南华大核反应堆物理讲义第4章 均匀反应堆的临界理论

第四章均匀反应堆的临界理论

在前面二章中,我们仅一般地讨论了中子在介质内的扩散和慢化问题，并

没有强调中子源或介质的增殖特性。本章将研究由燃料和慢化剂组成的有限均匀

增殖介质（反应堆系统）内的中子扩散问题。这时，中子在介质内一方面不断地

吸收，同时又将由于核裂变反应而断地有新的中子产生，也就是说，与中子在介

质内扩散过程的同时，还发生着链式反应过程，例如，均匀反应堆便属于这种情

况。在讨论增殖介质内的中子扩散问题，最感兴趣的是：这种链式裂变反应过程

的状态如何？链式裂变反应是不断地衰减，还是继续地进行下去？在什么条件下

这种链式反应过程能够保持稳态地以一定速率继续地进行下去？这也就是在第

一章中所提到的反应堆临界理论问题。

在反应堆临界理论中，主要是研究下面的两个问题：

（1）各种形状的反应堆达到临界状态的条件（临界条件）；临界时系统的

体积大小和燃料成分及其装载量。

（2）临界状态下系统内中子通量密度（或功率）的空间分布。

研究反应堆临界的方法有许多种。处理多区反应堆最有效和常用的方法之

一是分群扩散模型。在这种处理方法中，将中子能量自源能量到热能之间分成为

若干个能量区间（叫做“能群”），然后，把每一能群内的中子放在一起来处理,

并将它们的扩散、散射、吸收以及其他反应的特性，用适当平均的扩散系数和相

应截面（群常数）来描述。在分群扩散理论中，最简单的是“单群”理论，但是

它只能提供一种比较近似的结果。在热中子反应堆中，常常采用双群扩散理论，

尤其是以石墨或重水作慢化剂的反应堆。这时，只要群常数选得当，就能给出比

较好的结果。但是近年来随着电子计算机、计算技术的发展、新的堆型（如快堆）

的出现以及对反应堆计算提出的更高要求,则采用少群（2-4群）或多群理论进

行计算。

但是，鉴于单群和双群理论简单明了，可以解析求解，有利于初学者理解

和掌握分扩散理论的一些基本概念和方法，因此本章将着重介绍单群和双群扩散

理论的计算。

第一节均匀裸堆的单群理论

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所谓单群，是指认为反应堆中所有的中子都具有相同的能量，列为一群。

例如，对于热中子反应堆，由于引起核裂变的主要是热中子，因此自然可以近似

地认为所有中子的能量都等于热能。尽管由单群理论所得到的结果在精度上是不

够理想的，仅仅是一个近似的结果，但它却是最简单的方法，同时它的一些结果

和方法却带有普遍意义的，因此对它的讨论是有意义的。

本节将首先讨论均匀裸堆(均匀介质)的临界问题，对与有反射层的反应

堆将在下一节中讨论。

1.1均匀裸堆的单群扩散方程及其解

在(2-27)式中,已经给出了单群中子扩散为

二。二D+sMD

vdlf

这里扩散系数D和Z“是对中子能谱平均后的数值。现在要把这个方程应

用于由燃料-慢化剂构成的有限大小的均匀裸堆系统。在单群近似情况下，假设

所有裂变中子都是瞬发的，热中子反应堆内单位时间、单位体积内产生的中子数

等于

S(r.t)=kxYa^(rJ)

将其代入上式便得到

-驯:"=DVV0-0-Za。。.・，)+hZ/&」)

'CI(4-1)

其中，Z为芯部的宏观吸收截面；D为芯部的扩散系数；葭为芯部的无限介

质增殖系数。

用D除上式各项,并注意到=D/I”,最后得到

1。。(厂」)

Zht5t(4-2)

上式称为芯部单群中子扩散方程。它的边界条件为：

(1)在反应堆为推边界处，中子通亮密度为零；

(2)在不同介质的交界面上，中子通量密度相等，中子流密度相等。

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单群扩散方程（4-2）式为一个二阶偏微分方程，通常对这种方程可以应用

分离变量法求解，即可以把中子通量密度@（r,D写成空间坐标r的函数3（r）及时

间t的函数7。）的乘积,即

阿3=00,）7⑺（4-3）

将（4-3）式代入（4-2）式中，并用©（/•）丁（。除公式中的名项，便得到

力帆）_1dT（f）k「l

°。）Zh-T（r）dtL2（4-4）

上式左端是仅含r的函数，而右端是仅含t的函数，因此等式两端必须都等于某

一常数（例如，-3?）。这样有

。什）

或

V＞（7）+5:^（7）=0（4-5）

这里，8,为一常数。（4-5）式为典型的波动方程。8之称为方程的“特征值”。

一般地讲，对于给定的几何形状系统，在满足给定的边界条件下，可以得到一系

列按大小排列的特征值B；..........；对应于这些特征值，方程（4-5）

之解叫做特征函数。例如，0“（Q是对应与第n个特征值的解。便叫做第n

个特征函数。对应于n=l的特征函数通常叫做基波特征函数或一阶谐波，其余的

特征函数称为高阶谐波。一般把最小特征值记作3：，并把它称为反应堆的

几何曲率,因为它只与反应堆形状和大小有关。

由于特征函数0“（r）的正交性，对于每一个n值的项都是线性独立的。因而，

对应于每一个值底和0“G），有一个力G）与之对应，由方程（4-3）及（4-4）

得

1也⑺一『1

।——Dd2

DvTn（t）dtIT"

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用匕小+UB》乘上式的每一项，便可以通过简化得到下列等式

1rfT（r）Jrw-l

，（，）dNi-/„（4-6）

式中

，一而酝TI79（4.7）

k-kg

”]+百；（4-8）

方程（4-8）之解为

7”=常数“氏.仆（4-9）

根据单群特征函数的正交性，可以把任何具有良好性质的函数用特征函数的

级数来表示。这样（4-5）式的完全解可以用下列级数形式来表示，即

即）-4亿&）

n

故有

«（4-10）

将（4-9）式代入（4-10）式中，便得到中子通量密度0（/;/）之解为

n（4-11）

式中，4为待定常数，0“（〃）系对应于特征值3：的波动方程（45）的特

征函数。这种利用特征函数来展开任意函数的方法，在反应堆物理分析中是常常

应用的。

下面举例以说明。为了简化问题，讨论一个长、宽为无限大，厚度（包括外

推距离在内）等于a的平板形裸堆（图4-1）。

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图，-1无限平板形反应堆

由于对称性。这时通量密度分布仅仅是X的函数。将坐标原点取在平板的中心面

上，这时，波动方程（4-5）式可以写成

d军+一阿二。

df

上述方程能满足对称性条件的解为

0（A）=AcosBx

为满足K二±g处，/|士3）|的边界条件，即

2（2）

因而就要求B应等于

B〃二心，〃二1,3,5……(4-12)

或

8二型业，〃二123…

a

所以有

/、c(2〃-1)7

9M(')=A„cosBx=4cos--------------x

a(4-13)

方程（4-12）所确定之8：（〃=1,2,3……）,即为波动方程的特征值，其对应之特

征函数0G）由（4-13）式确定。方程（4-5）之完全解，就是（4-13）式从n=l

到n=8的所有整数的总和，即

X

(2〃7)万1

(p(x)=Z4COSCOS

n=0(4-14)

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这样，对于无限平板反应堆，中子通量密度wG,/）（（4-11）式）具有如下形式

（p（x.t）=Z&”cos

n=o。（4-15）

有中子源情况为方便起见，仍然讨论图4-1所示无限平板形反应堆。设

在x=0处有一源强为S中子/米'•秒的平面源,这时中子扩散方程中的源项应表

s-[Za，/)+sb(K)

因而方程（4-1）将为非齐次方程。由数理方程知道它的解为（具体过程作为练

习留给读者完成）

dxj)=Zcos---.vfC/H+

n(AI°(4-16)

1.2热中子反应堆的临界条件

通过前一小节的讨论可以知道，特征值8：随n的增加而单调增大。最小特

征值是n=l时的3：值，而同时又从（4・8）式可以看出。当n增加时，上,单调

递减，也就是说对应与最小特征值3；之上是左.....匕中的最大值。另外，

考虑到与系统尺寸有关，当系统尺寸加大时，B：便减小，因而改变系统的

尺寸就可以改变值，从而也就改变了k值。

现在分以下几种情况对（4-11）或（4-15）式进行讨论：

第一种情况：对于一定几何形状和体积的反应堆芯部，若3：对应的左小于

1,那么，其余的玄......匕都将小于1，这时的（k・1）都是负值。从

（4-11）式可以看出，这时，。G,/）将随时间t按指数规律衰减，因而系统处于

次临界状态。

第二种情况：若%>1。则（2-1）>1,这时中子通量密度将随时间断增长，

反应堆将处于超临界状态。

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第三种情况：若通过调整反应堆堆芯尺寸，使左恰好等于1,则其余

k2.......k,（〃>1）的值都将小于1；月陷（4-11）和（4-15）式中n=l的项

将与时间无关，而n>1的各项将随时间的衰减。因而当时间足够长时，n>1各

项都已衰减到零，系统达到稳态，这时中子通量密度按基波形式分布，反应堆处

于临界状态。因而反应堆维持临界的条件是

院二1

显然左便是前面定义的有效增殖系数。

最后，我们讨论有外中子源时的情况。如果左<1,那么对所有％-1都是

负数，于是（4-16）式括号内第一项随时间按指数律衰减，很短时间以后便趋近

于零。这时中子通量密度便趋于如下稳定值

y-----------------------------cos—X

H（奇）£（1+L-B；）（1-k”）。

这就是有外中子源的次临界堆内的中子通量密度分布，由此可以看到，它只取决

于中子源的强度。

如果七二1,也就是当反应堆于临界时,这时经过一段时间后的（4・16）式

中第一项将趋于常数，但是第二项有外中子源存在时将趋于无限大。囚而反应堆

要实现稳态临界时外中子源必须移去。

对于ks>1超临界情况，和前面一样，中子通量密度将随时间而不断增长。

从上面的讨论，我们得到两个重要结果：

Q）裸堆单群近似的〃临界条件”为：

用=-=1

1+匚斤（4-17）

这里B2系波动方程（4-5）的最小特征值（几何曲率），（4-17）式称为单

群理论的临界方程。

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（2）当反应堆处于临界状态时，中子通量密度系按最小特征值所对应的

基波特征函数分布，也就是说稳态反应堆的中子通量密度空间分布系满足波动方

程

°必7）-5，例/）=0（4-18）

的解。这里3；是最小特征值，即几何曲率。

这两点结论是非常重要的。也就是本节所研究的主要问题。

现在我们来讨论一下（4-17）式中各项的物理意义。首先我们证明（4-17）

中1/（1+L万）项的物理意义是热中子在扩散过程中的不泄漏几率P/0在反应堆

单位时间、单位体积内的热中子泄漏率等于-。\72卬，根据（4-18）式有

-D9①二DB：（P；而单位体积内中子的吸收率为o显然，以单群理论观

点来看，反应堆内的中子不是从堆内泄漏出去，就是在堆内被吸收，因而有

中子吸收率

1中子吸收率+中子泄漏率

一ZJ加

（4-19）

这样，（4・17）式可以写成

片二鼠月」（4-20）

它与第一章中的临界条件（1-101）式完全一样。由此可见，这里的心也就是前

面所定义的反应堆有效增殖系数可。同时，由（4-7）式可知，4为考虑热中子

泄漏影响后的中子寿期。

最后，从（4・19）式可看到，反应堆的中子泄漏不仅与扩散长度有关，而且与

几何曲率有关。从前面平板状反应堆的例子中可以看到，当反应堆体积增大时，5；

就减小，因而正如所预料的那样，不泄漏几率也就增大。同样，扩散长度L愈大，

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意味着中子自产生到被吸收所穿行的距离也愈大，因而从反应堆中泄漏出去的几率

也就增大，不泄漏几率就要就小，这和（4-19）式的结果是一致的。

下面就图4-1的简单例子说明上述结果的应用

例题：设有如图4-1所示一维石墨慢化反应堆，

匕=I。"=0.03米?,卜=0.028米。

试求：

（i）达到临界时反应堆的厚度H和中子通量密度的分布；

（ii）设取H=2.5米，试求反应堆的有效增殖系数ko

解（i）根据（4-17）式临界条件，求得临界时反应堆的几何曲率应等于

2k—11.060—1

x----------=2.0米r

'L~0.03

因而B、二1414米\另一方面根据（4-12）式有&，=TT/a,因而有

TTTT

=2.222米

B,1.414

外推距离d=0.71044.二0.7104x0.028=0.02米。因而求得临界时反应堆的厚度

，二〃一2d二2.222-0.04=2.182米

临界时中子通量密度分布为

丁

=-4COS-.V

a

（ii）若H=0.25米，则反应堆的几何曲率

米7

二=1.530

H+2d

反应堆的不泄漏几率P和有效增殖系数分别等于

1

p-----------0.9561

1+~1+0.03x1.530

k=—=1.06x0.9561=1.0135

1+力纥

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1.3各种几何形状的裸堆的几何曲率和中子通量密度分布

从前面讨论可以看到，裸堆临界计算的关键在于求出各种几何形状和大小的反

应堆系统的几何曲率B：及其波动方程（4-18）式的基波解。下面推导几种最常见

的形状反应堆的几何曲率及中子通量密度分布函数。

（1）球形反应堆

考虑一个半径为R（包括外推距离在内）的球形裸堆。应用球坐标系统，并把原

点取在球心上。根据对称性条件，这时的波动方程（4-18）式为

文+三”+磔=0

d广rdr1（4-21）

上式的普遍解（见表2-1）为

/、sinBrcosBr

c----匚，E---r匚

7•r（4-22）

为了满足当r趋近与零时，中子通量密度为有限值的条件，常数E必须为零。所以

（4-21）式的解为

、sinBr

布z）=C——J

r（4-23）

根据满足当r=R时，0（R）二0的边界条件的要求，必须使n=l,2,3,...。

因此对应于n=l时的最小特征值，或几何曲率8；便等于

(4-24)

*（R）

于是中子通量密度分布为

(4-25)

式中C为常数，它由中子通量密度的归一化条件或反应堆的输出功率决定。

（2）长方体形反应堆

考虑一个长方体形反应堆，其边长分别为a,b,c（均包括外推距离在内）。这

时采用直角坐标系，原点取在反应堆的中心点（图4-2）

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3!42长方体诊反正堆

。波动方程可以写成如下形式

萍富+察+弧0

s

fir0*(4-26)

边界条件：当X二士W或y二土。，或Z二土;时，0（x,），,z）二0。采用分离变量法，令

——Z

次工二)=x(.\)y(i)z(二)

F(4-27)

将（4-27）式代入（4-26）式中,并用XQ）K（y）Z（z）除式中各项，得

21

X(x)dx~y(j)dy-Z(z)dz(4-28)

上式左端头三项分别是x,y及z的函数，而且其和等于常数，这只有当每一项本身

是常数时才是可能的，于是有

1一刀⑴二

Atv）dx2—x

(4-29)

(4-30)

1dZD.n2

：

AzTdT(4-31)

将以上三式代入（4-28）式中,便得到

(4-32)

考虑到中子通量密度对于x轴是对称的，所以（4-29）式之解为

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(4-33)

根据在x二士W处中子通量密度为零的边界条件得出x方向的几何曲率为

(4-34)

同样可以求得

2

r(y)=£cosB；=||

(4-35)

以及

/-\2

Z(z)=Fco$B.z:B：=—

・。

,IJ(4-36)

从(4-32)式可以得出反应堆的几何曲率为

用=图+图+图

(4-37)

稳态时的中子通量密度分布形式如下

^(.v.v.z)=CeosBvvcosByycosB:z

Ccos—.vcos-Tcos一二

ab'c(4-38)

式中，C是由中子通量密度归一条件或由反应堆输出功率决定的常数。

根据条件极值原理可以证明，对于各种不同的长方体形的裸堆。在给定了5,值

的条件下，以正方体的裸堆的体积最小。而由(4-37)式可以得出

H(4-39)

(3)有限高圆柱形反应堆

圆柱形为最常见的反应堆形状。设圆柱形反应堆的半径为R,高度为H(R,H

均包括外推距离在内)，见图4-3。

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'c采用柱坐标系统，原点取

在圆柱体轴线的中点上，这时中子通量密度只取决于r和Z两个变量，波动方程便

写成

82(fi1刖8Z(pnL.

-v+-----+—r+=O

£1'rdrd二’(4-40)

边界条件是

(i)中子通量密度在堆内各处均为有限值；

(ii)当r=R或z=±/时，(p(r,z)=0o

采用分离变量法求解，把0(匚z)分离变量写成

g)(r,z)=0(r)Z(z)(4-41)

把它代入(4-40)式，并用«(r)Z(z)除式中各项得出

(4-42)

因而可以令左端每一项均等于常数，有

I牙讷)1=_B

2

如)drrdrJ,(4-43)

1.吃(工)_

(4-44)

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=B；+（4-45）

现在求解（4-43）式。令文二B,•将其代入（4-43）式中去，便得到我们所熟

悉的零阶贝塞尔方程

2，如）工）、」、八

X-+%三一+＜小）=o

d:Cax

其普遍解为

必,）=以仍/）+工4（用7・）

此处/）,匕分别为第一类及第二类零阶贝塞尔函数。

如果假设（4-43）式右端等于正数，则它将化成一个零阶修正贝塞尔方程

/理+工皿7）=o

dx2dx

它的普遍解是

夕（7）=N/O（3J）+EKO（BJ）

这里/。,Ko分别为第一类和第二类零阶修正贝塞尔函数。图小4中画出了

4，匕，/°和K。的曲线。

jQ^11.1_▲一

0061.4~2\230

飞一岁前贝痣尔由X曲能根据边界条件（i）和

（ii）,从这些曲线上可以看出，匕,/0和K。均应从上述解中消去。因而在（4-43）

式右端必须取值，故（4-43）式的允许解为

（p（r）=AJ0（Brr）

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为了计算B：,可以利用在r=R处W（r,z）=0的边界条件，即

d夫）==0（4-46）

其中常数A不能为零，故只能是（3,尺）二0,由图4-4知贝塞尔函数，的第一个

零点是2.405,因而

B：=仔?

'IR)(4-47)

同时有

(p(r)=JJ0(Brr)=JJ0；

R'(4-48)

接着求解方程（4-44）,由长方体反应堆的讨论已经知道它的解为

Z（2）=FCOSB2z

(4-49)

其中

B:卜Y

.H

(4-50)

这样，圆柱形裸堆的几何曲率为

D，2（2405YfY

,,IR；\H；

(4-51)

式中称为径向几何曲率，称为轴向几何曲率。

中子通量密度的分布形式为

,二）=Cl/。（瓦r）cos（8：二）

(4-52)

利用求条件极值的方法可以求出，在给定的吠值下，当直径D=1.083H时，圆

A

柱形反应堆具有最小临界体积。

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（4-52）、（4-38）和（4-25）式中的常数C是由中子通量密度的归一条件

或反应堆的输出功率来确定的。设反应堆的功率为P,芯部的体积为V,每次裂

变放出的能量为，则有

尸=啦/沙/

把有关反应堆内中子通量密度表达式（4-52）、（4-38）或（4-25）式代入上式

积分之，便可确定出常数Co

最后将上述各种几何形状反应堆的几何曲率与中子通量密度分布总结列于表

4-1中。

袅4d几利•几何形状的裸堆的几何曲率和热中于通■密度分布

几何形状尺寸几何■率络中f遇值分布

r

一修CTM—.r

£IVf*"It"a

球影t桧R娓（）'"nfr

OUS-J

a

虏■仔）'

力代为

/I角氏方体

a.A.r

9

cos-ct

ririr

用匕尸•（力cus—XCUR不y0*r

比（比）…）

牛片R

圜柱体Z

4㈤'M品）

J。（普JA（全）

1.4反应堆曲率和临界计算任务

从前面的讨论知道，中子通量密度的空间分布满足波动方程（4-18）,即

：必飘・

V)+3O7)=0(4-53)

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这里，8:为方程的最小特征值，即几何曲率。对于裸堆来讲，几何曲率只与反

应堆的几彳映掰口尺寸大小有关（见表4-1），例如对于球形裸堆，*二（|互）|o

*（R）

它与反应堆的材料成分和性质没有关系。另一方面，对于临界状态的反应堆，它

的几何曲率应能满足临界方程（4-17）。由于几何曲率只取决于反应堆的几

何形状与大小，因而对于任意给定材料成份和几何大小的反应堆，它的几何曲率

8：并不一定都能满足临界方程（4-17）。事实上，由于％8、L2等都仅仅决

定于反应堆芯部材料特性，显然，对于一定材料成份（即给定女8、L等值）的

反应堆，只能有一个确定的57直能满足临界方程（4-17）。为了计算和讨论方

便，我们弓I入材料曲率的概念,它是满足临界方程（4-17）式的*值，并记作B：0

因而，对于单群扩散理论，材料曲率3：等于

Bi二片(4-54)

/

显然，材料曲率反映增殖介质材料的特性，它的数值只取决于反应堆的材料

成分和特性（如,T,等），而与反应堆的几何形状及大小无关。

引进了材料曲率的概念之后，反应堆的临界条件可以描写如下：反应堆达到

临界的条件是材料曲率等于几何曲率，即

B：二Bl(4-55)

例如，对于裸堆情况，利用单群理论，可以将临界条件（4-55）式的具有形式写

成

上L2旧⑴

（对球形反应堆）(4-56)

铲讣管）

（对圆柱状裸堆）(4-57)

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在一般情况下，对于给定的尺寸的反应堆，其几何曲率不一定等于材料曲率

B：。若反<，这时k将大于1，反应堆处于超临界状态；反之,若友,Bj，

则反应堆处于次临界状态。

最后，由上面的讨论可清楚地看到，反应堆临界问题的计算可以归纳为下面

两类问题：

第一类问题：给定反应堆材料成分，确定它的临界尺寸

当反应堆材料成分给定以后，匕、L2等物理参数便可以很容易地计算出来。

因而，材料曲率就成为已知的量，问题便变成了求临界尺寸问题。根据临界时,

B：=B：，可以根据表4-1所给出与尺寸的关系公式计算出临界尺寸来。

第二类问题：给定反应堆的形状和尺寸，确定临界时反应堆的材料成分

这时，事先给定反应堆的几何形状和尺寸（例如，由热工计算给出），而要

求临界时所需的材料成分（一般是燃料的富集度）。事实上这是第一种情况的逆

问题，因为这时几何曲率5：是已知的，所需要的是改变反应堆的燃料慢化剂成

分和比例，以使得临界方程（4・17）得到满足。

在具体计算中，有时还会遇到这样的情况，即不仅反应堆的材料成分（如，

燃料-慢化剂）已经给定，而且反应堆的几何尺寸三由工程或热工的需要所确定。

这时需要求的是反应堆的有效增殖系数k［（4-17）式］

,屋

k二——f—T

“氏,

或

k-1一

p=---（4-58）

”k

式中，p通常称为反应性.对于临界反应堆，p=0;若p>0,则反应堆处于超临

界状态；P<0,则反应堆处于次临界状态。因此|p|的大小表示反应堆偏离临界

状态的程度

1.5单群理论的修正

前面提到，单群理论是一种近似的方法。计算表明，对于热中子反应堆，直

接应用（4-17）或（4・54）式进行计算，将带来比较大的误差。但是，若用

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A/二厂+r来替换上述中［包括（4-56）和（4-57）式］的1，则可以改善计

算结果，并且其结果是令人满意的。这样，临界条件和材料曲率便改写成下列形

式，

k二—（4-59）

"A/比

B：二与？（4-60）

这就是所谓的热中子反应堆的修正单群理论。

修正单群理论之所以能改善计算结果，其主要原因可以从物理上解释如下：

在单群理论中，把所有中子都看成为热中子，因而该理论没有考虑慢化过程对泄

漏的影响；我们知道，与中子自变成热中子地点到它被吸收为止所移动过的

距离有关，1（1+Z/3；）为热中子扩散过程中的不泄漏几率，但是，在反应堆内，

中子由裂变中子到慢化成为热中子之前，已经移动过了一个距离c这样正如在

（3-137）式中所指出的,力二厂+r是描述中子由裂变产生直到它被热吸收

所穿行距离的均方值。故该用徙动面积+7来代替L?,这样，便初步

地考虑了慢化过程对泄漏的影响，因而使精确度得到了改善。实际计算结果也证

明了这一结论。因此，以后提到单群理论一般地都是应用修正的单群理论公式。

它即简单又具有较好的精确度。

最后，在本节结束前我们通过了一个例子来说明这些公式的应用。

例题：设有一轻水裸圆柱形堆芯,其核参数为：

L=4.7X］0米j=48x4米，

儿，二（）.097米，加硼后左g二10.720

⑴设芯部高度H=3.55米，试求堆芯的临界半径。

（ii）如果给定堆芯半径R=1.56米，那么试求堆芯的反应性。

解：首先计算临界半径。已知芯部的外推距离."二（）.7104人二（）.068味，

根据修正单群理论，有

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1.072-1_(乃jf2.405Y

(48+4.7)X1()7-13.55+2X0.0689J.R,

由此求出R=0.67米,因而临界半径R=0.067-0.0689=0.601米。

如果给定R=1.56米，则几何曲率

(力f(2.405y——2

B；=---------------+------------=2.90米.

，3.55+0.137811.56+0.0689；

因而有效增殖系数k等于

卜=_L072

=1.056

-~1+52.7x2.90xlO-4

而反应性

1.056-1

=0.054

P=1.056

2.有反射层反应堆的单群扩散理论

2.1反射层的作用

上一节讨论了裸堆的临界计算。但是，在实际情况下，几乎所有的反应堆均

有不同厚度的反射层。因而,研究有反射层的反应堆是更为必要的。

在裸堆的情况下，堆内的中子一旦逸出芯部外，就不可能再返回到芯部来，

这一部分中子就损失掉了。如果在芯部的外围包上一层散射性能好，吸收截面小

的非增殖材料(如，石墨等)，这时由芯部逸出的中子会有一部分将被这一层介

质散射而返回到芯部中来。从经济利用中子的观点来看，这是十分有利的。这种

包围在芯部外面用以反射从芯部泄漏出来的中子的材料结构称作反射层。

反射层的作用，首先是可以减少芯部中子的泄漏，从而使得芯部的临界尺

寸要比无反射层时的小，这样便可以节省一部分燃料。另外，反射层还可以泥高

反应堆的平均输出功率。这是由于包有反射层的反应堆，其芯部的中子通量密度

分布比裸堆的中子通量密度分布更加平坦的缘故。关于这点，将在下边讨论.对

反射层材料，首先要求它的散射截面Z、大，因为当Z、大时中子逸出芯部进

入反射层后在很短距离发生散射的几率就大，因而返回到芯部的机会也就增多。

其次，反射层材料的吸截面Z“要小，以减少中子的吸收。最后，当然还希望

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反射层具有良好的慢化能力，以便使能量较高的中子在从反射层返回到芯部时，

已经被慢化为能量较低的中子了，从而减少了中子在堆芯内共振吸收的几率。综

合以上所述，可看出，良好的慢化剂材料，通常也是良好的反射层材料。常用的

反射层材料有：水、重水、石墨和镀等。

2.2一侧带有反射层的反应堆

有反射层反应堆是一个多区的问题，在不同区内，材料参数不同，中子扩散

方程也不相同。因而它不可能象前面所讨论的单区裸堆那样，根据边界条件求出

几何曲率与芯部尺寸关系的简单表达式。下面讨论用单群理论解一侧带有反射层

的反应堆的临界问题。

首先列出芯部及反射层中的单群扩散方程，设以角标"c"及"r〃分别

表示芯部及反射层的参数。

芯部稳态单群扩散方程

已知反应堆在临界时，其芯部的中子扩散方程为

2▽论-ZacR+%。以=。(4-61)

显然，它只是对于临界系统才是成立的，对于给定的方程参数和/L,

只有在一定几何形状和尺寸的情况下，系统才能达到稳态，方程才能成立，并且

自解。一般来说，对于任意给定的系统大小和材料特性，系统不一定处于稳态，

方程(4-61)式不一定都成立。但是，从物理上,这可以借助引进一个特征参数

k来进行调整使其达到I缶界,即把攵-(或每次裂变放出的中子数v)除以参数匕

改变k值大小便可以使系统达到临界。因为若原来的问题是次临界的，则我们将

攵8除以一个小于1的正数k,亦即人为地提高裂变产生的中子数。改变k值大

小必然可以使得系统恰好达到临界。反之，系统是超临界的，则应除以大于1

的k值，也可以使其达到临界。当系统临界时，k=l

这样，对于任意系统，都可以写出它的稳态单群扩散方程如下：

k(4-62)

或者写成

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▽M+8滋=0

(4-63)

其中

2_七汰-1

-

0-二(4-64)

这里，是芯部的扩散长度。从物理上我们可以看到，