《角平分线的性质》教学设计

附件五《角平分线的性质》教学设计所在单位固始县陈淋子镇第一初级中学学科数学设计教师徐成程一、教学目标：1.知识与技能：会做已知角的平分线，了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角平分线的性质，会用角平分线的性质进行证明与计算。2.过程与方法：在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,进一步发展学生的推理证明意识和能力。3.情感态度与价值观：在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神,增强解决问题的信心,获得解决问题的成功体验。二、学情分析：八年级的学生已经具备基础的几何语言，有一定的推理能力，好奇心强，有探究的欲望，能在教师的引导下发现生活的数学知识，并运用所学推出新知，但他们思维的广阔性，敏捷性，灵活性比较欠缺，需要在课堂教学中进一步加强和引导。三、教材内容分析：本节课教学内容是在七年级学习了角平分线的概念和刚学完三角形全等的基础上进行教学的，主要来研究角平分线的性质与判定，为证明线段或角相等开辟了新的途径，简化了证明过程，同时也是全等三角形知识的延续，是作图、计算、证明的重要工具，为今后的几何学习做好了铺垫，具有承前启后的作用，因此本节课在教材中占有非常重要的地位。四、教学方法设计：本节课坚持“教与学、知识与能力辩证统一”和“使每个学生得到充分发展”的原则，采用引导式探索发现法，主动式探究法，讲授教学法，引导学生自主学习、合作学习和探究学习，指导学生“动手操作，合作交流，自主探究”，鼓励学生多思，多说，多练，坚持师生间的多向交流，努力做到教法、学法的最优结合。五、教学过程：（一）情境导入问题：在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路．问题1：怎样修建道路最短？问题2：往哪条路走更近呢？ADADBCE（二）民主导学1、探究一：角的平分线的作法Ⅰ、议一议问题1请你拿出准备好的角，用你自己的方法画出它的角平分线.问题2如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线.你能说明它的道理吗?问题3通过上面的探究，你有什么启发？你能用尺规作图作已知角的平分线吗？请你试着做一做，并与同伴交流.已知：∠MAN求作：∠MAN的角平分线.CADCADBMN（2）分别以B、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠MAN的内部交于点C.（3）画射线AC.∴射线AC即为所求.Ⅱ、练一练平分平角∠AOB.通过上面的步骤得到射线OC以后，把它反向延长得到直线CD.直线CD与直线AB是什么关系？思考：你能总结出“过直线上一点作这条直线的垂线”的方法吗？请说明你的方法。2、探究二：角的平分线的性质Ⅰ、做一做如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开.观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？试着证明你的结论.CABCABOABO（1）角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.（2）角的平分线性质的证明步骤：①明确命题中的已知和求证;已知:一个点在一个角的平分线上.结论:这个点到这个角两边的距离相等.②根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证;已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E.BPBPOACED③经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程.证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB(已知)∴∠PDO=∠PEO=90°(垂直的定义)在△PDO和△PEO中∠PDO=∠PEO（已证）∠AOC=∠BOC（已证）OP=OP（公共边）∴△PDO≌△PEO（AAS）∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）符号语言：∵∠AOC=∠BOC,PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E.（已知）∴PD=PE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）Ⅱ、练一练POABCPOABCEDPOABCEDBPOACEDPOABCEDACBACB(2)下图中,PD⊥OA,PE⊥OB，垂足分别为点D、E，则图中PD＝PE吗?BBPOACED思考：角的平分线的性质在应用时应该注意什么问题?探究三：角的平分线的性质的应用【类型一】利用角平分线的性质证明线段相等例1如图：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF.求证：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB.解析：(1)根据角平分线的性质，可得点D到AB的距离等于点D到AC的距离，即CD＝DE.再根据Rt△CDF≌Rt△EDB，得CF＝EB；(2)利用角平分线的性质证明△ADC和△ADE全等得到AC＝AE，然后通过线段之间的相互转化进行证明．证明：(1)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC.∵在Rt△DCF和Rt△DEB中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(DF＝BD，,DC＝DE，))∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)．∴CF＝EB；(2)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD＝DE.在△ADC与△ADE中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CD＝DE，,AD＝AD，))∴△ADC≌△ADE(HL)，∴AC＝AE，∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB.方法总结：角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在运用时一定要注意是两条“垂线段”相等．【类型二】角平分线的性质与三角形面积的综合运用例2如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是()A．6B．5C．4D．3解析：过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×4×2＋eq\f(1,2)AC×2＝7，解得AC＝3.故选D.方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．【类型三】角平分线的性质与全等三角形综合例3如图所示，D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F.求证：CE＝CF.解析：由角平分线的性质可得DE＝DF，再利用“HL”证明Rt△CDE和Rt△CDF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF.在Rt△CDE和Rt△CDF中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CD＝CD，,DE＝DF，))∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，∴CE＝CF.方法总结：全等三角形的判定离不开边，而角平分线的性质是判定线段相等的主要依据，可作为判定三角形全等的条件．板书设计：第1课时角的平分线的性质角的平分线的作法2.角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.BPBPOACED符号语言：∵∠AOC=∠BOCPD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE技术运用：硬件环境：计算机多媒体教室软件条件：windows操作系统、《角平分线的性质》课件资源引用：1、“课标”内容标准。2、教材及图片。3、教具运用：白板、投影仪、圆规、三角板九、创新点：本节课从学生熟悉的情景导入，由浅入深，由易到难，有效地组织和引导学生开展以探究为特征的研究性学习，使接受与探究相辅相成，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习效果。教学反思：本节课的教学目标是了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质，会运用角的平分线的性质证明，为了让学生掌握角的平分线的性质定理的运用，通过具体情境使学生能够比较容易运用这个定理，许多学生学了某个定理之后，遇到对应的问题往