北京市延庆区2026届高三数学下学期一模考试试题

北京市延庆区2025—2026学年下学期一模试卷

高三数学

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

已知集合，，则

（1）A{x|ylog2(x1)}B{x|(x2)(x3)0}AB

（A）(1,3)（B）(2,1)（C）(,2)(3,)（D）(,2)(1,)

（2）已知复数z满足(1i)z2i，则在复平面内，复数z对应的点位于

（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限

（3）下列函数中，是奇函数且最小正周期为π的是

（A）f(x)2sinxcosx（B）f(x)|cosx|（C）f(x)tan2x（D）f(x)x3

（4）已知a,bR，且ab，则下列不等式恒成立的是

ab11

（A）ab（B）（C）ac2bc2（D）eaeb

2a21b21

x2y2

1

（5）若双曲线a2b2的离心率为2，则其渐近线方程为

32

（A）yx（B）y3x（C）yx（D）yx

32

（6）在ABC中，C120，a2b6，sinA4sinB，则c

（A）13（B）21（C）1743（D）1743

（7）矩形ABCD中，BC6，AB3，且PC2AP，则BABP

99

（A）（B）（C）6（D）3

24

（8）设无穷等差数列的公差为，其前项和为，则“”是“存在最小值”的

{an}d(d0)nSnd0Sn

（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

x1

（9）在平面直角坐标系xOy中，若对任意的点P(x1,a)（a0且a1），都存在Q(x2,2logbx2)（b0且b1），

使得OPOQ0，且|OP||OQ|，则

（A）ab1（B）ab2（C）a2b1（D）ab21

（10）三角形的重心是指三角形三条中线的交点，垂心是指三条高的交点，且已知三角形的重心、垂心位于同一条

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直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作ABC，ABAC6，点B(3,2)，点

222

C(1,2)，且其“欧拉线”与圆M：(xa)(ya2)r相切．则圆M上的点到直线xy60的距离的最小

值为

23252

（A）（B）22（C）（D）

222

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

2

（11）(x)6的展开式中，常数项为_____．

x2

（12）已知抛物线2上一点到焦点的距离为，则_____．

C:y4xM(x0,y0)F4|y0|

π

（13）已知是任意角，且满足cosksin，则常数k的一个取值为_____．

3

（14）长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是一个正方形，其边长为4，长方体的高为22，联结各表面的中心

构成一个八面体，则这个八面体的表面积为_____；这个八面体的体积和长方体的体积之比为_____.

（15）若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素m，记(X)Mm.

①已知X{0,1}，Y{1,b}，且(X)(Y)，则b0；

②已知X[a2,a]，Y{y|yx2,xX}，则存在实数a，使得(Y)1；

③已知X{x|f(x)≥g(x),x[1,1]}，若(X)2，则对任意x[1,1]，都有f(x)≥g(x)；

④已知是等比数列的前项和，*，则存在等比数列，使得≤；

Sn{an}nX{y|ySn,nN}{an}(X)1

其中所有不．正．确．的命题是_____．

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（16）（本小题14分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是一个等腰梯形，AD//BC，BC2AD，

ABAPAD1，M为BP的中点.

（Ⅰ）求证：AM//平面PCD；

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（Ⅱ）若PA平面ABCD.

（ⅰ）求证：AC平面ABP；（ⅱ）求二面角APBC的余弦值.

π

（17）（本小题13分）已知函数f(x)2sin(2x)，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选

2

择一个作为已知，使函数f(x)存在.

（Ⅰ）求的值；

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π

（Ⅱ）设g(x)f(x)4cos2x2，求g(x)在区间[,0]上的最大值和最小值.

2

条件①：f(x)是偶函数；

π

条件②：f(x)的图象上所有点向右平移个单位长度，所得函数是奇函数；

8

3ππ

条件③：f(x)在区间[,]上单调递增．

88

注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

（18）（本小题13分）2024年联合国教科文组织第46届世界遗产大会上，我国申报的“北京中轴线——中国理想

都城秩序的杰作”被正式列入《世界遗产名录》.北京中轴线位于北京老城中心，全长7.8公里，始建于13世纪，是

统领整个老城规划格局的建筑与遗址的组合体.北京中轴线共包含15处遗产点构成要素，可分为A、B、C、D、E

五种类型，如下表：

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A

CE

古代皇BD

类型古代城市居中道

家宫苑古代皇家祭祀建筑国家礼仪和公共建筑

管理设施路遗存

建筑

天安

外

社先钟万天门广正永中轴线

中轴故景太天端金

稷农鼓宁安场及阳定南段道

线遗宫山庙坛门水

坛坛楼桥门建筑门门路遗存

产点桥

群

在上述15处中轴线遗产点中，某研学团队计划随机选取3处进行研学．

（Ⅰ）求选取的3处遗产点都为D类的概率；

（Ⅱ）若研学团队计划在A、B、C这三类遗产点中，选取3处研学地点．设选取的3处遗产点的类型种数为X，

求X的分布列及数学期望；

（Ⅲ）该研学团队通过调查发现：所有参观北京中轴线的人群可分为老年人、中年人、青少年三个群体，其人数比

值为1:2:1，同时，这三个群体选择参观A类或D类遗产点的频率分布情况如下：

人群老年人中年人青少年

只参观A类型遗产点60%25%30%

只参观D类型遗产点20%45%30%

两类遗产点都参观20%30%40%

用频率估计概率，若从所有参观类或类遗产点的人群中，随机选取人，只参观类型遗产点的概率为，

AD1AP1

只参观类型遗产点的概率为，根据上面的统计表，试估计与的大小关系．（结论不要求证明）

DP2P1P2

x2y2

（19）（本小题15分）已知椭圆C:1(ab0)与y轴的交点为A,B（点A位于点B的上方），且|AB|4，

a2b2

椭圆的离心率为2.

2

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若直线ykx4与椭圆C交于不同两点M，N，直线y1与直线BM交于点G．设AGB与NGB的面积

S|AG|

分别为，，比较1与的大小，并说明理由．

S1S2

S2|NG|

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1

（20）（本小题15分）已知函数f(x)xln(ax)，g(x)xex1，a0．

a

（Ⅰ）当a2时，求曲线yg(x)在点(0,g(0))处的切线方程；

（Ⅱ）讨论f(x)的单调性；

（Ⅲ）是否存在a，使得不等式f(x)g(x)恒成立，若存在，求出a的所有值；不存在，请说明理由．

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aij

（21）（本小题15分）设m为正整数，数列a1,a2,...,a4m2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项ai和j

i,j

后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a1,a2,...,a4m2是可分等差数

列．

（Ⅰ）判断数列a1,a2,...,a6是不是1,2、1,6、2,4、5,6可分等差数列；（结论不要求证明）

（Ⅱ）当p,qN,0pqm时，证明：数列a1,a2,...,a4m2是4p1,4q2可分等差数列；

2

（Ⅲ）当m2时，数列a1,a2,...,a4m2是i,j可分等差数列，证明：满足条件的i,j个数不少于mm1个．

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（1）D（2）B（3）A（4）D（5）A（6）B（7）C（8）C（9）C（10）D

3

（11）60（12）23（13）（14）162，1:6（15）①②③

2

（16）（Ⅰ）取的中点，连接，.因为为的中点，所以，.因为，

PCNMNNDMBP1MN//BCAD//BC

MNBC

2

，所以，，所以四边形是平行四边形.所以.且平面，

BC2ADAD//MNADMNAMNDAM//DNAMCDP

平面.所以：平面.

DNCDPAM//CDP

（Ⅱ）（ⅰ）因为AP平面ABCD.所以APAC.因为底面ABCD是一个等腰梯形，AD//BC，BC2AD，

ABAD1，所以ABC，AC3，所以BAC90，即ABAC.又因为AP,AB面ABP，APABA.

3

所以知AC平面ABP.

（ⅱ）由（ⅰ）知AP平面ABCD.所以ABAC.如图建立空间直角坐标系Axyz.则P(0,0,1)，C(0,3,0)，

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B(1,0,0).所以BC(1,3,0)，PB(1,0,1)，AC(0,3,0).设平面PBC的法向量为n(x,y,z)，则

nBC0,x3y0,

即令x3，则y1，z3.于是n(3,1,3).因为AC为平面PAB的法向量，且

nPB0,xz0.

ACn77

cosAC,n，所以二面角APBC的余弦值为.

|AC||n|77

ππ

fx2sin2x

（17）（Ⅰ）解：选择②，将函数2的图象上所有点向右平移8个单位长度，可得到函

ππππ

y2sin2x2sin2xy2sin2xkπkZ

数84，由函数4为奇函数，则4，可

πππ

kπkZ

得4，又因为2，则4.

3ππ

33[,]fx

解：选择③，由x[,]，可得2x[,]，f(x)在区间88上单调递增，且的

8844

3π

2k,kz2k,kz

最小正周期为，所以42，42，所以4

π

（Ⅱ）解：由（1）可知，fx2sin2xsin2xcos2x，则

4

2π

gxfx4cosx2sin2xcos2x22cos2x2sin2xcos2x2sin2x，由，可得

4x[,0]

2

，当时，取最大值，此时，当时，取最

55f(x)1f(x)

2x[,]2xx2x

44444242

值，此时

2

x

8

C3204

（18）解：（Ⅰ）设这3个遗产点都在D类为事件A，6．

P(A)3

C15571391

C3441

（Ⅱ），4，

X1,2,3P(X1)3

C81208714

C1C2C2C1C1C2C2C1C1C2C2C19C1C1C1162

242442422222242．

P(X2)3P(X3)3

C814C8567

1942

或P(X2)1P(X1)P(X3)1．

1414147

X123

192

P

14147

1941181231

E(X)123．

1414141414

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（Ⅲ）

p1p2

2b4

c2x2y2

（19）（Ⅰ）根据题可得,解得a22,b2，椭圆C的标准方程1．

a284

222

abc,

ykx4,

（Ⅱ）将曲线的方程变为为22，点，的坐标分别为，．由得

Cx2y8AB(0,2)(0,2)22

x2y8,

3

(12k2)x216kx240．因为直线与曲线C交于不同的两点，所以(16k)24(12k2)240，即k2．设

2

16k24

点M，N的坐标分别为(x,y)，(x,y)，则ykx4，ykx4，xx，xx．直

112211221212k21212k2

y23xy2

线的方程为1，点的坐标为1．因为直线和直线的斜率分别为2，

BMy2xG(,1)ANAGkAN

x1y12x2

y2y2y2kx2kx64kxx6(xx)2(xx)

1，所以21211212412

kAGkANkAGk

3x1x23x1x23x13x1x23x1x2

16k

2

42

k12k0．即kk．所以A，G，N三点共线．所以设AGB与NGB的高相等，所

324ANAG

12k2

S|AG|

以1=

S2|NG|

（20）解：（Ⅰ）当时，，所以．，．所以曲线

a21111g(0)1yg(x)

g(x)xex1g'(x)exxexg'(0)

2222

在点处切线的方程为．

(0,g(0))1

yx1

2

11x

（Ⅱ）当a0时，f(x)的定义域为(,0)．f(x)10．所以f(x)的单调递减区间为(,0)

xx

11x

当a0时，f(x)的定义域为(0,)．f(x)1所以x(0,1)时，f(x)0；x(1,)时，f(x)0．所

xx，

以f(x)的单调递增区间为(0,1)；单调递减区间为(1,)．

1

（Ⅲ）令h(x)xln(ax)xex要使得不等式f(x)g(x)恒成立，即h(x)1成立，

a，

1ex

h'(x)(1x)()．当a0时，h(x)的定义域为(,0)．所以h'(x)0，h(x)在(,0)上单调递减．因为

xa

1111

h()ea0，所以a0不合题意．当a0时，h(x)的定义域为(0,)．因为x(0,1)时，h'(x)0；

aaa2

x(1,)时，h'(x)0．所以h(x)的单调递增区间为(0,1)；单调递减区间为(1,)．所以

1111ex11

h(x)h(1)1ln(a)．设m(x)1ln(x)，则m'(x)，因为x(,)时，

maxaeexxex2ex2e

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111

m'(x)0；x(,0)时，m'(x)0，所以m(x)的单调递减区间为(,)；单调递增区间为(,0)．所以

eee

1．当1不等式恒成立．

m(x)minm()1af(x)g(x)

ee，

（21）（Ⅰ）解：数列a1,a2,...,a6是1,2、1,6、5,6、可分数列，不是2,4可分数列

（Ⅱ）证明：