江苏镇江市丹阳市2025-2026学年高二下学期期中质量检测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页江苏镇江市丹阳市2025-2026学年高二下学期期中质量检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若C16x+4=C163xA.2 B.3 C.1或2 D.2或32.定义在R上的函数f(x)，若f′(1)=12026，则limΔx→0A.2 B.1 C.−12 3.已知函数f(x)=f′(1)⋅x2+2x，则f(2)的值为A.8 B.4 C.0 D.−44.已知函数f(x)=ax+cosx在区间−π3,πA.12 B.32 C.−5.学校各选派了2位男、女教师参加某项活动，且4位教师被分到3个不同的小组，其中两位女教师不能分派到同一个小组，则不同的分配方案有(

)A.66种 B.60种 C.30种 D.24种6.设n为正奇数，则1+Cn1×4+CnA.−1 B.0 C.4 D.57.定义在R上的函数f(x)满足f(1)=4，且对任意x∈R，f′(x)>2，则不等式f(2x−1)>4x的解集为(

)A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.(−∞,2) D.(−∞,1)8.已知不等式eax≥a+1x−lnx对任意x>1A.[0,+∞) B.1e,+∞ C.[1,+∞) 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列求函数的导数正确的有(

)A.sinπ5′=cosπ5 B.10.若2x+1x−1n=a0+A.n=6 B.a1+a2+⋯+a11.在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，QA.直线A1P与直线BQ共面

B.直线AP⊥QD1

C.点D1到平面A1BD的距离为2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.函数fx=2x−lnx的单调递减区间为13.(x+y)(x−2y)5的展开式中x3y14.已知函数fx=3−2ax,x≥0,−4x3−ax+1,x<0，若∀x∈R四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知x+1(1)求n；(2)求展开式中的有理项．16.(本小题15分)已知函数f(x)=x3+ax+b(其中a,b∈R)在x=2(1)求a，b的值；(2)若函数f(x)在区间[−3,m]上的最大值为16，求实数m的最大值．17.(本小题15分)某种圆柱形饮料罐的容积固定为125π mL，底面半径为rcm，上、下底面用料成本均为0.4分/cm2，侧面用料成本为0.1分/cm(1)请用含r的式子表示每罐饮料的实际利润W(r)分；(2)当饮料罐的底面半径多大时，每罐饮料的实际利润最大？并求出最大实际利润．注：每罐饮料的实际利润=每罐饮料获利−饮料罐用料总成本．18.(本小题17分)如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD,AD//BC，E是PC的中点，AD=4AG，PD=3PF，(1)求证：DE⊥PB；(2)求证：EF//平面PBG，并求直线EF和平面PBG的距离；(3)求平面PCD与平面PBG所成角θ的余弦值．19.(本小题17分)已知函数fx=ae(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在x=0处的切线方程；(2)讨论f(x)的单调性；(3)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．

参考答案1.D

2.B

3.D

4.A

5.C

6.D

7.B

8.B

9.BC

10.ACD

11.ABD

12.0,113.−40

14.−3,0

15.解：(1)因为x+1则nn−18=7，即n2−n−56=0，解得n=8所以n=8．(2)因为x+1令16−3r4∈Z，解得若r=0，可得T1若r=4，可得T5若r=8，可得T9所以展开式中的有理项为x4，358x

16.解：(1)对fx求导得f′x=3x2即有3×22+a=0,(2)由(1)有fx=x当x∈−∞,−2时f′x>0当x∈−2,2时f′x<0当x∈2,+∞时f′x>0在x=−2处取得极大值f−2=16，在x=2处取得极小值当m∈−3,−2时，f(x)在[−3,m]上的最大值为f当m∈−2,2时，f(x)在[−3,m]上的最大值为f当m∈2,+∞时，f(x)在[−3,m]上的最大值为f−2=16令fx=16即x3即f4=16，由图像可知，当m∈2,4时，f(x)在[−3,m]当m∈4,+∞时，f(x)在[−3,m]上的最大值为f综上所述，m∈−2,4，所以m的最大值为4

17.解：(1)因为圆柱形饮料罐的容积固定为125πmL，所以V=πr2h则每罐饮料的获利为容积乘以每毫升利润125π×1=125π分，上下底面面积总共为2πr2，因为上、下底面用料成本均为0.4分/cm侧面面积为2πrh，成本0.1分/cm2，则侧面成本为因此，总成本Cr利润Wr=125π−0.8π(2)令fr=125−4令f′r=0，解得r3f′r>0，可得r<2.5，因为r>0，所以0<r<2.5时，fr单调递增，r>2.5故r=52是极大值点，则代入r=5所以Wmax=π×110=110π分，即当饮料罐的底面半径r=52

18.解：(1)因为PA⊥平面ABCD，且AB，AD⊂平面ABCD，则PA⊥AB，PA⊥AD，故以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则A0,0,0因为E为PC的中点，则E1,1,1所以DE=(1,−3,1),则DE⋅PB=1×2+(2)设Fa,b,c，根据PD=3PF可得F0,43又G0,1,0，则BG设为n=(x,y,z)，则n⋅令x=1，则y=2，z=1，故n=(1,2,1)因为EF⋅n=−1×1+13所以EF//平面PBG，且PE=1,1,−1，则点E到平面PBG的距离为所以直线EF和平面PBG的距离为6(3)由PD=设平面PCD的法向量为m=(x1,令y1=1，则z1=2，所以平面PCD与平面PBG所成角θ的余弦值为|cos

19.解：(1)当a=2

时，函数为：fx求导：f′x计算x=0

处的函数值与导数值：f0=2e切线方程为：y−f(0)=f′(0)(x−0)，即y−3=4x⇒4x−y+3=0．(2)先求导：f′x令t=ex>0因为t+1>0，故f′(x)

的符号由at−1

决定，当a≤0

时，at−1<0，故f′(x)<0

对所有x∈R成立，f(x)

在(−∞,+∞)上单调递减，当a>0

时，令at−1=0，得t=1a，即当x<−lna

时，ex<1当x>−lna

时，ex>1综上：a≤0时，f(x)

在R上单调递减；a>0

时，f(x)

在(−∞,−lna)上单调递减，在(3)由(2)的单调性结论：a≤0

时，f(x)在R上单调递减，最多只有一个零点，不符合题意；a>0

时，f(x)在x=−lnaf=1令g(a)=1−1a+2故g(a)在(0,+∞)上单调递增，且g(1)=