2026年北京市海淀区高三数学试题二模试题（含答案解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页海淀区2025-2026学年第二学期期末练习高三数学本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设复数在复平面内对应的点位于第三象限，则复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2．已知是单位向量，且，则（

）A．B．C． D．3．函数的最小值为（

）A．2B．4C．3 D．64．若直线与平行，则与的距离为（

）A．B．2C．3 D．45．已知等差数列中，，，则（

）A．2025B．2026C．2048 D．40526．已知，则（

）A．B．C． D．7．若函数的值域为，则可以为（

）A．B．C． D．8．如图1，在中，，，，，分别为边，，的中点．将沿折起到沿折起到，使得平面且为等边三角形，如图2所示，则多面体的体积为（）A．B．C． D．9．已知圆，则“”是“圆与直线相切”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件10．已知函数，集合．若对任意，都有，则的取值范围为（

）A．B．C． D．第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．双曲线的渐近线方程为______．12．在的展开式中，各项系数的最大值为___________．13．某环保基金会的生态修复专项账户有资金2000万元．基金会制定了如下使用方案：在第年开始时，若账户中的资金超过10万元，则在该年将账户中的一半资金投入使用；若账户中的资金不超过10万元，则在该年将账户中的全部资金投入使用，修复项目在该年结束．按上述使用方案，第4年投入使用的资金为___________万元，该修复项目将在第___________年结束．14．若锐角满足，则的一个取值为___________；的最小值为___________．15．在中，，，，为边的中点，为边上的动点．为所在平面内的动点，且．给出下列四个结论：①对任意的，存在使得；②对任意的，存在使得；③存在，使得；④存在，使得．其中所有正确结论的序号是______．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．如图，在四边形中，是的角平分线．(1)求证：；(2)若．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得四边形存在，求四边形的面积．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．17．如图，在四棱锥中，，点为的中点，且平面与交于点．(1)求证：；(2)若平面平面，四边形为矩形，．点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．18．某公司利用自动分拣系统对价值500元以下的中、小件包裹进行分拣．该系统对每件包裹分拣的准确率为99.9%．若一件包裹分拣错误，当包裹价值不超过10元时，该公司的损失费用为包裹价值的150%；当包裹价值超过10元但不超过100元时，该公司的损失费用为包裹价值的60%；当包裹价值超过100元时，该公司的损失费用为包裹价值的75%．该公司随机抽取10000件包裹，记录并整理这些包裹的价值，获得数据如下表：价值件数400040001200800假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替．假设不同包裹分拣正确与否相互独立．用频率估计概率．(1)估计一件包裹价值不超过100元的概率；(2)记为一件包裹分拣错误时该公司的损失费用，估计的数学期望；(3)该公司每天平均处理10万件包裹．若使用一项新技术，可以让分拣的准确率增加到99.99%，但每天需额外支付5000元．仅从费用的角度考虑，该公司是否使用该项新技术？说明理由．19．椭圆的下顶点为，左焦点到的距离为．(1)求椭圆的方程及离心率；(2)经过点的直线与椭圆的另一个交点为（位于轴上方），与轴的交点为．点关于轴的对称点为．过点作与轴平行的直线交直线于点．设与的面积分别为与，若，求直线的斜率．20．已知函数，其中．(1)当时，求曲线经过点的切线条数；(2)当时，求证：对任意；(3)若关于的方程在区间上有且仅有1个解，直接写出的最小值．21．给定正整数，如果一个无穷数列满足：对于任意正整数，这项中恰有个不同的数，则称为预言数列．(1)分别写出下列数列是否为3-预言数列；①；②(2)是否存在首项为3的3-预言数列？若存在，求出所有符合条件的数列；若不存在，说明理由；(3)求预言数列的个数．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．D【分析】设，利用复数的乘法化简复数，结合复数的几何意义可得结论.【详解】根据题意，设，则，且，，故复数在复平面内对应的点位于第四象限.2．B【详解】因为是单位向量，且所以3．C【分析】由关系，结合基本不等式求结论.【详解】，，，当且仅当时，即时等号成立，因此函数最小值为.4．A【详解】由题意得，解得，当时，不重合，故，可化为，所以与的距离为.5．D【分析】由等差数列通项公式列出等式，求得首项和公差，即可求解.【详解】设等差数列的首项为​，公差为，通项公式为，由得：；由代入通项公式展开：，整理后消去同类项得：，将代入，解得，因此通项公式为：代入得：.6．A【分析】结合对数函数单调性，利用中间量“”比较大小即可.【详解】因为，所以又，即；因为，所以，即，综上，，即.7．A【分析】利用三角恒等变换先化简，进而求解.【详解】由，其中，又因为的值域为，所以，解得，所以或，当时，或，得到A符合题意.8．C【分析】根据题意，补全几何体为棱长为1的正方体，进而转化为正方体的体积减去2倍的三棱锥体积即可.【详解】在中，，，，分别为边，，的中点，，，四边形是边长为1的正方形，面积，折叠后，，，且，因为为等边三角形，所以因为平面，，所以，补全几何体为棱长为1的正方体，如图，满足条件；所以多面体的体积为正方体的体积减去2倍的三棱锥体积，所以.9．B【分析】由直线与圆相切，再结合充分条件，必要条件的概念即可判断.【详解】将圆的一般方程配方为标准方程：，得圆心为，半径，（），直线，即，圆心到直线的距离为：，圆与直线相切等价于，代入得：，两边平方整理得，即圆与相切，充分性：若，可得或，当时，不满足，圆与直线不相切，因此充分性不成立，必要性：若圆与相切，则，必然满足，因此必要性成立，综上，是圆与相切的必要不充分条件.10．A【分析】由题知当时，，当时，，进而分，，三种情况，数形结合求解即可.【详解】当时，，当时，，所以，当，即，作出函数的图象，如图，显然，当，都有，且，所以当，即时，作出函数的图象，如图，当，都有，且所以，当，即时，作出函数的图象，如图，当时，则需满足，即，解得，所以，综上，，即的取值范围为.11．【详解】双曲线的渐近线方程为.12．10【分析】求出二项式的展开式，进而求出各项系数的最大值.【详解】由于，所以在的展开式中，各项系数的最大值为10.13．1259【分析】根据题意，依次分析各年的投入使用的资金与剩余资金情况即可求得答案.【详解】初始资金（第1年开始时）：2000万元第1年：资金大于10万元，投入一半投入金额：万元，剩余资金：万元第2年：资金大于10万元，投入一半投入金额：万元，剩余资金：万元第3年：资金大于10万元，投入一半投入金额：万元，剩余资金：万元第4年：资金大于10万元，投入一半投入金额：万元，剩余资金：万元第5年：资金大于10万元，投入一半投入金额：万元，剩余资金：万元第6年：资金大于10万元，投入一半投入金额：万元，剩余资金：万元第7年：资金大于10万元，投入一半投入金额：万元，剩余资金：万元第8年：资金大于10万元，投入一半投入金额：万元，剩余资金：万元第9年：资金小于10万元，投入全部资金7.8125万元，项目结束综上，第4年投入使用的资金为125万元，该修复项目将在第9年结束.14．（答案不唯一）【分析】由题意知，，再结合同角三角函数关系，根据二次不等式得，最后根据二倍角公式求解最值即可.【详解】由题意知，，所以，即，因为，所以，即解不等式得，又，，所以，所以综上，的值可以是内的任意值，的最小值为.15．①④【分析】对于①，当与重合时，可得，可判断；对于②，通过举反例，当三点共线时，不满足；对于③④，求出，可判断.【详解】因为，所以的轨迹为以为圆心，为半径的圆，又，，，所以，所以是以为斜边的直角三角形，又为边的中点，所以圆为的外接圆，对于①，当与重合时，，所以对任意的，存在使得，故①正确；对于②，当三点共线时，因为点位于圆及其内部，故，即，故②错误；对于③④，，当方向相反时，等号左边成立，当方向相同时，等号右边成立，又，，所以，因为，，故③错误，④正确.16．(1)证明见解析；(2)选条件①②，四边形的面积为，选条件③，四边形不存在.【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理推理得证.（2）选条件①②，利用余弦定理建立方程组，再利用三角形面积公式求解；选条件③，利用正弦定理判断三角形无解即可.【详解】（1）在四边形中，由是的角平分线，，在中，由正弦定理得，所以.（2）选条件①：，则，由（1）得，在中，由余弦定理得，即，解得，又，所以四边形的面积.选条件②：，由（1）得，设，在中，由余弦定理得，即，则是方程的两个根，于是，即，，由，得，则，，所以四边形的面积.选条件③：，由（1）得，在中，由正弦定理得，即不存在，四边形不存在.17．(1)证明见解析；(2).【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的性质，结合平行公理及中位线的性质推理得证.（2）由面面垂直的性质证得直线两两垂直，再建立空间直角坐标系，利用线面角的向量法列式求解.【详解】（1）在四棱锥中，由平面平面，得平面，又平面，平面平面，则，而点为的中点，因此为中点，，又，所以.（2）由四边形为矩形，得，由平面，平面平面，平面平面，得平面，又，则直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，由点在线段上，设，，设平面的法向量，则，取，得，由直线与平面所成角的正弦值为得，而，解得，所以线段的长为.18．(1)(2)(3)建议使用新技术，理由见解析.【分析】（1）根据频率估计概率，计算对应的频率即可得答案；（2）根据题意，的所有可能值为，，，（单位：元），再结合频率估计概率计算对应取值的概率，列分布列，求期望即可；（3）根据题意，采用新技术，分拣的准确率增加了0.09%，进而计算该部分可能带来的损失，并与采用新技术的投入比较即可判断.【详解】（1）解：根据题意，抽取的10000件包裹中，有8000件价值不超过100元，所以不超过100元的频率为，根据频率估计概率，一件包裹价值不超过100元的概率为（2）解：根据题意，同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，故当包裹价值在时，包裹价值为元，损失费用为元；当包裹价值在时，包裹价值为元，损失费用为元；当包裹价值在时，包裹价值为元，损失费用为元；当包裹价值在时，包裹价值为元，损失费用为元；所以，的所有可能值为，，，（单位：元），，，，所以的概率分布列如下：7.533150300所以，(元)（3）解：建议使用新技术，理由如下：根据题意，若采用新技术，分拣的准确率增加了0.09%，故采用新技术时，每天可以减少的损失费用约为元，由于，故建议使用新技术.19．(1)椭圆的方程为，离心率为(2)【分析】（1）由题意知，进而求得答案；（2）设直线方程为，进而求得点，，，，再结合弦长公式，面积公式求解与面积，建立关于的方程并解方程即可得答案.【详解】（1）设椭圆的焦距为，则下顶点坐标为，左焦点到下顶点的距离为，因为椭圆的下顶点为，左焦点到的距离为，所以，，所以椭圆的方程为；离心率为；（2）由题意知，直线的斜率存在且不为零，设直线方程为，令得，故，联立方程，得，解得或，所以，代入得，所以，，所以，所以直线的方程为，因为的方程为，所以，得，所以，因为，点到直线的距离为，所以，因为，所以，即，设椭圆的右顶点为，因为经过点的直线与椭圆的另一个交点为（位于轴上方），所以，故，，所以，令，则，即，所以，解得或（舍去），则，所以，即直线的斜率为.20．(1)3；(2)证明见解析；(3).【分析】（1）设出切点坐标，利用导数的几何意义求出过点的切线方程，进而确定切线条数.（2）求出函数的导数并确定其单调性，由最大值推理得证.（3）由（2）可得是的一个解，再分离参数构造函数，利用导数求出其值域即可求出的范围.【详解】（1）当时，函数，求导得，设切点坐标为，则切线方程为，而切线过点，因此，整理得，解得或，当时，，切线方程为；当时，，切线方程为；当时，，切线方程为，所以曲线经过点的切线条数为3.（2）函数的定义域为R，求导得，令，求导得，由，，得，当时，；当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，，即，函数在上单调递增，，所以当时，对任意.（3）由（2）知，，，因此是方程在的解，由方程在上有且仅有1个解，得当时，无解，由，得，令函数，求导得，而，则，函数在上单调递减，当从小于的方向趋近于时，，又当时，，则恒成立，当且仅当时取等号，即，，且当从大于的方向趋近于时，，因此函数在上的值域为，由在无解，得，由关于的方程在区间上有且仅有1个解，得，所以的最小值为.21．(1)是3-预言数列；不是预言数列；(2)不存在首项为3的预言数列，理由见解析；(3)当时，，此时预言数列的个数为1；当时，预言数列的个数为.【分析】（1）根据题意，结合预言数列的定义依次判断即可；（2）根据题意得且，再假设存在，则，再依次讨论，，时均不满足即可说明不存在；（3）先讨