2026年函数 文科 测试题及答案

2026年函数文科测试题及答案

一、单项选择题(总共10题，每题2分)1.函数$f(x)=\sqrt{3-x}+\lg(x+1)$的定义域是（）A.$(-1,3]$B.$(-1,3)$C.$[-1,3]$D.$[-1,3)$2.已知函数$f(x)$满足$f(2x+1)=4x^2$，则$f(-3)$的值为（）A.36B.16C.4D.23.下列函数中，在区间$(0,+\infty)$上单调递增的是（）A.$y=\frac{1}{x}$B.$y=x^2$C.$y=(\frac{1}{2})^x$D.$y=\log_{\frac{1}{2}}x$4.如果函数$y=f(x)$在区间$[a,b]$上的图象是连续不断的一条曲线，且有$f(a)f(b)<0$，那么函数$y=f(x)$在区间$(a,b)$内（）A.至少有一个零点B.至多有一个零点C.有且只有一个零点D.零点个数不确定5.已知函数$f(x)$是奇函数，当$x>0$时，$f(x)=x^2-2x$，则当$x<0$时，$f(x)$的表达式为（）A.$f(x)=x^2+2x$B.$f(x)=-x^2+2x$C.$f(x)=x^2-2x$D.$f(x)=-x^2-2x$6.函数$f(x)=2^x+x-2$的零点所在的区间是（）A.$(-1,0)$B.$(0,1)$C.$(1,2)$D.$(2,3)$7.已知函数$f(x)=\begin{cases}2^x,x\leq0\\\log_2x,x>0\end{cases}$，则$f(f(\frac{1}{4}))$的值为（）A.4B.$\frac{1}{4}$C.-4D.$-\frac{1}{4}$8.函数$y=\log_a(x+3)-1(a>0,a\neq1)$的图象恒过定点$A$，若点$A$在直线$mx+ny+1=0$上，其中$mn>0$，则$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$的最小值为（）A.8B.6C.4D.29.已知函数$f(x)=ax^3+bx+1$，若$f(a)=8$，则$f(-a)$的值为（）A.-8B.-6C.6D.810.若函数$y=f(x)$的图象与函数$y=\log_3x(x>0)$的图象关于直线$y=x$对称，则$f(x)=$（）A.$3^x(x\inR)$B.$\log_3x(x>0)$C.$3^x(x>0)$D.$x^3(x\inR)$二、填空题(总共10题，每题2分)1.函数$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-1}}$的定义域是______。2.已知$f(x)=x^2+2x$，则$f(2)=$______。3.函数$y=3^x$与$y=(\frac{1}{3})^x$的图象关于______对称。4.若函数$f(x)$是偶函数，且$f(2)=3$，则$f(-2)=$______。5.函数$f(x)=\log_2(x-1)$的零点是______。6.已知函数$f(x)$满足$f(x+2)=f(x)$，则函数$f(x)$的周期是______。7.若函数$y=f(x)$在区间$[a,b]$上是增函数，且$f(a)=-2$，$f(b)=2$，则$f(x)$在区间$[a,b]$上的值域是______。8.函数$y=\log_2(x^2-4x+3)$的单调递增区间是______。9.已知函数$f(x)=x^3-3x$，则$f(x)$的极大值为______。10.若函数$f(x)=a^x(a>0,a\neq1)$在区间$[1,2]$上的最大值与最小值的差为$\frac{a}{2}$，则$a=$______。三、判断题(总共10题，每题2分)1.函数的定义域是函数图象上所有点的横坐标的集合。（）2.若函数$f(x)$满足$f(a+b)=f(a)f(b)$，则$f(x)$是指数函数。（）3.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于$y$轴对称。（）4.函数$y=f(x)$在区间$[a,b]$上有零点，则$f(a)f(b)<0$。（）5.若函数$f(x)$在区间$[a,b]$上单调递增，则$f(x)$在区间$[a,b]$上的最小值是$f(a)$，最大值是$f(b)$。（）6.函数$y=\log_2x$与$y=2^x$互为反函数。（）7.如果函数$f(x)$满足$f(x+T)=f(x)$，则$T$是函数$f(x)$的周期。（）8.函数$y=x^3$在$R$上是增函数。（）9.若函数$f(x)$是奇函数，则$f(0)=0$。（）10.函数$y=f(x)$的图象与直线$x=a$至多有一个交点。（）四、简答题(总共4题，每题5分)1.求函数$f(x)=\frac{1}{x-2}+\sqrt{x-1}$的定义域。2.已知函数$f(x)=x^2-2x+3$，求$f(x)$在区间$[0,3]$上的最大值和最小值。3.若函数$f(x)$是定义在$R$上的奇函数，当$x>0$时，$f(x)=x^2-2x$，求$f(x)$的解析式。4.已知函数$f(x)=\log_2(x^2-ax+3a)$在区间$[2,+\infty)$上是增函数，求实数$a$的取值范围。五、讨论题(总共题，每题5分)1.讨论函数$f(x)=ax^2+bx+c(a\neq0)$的单调性。2.讨论函数$y=\log_a(x^2-2x-3)$的定义域、值域和单调性。3.讨论函数$f(x)=x^3-3x^2+1$的极值点和极值。4.讨论函数$f(x)=a^x-a^{-x}(a>0,a\neq1)$的奇偶性和单调性。答案1.单项选择题-1.A-2.B-3.B-4.A-5.D-6.B-7.B-8.A-9.B-10.A2.填空题-1.$(1,+\infty)$-2.8-3.$y$轴-4.3-5.2-6.2-7.$[-2,2]$-8.$(3,+\infty)$-9.2-10.$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$3.判断题-1.√-2.×-3.√-4.×-5.√-6.√-7.×-8.√-9.×-10.√4.简答题-1.要使函数有意义，则$\begin{cases}x-2\neq0\\x-1\geq0\end{cases}$，解得$x\geq1$且$x\neq2$，所以定义域为$[1,2)\cup(2,+\infty)$。-2.$f(x)=x^2-2x+3=(x-1)^2+2$，对称轴为$x=1$，在$[0,1]$上单调递减，在$[1,3]$上单调递增，$f(0)=3$，$f(1)=2$，$f(3)=6$，所以最大值为6，最小值为2。-3.设$x<0$，则$-x>0$，$f(-x)=x^2+2x$，因为$f(x)$是奇函数，所以$f(x)=-f(-x)=-x^2-2x$，又$f(0)=0$，所以$f(x)=\begin{cases}x^2-2x,x>0\\0,x=0\\-x^2-2x,x<0\end{cases}$。-4.令$g(x)=x^2-ax+3a$，因为$f(x)=\log_2(x^2-ax+3a)$在$[2,+\infty)$上是增函数，所以$g(x)$在$[2,+\infty)$上是增函数且$g(2)>0$，即$\begin{cases}\frac{a}{2}\leq2\\4-2a+3a>0\end{cases}$，解得$-4<a\leq4$。5.讨论题-1.函数$f(x)=ax^2+bx+c(a\neq0)$图象的对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$。当$a>0$时，在$(-\infty,-\frac{b}{2a})$上单调递减，在$(-\frac{b}{2a},+\infty)$上单调递增；当$a<0$时，在$(-\infty,-\frac{b}{2a})$上单调递增，在$(-\frac{b}{2a},+\infty)$上单调递减。-2.由$x^2-2x-3>0$得$(x-3)(x+1)>0$，定义域为$(-\infty,-1)\cup(3,+\infty)$。值域为$R$。当$a>1$时，在$(3,+\infty)$上单调递增，在$(-\infty,-1)$上单调递减；当$0<a<1$时，在$(3,+\infty)$上单调递减，在$(-\infty,-1)$上单调递增。-3.$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$，令$f'(x)=0$得$x=0$或$x=2$。当$x<0$或$x>2$时，$f'(x)>0$，函数单调递增；当$0<x<2$时，$f'(x)<0$，函数单调递减。所以极大值点为$x=0$，极大值为$f(