一元函数的导数及其应用（能力提升卷）（原卷版）

一元函数的导数及其应用（能力提升卷）考试时间：120分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选题4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！单选题（共8小题，每小题5分，共计40分）1．已知函数f(x)=1x−2x+lnx，则函数f（xA．2x+y﹣2＝0 B．2x﹣y﹣1＝0 C．2x+y﹣1＝0 D．2x﹣y+1＝02．已知函数f（x）＝alnx+bx2的图象在点（1，f（1））处的切线方程为5x+y﹣2＝0，则a+b的值为（）A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣33．函数f（x）=x2−cosx在[−A．−π2 B．π2+1 4．已知函数f(x)=sin12x−12sinx，则当x∈（0，2A．极大值，且极大值为334 B．极小值，且极小值为C．极大值，且极大值为0 D．极小值，且极小值为05．已知a∈R，则“a≤3”是“f（x）＝2lnx+x2﹣ax在（0，+∞）内单调递增”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知函数f（x）＝kex（2x+1）﹣2x，若∃x0∈（0，+∞），使得f（x0）≤0成立，则实数k的最大值是（）A．1e B．1e C．12e7．已知函数f（x）＝ex+x3+（a﹣3）x+1在区间（0，1）上有最小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣e，2） B．（﹣e，1﹣e） C．（1，2） D．（﹣∞，1﹣e）8．如果直线l与两条曲线都相切，则称l为这两条曲线的公切线．如果曲线C1：y＝lnx和曲线C2：y=x−ax（x＞0）有且仅有两条公切线，那么常数A．（﹣∞，0） B．（0，1） C．（1，e） D．（e，+∞）多选题（共4小题，每小题5分，共计20分）9．给出下列四个命题：①f（x）＝x3﹣3x2是增函数，无极值；②f（x）＝x3﹣3x2在（﹣∞，2）上有最大值；③（cosx）′＝sinx；④函数f（x）＝lnx+ax存在与直线2x﹣y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是（﹣∞，2）．其中正确命题的序号为（）A．① B．② C．③ D．④10．已知函数f（x）＝（x2+1）lnx﹣m（x2﹣1），则下列结论正确的是（）A．当m＝0时，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x B．当m≤1时，f（x）在定义域内为增函数 C．当m＞1时，f（x）既存在极大值又存在极小值 D．当m＞1时，f（x）恰有3个零点x1，x2，x3，且x1x2x3＝111．函数f（x）＝x3﹣3ax+2（a∈R），下列对函数f（x）的性质描述正确的是（）A．函数f（x）的图象关于点（0，2）对称 B．若a≤0，则函数f（x）有极值点 C．若a＞0，函数f（x）在区间(−∞，−a)D．若函数f（x）有且只有3个零点，则a的取值范围是（1，+∞）12．已知函数f（x）的导函数为f′（x），若f（x）＜xf′（x）＜2f（x）﹣x对x∈（0，+∞）恒成立，则下列不等式中，一定成立的是（）A．πf（1）＜f（π） B．πf（1）＞f（π） C．f(1)＜f(2)4+三．填空题（共4小题，每小题5分，共计20分）13．已知函数f（x）＝2x•ex﹣msinx的图象在x＝0处的切线与直线x+3y+1＝0垂直，则实数m＝．14．已知函数f(x)=xlnx+12mx215．已知函数f（x）＝xlnx+ex+1﹣ax存在零点，则实数a的取值范围为．16．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：∀x＞0有f（x）+xf′（x）＞0成立且f（1）＝2，则不等式f(x)＜2x的解集为四．解答题（共6小题，第17题10分，18-22题，每题12分，共计70分）17．已知函数f（x）＝2x+1﹣4lnx．（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求f（x）在[1，3]上的最大值与最小值．18．已知函数f（x）＝2mx﹣4lnx．（1）当m＝1时，求f（x）的极值；（2）讨论f（x）的单调性．19．已知函数f（x）＝（x﹣2）ex．（1）若a∈（0，+∞），讨论f（x）在（0，a）上的单调性；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣m（x﹣1）2在[1，2]上的最大值小于−2e3，求20．已知函数f（x）＝ex+e﹣x﹣ax2﹣2．（1）当a＝1时，证明：函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；（2）若g（x）＝f（x）﹣e﹣x，讨论函数g（x）的极值点的个数．21．已知函数f（x）＝（x﹣1）ex﹣ax﹣1．（1）当a＞0时，证明：函数f（x）在区间（0，+∞）上只有一个零点；（2）若存在x∈R，使不等式f（x）＜﹣e﹣1成立，求a的取值范围．22．已知函数f（x）＝e﹣x（x+1）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设t1，t2为两个不等的正数，且t2lnt1﹣t1lnt2＝t1﹣t2，若不等lnt1+λlnt2＞0恒成立，求实数λ的取值范围综合训练一、单项选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.[2023北京东城期末]函数y=f(x)在点(x0,y0)处的切线方程为y=2x+1,则limΔx→A.-4 B.-2 C.2 D.42.若函数f(x)=x3+ax2+3x-9在x=-3时取得极值,则a等于()A.2 B.3 C.4 D.53.若函数f(x)=ax2x-1(x>1)有最大值-A.1 B.-1 C.4 D.-44.已知函数f(x)=x+1ax在(-∞,-1)上单调递增,则实数a的取值范围是(A.[1,+∞) B.(-∞,0)∪(0,1]C.(0,1] D.(-∞,0)∪[1,+∞)5.函数f(x)=e|x|6.方程x-lnx-2=0的根的个数为()A.0 B.1C.2 D.37.[2023江苏南京联考]吹气球时,记气球的半径r与体积V之间的函数关系为r(V),r'(V)为r(V)的导函数.已知r(V)在0≤V≤3上的图象如图所示,若0≤V1<V2≤3,则下列结论正确的是()A.rB.r'(1)<r'(2)C.r(V1+VD.存在V0∈(V1,V2),使得r'(V0)=r8.[2023黑龙江牡丹江期末]设a=13,b=43ln43,c=2ln(sin16+cosA.b<a<c B.c<a<bC.a<c<b D.b<c<a二、多项选择题(在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求)9.[2023重庆沙坪坝期末]如图是函数y=f(x)的导函数的图象,对于下列四个判断,其中正确的是()A.f(x)在(1,2)上单调递减B.f(x)在(2,4)上单调递减C.当x=-1时,f(x)取得极小值D.当x=1时,f(x)取得极大值10.[2023湖南怀化期末]已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,则下列说法正确的是()A.a+b=0B.a+b=-7C.f(x)一定有两个极值点D.f(x)一定存在单调递减区间11.[2023福建德化一中模拟]设函数f(x)的定义域为R,x0(x0≠0)是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是()A.∀x∈R,f(x)≥f(x0)B.-x0是f(-x)的极大值点C.-x0是-f(x)的极小值点D.-x0是-f(-x)的极小值点12.已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,记g(x)=f'(x).若f32-2x,g(2A.f(0)=0 B.g-12C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2)三、填空题13.如图,直线l是曲线y=f(x)在点(4,f(4))处的切线,则f(4)+f'(4)的值等于.

14.某公司租地建仓库,每月土地占用费y1(单位:万元)与仓库到车站的距离x(单位:千米)成反比,而每月库存货物的运费y2(单位:万元)与仓库到车站的距离x(单位:千米)成正比.如果在距离车站10km处建仓库,y1和y2分别为2万元和8万元,那么当仓库建在离车站km处时,两项费用之和最小,最小费用为万元.

15.已知函数y=f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如表所示,y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示.下列关于f(x)的结论:x-1045f(x)1221①函数f(x)的极大值点为0,4;②函数f(x)在[0,2]上单调递减;③如果当x∈[-1,t]时,f(x)的最大值是2,那么t的最大值为4;④当1<a<2时,函数y=f(x)-a有4个零点;⑤函数y=f(x)-a的零点个数可能为0,1,2,3,4.其中正确结论的序号是.

16.[2023吉林抚松月考]已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f'(x),且满足f(-1)=0,当x>0时,2f(x)>xf'(x),则使得f(x)>0成立的x的取值范围是.

四、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知函数f(x)=2x3-ax2+4,x=1是函数f(x)的一个极值点.(1)求函数f(x)的增区间;(2)当x∈[-1,2]时,求函数f(x)的最小值.18.设函数f(x)=x2+bln(x+1).(1)若对定义域内的任意x,都有f(x)≥f(1)成立,求实数b的值;(2)若函数f(x)在定义域上是单调函数,求实数b的取值范围.19.[2023江苏苏州月考]已知函数f(x)=aex-x+1.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)设x0为函数的极小值点,证明:f(x0)≥3-1a20.如图,假设酒杯杯身的形状为倒立的圆锥,杯深8cm,上口宽6cm,水以20cm3/s的流量倒入杯中,当水深为4cm时,求水面升高的瞬时变化率.21.某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为30元,并且每件产品需向总公司缴纳a元(a为常数,2≤a≤5)的管理费,根据多年的管理经验,预计当每件产品的售价为x元时,产品一年的销售量为kex(e为自然对数的底数)万件.已知当每件产品的售价为40元时,该产品一年的销售量为500万件,经物价部门核定,每件产品的售价x(1)求分公司经营该产品一年的利润L(x)(单位:万元)与每件产品的售价x(单位:元)的函数关系式;(2)当每件产品的售价为多少元时,该产品一年的利润L(x)最大?并求出L(x)的最大值.22.已知函数f(x)=2ax-bx+lnx(1)若f(x)在x=1,x=12处取得极值①求a,b的值;②若存在x0∈[14,2],使得不等式f(x0)-c≤0成立,求c的最小值(2)当b=a时,若f(x)在(0,+∞)上是单调函数,求a的取值范围.综合训练1.D∵f'(x0)=2,f'(x0)=limΔx∴limΔx→0f(x0)-2.Df'(x)=3x2+2ax+3.由f(x)在x=-3时取得极值,得f'(-3)=0,即27-6a+3=0,所以a=5.经检验,当a=5时,f'(x)=0有两个不相等的实根,符合题意.故a=5.3.B由函数f(x)=ax2x-1(x>1),则f'(x)=2ax(x-1)-ax2(x-1)2=ax(x-2)(x-1)2.要使得函数f(x)有最大值-4,则a<0.当x∈(1,2)时,f'(x)>0,函数f(x)在(1,2)上单调递增,当x∈(2,+∞)时,f'(x)<0,函数f(x)在(2,+∞)上单调递减,4.D由题意知f'(x)=1-1ax2,由于f(x)在(-∞,-1)上单调递增,则f'(x)≥0在(-∞,-1)上恒成立,即1a≤x2在(-∞,-1)上恒成立.当x<-1时,x2>1,则有1a≤1,解得a≥1或a<5.Cf(x)=e|x|3x的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f(-x)=-e|x|3x,则f(-x)=-f(x),f(x)为奇函数,图象关于原点对称,排除B;f(1)=e3<1,排除A;当x>0时,f'(x)=(x-1)ex3x2,当x>16.C令f(x)=x-lnx-2(x>0),则f'(x)=12x−1x=x-22x(x>0).当x∈(0,4)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(4,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,且f(4)=2-ln4-2<0,f(e6)=e3-lne6-2=e3-8>0,f(e-2)=e-1-lne-2-2=1e>0,结合函数零点存在定理可知函数在区间(0,4)上有一个零点,在区间(4,+∞)上也有一个零点,故方程x-7.D对于A,设tanα=r(1)-r(0)1-0,tanθ=r(2)-r(1)2-1,由题图得0<θ<α<π2,所以tanα>tanθ,所以r(1)-r(0)1∴r(V1+V22)=r(32),r(V1)+r(V2)2=r(3)2,由题图得r(32)>r(3)2,所以C错误;对于D,r(V2)-r(V1)V2-V1表示A(V1,r(V1)),B(V2,r(V2))两点连线的斜率,r'8.B(方法1)若x=43,则a=x-1,b=xlnx,令f(x)=xlnx-(x-1),所以f'(x)=lnx+1-1=lnx令f'(x)=0,得x=1,所以在(1,+∞)上,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)>f(1)=0,即43ln43-(43-1)>0,所以43ln4令g(x)=ln(sinx+cosx)-x,则g'(x)=cosx-sinxsinx+cosx-1=-2sinxsinx+cosx,在(0,π2)上,g'(x)<0,g(x)单调递减,所以g(16)<g(0)=0,所以ln(sin16+cos16)-16<0,所以ln(sin16+cos16)<(方法2)c=ln(sin16+cos16)2=ln(1+sin13)<sin13<13=a,所以c<a;当0<x<1时,lnx>1-1x⇒b=43ln43>43×(1-39.BC由y=f(x)的导函数f'(x)的图象知,导函数f'(x)在(-2,-1),(2,4)上小于0,f(x)单调递减,在(-1,2),(4,5)上大于0,f(x)单调递增,选项A错误,B正确;函数f(x)在x=-1处取得极小值,选项C正确;x=1时导函数取得极大值,原函数没有取得极大值,原函数在x=2处取得极大值,选项D错误.故选BC.10.BCD由f(x)=x3+ax2+bx+a2,得f'(x)=3x2+2ax+b,∵函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,∴f'(1)=0,f(1)=10,∴2解得a当a=-3,b=3时,f'(x)=3(x-1)2≥0,∴f(x)在x=1处不存在极值,舍去;当a=4,b=-11时,f'(x)=3x2+8x-11=(3x+11)·(x-1),∴当x∈(-∞,-113)时,f'(x)>0,当x∈(-113,1)时,f'(x)<0,当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,符合f(x)在x=1处取得极值10,则a=4,b=-11,a+b=-7,故A错误,B正确;此时f(x)一定有两个极值点且存在单调递减区间,故C,D正确.故选11.BDx0(x0≠0)是f(x)的极大值点,并不一定是最小值点,故A不正确;f(-x)的图象相当于f(x)的图象关于y轴的对称图象,故-x0是f(-x)的极大值点,故B正确;-f(x)的图象相当于f(x)的图象关于x轴的对称图象,故x0应是-f(x)的极小值点,不能确定-x0的情况,故C不正确;-f(-x)的图象相当于f(x)的图象先关于y轴作对称,再关于x轴作对称得到的图象,-x0是-f(-x)的极小值点,故D正确.故选BD.12.BC∵f(32-2x)是偶函数∴f(32+2x)=f(32-2∴函数f(x)的图象关于直线x=32对称∴f(-1)=f(4).故C正确;∵g(2+x)为偶函数,∴g(2-x)=g(2+x),∴g(x)的图象关于直线x=2对称.∵g(x)=f'(x),g(x)的图象关于直线x=2对称,∴f(x)的图象关于点(2,t)(t∈R)对称.∵f(x)的图象关于直线x=32对称∴g(x)的图象关于点32,∴f(x)与g(x)均是周期为2的函数.∴f(0)=f(2)=t(不恒等于0),故A错误;g-12=g32=0,∴构造函数f(x)=sin(πx)符合题目要求,g(x)=πcos(πx),而g(-1)=πcos(-π)=-π,g(2)=πcos2π=π,故D错误.故选BC.13.112由题图可得f(4)=5,直线l过点(0,3)和(4,5),则直线l的斜率k=5-34-0=12,又由直线l是曲线y=f(x)在点(4,f(4))处的切线,则f'(4)=12,14.58依题意,可设每月土地占用费y1=k1x,每月库存货物的运费y2=k2x,k1,k2是比例系数,且均不为0,于是由2=k110,得k1=20;由8=10k2,得k2=45.因此,两项费用之和为y=20x+4x5(x>0),y'=-20x2+45.令y'=0,得x=5或x=-5(舍去).当0<x<5时,y'<0;当x>5时,y'>0,15.①②⑤由f(x)的导函数y=f'(x)的图象知,函数f(x)的极大值点为0,4,故①正确;因为在[0,2]上f'(x)≤0,且不恒为0,故函数f(x)在[0,2]上单调递减,故②正确;由表和图象知-1≤t≤5,所以③不正确;因为极小值f(2)未知,所以函数y=f(x)-a的零点个数可能为0,1,2,3,4,当1<a<2时,函数y=f(x)-a的零点个数可能为2,3,4,所以④不正确,⑤正确.16.(-1,0)∪(0,1)根据题意,令g(x)=f(x)x2,又由f(x)(x≠0)为偶函数,则g(-x)=f(-x)(-x)2=f(x)x2,故g(x)为偶函数,且g'(x)=f'(x)·x2-f(x)·(x2)'x4=f'(x)·x-2f(x)x3.又由当x>0时,xf'(x)<2f(x),即当x>0时,g'(x)<0,所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递减,所以g(x)在(-∞,0)上单调递增,又f(-1)=f(1)17.解(1)由题意,得f'(x)=6x2-2ax,f'(1)=0,则a=3.所以f(x)=2x3-3x2+4,f'(x)=6x(x-1),当x∈(-∞,0)时,f'(x)>0;当x∈(0,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0.所以函数f(x)的增区间为(-∞,0)和(1,+∞).(2)当x∈[-1,2]时,f'(x),f(x)的变化情况如表所示:x-1(-1,0)0(0,1)1(1,2)2f'(x)+0-0+f(x)-1单调递增极大值单调递减极小值单调递增8当x=-1时,f(-1)=-1,当x=1时,f(1)=2-3+4=3,所以当x∈[-1,2]时,函数f(x)的最小值为-1.18.解(1)由x+1>0,得x>-1,∴f(x)的定义域为(-1,+∞).∵对任意的x∈(-1,+∞),都有f(x)≥f(1),∴f(1)是函数f(x)的最小值,故有f'(1)=0.f'(x)=2x+bx∴2+b2=解得b=-4.经检验,当b=-4时,f(x)在(-1,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.f(1)为最小值.故b=-4.(2)∵f'(x)=2x+bx又函数f(x)在定义域上是单调函数,∴f'(x)≥0或f'(x)≤0在(-1,+∞)内恒成立.若f'(x)≥0,则2x+bx+1≥0在(-1,+∞)即b≥-2x2-2x=-2x+122+12在(-1,+∞)当b=12时,仅在x=-12处f'(x)=0,故b≥若f'(x)≤0,则2x+bx+1≤0在(-1,+∞)内恒成立,即b≤-2x2-2x=-2x+122+12∵-2x+122+12在(∴不存在实数b使f'(x)≤0恒成立.综上所述,实数b的取值范围是1219.(1)解函数f(x)的定义域为R,因为f(x)=aex-x+1,所以f'(x)=aex-1,当a≤0时,f'(x)<0恒成立,f(x)在R上单调递减;当a>0时,令f'(x)=0,得x=-lna.当x<-lna时,f'(x)<0,当x>-lna时,f'(x)>0.综上,当a≤0时,函数f(x)的单调递减区间为(-∞,+∞),无单调递增区间;当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为(-lna,+∞),单调递减区间为(-∞,-lna).(2)证明由(1)知当a>0时,f(x)在x=-lna时取得极小值,且极小值为f(-lna)=2+lna.设函数g(x)=2+lnx-(3-1x)=lnx+1x-1,x>0,g'(x)=x-当0<x<1时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x>1时,g'(x)>0,g(x)单调递增.故g(x)min=g(1)=0,即g(x)≥g(1)=0,所以f(x0)≥3-1a20.解由题意,如图,设t时刻水面高为h,水面圆半径是r,由图知rℎ=38,得r=38h,此时水的体积为13×π×r2×h=3π64h3,又由题设条件知,此时的水量为20t故有h=(1所以h'=13×(1280t又当h=4