）有两个相等的实数根，且反比例函数𝑦=𝑥(−1,𝑎)，(−2,𝑏)，(2,𝑐)三点，则𝑎，𝑏，𝑐之间的大小关系为（A．𝑐>𝑏> B．𝑐>𝑎> C．𝑎>𝑏> D．𝑎>𝑐>【答案】【答案】【详解】解：∵关于𝑥的方程𝑥2−𝑘𝑥+𝑘−1=0∴Δ=(−𝑘)2−4×1×(𝑘−1)=𝑘2−4𝑘+4=(𝑘−2)2=解得𝑘=∴𝑦=∵反比例函数𝑦=𝑥经过(−1,𝑎)，(−2,𝑏)，(2,𝑐)∴𝑎 =−2，𝑏 =−1，𝑐 = ∵1>−1>∴𝑐>𝑏>已知等腰三角形三边分别为𝑎，𝑏，4，且𝑎，𝑏是关于𝑥的一元二次方程𝑥2−12𝑥+𝑚=0的两根，则𝑚值为（ C．32或 【答案】【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系、三角形的三边关系，分三种情况讨论：当𝑎=4时，当𝑏=4时，当𝑎=𝑏时．【详解】解：（Ⅰ）当𝑎=4时，即𝑎因为𝑎，𝑏是关于𝑥的一元二次方程𝑥2−12𝑥+𝑚=0𝑎+𝑏=解得𝑏=因为4+4=所以，当𝑎=4时，𝑎，𝑏，4（Ⅱ）当𝑏=4时，即𝑏同（Ⅰ）可知，当𝑏=4时，𝑎，𝑏，4（Ⅲ）当𝑎=𝑏时，即𝑎，𝑏因为𝑎，𝑏是关于𝑥的一元二次方程𝑥2−12𝑥+𝑚=0的两根，且𝑎=𝑏𝑎+𝑏=𝑎=𝑎=𝑏=因为4+6>所以，当𝑎=𝑏时，𝑎，𝑏，4因为𝑎，𝑏是关于𝑥的一元二次方程𝑥2−12𝑥+𝑚=0𝑎𝑏=所以𝑚=3．已知实数𝑎，𝑏，𝑐满足𝑎+𝑏−2𝑐=（1）若𝑎>0且𝑎−𝑏+𝑐=0，则𝑏的范围 （2）若𝑎𝑏−50=2𝑐2，则𝑎−𝑏−𝑐的值 𝑏>【分析】（1）由𝑎−𝑏+𝑐=0得2𝑎−2𝑏+2𝑐=0，再结合𝑎+𝑏−2𝑐=10，则3𝑎−𝑏=10，所以𝑎 ∴𝑎−𝑏−𝑐∴𝑎−𝑏−𝑐=10−10−5==∴𝑎(20−𝑎)=100，即𝑎2−20𝑎+100=0，解得：𝑎1=∴𝑎=𝑏=∴𝑐=5，𝑎+𝑏=20，𝑎𝑏=∴Δ=−(10+2𝑐)−4(2𝑐2+50)=−4(𝑐−5)2≥又∵𝑎>∴𝑏>（2）由𝑎+𝑏=10+2𝑐，𝑎𝑏=2𝑐2∴𝑎，𝑏为方程的𝑥2−(10+2𝑐)𝑥+(2𝑐2+50)=0∴𝑎 𝑎>0，从而求出𝑏（2）由𝑎+𝑏=10+2𝑐，𝑎𝑏=2𝑐2+50，则𝑎，𝑏为方程的𝑥2−(10+2𝑐)𝑥+(2𝑐2+50)=0两实根，然后通【详解】解：（1）∵𝑎−𝑏𝑐=∴2𝑎−2𝑏+2𝑐=∵𝑎+𝑏−2𝑐=∴3𝑎−𝑏=1．（2026·安徽芜湖·一模）m，n同时满足𝑚−|𝑛|=1，|𝑚|−𝑛=5，则𝑚𝑛值为（ 【答案】【答案】【分析】根据𝑚−|𝑛|=1，得出𝑚=1+|𝑛|，从而得出𝑚=1+|𝑛|≥1>0，则|𝑚|=𝑚，第二个方程可化为𝑚−𝑛=5，两式相减得：𝑛−|𝑛|=−4，若𝑛≥0，则𝑛−|𝑛|=0，不符合等式，从而得𝑛<0，此时|𝑛|=−𝑛，求出𝑛=−2，再把𝑛=−2代入𝑚−𝑛=5，求出𝑚=3，最后代入𝑚𝑛【详解】解：∵𝑚−|𝑛|=∴𝑚=1+∵|𝑛|∵|𝑛|≥∴𝑚=1+|𝑛|≥1>∴|𝑚|=代入第二个方程|𝑚|−𝑛=5得：𝑚−𝑛=联立：𝑚−𝑛=5，两式相减得：𝑛−|𝑛|=若𝑛≥0，则𝑛−|𝑛|=0𝑚−|𝑛|=∴𝑛<0，此时|𝑛|=−𝑛，代入得：𝑛−(−𝑛)=2𝑛=−4，解得：𝑛=把𝑛=−2代入𝑚−𝑛=5，得𝑚−(−2)=5，解得：𝑚=∴𝑚𝑛=3−2=1=2．（2026·河北石家庄·一模）已知𝑚，𝑛是关于𝑥的一元二次方程𝑥2+4𝑥𝑐=

𝑚𝑛=2，则𝑐值是（ 【答案】【答案】【详解】解：∵𝑚，𝑛是一元二次方程𝑥2+4𝑥+𝑐=0∴𝑚+𝑛=−4，𝑚𝑛=又∵𝑚+𝑛=∴代入𝑚+𝑛=−4，𝑚𝑛=𝑐𝑐=解得𝑐=验证得判别式Δ=42−4×1×(−2)=24>03．（2025·黑龙江佳木斯·一模）如果关于x的分式方程𝑚𝑥+𝑥=2无解，那么实数m的值为 B．1或 D．1或【答案】【答案】【分析】本题考查分式方程的解，理解其意义是解题的关键．将原方程去分母得𝑚𝑥𝑥=2𝑥4，整理得(𝑚−1)𝑥=4m的值即可．【详解】解：原方程去分母得𝑚𝑥𝑥=2𝑥4，整理得(𝑚−1)𝑥=4，当𝑚−1=0，𝑚=10𝑥0𝑥4无解，那么原方程无解，符合题意，当𝑚≠1时，若方程无解，那么它有增根𝑥−2，则−2(𝑚−1)=4，解得：𝑚=4．（2026·安徽蚌埠·一模）已知两个非负实数𝑥，𝑦满足𝑦=3−2𝑥=（1）z的取值范围 （2）若𝑀=𝑥2+2𝑦2+𝑧2，则M的最大值 ∵3∵3≤𝑧≤ 39∴当𝑧=3时，𝑀取得最大值10× = | |又∴𝑀是关于𝑧的二次函数，且该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线𝑧= ∴𝑀=𝑥2+2𝑦2+𝑧2=(𝑧−3)2+2(9−2𝑧)2+𝑧2=10𝑧2−78𝑧+171=10𝑧−解得3≤𝑧≤（2）由（1）可知，𝑥=𝑧−3，𝑦=【分析】（1）用𝑧表示𝑥和𝑦，结合非负数的性质，求出𝑧（2）将𝑥和𝑦替换为𝑧，得到一个𝑀关于𝑧的二次函数，结合二次函数的性质求出𝑀【详解】解：（1）∵𝑦=3−2𝑥=∴𝑥=𝑧−3，𝑦=∵𝑥，𝑦𝑧−3≥∴9−2𝑧≥03≤𝑧5．（2025·重庆·模拟预测）若关于𝑥，𝑦

𝑥+2𝑦=2𝑥𝑦=1的解满足𝑥𝑦=−2，且关于𝑧元二次方程𝑧2−4𝑧+2𝑛=0有两个相等的实数根，则𝑚+𝑛的值 【答案】【答案】【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，二元一次方程组，解题的关键是掌握：Δ=𝑏2−4𝑎𝑐是一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0)根的判别式，Δ>0⇔方程有两个不等的实数根；Δ=0⇔Δ<0⇔𝑥𝑦=33=−2𝑚=再根据根的判别式的意义得到Δ=(−4)2−4×2𝑛=0，则可求出𝑛的值，然后计算𝑚+𝑛𝑥+2𝑦=【详解】解：2𝑥+𝑦=1②②得：3𝑥+3𝑦=𝑚+ 即𝑥+𝑦=3∵𝑥+𝑦=∴𝑚+1=解得：𝑚=∵关于𝑧的一元二次方程𝑧2−4𝑧+2𝑛=0∴Δ=(−4)2−4×1×2𝑛=解得：𝑛=∴𝑚𝑛=−72=−5，即𝑚+𝑛的值为−5．6．（2026·河北张家口·一模）x的一元二次方程𝑥2+(𝑚−3)𝑥−7=(1)当𝑚=9当当𝑚=9时，𝑥2+6𝑥−7= 第一移项，得𝑥2+6𝑥= 第二配方，得𝑥2+6𝑥+32=−7+32，即(𝑥+3)2= 第三由此可得，𝑥+3=± 第四∴𝑥1=−32，𝑥2=−3− (2)若方程的两个实数根分别是𝑥1和𝑥2，且𝑥1+𝑥2−2𝑥1𝑥2=20，求𝑚【答案】【答案】(1)当𝑚=9时，𝑥2+6𝑥−7=0，移项，得𝑥2+6𝑥=配方，得𝑥2+6𝑥+32=7+32，即(𝑥+3)2=16，由此可得，𝑥+3=±4，∴𝑥1=1，𝑥2=（2）解：由题意知，𝛥=(𝑚−3)2−4×1×(−7)=𝑚2−6𝑚+37>∵𝑥1+𝑥2=−(𝑚−3)=−𝑚+3，𝑥1𝑥2=∴−𝑚+3−2×(−7)=解得𝑚=代入判别式𝛥=𝑚2−6𝑚+37=64>0∴𝑚=已知𝑚、𝑛是关于𝑥的一元二次方程𝑥2+3𝑥+𝑐=0的两个实数根，若𝑚+𝑛=3𝑚𝑛，则𝑐的值是（ 【答案】【答案】【详解】解：∵𝑚、𝑛是关于𝑥的一元二次方程𝑥2+3𝑥+𝑐=0∴𝑚+𝑛=−=−3，𝑚𝑛=又∵𝑚+𝑛=∴−3=3𝑐，解得𝑐−1．2𝑚−3𝑛=

𝑚=

2(𝑥+2)−3(𝑦−1)=3𝑚+5𝑛=30.9的解是𝑛=1.23(𝑥+2)+5(𝑦−1)=30.9的解是（𝑥=

𝑥=

𝑥