福建省漳州市2026届高三教学质量检测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页福建省漳州市2026届高三教学质量检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.样本数据5,8,8,9,9,9的众数为(

)A.4 B.8 C.8.5 D.92.已知复数z=a+bia,b∈R,b<0的共轭复数为z，若z+z=z⋅z=2A.−1−i B.1−i C.−1−2i3.已知a,b都是单位向量，且a−b=1，则a+A.32a B.a C.34.为了测量某古塔的高度，设点A为塔顶，点B为A在地平面上的投影，小张遥控无人机(将无人机视为质点)从地平面上的C处竖直向上飞行6米后到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为60∘，然后继续竖直向上飞行10米后到达E处，在E处测得塔顶A的仰角为30∘，则该古塔的高度为(

)A.21米 B.16+52米 C.16+53米5.数列an,bn的通项公式分别为an=n,bn=n3，在anA.407 B.429 C.465 D.5256.甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，且三人的选择相互独立．设事件A=“三个人去的景点各不相同”，事件B=“甲去了第1个景点”，事件C=“乙去了第1个景点”，则下列说法错误的是(

)A.B与C互斥 B.A与B相互独立 C.PA=27.已知fx=−2x+b2x+1A.−∞,−2∪1,+∞ B.−∞,−1∪2,+∞

C.8.已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点，A.0,12 B.13,23二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若函数fx=sinx−3A.曲线y=fx关于点π3,0对称 B.b的最大值为π

C.fa的最小值为−2 10.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4,M,N分别是AD,CA.平面PMN截正方体所得的截面可能是五边形

B.▵MPN可能是钝角三角形

C.PM+PN的最小值大于214

D.PM+PN11.已知曲线y=ex在x=n+1n∈N∗处的切线与x轴，y轴分别交于点Pn，Qn，记A.bn=anen+1

B.bn>3a三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知圆台的上底面和下底面的半径分别为1，2，母线长为10，则该圆台的体积为

．13.过P−1,2作圆x−12+y2=4的两条切线，设切点分别为A,B，则直线14.已知A1,A2是集合A的非空子集，若A1∩A2=⌀，则称A1,A2是集合A的“互斥子集组”，并规定四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知F1,F2分别为椭圆C:x2a(1)求C的方程；(2)若点Q在C上且在第一象限，▵QF1F216.(本小题15分)在▵ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知ac(1)判断▵ABC的形状；(2)若b=4,c=2,BC,AC边上的两条中线AM,BN相交于点P，求cos∠MPN．17.(本小题15分)某智慧园区需要对3台设备进行巡检，现有以下两个巡检方案：方案一：采用智能机器人巡检，在第一轮巡检中，对3台设备逐一进行检测，若机器人成功检测2台或3台设备，则直接完成巡检，无需进行第二轮巡检；若机器人成功检测的设备少于2台，则进行第二轮巡检．第二轮巡检只需对第一轮未成功检测的设备再次逐一进行检测，无论第二轮检测结果如何都结束巡检．机器人每次成功检测每台设备的概率为p23≤p<1方案二：采用人工巡检，对3台设备逐一进行检测，仅需巡检一轮即可完成，每台设备检测一次的费用为30元．(1)当p=2(2)记机器人巡检结束时对所有设备检测的总次数为X，求X的数学期望(用p表示)；(3)若以检测的平均总费用为决策依据，在方案一和方案二之中选其一，应选用哪个？18.(本小题17分)如图，在四棱锥S−OABC中，OB∩AC=D，点H在线段OD上，∠SBO=30∘，SB=4,OH=HD=DB=3，平面(1)证明：SH⊥AC；(2)过点D作平面α，使得α//平面SAB，α∩平面SAH=l，请作出直线l，写出画法并证明；(3)若∠ASB=∠CSB=60∘，求当AC取最小值时，二面角A−SB−C19.(本小题17分)已知函数fx(1)求函数ux(2)若ux≥0，求(3)若函数hx=xfx2−e参考答案1.D

2.B

3.A

4.A

5.D

6.A

7.C

8.C

9.ABC

10.ABC

11.ACD

12.7π

13.x−y+1=0

14.50

15.解：(1)解法一：由题意，得2c=F1所以C的方程为x2解法二：由题意，得椭圆C的左、右焦点分别为F1−2,0，F22,0，点所以c=2，2a=P所以a=6，所以C的方程为x2(2)解法一：设Qx0,y0，x0>0因为点Q在C上且在第一象限，▵QF所以∠QF2F若∠QF2F1=90∘，则x所以Q2,若∠F1Q又Q在C上，所以x0联立①②，解得x0=综上，点Q的坐标为2,63解法二：因为点Q在C上且在第一象限，▵QF所以∠QF2F若∠QF2F1=90∘，则x所以Q2,若∠F1Q因为QF1+解得QF设Qx0,y0所以S▵F1QF又Q在C上，所以x026+y综上，点Q的坐标为2,63

16.解：(1)解法一：由ac=cos由正弦定理得sinA即12sin2A=因为A,C∈0,π，所以2A,2C∈所以根据y=sinx的图象可得2A=2C，或2A+2C2所以A=C，或A+C=π2，或又A+C∈0,π,A+B+C=π，所以A=C，或所以▵ABC是等腰三角形或直角三角形；解法二：由ac=cos由余弦定理得a⋅b即a2化简得a2从而a=c，或b2所以▵ABC是等腰三角形或直角三角形；(2)解法一：①若A=C，则a=c=2，则a+c=4=b，不满足三角形三边关系，舍去；②若B=π2，则以B为原点，分别以BC,BA为x,y轴建立平面直角坐标系，则B0,0所以AM=所以cos=AM解法二：①若A=C，则a=c=2，则a+c=4=b，不满足三角形三边关系，舍去；②若B=π2，则AM=BN=1因为BC,AC边上的两条中线AM,BN相交于点P，所以P为▵ABC的重心，所以PM=1所以cos∠MPN=解法三：①若a=c=2，则a+c=4=b，不满足三角形三边关系，舍去；②若b2=a2+cosC=ab又BN=12AC=CN在Rt▵ABM中，AM=所以cos=

17.解：(1)由题意，机器人第一轮巡检成功检测到2台或3台设备，所以机器人无需进行第二轮巡检的概率为P=(2)由题意得，X=3,5,6，PX=3PP所以EX所以EX(3)应选方案一，理由如下：记Y为机器人巡检的检测总费用，Z为人工巡检的检测总费用，由题意得，EZ令f则f′p因为p∈23,1，所以f′p<0所以EX所以EY故选用智能机器人巡检的检测平均总费用更低，应选方案一．

18.解：(1)证明：在△SBH中，SB=4，HB=23，所以SH=所以SH2+H又因为平面SOB⊥平面OABC，平面SOB∩平面OABC=OB,SH⊂平面SOB，所以SH⊥平面OABC，又AC⊂平面OABC，所以SH⊥AC．(2)取HA的中点E，SH的中点F，连接EF，则EF即为直线l．证明如下：连接DE,DF，因为D,F分别是BH和SH的中点，所以DF//BS，又DF⊄平面SAB,BS⊂平面SAB，所以DF//平面SAB，同理，DE//平面SAB，又DE∩DF=D,DE,DF⊂平面DEF，所以平面DEF//平面SAB，又过D且与平面SAB平行的平面有且只有一个，D∈平面DEF，所以平面DEF即平面α，又平面DEF∩平面SAB=EF，所以EF即为直线l．(3)以O为坐标原点，OB为x轴建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz，其中y轴在平面OABC内，z轴垂直平面OABC，则S设Ax,y,0则SA=因为∠ASB=60所以cosSA化简得x2又y≠0，所以x>所以点A在xOy面内的曲线Γ:x同理，点C也在Γ上．在平面直角坐标系xOy内，D2设直线AC的方程为x=my+2代入Γ:x得2m设Ax则2解得−AC=令t=2m则m=2=2=2因为−所以t=2所以当1t=−1，即m=0时，此时在空间直角坐标系O−xyz中，A2BA设n1=xn1⋅取n设n2=xn即−2取n设二面角A−SB−C的大小为θ，则cosθ又θ∈0,π所以二面角A−SB−C的正弦值为sin

19.解：(1)因为ux=fx①若a≤0，则u′x=ex−a>0②若a>0，则由u′x=ex−a<0，得x<所以ux在−∞,lna(2)法1：由u1≥0，即e−a−b+1≥0，得当a=e，b=1时，a+b=e+1，下面证明此时ux此时ux=ex−ex，由(1)知u所以ux综上，a+b的最大值为e+1．法2：①若a<0，则当x<0时，ux当x<b−2−a时，所以当x<0且x<b−2−a时，②若a=0，则ux=e所以−b+1≥0,b≤1，所以a+b≤1<e+1．③若a>0，则结合(1)得，ux即a−alna−b+1≥0，即b≤a−aln令pa=2a−aln当0<a<e时，p′a>0,pa单调递增；当a>e所以a+b≤pa当a=e