北仑区数学模拟试卷

北仑区数学模拟试卷（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．不得使用计算器解题。一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列各数中，绝对值最小的数是（）A．-3B．0C．2D．√52．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等腰三角形B．平行四边形C．正方形D．正五边形3．据统计，北仑区常住人口约为82万人，将82万用科学记数法表示为（）A．8.2×10⁴B．8.2×10⁵C．82×10⁴D．0.82×10⁶4．下列运算正确的是（）A．a³·a²=a⁶B．(a²)³=a⁵C．a⁶÷a²=a³D．(ab)²=a²b²5．已知一组数据：2，3，4，5，5，则这组数据的中位数和众数分别是（）A．4，5B．4，4C．5，5D．5，46．如图，直线a∥b，∠1=55°，则∠2的度数为（）A．35°B．55°C．125°D．145°7．分式方程$\frac{2}{x-1}=\frac{3}{x}$的解为（）A．x=3B．x=2C．x=1D．x=-38．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，若∠ACD=30°，则∠BAD的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°9．已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点（0，3），（1，0），（2，-1），则该二次函数的解析式为（）A．y=x²-4x+3B．y=x²+4x+3C．y=-x²-4x+3D．y=-x²+4x+310．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E、F分别在AD、BC上，且AE=BF=2，连接BE、DF，交点为O，则四边形OEDF的面积为（）A．8B．10C．12D．14二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）11．因式分解：x²-4=____________。12．若点P（m，2）在一次函数y=2x-4的图象上，则m=____________。13．已知一组数据的方差是3，则这组数据的标准差是____________。14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则sinA=____________。15．若关于x的一元二次方程x²-2x+k=0有两个相等的实数根，则k=____________。16．如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，AD=3，AC⊥BC，则BD的长为____________。17．观察下列一组数：$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{5}{8}$，$\frac{7}{16}$，$\frac{9}{32}$，…，按此规律，第n个数是____________。三、解答题（本大题共7小题，共69分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．（10分）计算与化简：（1）计算：|-2|+(π-3.14)⁰-√4+(-1)²⁰²⁶；（2）化简：(a+2)(a-2)-a(a-1)。19．（5分）如图，BD是矩形ABCD的一条对角线。（1）作BD的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，垂足为点O（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）求证：DE=BF。20．（8分）如图，在建筑物M的顶端A处测得大楼N顶端B点的仰角α=45°，同时测得大楼底端C点的俯角为β=30°。已知建筑物M的高AD=20米，求楼高BC为多少米？（√3≈1.732，结果精确到0.1米）21．（10分）东东玩具商店用500元购进一批悠悠球，很受中小学生欢迎，悠悠球很快售完，接着又用900元购进第二批这种悠悠球，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了5元。（1）求第一批悠悠球每套的进价是多少元；（2）如果这两批悠悠球每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套悠悠球的售价至少是多少元？22．（10分）某同学报名参加学校秋季运动会，有以下5个项目可供选择：径赛项目：100m、200m、1000m（分别用A₁、A₂、A₃表示）；田赛项目：跳远，跳高（分别用T₁、T₂表示）。（1）该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率P为多少；（2）该同学从5个项目中任选两个，求恰好是一个径赛项目和一个田赛项目的概率P₁，利用列表法或树状图加以说明；（3）该同学从5个项目中任选两个，则两个项目都是径赛项目的概率P₂为多少。23．（12分）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的图象交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，连接OA，且OA=OB。（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）过点P（k，0）作平行于y轴的直线，交一次函数y=2x+n于点M，交反比例函数的图象于点N，若NM=NP，求n的值。24．（14分）某公司对用户满意度进行问卷调查，将连续6天内每天收回的问卷数进行统计，绘制成如图所示的条形统计图。已知从左到右各矩形的高度比为2:3:4:6:4:1，第3天的频数是20。请你回答：（1）收回问卷最多的一天共收到问卷多少份；（2）本次活动共收回问卷共多少份；（3）市场部对收回的问卷统一进行了编号，通过电脑程序随机抽选一个编号，抽到问卷是第4天收回的概率是多少；（4）按照（3）中的模式随机抽选若干编号，确定幸运用户发放纪念奖，第4天和第6天分别有10份和2份获奖，那么你认为这两组中哪个组获奖率较高？为什么？参考答案与解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．B2．C3．B4．D5．A6．C7．A8．C9．A10．A二、填空题（每小题3分，共21分）11．(x+2)(x-2)12．313．√314．$\frac{4}{5}$15．116．2√1317．$\frac{2n-1}{2^n}$三、解答题（共69分）18．（10分）（1）解：原式=2+1-2+1=2；（5分）（2）解：原式=a²-4-a²+a=a-4。（5分）19．（5分）（1）作图略（保留作图痕迹，2分）；（2）证明：∵EF是BD的垂直平分线，∴OB=OD，∠BOF=∠DOE=90°。（1分）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠OED=∠OFB。（1分）在△DOE和△BOF中，$\begin{cases}∠OED=∠OFB\\∠DOE=∠BOF\\OD=OB\end{cases}$，∴△DOE≌△BOF（AAS），∴DE=BF。（1分）20．（8分）解：过点A作AE⊥BC于点E，则四边形AECD是矩形，∴AE=CD=20米，CE=AD=20米。（2分）在Rt△ABE中，∠BAE=45°，∴BE=AE=20米。（2分）在Rt△ACE中，∠CAE=30°，tan30°=$\frac{CE}{AE}$，即$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{CE}{20}$，解得CE=$\frac{20\sqrt{3}}{3}$≈11.55米。（3分）∴BC=BE+CE≈20+11.55=31.6米。（1分）答：楼高BC约为31.6米。21．（10分）（1）设第一批悠悠球每套的进价是x元，则第二批每套进价是(x+5)元。（1分）由题意得：$\frac{900}{x+5}$=1.5×$\frac{500}{x}$，解得x=25。（3分）经检验，x=25是原方程的解，且符合题意。（1分）答：第一批悠悠球每套的进价是25元。（2）设每套悠悠球的售价为y元。第一批购进数量为$\frac{500}{25}$=20套，第二批购进数量为20×1.5=30套。（2分）由题意得：(20+30)y-(500+900)≥(500+900)×25%，解得y≥35。（2分）答：每套悠悠球的售价至少是35元。22．（10分）（1）P=$\frac{2}{5}$；（2分）（2）列表如下：A₁A₂、A₁A₃、A₁T₁、A₁T₂、A₂A₃、A₂T₁、A₂T₂、A₃T₁、A₃T₂、T₁T₂，共10种等可能结果。（3分）其中恰好一个径赛一个田赛的有6种，∴P₁=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$；（3分）（3）P₂=$\frac{3}{10}$。（2分）23．（12分）（1）∵点A（4，3）在反比例函数y=$\frac{m}{x}$上，∴m=4×3=12，反比例函数表达式为y=$\frac{12}{x}$。（2分）OA=$\sqrt{4^2+3^2}$=5，∵OA=OB，点B在y轴负半轴，∴B（0，-5）。（2分）将A（4，3）、B（0，-5）代入y=kx+b，得$\begin{cases}4k+b=3\\b=-5\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=2\\b=-5\end{cases}$，一次函数表达式为y=2x-5。（2分）（2）由（1）知k=2，∴P（2，0）。（1分）过P作平行于y轴的直线为x=2，交反比例函数于N（2，6），交y=2x+n于M（2，4+n）。（2分）∵NM=NP，NP=6-0=6，∴|6-(4+n)|=6，解得n=4或n=-8。（3分）24．（14分）（1）设各天频数分别为2x、3x、4x、6x、4x、x，由4x=20，得x=5。（2分）最多的一天为6x=30份，答：收回问卷最多的一天共收到30份。（2分）（2）总问卷数=2x+3x+4x+6x+4x+x=20x